Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
 HỆ TỌA ĐỘ. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM :
1. Hệ tọa độ: Hai trục tọa độ x’Ox và y’Oy vuông góc nhau tạo nên hệ trục tọa độ Đêcac Oxy: O là
gốc tọa độ; x’Ox là trục hoành và y’Oy là trục tung.Trong đó:
→
i
= (1; 0) và
→
j
= (0;1) là các vectơ đơn
vò trên các trục.Ta có:
→
i
=
→
j
=1 và
→
i
.
→
j
=0.
2. Tọa độ của vectơ :
→
u
= (x ; y) ⇔
→
u
= x.
→

i
+ y.
→
j
.
3. Tọa độ của điểm :
→
OM
= (x ; y) ⇔ M(x ; y)
x: hoành độ và y: tung độ của điểm M
4. Các kết quả: Trong hệ tọa độ Oxy cho A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
) và các vectơ
→
a
=(a
1
; a
2
) và
→
b
= (b
1

; b
2
).
Ta có:
a)
→
a
±
→
b
= ( a
1
± b
1
; a
2
± b
2
).
b)
→
ak
= (ka
1
; ka
2
) (k là số thực).
c)
Tích vô hướng:
→

a
.
→
b
= a
1
b
1
+ a
2
b
2.
Hệ quả:
1.
| a|

=
2
2
2
1
aa
+
.
2.
2
2
2
1
2

2
2
1
2211
bb.aa
b.a b. a
)b,acos(
++
+
=


3.
→
a
⊥
→
b
⇔ a
1
b
1
+ a
2
b
2
= 0.
d)
→
a

=
→
b
⇔



=
=
22
11
ba
ba
e)
→
a
,
→
b
cùng phương ⇔







=−=
=⇔=∈∃
→→

0baba
b b
a a
a
b
a
b
a.kb:Rk
1221
21
21
2
2
1
1
f)
Tọa độ của vectơ:
→
AB
=(x
B -
x
A
;y
B -
y
A
).
g)
Khoảng cách:

2
AB
2
AB
)y-(y)x-(x | AB | AB
+==
→
h)
Điểm M chia AB theo tỉ số k ( k≠1) ⇔
→
MA
= k.
→
MB
. Khi đó tọa độ của M tính bởi:

k1
kxx
x
BA
M
−
−
=
và
k1
kyy
y
BA
M

−
−
=
M là trung điểm AB ta có:
2
xx
x
BA
M
+
=
và
2
yy
y
BA
M
+
=
5. Kiến thức về tam giác: Cho A(x
A
;y
A
),B(x
B
; y
B
) và C(x
C
; y

C
).
a)
Trọïng tâm của tam giác (giao các đường trung tuyến):
G là trọng tâm ∆ ABC:
3
xxx
x
CBA
G
++
=
;
3
yyy
y
CBA
G
++
=
b)
Trực tâm của tam giác (giao các đường cao):






⊥
⊥

⇔∆
→→
→→
CABH
BCAH
tâm trựclà H





=
=
⇔
→→
→→
0CA.BH
0BC.AH
c)
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( giao của các trung trực):
I(a;b) là tâm của (ABC) ⇔ AI = BI = CI = R (bán kính của (ABC)). Giải hệ AI
2
=BI
2
và BI
2
=CI
2
⇒
Tọa độ của I.

d)
Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác (giao các phân giác trong của các góc của tam giác):
Tọa độ trong hình học phẳng Trang 1
Tâm K của đường tròn nội tiếp ∆ ABC tìm được khi thực hiện hai lần công thức điểm chia đoạn theo
tỉ số k:
Vì
1
k
AC
AB
DC
DB
=−=
→
→
nên D chia BC theo tỉ số k
1
⇒Tọa độ của D.
Vì
2
k
BD
BA
KD
KA
=−=
→
→
nên K chia AD theo tỉ số k
2

