GIẢI TÍCH CHƯƠNG 8 ( Đại học vinh )
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.31 MB, 454 trang )
CHƯƠNG 5 - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TỈ LỆ TL/BT/TH: 8/2/20
Vinh - 2013
university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 1 / 64
————————————————————–
university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 2 / 64
Chương 5. Phương trình vi phân
(Tỉ Lệ TL/BT/TH: 8/2/20)
5.1. Các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân
5.1.1. Định nghĩa phương trình vi phân, nghiệm, nghiệm tổng quát,
nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị
5.1.2. Điều kiện đầu và bài toán Cauchy
5.2. Phương trình vi phân cấp một
5.2.1. Định lý tồn tại duy nhất nghiệm
5.2.2. Cách giải một số phương trình vi phân cấp một; Phương trình tách
biến, đẳng cấp, tuyến tính, Becnuly, Ricati, vi phân tồn phần và thừa số
tích phân, phương trình Lagrang và Clerơ.
university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 2 / 64
5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng số
5.3.1. Phương trình thuần nhất, cách giải
5.3.2. Phương trình khơng thuần nhất, tìm nghiệm riêng bằng phương
pháp hệ số bất định
5.4. Hệ phương trình vi phân
5.4.1. Các khái niệm cơ bản
5.4.2. Cách giải hệ phương trình vi phân tuyến tính
university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 3 / 64
Chương 5. Phương trình vi phân
5.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa. • Phương trình vi phân là phương trình chứa: các biến độc
lập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạo
hàm).
Dạng: F (x, y , y , ..., y (n)) = 0
• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình.
• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình
ấy. Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm.
• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một
đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác định
bởi y = f (x) hay φ(x, y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x(t), y (t).
• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm
tổng quát, những nghiệm ấy được gọi là nghiệm kỳ dị. university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 4 / 64
Chương 5. Phương trình vi phân
5.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa. • Phương trình vi phân là phương trình chứa: các biến độc
lập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạo
hàm).
Dạng: F (x, y , y , ..., y (n)) = 0
• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình.
• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình
ấy. Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm.
• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một
đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác định
bởi y = f (x) hay φ(x, y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x(t), y (t).
• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm
tổng quát, những nghiệm ấy được gọi là nghiệm kỳ dị. university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 4 / 64
Chương 5. Phương trình vi phân
5.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa. • Phương trình vi phân là phương trình chứa: các biến độc
lập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạo
hàm).
Dạng: F (x, y , y , ..., y (n)) = 0
• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình.
• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình
ấy. Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm.
• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một
đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác định
bởi y = f (x) hay φ(x, y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x(t), y (t).
• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm
tổng quát, những nghiệm ấy được gọi là nghiệm kỳ dị. university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 4 / 64
Chương 5. Phương trình vi phân
5.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa. • Phương trình vi phân là phương trình chứa: các biến độc
lập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạo
hàm).
Dạng: F (x, y , y , ..., y (n)) = 0
• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình.
• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình
ấy. Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm.
• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một
đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác định
bởi y = f (x) hay φ(x, y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x(t), y (t).
• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm
tổng quát, những nghiệm ấy được gọi là nghiệm kỳ dị. university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 4 / 64
Chương 5. Phương trình vi phân
5.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa. • Phương trình vi phân là phương trình chứa: các biến độc
lập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạo
hàm).
Dạng: F (x, y , y , ..., y (n)) = 0
• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình.
• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình
ấy. Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm.
• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một
đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác định
bởi y = f (x) hay φ(x, y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x(t), y (t).
• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm
tổng quát, những nghiệm ấy được gọi là nghiệm kỳ dị. university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 4 / 64
Chương 5. Phương trình vi phân
5.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa. • Phương trình vi phân là phương trình chứa: các biến độc
lập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạo
hàm).
Dạng: F (x, y , y , ..., y (n)) = 0
• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình.
• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình
ấy. Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm.
• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một
đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác định
bởi y = f (x) hay φ(x, y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x(t), y (t).
• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm
tổng quát, những nghiệm ấy được gọi là nghiệm kỳ dị. university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 4 / 64
Chương 5. Phương trình vi phân
5.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa. • Phương trình vi phân là phương trình chứa: các biến độc
lập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạo
hàm).
Dạng: F (x, y , y , ..., y (n)) = 0
• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình.
• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình
ấy. Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm.
• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một
đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác định
bởi y = f (x) hay φ(x, y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x(t), y (t).
• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm
tổng quát, những nghiệm ấy được gọi là nghiệm kỳ dị. university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 4 / 64
Chương 5. Phương trình vi phân
5.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa. • Phương trình vi phân là phương trình chứa: các biến độc
lập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạo
hàm).
Dạng: F (x, y , y , ..., y (n)) = 0
• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình.
• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình
ấy. Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm.
• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một
đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác định
bởi y = f (x) hay φ(x, y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x(t), y (t).
• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm
tổng quát, những nghiệm ấy được gọi là nghiệm kỳ dị. university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 4 / 64
Chương 5. Phương trình vi phân
5.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa. • Phương trình vi phân là phương trình chứa: các biến độc
lập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạo
hàm).
Dạng: F (x, y , y , ..., y (n)) = 0
• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình.
• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình
ấy. Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm.
• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một
đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác định
bởi y = f (x) hay φ(x, y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x(t), y (t).
• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm
tổng quát, những nghiệm ấy được gọi là nghiệm kỳ dị. university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 4 / 64
Chương 5. Phương trình vi phân
5.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa. • Phương trình vi phân là phương trình chứa: các biến độc
lập, hàm phải tìm và các đạo hàm của nó (và không được khuyết các đạo
hàm).
Dạng: F (x, y , y , ..., y (n)) = 0
• Cấp cao nhất của đạo hàm của y được gọi là cấp của phương trình.
• Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm thỏa mãn phương trình
ấy. Thường một phương trình vi phân có nhiều nghiệm.
• Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Về mặt hình học, mỗi nghiệm của phương trình vi phân xác định một
đường gọi là đường tích phân của phương trình vi phân, nó được xác định
bởi y = f (x) hay φ(x, y ) = 0 hay bởi phương trình tham số: x(t), y (t).
• Phương trình có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm
tổng quát, những nghiệm ấy được gọi là nghiệm kỳ dị. university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 4 / 64
5.2 Phương trình vi phân cấp 1
5.2.1 Các khái niệm cơ bản
• Dạng tổng qt của phương trình vi phân cấp 1: F (x, y , y ) = 0 (1)
hay y = f (x, y ) (2)
• Điều kiện: y = y (x) thỏa mãn: y0 = y (x0) với (x0, y0) cho trước được
gọi là điều kiện ban đầu và viết: y |x=x0 = y0.
• Bài tốn tìm nghiệm của (2) thỏa mãn điều kiện đầu được gọi là bài
tốn Cauchy của phương trình (2).
5.2.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Peano)
Định lý: Cho phương trình vi phân cấp 1: y = f (x, y ). Nếu f (x, y ) liên
tục trên miền D ⊂ Oxy và giả sử (x0, y0) ∈ D là một điểm cho trước thì
tồn tại nghiệm y = y (x) trong lân cận x0 thỏa mãn y0 = y (x0).
Hơn nữa, nếu ∂f∂y (x, y ) liên tục trên D thì nghiệm là duy nhất. (Ta thừa
nhận định lý này.)
university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 5 / 64
5.2 Phương trình vi phân cấp 1
5.2.1 Các khái niệm cơ bản
• Dạng tổng qt của phương trình vi phân cấp 1: F (x, y , y ) = 0 (1)
hay y = f (x, y ) (2)
• Điều kiện: y = y (x) thỏa mãn: y0 = y (x0) với (x0, y0) cho trước được
gọi là điều kiện ban đầu và viết: y |x=x0 = y0.
• Bài tốn tìm nghiệm của (2) thỏa mãn điều kiện đầu được gọi là bài
tốn Cauchy của phương trình (2).
5.2.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Peano)
Định lý: Cho phương trình vi phân cấp 1: y = f (x, y ). Nếu f (x, y ) liên
tục trên miền D ⊂ Oxy và giả sử (x0, y0) ∈ D là một điểm cho trước thì
tồn tại nghiệm y = y (x) trong lân cận x0 thỏa mãn y0 = y (x0).
