Bùi đắc tắc, bài tập không gian topô độ đo tích phân

ĐẠI HỌC VINH . NGUYỀN VĂN KHUÊ (Chủ biên)
THƯ VIỆN PTS. BÙI ĐẮC TẮC

514.071
NG-K/96
DT. 003835

KHÓM

* •

Ly thuyết Tíchph

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM


GS. TS NGUYỄN VÃN KHUÊ (chủ biên)
PTS BÙI ĐẮC TẮC

KHÔNG GIAN TÔPÔ - ĐỘ ĐO
VÀ LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN

GIẢI TÍCH I U

ĐẠI HỌC Q U Ố C GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM


LÒI MỎ ĐAU

\ Tiếp theo hai tập giải tích ì và li vè phép tính vi tích
phân cổ điển, giáo trình này nhàm mục đích trình bày một
số uẩn đè vè tôpô đại cương và sau đó là lý thuyết về độ
do và tích phân Lebesgue. Lý thuyết độ đo được trình bày
trong mối liên hệ vói cáu trúc tơpơ và vì vậy đây khơng
hằn là lý thuyết độ đo thuần túy. Điêu này có thề thấy
qua định lý quan trọng cớa Alexandrov về tính khả cộng
đếm, dược cớa hàm tập hợp chính quy khả cộng hữu hận
trên õ - đại số các tập Borel cớa một khơng gian compac- -
Giáo trình gồm 6 chương. Các lớp khơng gian quan trọng
trong giải tích như khơng gian chuẩn tác, khơng gian
•compac, khơng gian paracompac dược trình bày trỏng 3
chương đầu. Phần còn lại dành cho việc trinh bày lý thuyết
độ đo và tích phân hiện đại. Giáo trình này được dùng
cho sinh viên năm thứ ba khoa toán các trường Đại học sư
phạm và được viết bời PTS Bùi Đác Tắc với sự sáp xếp
chinh lý bới GSTS. Nguyền Văn Kh. Nội dung cuốn sách
có lẽ khơng phải chỉ cho sinh viên năm thứ ba khoa toán
các trường ĐHSP mà nó sẽ cịn rát có ích đối VÓI sinh
viên năm cuối đặc biệt là các cao học viên chun ngành
giải tích. Ngồi ra các NCS chuyển ngành giải tích có thè
tim tháy à đáy những kiến thức cần thiết cho sụ học tập
nghiên cứu cùa minh.

Vi dậy là lần đầu xuất bản nên không thế tránh khỏi
một số sai lăm thiếu xót rất mong bạn đọc góp ý. Nhăn
dây chớ biên và tác giả cảm ơn GS. TS Phạm Ngọc Thao

cùng PGS. TS Đặng Hùng Thảng và PTS Lé Mậu Hải vè
những ý kiến cho sụ cải tiến cuốn sách này.

Chủ biên GS. TS. Nguyên Văn Khuê
Tác giả PTS. Bui Đác Tác

3


CHƯƠNG I
KHÔNG GIAN METRIC

Trong giải tích ì và l i chúng ta đã đề cập đến một lớp
khơng giáp tơpơ quan trọng, đó là khơng gian metric. Tuy
n h i ê n t r o n g k h u ô n k h ổ giáo t r ì n h g i à n h cho sinh v i ê n
những năm đẩu mới làm quen với giải tích hiện đại cùng
một lúc chưa t h ể giới thiệu hết những vấn đè liên quan
đến không gian metric.

Trong chương này chúng tơi tiếp tục trình bày một số
vấn để xung quanh không gian metric đủ, không gian
metric compac, không gian metric k h ả l i .

Trước hết chúng ta nhớ l ạ i rằng khơng gian metric, đó
là tập X cùng với một khoảng cách p trên nó, tịc là cùng
với một h à m thực p t r ê n X X X thỏa m ã n ba t í n h c h ấ t
sau:

Mị . />(x, y) ĩzO, Vx, y e X v à />(x, y) = 0 « X= y
(tính xác định dương)

M 2 . f i x , y ) = f ( y , x), Vx, y G X (tỉnh đối xịng)

M 2 , f ( x , z) í p(y, x) + /Hy, z), Vx, y, z G X (bất đẳng
thịc tam giác).