⇒ Tọa độ của K
e)
Diện tích tam giác:
•
S=
a
ah
2
1
=
b
bh
2
1
=
c
ch
2
1
•
S=
Csinab
2
1
=
Bsinac
2
1
=
Asinbc

2
1
•
S=
R4
abc
= pr =
)cp)(bp)(ap(p −−−
•
S=
2
22
)AC.AB(AC.AB
2
1
→→→→
−
=
)AC,ABdet(
2
1
→→
, trong đó: det(
→
AB
,
→
AC
) =
21

21
b b
a a
=a
1
b
2
−a
2
b
1

với
→
AB
=(a
1
; a
2
) và
→
AC
= (b
1
; b
2
)
 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG :
 Đònh nghóa: Cho các vectơ
→

u
và
→
n
khác vectơ
→
0
.
•
→
u
là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ khi
→
u
nằm trên 1 đường thẳng song song hoặc trùng với
∆. Mọi vectơ chỉ phương của ∆ đều có dạng k.
→
u
( k ≠ 0).
•
→
n
là 1 vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ khi
→
n
nằm trên 1 đường thẳng vuông góc với ∆. Mọi
vectơ pháp tuyến của ∆ đều có dạng k.
→
n
( k ≠ 0).

• Một đường thẳng ∆ hoàn toàn xác đònh khi biết M
0
∈∆ và 1 vectơ chỉ phương
→
u
hoặc 1 vectơ pháp
tuyến
→
n
của ∆.
2) Phương trình tổng quát của đường thẳng:
a) Đònh lý: Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạng: Ax+By+C = 0 với A
2
+B
2
≠ 0
Chú ý: ∆ có vectơ pháp tuyến
→
n
= (A;B) và có vectơ chỉ phương
→
u
= (B; - A) hoặc
→
u
= (- B; A)
b) Hệ quả: Phương trình đường thẳng ∆ đi qua M
0
(x
0

; y
0
) và có vectơ pháp tuyến
→
n
= (A;B) là:
A(x-x
0
) + B(y-y
0
) = 0 với A
2
+B
2
≠ 0
3) Phương trình tham số - chính tắc của đường thẳng:
a) Phương trình tham số của đường thẳng: Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua M
0
(x
0
;
y
0
) và có vectơ chỉ phương
→
u
=(a; b) là:






+=
+=
btyy
atxx
0
0
với a
2
+b
2
≠ 0, t∈R
b) Phương trình chính tắc của đường thẳng: Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua M
0
(x
0
;
y
0
) và có vectơ chỉ phương
→
u
=(a; b) là:
b
yy
a
xx
00
−

=
−
(a
2
+b
2
≠ 0)

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG
CHÙM ĐƯỜNG THẲNG :
Tọa độ trong hình học phẳng Trang 2
1) Vò trí tương đối của hai đường thẳng: Cho 2 đường thẳng ∆
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
= 0 (1) và
∆
2
:A
2
x+B
2
y+C
2
=0 (2) (
2

1
2
1
BA +
≠0 và
2
2
2
2
BA +
≠ 0). Giải hệ gồm (1) và (2) ta có kết quả sau:
• Hệ có duy nhất nghiệm ⇔A
1
B
2
−A
2
B
1
≠0⇔∆
1
và ∆
2
cắt nhau.
• Hệ vô nghiệm ⇔A
1
B
2
−A
2

B
1
=0 và B
1
C
2
−B
2
C
1
≠0⇔ ∆
1
//ø ∆
2
.
• Hệ có vô số nghiệm ⇔A
1
B
2
−A
2
B
1
=B
1
C
2
−B
2
C

1
=C
1
A
2
−C
2
A
1
= 0⇔ ∆
1
≡ ∆
2
.
2) Chùm đường thẳng : Hai hoặc nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm I, tạo nên chùm đường
thẳng có tâm I. Nếu ∆
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
=0 và ∆
2
:A
2
x+B
2
y+C

2
=0 cắt nhau tại I (A
1
B
2
≠A
2
B
1
) thì phương
trình của chùm đường thẳng tâm I là:
m(A
1
x+B
1
y+C
1
)+ n(A
2
x+B
2
y+C
2
)

= 0 (với m
2
+n
2
≠ 0).


GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG − KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG
THẲNG :
1. Góc giữa hai đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng ∆
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
=0 và ∆
2
:A
2
x+B
2
y+C
2
=0. Nếu gọi ϕ (0
0
≤ ϕ ≤ 90
0
) là góc giữa ∆
1
và ∆
2
thì:
2

2
2
2
2
1
2
1
2121
BA.BA
BBAA
cos
++
+
=ϕ
Hệ quả: ∆
1
⊥ ∆
2
⇔ A
1
A
2
+ B
1
B
2
= 0
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
a) Công thức: Khoảng cách từ M(x
0

;y
0
) đến ∆:Ax+By+C=0 là:

22
00
BA
CByAx
),M(d
+
++
=∆
(A
2
+B
2
≠0)
b) Hệ quả: Nếu ∆
1
: A
1
x+B
1
y+C
1
=0 và ∆
2
: A
2
x+B

2
y+C
2
= 0 cắt nhau tại I (A
1
B
2
≠A
2
B
1
) thì phương
trình các phân giác tạo bởi (∆
1
) và (∆
2
) là:
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
BA
CyBxA
BA

CyBxA
+
++
±=
+
++

ĐƯỜNG TRÒN :
1.Phương trình của đường tròn:
a) Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R có dạng:
(x−a)
2
+(y−b)
2
=R
2
b) Phương trình đường tròn tâm O bán kính R :
x
2
+y
2
= R
2
c) Phương trình x
2
+y
2
+2Ax+2By+C = 0 với A
2
+B

2
−C>0 là phương trình của một đường tròn (C) có
tâm I(−A;−B) và bán kính R=
CBA
22
−+
.
2.Phương tích của một điểm đối với một đường tròn:
Cho (C) : F(x,y) = x
2
+y
2
+2Ax+2By+C = 0. Phương tích của một điểm M(x
0
; y
0
) đối với (C) là:
P M/(C)= F(x
0
,y
0
) =
C2By2Axyx
00
2
0
2
0
++++
3.Trục đẳng phương của hai đường tròn khác tâm:

a) Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với 2 đường tròn khác tâm (C
1
) và (C
2
) là một đường
thẳng d vuông góc với đường thẳng nối 2 tâm I
1
và I
2
của (C
1
) và (C
2
) và gọi là trục đẳng phương của
(C
1
) và (C
2
).
b) Cho hai đường tròn: (C
1
):F
1
(x,y)=x
2
+y
2
+2A
1
x+2B

1
y+C
1
=0 và
(C
2
):F
2
(x,y)=x
2
+y
2
+2A
2
x+2B
2
y+C
2
=0 khác tâm, phương trình của trục đẳng phương của (C
1
) và(C
2
) là:
F
1
(x,y)= F
2
(x,y)⇔ 2(A
1
− A

2
)x+2(B
1
− B
2
)y+C
1
− C
2
= 0
4. Tiếp tuyến của 1 đường tròn :
Cho (C):F(x;y)=(x−a)
2
+(y−b)
2
−R
2
=0 và điểm M(x
0
;y
0
), để viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua
M ta tìm phương tích của M đối với (C):
 Nếu P M/(C) < 0 thì M nằm trong (C), qua M không kẻ được tiếp tuyến nào với (C).
Tọa độ trong hình học phẳng Trang 3
 Nếu P M/(C) = 0 thì M thuộc (C), qua M kẻ được một tiếp tuyến với (C) và tiếp tuyến này đi
qua M có vectơ pháp tuyến
→
IM
= (x