Hơn nữa, nếu ∂f∂y (x, y ) liên tục trên D thì nghiệm là duy nhất. (Ta thừa
nhận định lý này.)
university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 5 / 64
5.2 Phương trình vi phân cấp 1
5.2.1 Các khái niệm cơ bản
• Dạng tổng qt của phương trình vi phân cấp 1: F (x, y , y ) = 0 (1)
hay y = f (x, y ) (2)
• Điều kiện: y = y (x) thỏa mãn: y0 = y (x0) với (x0, y0) cho trước được
gọi là điều kiện ban đầu và viết: y |x=x0 = y0.
• Bài tốn tìm nghiệm của (2) thỏa mãn điều kiện đầu được gọi là bài
tốn Cauchy của phương trình (2).
5.2.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Peano)
Định lý: Cho phương trình vi phân cấp 1: y = f (x, y ). Nếu f (x, y ) liên
tục trên miền D ⊂ Oxy và giả sử (x0, y0) ∈ D là một điểm cho trước thì
tồn tại nghiệm y = y (x) trong lân cận x0 thỏa mãn y0 = y (x0).
Hơn nữa, nếu ∂f∂y (x, y ) liên tục trên D thì nghiệm là duy nhất. (Ta thừa
nhận định lý này.)
university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 5 / 64
5.2 Phương trình vi phân cấp 1
5.2.1 Các khái niệm cơ bản
• Dạng tổng qt của phương trình vi phân cấp 1: F (x, y , y ) = 0 (1)
hay y = f (x, y ) (2)
• Điều kiện: y = y (x) thỏa mãn: y0 = y (x0) với (x0, y0) cho trước được
gọi là điều kiện ban đầu và viết: y |x=x0 = y0.
• Bài tốn tìm nghiệm của (2) thỏa mãn điều kiện đầu được gọi là bài
tốn Cauchy của phương trình (2).
5.2.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Peano)
Định lý: Cho phương trình vi phân cấp 1: y = f (x, y ). Nếu f (x, y ) liên
tục trên miền D ⊂ Oxy và giả sử (x0, y0) ∈ D là một điểm cho trước thì
tồn tại nghiệm y = y (x) trong lân cận x0 thỏa mãn y0 = y (x0).
Hơn nữa, nếu ∂f∂y (x, y ) liên tục trên D thì nghiệm là duy nhất. (Ta thừa
nhận định lý này.)
university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 5 / 64
5.2 Phương trình vi phân cấp 1
5.2.1 Các khái niệm cơ bản
• Dạng tổng qt của phương trình vi phân cấp 1: F (x, y , y ) = 0 (1)
hay y = f (x, y ) (2)
• Điều kiện: y = y (x) thỏa mãn: y0 = y (x0) với (x0, y0) cho trước được
gọi là điều kiện ban đầu và viết: y |x=x0 = y0.
• Bài tốn tìm nghiệm của (2) thỏa mãn điều kiện đầu được gọi là bài
tốn Cauchy của phương trình (2).
5.2.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Peano)
Định lý: Cho phương trình vi phân cấp 1: y = f (x, y ). Nếu f (x, y ) liên
tục trên miền D ⊂ Oxy và giả sử (x0, y0) ∈ D là một điểm cho trước thì
tồn tại nghiệm y = y (x) trong lân cận x0 thỏa mãn y0 = y (x0).
Hơn nữa, nếu ∂f∂y (x, y ) liên tục trên D thì nghiệm là duy nhất. (Ta thừa
nhận định lý này.)
university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 5 / 64
5.2 Phương trình vi phân cấp 1
5.2.1 Các khái niệm cơ bản
• Dạng tổng qt của phương trình vi phân cấp 1: F (x, y , y ) = 0 (1)
hay y = f (x, y ) (2)
• Điều kiện: y = y (x) thỏa mãn: y0 = y (x0) với (x0, y0) cho trước được
gọi là điều kiện ban đầu và viết: y |x=x0 = y0.
• Bài tốn tìm nghiệm của (2) thỏa mãn điều kiện đầu được gọi là bài
tốn Cauchy của phương trình (2).
5.2.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Peano)
Định lý: Cho phương trình vi phân cấp 1: y = f (x, y ). Nếu f (x, y ) liên
tục trên miền D ⊂ Oxy và giả sử (x0, y0) ∈ D là một điểm cho trước thì
tồn tại nghiệm y = y (x) trong lân cận x0 thỏa mãn y0 = y (x0).
Hơn nữa, nếu ∂f∂y (x, y ) liên tục trên D thì nghiệm là duy nhất. (Ta thừa
nhận định lý này.)
university-logo
() Ngày 16 tháng 12 năm 2013 5 / 64