Một dãy { x n } trong X được gọi là dãy Côsi nếu
y ° ( x n , x m ) —» 0
(hay đầy đủ) khi m, n — » 0 0 . Không gian metric X gọi là đủ

nếu mọi dãy Cơsi trong nó đểu hội tụ.

5

§1. MỘT SỐ VÍ DỤ
VÈ KHƠNG GIAN METRIC ĐỦ THƯỜNG GẶP

Ví dụ Ì. Không gian metric (X, p) với

p (x,y) = 0 nếux=y
(a > 0 cố định) là đủ a nếux5*y

T h ậ t vậy, cho { x n } là m ó t dãy Côsi trong (X, p). N ế u
chọn 0 < € < a, phải có số nguyên dương n G sao cho

/ > ( x n , x m ) < E, Vn, m 5= n 0 . Suy ra / 5 ( x n > X ) = 0 , Vn > n„

o

Vậy limxn = x n

n—»00

Ví dụ 2. X = N * = {Ì, 2, 3...}, không gian metric c x ,
d) là đủ với metric.

0 nếu m=n

d(m, n) = Ì

Ì H nếum^n

m+n

Tính đủ của không gian này được suy ra bằng lập luận

tương tự như trong ví dụ 1.

Ví dụ 3. K h ơ n g gian Ì 1 t ấ t cả các dãy sò thực hoặc
phức khả tổng tuyệt đối với metric.

00

/>(x, y) = E l * n - y n l > x = ten}' y = { y n } e 1 1 l à đ ủ

n=l ,

T h ậ t vậy, cho x n = {xy, x§....} là m t dãy Cơsi t r o n g Ì 1

Với m ọ i E > 0, t ổ n t ạ i Tif sao cho:

00

ỵ |xp-x, Vn, m > ní: (ì:

i= l

Do đó với m ỗ i i = Ì, 2... ta cũng có

\xf - x Ị " | =s E, V n , m > n £ .

Tức là dãy tọa độ thứ i {xỊ1} là dãy Côsi trong không
gian metric đủ R (hoặc C). Đặt

limxỊ1 = Xị v à X = ( X ị , x 2 , ...)
n-*oo

Ta sẽ chứng tỏ rằng X e Ì1 và dãy { x n } hội tụ đến X
theo k h o ả n g c á c h p.

T ừ b ấ t đ ẳ n g t h ứ c (1), đ ố i v ớ i m ỗ i số t ở n h i ê n k 35 Ì t a
có:

k

2 | x f - x Ị ^ I € t. V n , m > n E .

i=l

T r o n g b ấ t đ ẳ n g t h ứ c n à y cho m —» 00, t a đ ư ợ c

k

2 1 — Xjl í £ Vu, m í nE (2)

IxỊ

i=i ^

D ặ c b i ệ t v ớ i n 0 Si n £ t h ì

k k

ỵ \xị\ ^ E + ỵ Ixfoi

i=l i=l

Bởi vì k là túy ý nên

200 00 < +00.
í Xi!
«s £ + ỵ |x[M
i=l
i=l

Vậy X G Ì1.

Cuối c ù n g chú ý rằng bất đẳng thức (2) đ ú n g với m ọ i k
nên

2 I xp — X ị l í £ Vn » ny.

i=l

7

Vậy limxn = X .

n-»00

VÍ dụ 4. K h ơ n g gian metric M(X) các h à m số giá trị
thực hoặc phức bị chặn t r ê n tập X là đầy đủ (với k h o á n g
cách p{ĩ, g) = supl f ( x ) - g ( x ) | ) .