0 -
a; y
0 -
b).
 Nếu P M/(C) > 0 thì M nằm ngoài (C), qua M ta kẻ được 2 tiếp tuyến với (C), phương trình các
tiếp tuyến này thực hiện như sau:
 Gọi ∆ là đường thẳng qua M và có vectơ pháp tuyến
→
n
=(A;B)⇒∆: A(x - x
0
)+B(y - y
0
) = 0 (1) với
A
2
+B
2
≠0.
 Tiếp xúc (C)⇔ d(I,∆)=
22
BA
CBbAa
+
++
=R với C= -(Ax
0
+By
0
). Bình phương 2 vế, chọn hai cặp A, B

thỏa phương trình này và thay vào (1) để có hai phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M.

ElÍP :
1)Đònh nghóa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho MF
1
+MF
2
=2a (2a không đổi và a> c> 0)
là một đường elíp.

F
1
,F
2
: cố đònh là hai tiêu điểm và F
1
F
2
=2c là tiêu cự của elíp.

MF
1
, MF
2
: là các bán kính qua tiêu.
2) Phương trình chính tắc của elíp:
1
b
y
a

x
2
2
2
2
=+
với b
2
= a
2
- c
2
.
3) Tính chất và hình dạng của elíp::
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+

(a> b > 0)
• Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn); Oy (chứa trục bé).Tâm đối xứng O.
• Đỉnh: A
1
(−a;0), A

2
(a;0), B
1
(0;−b) và B
2
(0; b). Độ dài trục lớn là 2a và độ dài
trục bé là 2b.
• Tiêu điểm: F
1
(−c; 0), F
2
( c; 0).
• Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a và 2b với
b
2
= a
2
c
2
.
• Tâm sai:
a
ba
a
c
e
22
−
==
< 1

• Hai đường chuẩn: x=
c
a
e
a
2
±=±
• M(x;y)∈(E): MF
1
= a+ ex và MF
2
= a−ex
4) Tiếp tuyến của elíp (E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
:

Tại M
0
(x
0
;y

0
)∈(E) có phương trình:
1
b
yy
a
xx
2
0
2
0
=+

Đi qua M(x
1
; y
1
) là ∆:A(x−x
1
)+B(y−y
1
)=0 với điều kiện:
∆ tiếp xúc (E)⇔A
2
a
2
+B
2
b
2

=C
2
A
2
+B
2
≠0,C=−(Ax
1
+By
1
)≠0

HYPEBOL :(Nâng cao )
1.Đònh nghóa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho MF
1
−
MF
2
=2a (2a không đổi và c > a>
0) là một Hypebol.

F
1
, F
2
: cố đònh là 2 tiêu điểm và F
1
F
2
=2c là tiêu cự.


MF
1
, MF
2
: là các bán kính qua tiêu.
2.Phương trình chính tắc của hypebol:
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−
b
2
= c
2
- a
2
.
3) Tính chất và hình dạng của hypebol (H):

Trục đối xứng Ox (trục thực) Oy (trục ảo). Tâm đối xứng O.

Đỉnh:A
1

(−a;0),A
2
(a;0).Độ dài trục thực:2a và độ dài trục ảo:2b.

Tiêu điểm F
1
(−c; 0), F
2
( c; 0).

Hai tiệm cận: y= ±
a
b
x
Tọa độ trong hình học phẳng Trang 4
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−

Hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a, 2b với b
2
= c
2

− a
2
.