XGX

Thật vậy, cho { f n } là d ã y . C ô s i trong M(X); tức l à với
mọi £ > 0 tổn t ạ i n £ sao cho

/>(fn, f m ) í £,.Vn, m > n £

hay là

| f n ( x ) - f m ( x ) | =s E, Vn, m > n £ , V X e X (1)

Theo bất đ ả n g thức này với m ỗ i X e X, dãy số { f n ( x ) }

là Cơsi trong R (hoặc trong C), do đó nó hội t ụ . Đ ặ t
f(x) = limfn(x). Ta sẽ chủng tẳ rằng f e M(X) và { f n } h ộ i tụ

n-»°0

đến f theo khoảng cách p. Trong bất đẳng thức (1) cho m
-* 00, ta được.

| f n ( x ) - f ( x ) | í E, Vn > n £ , Vx 6 X (2)

Dặc biệt với n = n £ .

| f n £ ( x ) - f ( x ) | *s É, X e X

Suy ra supịf(x)| í £ + s u p | f n ( x ) | < + 00

xGX XGX

Vậy f bị chặn trên X, tức là f e M(X).

Cuối cùng, t ừ bất đẳng thức (2) suy ra

/ > ( f n i 0 « £, v n > n£

tức là limfn = f

n-»oo

Nhận xét. Trong trường hợp đặc biệt X = N thì M(X)
chính là khơng gian t ấ t cả các dãy số bị chặn. Không gian
này thường được ký hiệu là Ì00.

8:

ví dụ 5. Khơng gian metric C | a b j các h à m số liên tục

trên đoạn [a,b] là đủ (với metric

PẠĨ, g) F= sup|f(x)-g(x)r

xe[a,b]

Bởi vì mọi h à m số liên tục t r ê n tập compac đểu bị chặn
nên C j a b j là không gian con của M j a b Ị . H ơ n nữa metric
xét trển C j a bỊ chính là metric cảm sinh bởi metric trên
M Ị 3 b j bởi vậy để chứng minh Cịa b j là đủ ta chỉ cỗn
chứng minh rằng C j a b j là đóng trong M [ a bỊ. Nếu

{ f n } c c [ a b ] và hội t ụ t h è o metric p đ ế n h à m f e M[a b] t h ì

{f„} hội t ụ đêu đến f t r ê n [a, b]. Do đó h à m giới hạn f
phải liên tục trên [a, b], tức là f G C[a b j . Vậy C a b j đống
trong M ( a b ] .

Chú ý rằng trên c ù n g một tập X khác rỗng có t h ể đưa
vào nhiều, metric khác nhau. Khi đó X có thể là đủ đối với
metric này nhưng lại không đủ với metric kia. Chẳng hạn
tập X tất cả các hàm số liên tục trên đoạn [0,1] là không
gian metric đủ đối với metric />(f,g)=sup| f(x)—g(x)| (ví dụ 5)

xe [0,1]

nhưng nđ l ạ i là không gian metric không đủ với metric

Ì

d(f,g) = Ị Ịf(x) - g(x)|dx. Thật vậy, xét dãy hàm fn(x) =

2,-TTT, X G [0, 1]. Ta có

k=lK 1

Ị. n + p x k n+p ị

0k=n+ĩ k=n+\R^L)

Do đó { f n } là dãy Côsi theo metric d. Với mỗi hàm số f
liên tục trên đoạn [0, 1], đặt

supl f(x)| = a < +00

xe [0,1]

I

00 Ì

B ở i vì c h u ỗ i k2=4 ụ p h â n k ỉ , có t h ể c h ọ n n D đ ủ l ớ n s a o

n+l„

cho f n ( l ) = 2 ] — > a + l . L ạ i vì f n liên tục t ạ i X = Ì, t ổ n

- . k=2k

t a i <5>0 sao cho f n (x) > a + Ì , Vx G t i - ổ, ĩ ] v à do đ ó

o

fn(x) > a + Ì V i 6 [Ì - ổ, 1], Vn > n Q

Ta có.

Ì Ì

d ( f n > f ) = Ị | f n ( x ) - f ( x ) | d x ỉ* J ( | f n ( x ) | - | f ( x ) | d x >

ố l-ẻ

Ị Ì

l . d x = <5, V n Si n D .

Ì-ố

Tức là dãy d(fn, f) không thể dần đến 0 khi li oa,

Vậy không gian metric (X, d) là không đủ.

§2. TIÊU CHUẨN ĐỦ

Chúng ta nhắc lại rằng trong mợt không gian metric,
dãy hĩnh cấu { B n } (bán kính r n ) được gọi là thắt dẩn nếu

Bn+1 c B n , Vn ỉ Ì và limrn = 0

n-»oo

Định lý 1. N ế u t r o n g mợt không gian metric (X, d) mọi
dãy hỉnh cấu đóng thát dẩn đểu có mợt điểm chung duy
nhất thì (X, d) là đủ.

Chứng minh: Cho {xn} là dãy Côsi trong {X, d}. Với
mọi e > 0 tổn tại N (phụ t h u ợ c í ) sao cho d ( x n , x m ) < £,
V n , m ỉĩ N

10

Ì
Với £ = — tổn t ạ i n j sao cho

Li

d(xn, x m ) < ị , Vn, m > n j

Với £ = — tổn t ạ i n 2 (có t h ể chọn n 2 > n j ) sao cho

d(xn, x m ) < —, Vn, m > n 2

Cứ t h ế tiếp tục m ã i , ta sẽ nhận được một dãy t ă n g
ngặt { n k } sao cho

d(xn, x m ) < -J=_T, Vn, m > n k
2k'

Ì

Suy r a d
Đặt B k = B ( X n k , -—ộ, k = Ì, 2...

Khi đó { B k } là dãy hình cẩu đóng thỊt dấn. Thật vậy

nếu X G B k + 1 thì

Ì Ì Ì

d(x, x_ ) « d(x, x_ A ) + d ( x _ . x_ ) < — + —

Vậy X G B k . Vì X là tùy ý, B k + 1 c B k . Theo g i ả t h i ế t

00 - = Ị Ì 0 nên X đến
n Bk vậy { x 0 } . Bởi v ì . d ( x 0 > x ^ ) =s - j — j - -* {x^} hội tụ

k=l 2k-l

Như dãy Côsi { x n } chứa một dãy con

x 0 > do đó bản t h â n dãy { x n } cũng hội t ụ đ ế n x 0 .

Định lý 2. Nếu mọi hình cẩu đóng trong k h ô n g gian
metric X là compac thì X là đủ.

Chứng minh. Cho { x n } là dãy Côsi trong không gian

li

metric (X, d). K h i đổ { x n } n bị chặn, tức là tổn tại a e X,

r>0 sao .cho { x n } c B(a, r). Theo giả thiết B(a, r) là tập

compac, tdựỊ tại d ã y con c { x n } sao cho - » X . Suy- r a

x n — X . V ậ y (X, d) là đủ.

§3. ĐỊNH LÝ B E R O

Định nghía Ì, Cho A l à m ộ t t ậ p con của k h ô n g g i a n

o

metric X nếu à = 0 thì ta nói rằng A là tập khơng đâu

trù mật trong X.

Từ định nghĩa suy ngay ra r ằ n g nếu A là t ậ p k h ô n g
đâu trù m ậ t thì CA là tập trù mật trong X tức là CA = X.

Bổ dề 1. Tập A không đâu trù mật trong X, khi và chỉ
X đều tổn tại một hình
khi, với mọi hình cấu mờ B trong

cầu B 0 c B sao cho B C ) n A = 0

Chứng minh. G i ả sợ A l à t ậ p k h ô n g đ â u t r ù m ậ t trong
X. Với mọi hình cầu mở B trong X đểu tổn tại y £ B\A.

N h ư n g B^S là t ậ p m ở n ê n y là đ i ể m t r o n g của B\s,
nghía
là t ổ n t ạ i r > 0 đ ể B Q = B(y, r) c B\&. suy ra B Q c B và

B Q DA = 0 .