Tâm sai:
a
ba
a
c
e
22
+
==
> 1

Hai đường chuẩn: x=
c
a
e
a
2
±=±

Độ dài các bán kính qua tiêu của M(x;y)∈(H):
* MF
1
= ex + a và MF
2
= ex−a khi x > 0.
* MF

1
= −ex−a và MF
2
=−ex+ a khi x < 0.
4) Tiếp tuyến của hypebol (H):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−


Tại M
0
(x
0
; y
0
) ∈(H) có phương trình:
1
b
yy
a
xx
2

0
2
0
=−

Đi qua M(x
1
; y
1
) là ∆: A(x−x
1
)+B(y−y
1
) = 0 với điều kiện:
∆ tiếp xúc (H) ⇔ A
2
a
2
− B
2
b
2
= C
2
A
2
+B
2
≠0,C=−(Ax
1

+By
1
)≠0

PARABOL : (Nâng cao)
1) Đònh nghóa:
Parabol là tập hợp các điểm M của mặt phẳng cách đều 1 đường thẳng
∆
cố đònh và 1 điểm F cố đònh
không thuộc
∆
.
∆: đường chuẩn; F: tiêu điểm và d(F, ∆) = p > 0 là tham số tiêu.
2) Phương trình chính tắc của Parabol:
2pxy
2
=
3) Hình dạng của Parabol (P) :
2pxy
2
=
• Trục Ox, đỉnh O.Tiêu điểm F(
2
p
; 0).
• Đường chuẩn ∆: x = −
2
p
.
• M(x;y)∈(P): MF = x+

2
p
với x ≥ 0
4) Tiếp tuyến của parabol (P): y
2
=2px:
• Tại M
0
(x
0
; y
0
) ∈(P):y
2
=2px có phương trình: y
0
y = p(x
0
+x)
• Đi qua M(x
1
; y
1
) là ∆: A(x−x
1
)+B(y−y
1
) = 0 với điều kiện: ∆ tiếp xúc (P) ⇔ pB
2
=

2AC A
2
+B
2
≠0 và C=−(Ax
1
+By
1
)≠0
BÀI TẬP VỀ HÌNH HỌC PHẲNG Oxy
1.              
( ) ( ) ( ) ( )
       !− −
 "#  $%  
& '   ! − − =
()*+&,---**.&/012-3(
Tọa độ trong hình học phẳng Trang 5
2.)-.&/012(455"#367-2+
$%8()9:;(
3. Trong mỈt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi
!55 −BA
, ®Ønh C n»m trªn ®êng th¼ng

=−
x
, vµ träng t©m G cđa tam gi¸c n»m trªn ®êng th¼ng
<  =+− yx
. TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c
ABC.
4. Trong mỈt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi

55 −− BA
, träng t©m G cđa tam gi¸c n»m
trªn ®êng th¼ng
 =−+ yx
. T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 .
5.
ABC
∆
.5(=$%->3-;.$?)@ @A8
(=$%334>3-;.$?)BB8(CDE-:"#(0&/0
ABC
∆
(
6."F/E-:Oxy- ABC14A5!(G$?)$%3H
9BC$%334CCIJKJ$LJ#xByM<8"#xMyB 8()E-:;7- -
 ABC.
7."F/E-:Oxy-$%
∆
'
N x y+ + =

O'   x y∆ − + =
"#
A5@(P4$?)$%Q.R3:$%
∆
>3-A"#4S"F
$%
∆
I(
8.       "F  /  E-  : Oxy   $%  Q  -  $%  Q

 
5  '  M   M    C x y x y+ + =
 
5 O'   M ! C x y x+ + =
 T>3- M5(P4$?)
$%>3-MU-$%Q
5  5 OC C
JKJ$L9A, B ,-MA= 2MB.
9."F/9:OxyV"4$?)97--ABC14HR
5H
R$%-9W;BJ#
5 K
39ABJ#
5 M
(
10.   /  E-  : Oxy,   -  $%  Q  .  $?  ) 
( )
 

'  ! C x y y+ − − =
 "#
( )
 

' < N < (C x y x y+ − + + =
XY$?)43437-
( )

C
"#

( )

(C
11.9:)ZY.$?)$%'MB
8$?)$%'MAB8$%>3-*5()9:;
7-)ZY(
12.9:-.5 ER[5(\-;"#
JKJ$L2+-$%&

'BB!8"#&

'BMA8(P4$?)$%Q
.R"#4S"F$%[(
13(-R.2+$%'M!B891+2+$%
'MM 8(P4$?)$%142.>3-5 
14.P4$?)43437--$%Q'
5

'5@!