Ngược l ạ i , già sợ m ọ i h ì n h cầu mở trong X đểu bao
h à m một hỉnh cấu mở không giao với A. Khi đó với mọi
h ì n h cầu m ở B(x, r ) , X e Ã, r > 0 sẽ có h ì n h cầu B(X|, r')

c B(x, r ) , sao cho

B(XJ, r') n A = 0 ;

n g h ĩ a l à X | Ể Ẫ . Suy ra B(x, r ) í s. vi X l à phẩn tủ tùy

o

ý và r là số dương nhỏ tùy ý nên Ẫ = 0 .

Dinh lý Ì ÍBerơ). M ọ i k h ô n g g i a n m e t r i c đ ủ đ ê u k h ô n g

12

thể biểu diễn dưới dạng hợp đếm được của các tập không
đâu trù mật.

Chứng minh. G i ả thiết phản chứng ràng không gian
metric đủ (X, d) b i ế u diễn được dưới dạng hợp đ ế m được
của các tập không đâu trù mật:

00

X = u En , En = 0

n=l

Cho B D = B ( x Q , r Q ) là hỉnh cầu m ở t r o n g (X, d). V ỉ E j
là t ậ p k h ô n g đ â u t r ù m ậ t n ê n t ổ n t ạ i h ì n h c ầ u Bị =
E K X Ị , ! - ! ) c B 0 sao cho B j f i E j = 0 . Có t h ể g i ả m b á n k í n h
TỊ để đổng thời xảy ra

ri ^ y , Bj c B G và Bj n E[ = 0

T ư ơ n g tự đ ồ i với h ì n h cầu B Ị , VÌ E 2 là t ậ p k h ô n g đâu
t r ù m ậ t n ê n l ạ i có h ì n h cấu B 2 = B ( x 2 , r 2 ) c B ị sao cho
B 2 n E 2 = 0- L ạ i có t h ể giảm bán kính r 2 đ ể đồng thời
xảy ra.

Ì* r

r 2 > -ị < ị , B 2 c B i v à B 2 n E 2 = 0

Bằng quy nạp, ta nhận được dãy giảm các hình cẩu
đ ó n g { B n } có c á c t í n h c h ấ t sau:

/ ã

r n ô , r n l bỏn kính hình cầu B n (1)

n Ôn ' l i li

B n + 1 c B n , Vn í Ì (2)

B n n E n = 0, Vn 5 Ì (3)

T ừ (1) và (2) suy ra B n lã dãy hình cẩu đ ó n g t h á t d ẩ n .

00 00

Theo n g u y ê n lí Cantor n B n = {x}. Nhưng x G X = U E n

n=1 n=l

13

nên một mặt p h ả i có chỉ số n Q đ ể X G E v à do đ ó t h e c

o

(3) X Ệ. B n , mát khác từ (2) suy ra X Ể B + 1 . D i ề u nà}

mâu t h u ẫ n với t í n h chất X thuộc giao của các tập B n . Vậy

X không t h ể biểu diễn được dưới dạng hỗn hợp đếm được
của các tập không đâu trù mật.

Định lý 2. Trong không gian metric đủ giao của một hẹ
đếm được các tập mứ trù mật khắp nơi là tập trù mật
khắp nơi.

Chứng minh. Cho { G n } n là dãy các tập mứ t r ù mật
trong không gian metric đủ (X, d). Lấy một phân tử tùy ý
X G X. Ta sẽ chứng tỏ rằng với mọi £ > 0, tốn t ạ i

00 sao cho d(x', x) < £

x'eriGn

n=l

— £

Vì G j = X, 3 x j G G j sao cho d(x, X j ) < ị , tức là

xx e £ Gj. Bứi vì Xị là đ i ể m trong của

B(x, -T) n

B ( x , „ ) n G l ' c ổ t h ể c h o n £ 1 đ ủ n h ỏ ( £ 1 < o> s a o c h o

B ( x j , £j) c B(xv Bị) c B ( x j , | ) nGj

L ạ i vì G 2 = X, 3 x 2 G B ( x 1 ; £j) n G 2 , chọn £ 2 đù nhò

(£2<—Ị) sao cho:

iu

B(x2, £2) c B (x2, £2) c (B(xj, £j) nG2

Cứ t h ế tiếp tục mãi, ta nhận được dãy hình cảu đóng
thắt dần {B(xn,£n)}n với

£ n < ịn . Ẽ ( x n , £n) c G n , v n

14

Theo nguyên lí Cãntor t ổ n tại x' E n B ( x n , £ n ) c n G n

mn=Ì n=Ì

Ta CỐ

£

d(x, x') sỉ d(x, Xj) + d i x j , x') < I + £1 < I .

Chú ý: Định lý Ì có t h ể được suy trực t i ế p từ định lý 2
dựa vào nhận xét ngay sau định nghĩa 1.

§4. BỔ SUNG ĐỦ
CỦA MỘT KHÔNG GIAN M E T R I C

Định lí 1. Đối với m ọ i J t h ô n g gian metric X đều t ổ n t ạ i
một khơng gian metric đủ X có các tính chất:

a) X đẳng cự với một không gian con Y của X
b) Y t r ù mật trong X.

Chứng minh. Gọi ổ là lớp t ấ t cả các dãy Cờsi t r o n g

không gian metric (X, d). Cho { x n } , { y n } e Ổ n ế u
l i m d ^ y j = 0 thì ta bảo dãy { x n } tương đương với dãy

n—00

{ y n } và viết { x n } ~ { y n } . Kí hiệu X là tập t ấ t cả các lớp
tương đương theo quan hệ vừa định nghĩa. Khi đó với
x,yex và { x n } e X, { y n } G y bao giờ cũng t ổ n t ạ i
limdíx^y,^. Thật vậy, ta ln có

n-»oo

d ( x n , y n ) =s d ( x n > x m ) + d ( x m , y m ) + d ( y m , y n ) .

Suy ra d(xn, y n ) - d ( x m , y m ) < d(xn> x m ) + d ( y n , y m )
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

d(xm. y m ) - d ( x n . yn) * d(xn>xm) + d ( y n . ym)-

15

Do đó:

| d ( x n , y n ỵ - d ( x m , y m ) | . =s d ( x n , x m ) + d(yn, y m ) -» 0 (khi
m, n, -» oo). Vậy { d ( x n , y n ) } là dãy Côsi trong R, do đó t ố n
tại limd(xn>yn). H i ể n nhiên giới hạn này độc lập với cách

n-»00

chọn các Jihấn tử đại diện { x n } , { y n } trong các lớp tương
đương X, y tương ứng.

Đặt d(x, y) = limd(xn,yn). K h i đó d là khoảng cách trong

X. Thật vậy, cho X, y, z G X và { x n } G X, { y n } e y,
{zn}€Ez. Ta ln có

d<xn> y n ) « d<xn> y n ) + % h > zn> . V n hiển
hăng
Cho n —* 00 ta được
d (x, z) =s d(x, y) + d(y, 7.)

tức là d thỏa mãn bất địng thức tam giác. Thêm nữa
nhiên rằng

d(x, y) = d(y, x) v à d(x, y) = 0 <=> X = y.
Vậy d là một khoảng cách.
Xét ánh xạ ự>: X —* X xác định bởi công thức
ự,(x) = X (ở đây X là lớp t ư ơ n g đương chứa dãy

{x, X, X . . . } .