B5B

8!"#5

'5M

B5M

8!
15("F/9:$%Q5'

 
   N N + + − − =
(P4$?)
$%,,"F$%&' B@8"#U$%Q]:&R3.:&#12
<(
16. P4$?)97--145@$%-"#$%R>3-
;JKJ$LJ#'5&

' MBA8"#5&

'BM!8
17."F/E-:=^"3_.`-"3_9$?)
$%J#'

M@

8;"#3:a#"#1b0$%Q:
4-12()E-:ER[7--(
18. Trong mp Oxy cho hai điểm A(5 ; 0) và B(4 ;

).
a. Lập phương trình đường tròn nhận AB làm đường kính. Tìm tọa độ các giao điểm của đường tròn
và trục hoành.
b. Lập phương trình chính tắc của đường elip (E) đi qua hai điểm A và B.
19("F/E-:($%Q5'


=−−−+ yxyx
"#$%&'
 =++ yx

()Z*3:$%&,-W*bc$L45-434
L"F-3.d

20(("F/E-:(]J5e'


=−+ yx
()Zf+]J5e
,-'


<
g
=FNF
5h

h

J#-+37-]J5e
Tọa độ trong hình học phẳng Trang 6
21(E-:5"#$%

'B B8(
)E-:3:$%

,-$%"#

L"F-3.!

(

22. E-:$%Q

5 ' C x y+ =
$%
5 ' d x y m+ + =
()
m

5 C
U
5 d
9"#,-&/0-JFi(
23. "F/aOxy -$%
!'

=+ yxd
&

' B<MA8(XY
$?)$%>3-P5@,-$%.U-$%d

"#d

9
-:-R.;J#-7--$%d

d

(
24. "F/9:)ZY.9'@@8$%`

'@AB8"#$%`>3-*5()9:;7-)ZY(
25(5$%5.$?)'MM8"#-5@
5 ()*

5,-*

B*

.Dji(
26.$%Q5'

B

MM<B<8"#*5(P4$?)$%>3-
*U$%Q9"#,-*J#37-(
27.P4$?)4347-]J05e'


< d
x y
+ =
14434>3-5
28."F/E-:$%Q5'

B

@@B

@8.R6"#
$%'B8()14$%U$%Q59-R1/

j-V&/0-612(
29("F/E-:-.$?)9'@@8
$?)9'B@!8(4ER7--[5 (P4$?)9(
30.P4$?)$%Q>3--5!5"#4S"F$%.$?
) MBd8(
31(-.ER[514$?)9
]kHJ#BB8
02y5x2 =+
()E-:;(
32. $%Q5'

B

MBB8(P4$?)$%Q5OR*5!145O
U59,-
3AB =
(
33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình (x-1)
2
+ (y+2)
2
= 9 và đờng
thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp
tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.
34. Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (E) :

N

=+
, bieỏt tieỏp tuyeỏn ủi qua A(6 ; 3

).
35(9:-$%5&

'@ @8"#5&

'B @8(
)9:R"#1b0$%Q:4-. 92+5&

5&

a(
36.5@5"#$%5&'@@8(XY$?)$%Q>3-
"#4S"F$%5&(
37.9:5@!"#$%
' x y + =
()+

-
"#lk-3>3-65!m,-&/0-12!(
38. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích bằng


và trọng tâm
thuộc đờng thẳng

: 3x - y - 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C.