Dặt Y = Ự'(X). K h i đó ụ>: X -» Y là một song ánh bảo
tồn khoảng cách: .

d(V'(xj, V'(x')) = d(x, X') = l i m d ( x n , j í ' n ) = d(x,x') Vx.x'e X

n—><x>

(ỏ đây x n = X, x ' n = x', Vn)

Vậy (X, d) địng cự với (Y, ủ). Do đó lõ tự nhiên có t h ể
đổng nhất mỗi phấn tử X £ X với một phẩn tử X = ự'(x)
£ Y c X với phép đổng nhất như vậy ta có thể viết:

đ(x,x') = d(x,x') nếu X, x' £ X (1)

Hỉ . '

d(x,x') = limd(xn,x') nếu x' e X, X G X và { x n } G X (2)

n-Mo

Cũng nhờ^đổng nhất t r ê n ta còn suy ra ràng: với mọi
phấn t ử X G X bao giờ c ũ n g x ả y ra đ ả n g thức:

l i m d ( x n , x ) = 0, V { x n } e X (3)

n-»oo

T h ậ t vậy, với m ọ i số d ư ơ n g € cho trước nhỏ t ù y ý, vì
{ x n } là d ã y Cơsi n ê n p h ả i t ố n t ạ i Uy đ ể d ( x n , x m ) si t,

V n , m 5= ĩ\y

Bất đ ả n g thức này c ù n g với (2) cho ta

m—>00

vì Í: là số n h ỏ t ù y ý n ê n l i m d ( x n , x) = 0

n-»oc

Từ (3) suy ra X trù m ậ t trong X.

D ể k ế t t h ú c chứụg m i n h đ ị n h lý Ì , c ò n p h ả i chi ra r ằ n g
k h ô n g gian m e t r i c (X, dỵ là đ ù . Cho { x n } là d ã y Côsi t r o n g
X. Vi X trù mật trong X n ê n với m ẵ i phấn tử xn G X, tổn

t ạ i x ' n G X sao cho (J(xn, x ' n ) « — . T ừ đó suy ra

d(x'n. x'm) í d ( x ' n , x n ) + du,,, x m ) + du,,,, x ' m )

Ì Ì ~- ~
<••+
— + d< x n , x m )

Do đó l i m d ( x ' n , x ' m ) = l i m d(xn, xm> =

n.iJT-»» 11.111 * x

/\

dãy Còsi, ký hiệu X là lớp tương d ư ơ n g chứa dãy {x'n}

Theo ( 3 i , ta có l i n u ỉ < x ' n , xi = 0. T ừ c á c b ấ t đ ẵ n g t h ứ c

hiốn nhiôn sau suy ra Unix,, = X

d(xn, x) sá c K x ^ x ' p ) + d ( x ' n , x) sỉ — + d ( x ' n , x)

Dinh nghĩa 2:

Ta gọi không gian metric đ ủ thỏa m ã n c á c t í n h chất a)
và bi trong định lí Ì là bổ sung đủ . của không gian metric
(X, di.

Dinh lý 2: B ổ s u n g đ ủ c ủ a m ộ t k h ô n g g i a n m e t r i c (X,
d) ìà duy n h ấ t sai k h á c m ộ t đ ẳ n g cự t ứ c l à n ế u (X, (J) là
k h ô n g gian m e t r i c đ ủ t h ỏ a m ã n a) và b) của đ ị n h lý Ì t h ì
X đ ẳ n g cự với X.

Chứng minh: V ớ i m ỗ i X £ X, t ố n t ạ i d ã y { x } c X đ ể
Ịimxn = X (vi X t r ù m ả t trong X) n h ư n g { x n } l ạ i được coi

n—>x:

là dãy Côsi trong k h ô n g gian đủ X n ê n t ổ n t ạ i duy n h á t
xGX đ ể l i m x n = X. Ta sẽ chứng tỏ r ằ n g á n h xạ f cho

tương ứng mỗi X E X với X G X là một đảng cự. Trước
hết nếu

limxn = X, limy,

n->oc n-»»

limxn = limy,

n-»00

/\ Sì

d(x, ý) == ' limd( x n > y J

n—»*

d(x,ỹ) = limd(x n>y n)

n-*cc

Do đó

d ( f ( x ) , f(y)) = d(x,y) = liu, y)

Sau nữa có t h ể t h ấ y ngay f á n h xạ X lên X.

Vảy f là đảng cự giữa X và X.

N h ả n xét. Qua t r ì n h làm đù m ộ t k h ô n g gian metric là

18