39. E-:)ZY.R

5

I
( =$%.
$?)'MB88"##:R()E-:;7-)ZY
.(
40. Oxy -ABC"FA5@$%-
' CH x y + =
R
' ! BN x y+ + =
()9:;"#0&/0-ABC
41("F/a9:Oxy)ZYABCD .&/012RIJ#-
7-$%
03:
1
= yxd
"#
06:
2
=+ yxd
(37-:9J#-7-
d

"FaOx()9:;7-)ZY(
42($%

.$?)B@ 8"#-55 @(
\V)+$%

:*,-'
MA MB+
uuur uuur
J#ji
Ta trong hỡnh hc phng Trang 7
43(-$%Q'
( )
 

'  C x y+ =
"#
( ) ( )



' < !C x y− + =
U-3
95 (P4$?)$%>3-"#U
( ) ( )
 
C C
]-&R3.:&#12
-3
44(JY$?)$%>3-*5"#9"FaE-::-
.&/012
45(*5




(P4$?)0U7-5e>3-*"#
Y
( )

F −
J#+3
46(-145 $%-W;.$?)
BB8334W;.$?)'@@8(P4$%)$%Q94-

47(-145@5&/012


"#ER[
3:$%&' B@8()E-:;n
48()ZY.&/012R6J#--$%'
 
'  ' < d x y d x y− − = + − =
(3:9J#-7-

d
"Fa()E-:
;7-)ZY(
49()"3_.;5@N"#:$%`.$?)'
A@BN8(P4$?)0U9)"3_(
50. "F/E-:1-$%'&

'BM 8&

' BB!8"#
&

'B B8(
-(P4$?)$%Q.R3:&

"#4S"F&

"#&

(
1()E-:*3:&

"#f3:&

,-
OM
B
ON
8

(
51."F/E-:e5@"#$%Q5'

B

MNMM<8(
P4$?)$%>3-eU5]&R3*f.:&#Ui(
52. -R914$?)$%JKJ$LJ#'BM!8"#
MBA8(P4$?)$%142>3-h5@ (
53(]J05e.+3kiJ#5@

"#>3-*5
!

(
\VDE-:;7-5e(
54(VDE-:;7--"3_R9(42
93^2+$%&'BAM 8f5AA3:$%*5@ 
3:"#2#9(
55(-$%&

'BB!8&

' BM8"#[5 (
)E-:3:&

"#3:&

,--Y[J#ER(4
J#-7--$%&

"#&

(
56.'-55@@ "#-$%&

'BB 8
&

'M!M<8()E-:JKJ$L3:&


"#&

,-kJ#)1)
#(
57(E-::-.5-$%-3iW"#JK
J$L.$?)J#B8"#MB8(0&/0-(
58(-

F
5@

F
5"#5 (
-(XY$?)0U7-]J5e>3-"#.-+3

F


F
(
1()E-:7-*3:5e,-*

F
8 *


F
59.$%Q5'

B


M<BB<8"#G5 (
-(P4$?)434GeGh7-$%Q5"FehJ#4(
1(0&/0-Geh(
60($%&

'B−8&

'−B8(P4$%Q5.R
2+ao%4S"F&

"#&

(
61. $%&

'− B8&

'B−!8([EJ#-7-&

"#&

()+&

"#+&

,-∆.ER[5 !(
Tọa độ trong hình học phẳng Trang 8
62($%Q5'


B

−−B 8(XY$%Q5Ilk"F5>3-$%
∆'−8
63( ∆.aR\
 

! !
 
 ÷
 
$%"#JKJ$LJ#'
−− 8B−A8(P4$%k-9(
64("F/E-:$%&'B− 8"#55− (
)E-:*3:$%&,-bpW*4$%12(
65("F/E-:∆.;5 $%-\"#334*.
JKJ$LJ#' −B8B−8()E-:;
66(-.&/0q8


-;5@ 5 @"#ER[7--3:
@@N8()E-:;(
67. Cho ∆ABC có M(–1 ; 1) là trung điểm cạnh BC, hai cạnh còn lại có pt là (AC): x + y – 2 = 0,
(AB) : 2x + 6y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của ∆ABC và viết phương trình cạnh BC.
68. Viết phương trình đường tròn (C ) có bán kính R = 2 tiếp xúc với trục hoành và có tâm I nằm trên
đường thẳng (d) : x + y – 3 = 0.
69.Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình : x
2
+ y
2

– 2x – 6y + 6 = 0.
a. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2 ; 4) cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A, B sao cho M
là trung điểm đoạn AB.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến ấy song song với đường thẳng có
phương trình : 2x + 2y – 7 = 0.
c. Chứng tỏ đường tròn (C) và đường tròn (C ’) : x
2
+ y
2
– 4x – 6y + 4 = 0 tiếp xúc nhau. Viết
phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm.
70. Trong mặt phẳng Oxy cho (E) có phương trình :



d


=+
.
a. Xác đònh tọa độ các tiêu điểm, độ dài các trục của (E).
b. Chứng minh OM
2
+ MF
1
.MF
2
là một số không đổi với F
1
, F

2
là hai tiêu điểm của (E) và M ∈ (E).
c. Tìm các điểm M thuộc (E) thỏa MF
1
= 2.MF
2
với F
1
, F
2
là hai tiêu điểm của (E).
d. Tìm các điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông.
71. Trong mặt phẳng Oxy cho (E) có phương trình :



d


=+
.
a. Xác đònh tọa độ các tiêu điểm, độ dài các trục của (E).
b. Tìm các điểm M thuộc (E) thỏa MF
1
= 2.MF
2
với F
1
, F
2

là hai tiêu điểm của (E).
c. Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc (E) ta đều có 2 ≤ OM ≤ 3.
d. Tìm các điểm M thuộc (E) nhìn đoạn F
1
F
2
dưới một góc 60°.
72. Lập ph. trình các cạnh của
∆
ABC, biết đỉnh A(1 ; 3) và hai đường trung tuyến xuất phát từ B và
C có ph.trình là: x– 2y +1= 0 và y –1= 0.
73. Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E) : 9x
2
+ 25y
2
= 225.
a. Viết phương trình chính tắc và xác đònh các tiêu điểm, tâm sai của (E).
b. Một đường tròn (T) có tâm I(0 ; 1) và đi qua điểm A(4 ; 2). Viết phương trình đường tròn và chứng
tỏ (T) đi qua hai tiêu điểm của (E).
c. Gọi A, B là 2 điểm thuộc (E) sao cho OA ⊥ OB.
74. Cho ∆ABC có đỉnh A(2 ; –1) và hai đường phân giác trong của góc B, góc C có phương trình lần
lượt là (d
B
) : x – 2y + 1 = 0 và (d
C
) : x + y + 3 = 0. Lập phương trình cạnh BC.
75. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh C(4 ; –1), đường cao và đường trung
tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình tương ứng là (d
1
): 2x – 3y + 12 =0 và (d

2
) : 2x + 3y = 0.
76. Trong mp Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2x – y + 5 = 0 ,ø điểm I(3; 1).
a) Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc với d.
b) Tìm tọa độ tiếp điểm của đường tròn đó với d.
77. Trong mặt phẳng Oxy cho (E) : 4x
2
+ y
2
= 4.
Tọa độ trong hình học phẳng Trang 9
a. Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ hai tiêu điểm, tâm sai của (E).
b. Tìm các giá trò của m để đường thẳng y = x + m cắt (E) tại 2 điểm phân biệt M, N khi m thay đổi.
Tìm tập hợp các trung điểm của MN.
78. Trên mặt phẳng Oxy cho elip có phương trình : x
2
+ 4y
2
= 4.
a. Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tâm sai của elip.
b. Đường thẳng qua một tiêu điểm của elip và song song với trục Oy cắt elip tại hai điểm M và N.
Tính độ dài đoạn thẳng MN.
c. Tìm giá trò của k để đường thẳng y = x + k cắt elip đã cho.
Tọa độ trong hình học phẳng Trang 10