Bài tập nguyên hàm tích phân

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN


x 1
Câu 1: Cho a là số thực dương. Biết rằng F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x  e lnax   thỏa mãn
 x

1
F    0 và F 2018  e . Mệnh đề nào sau đây đúng ?2018

a

1   1 C. a 1;2018 . D. a2018; .
A. a ;1. B. a0;  .

 2018   2018

Lời giải: Chọn A

x  1  x ex
I   e  ln ax   dx   e ln ax dx   dx (1)
 x x

 Tính  ex ln ax  dx :

1
u  ln ax du  dx x ex
Đặt  x   x   e ln ax  dx  e ln ax    dxx

dv  e dx v  ex  x

 Thay vào (1), ta được: F  x  ex ln ax  C .

 1 1  C  0 
F    0 ea .ln1 C  0 a e .
Với   a  
2018 e2018 ln a.2018  C  e2018 ln a.2018 1 2018
F 2018  e 

1 
 Vậy a ;1.

 2018 

Câu 2: Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn ln 2;ln 2 và thỏa mãn f  x  f x  x1 . Biết

e 1

ln 2

 f  x dx  a ln 2  b ln 3 a;b   . Tính P  a b .

ln 2

A. P  1 . B. P  2. C. P  1. D. P  2.
2

Lời giải: Chọn A

ln 2

Gọi I   f  x dx .
 ln 2

Đặt t   x  dt  dx .

Đổi cận: Với x  ln 2  t  ln2 ; Với x  ln 2  t  ln 2 .

 ln 2 ln 2 ln 2

Ta được I    f t  dt   f t  dt   f xdx .
 ln 2 ln 2
ln 2

ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1

Khi đó ta có: 2I   f  x dx   f x dx    f  x  f x dx   x dx .
 ln 2 ln 2  ln 2 ln2 e 1

ln 2 1 x x
Xét  x dx . Đặt u  e  du  e dx
ln2 e 1

Đổi cận: Với x  ln 2  u  1 ; x  ln 2 u  2.

2

ln 2 1 ln 2 ex ln 2 1 du
Ta được  x dx   x x
ln2 e 1 ln2 e e 1 dx  
ln 2 u u  1

ln 2  1 1  2
     du  ln u  ln u 1  1  ln2
ln 2  u u  1  2

Vậy ta có a  1 , b  0  a  b  1 .
2 2

x   
Câu 3: Cho f  x  2 trên  ;  và F  x là một nguyên hàm của xf  x thỏa mãn F 0  0 . Biết
cos x  2 2

  
a   ;  thỏa mãn tan a  3. Tính F a 10a  3a . 2

 2 2

A.  1 ln10 . B.  1 ln10 . C. 1 ln10 . D. ln10.
2 4 2

Lời giải: Chọn C

Ta có: F  x    xf  x  dx   xd f  x  xf  x   f  x dx

Ta lại có:  f  x dx   cos2 x xdx = xd tan x  x tan x   tan xdx  x tan x   sin x cos x dx

 x tan x   1 cos x d cos x  x tan x  ln cos x  C  F  x  xf  x  x tan x  ln cos x  C

Lại có: F 0  0  C  0 , do đó: F  x  xf  x  x tan x  ln cos x .

 F a  af a  a tan a  ln cos a

Khi đó f a  2 a  a 1  tan2 a  10a và 2 1  1 tan2 a  10  cos2 a  1  cos a  1 .
cos a cos a 10 10

Vậy F a 10a2  3a  10a2  3a  ln 1 10a2  3a  1 ln 10 .
10 2

Câu 4: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 , f  x và f  x đều nhận giá trị dương trên đoạn

1 2 1 1
3
0;1 và thỏa mãn f 0  2 ,   f  x.  f  x 1 dx  2 f  x. f  x dx . Tính   f  x dx .
0  0 0

A. 15 . B. 15 . C. 17 . D. 19 .
4 2 2 2

Lời giải: Chọn D f  x. f  x 1 dx  0

1 2 1 

Theo giả thiết, ta có   f  x.  f  x 1 dx  2 f  x . f  x dx
0  0

1 2 1 1
2
   f  x.  f  x 1 dx  2 f  x. f  xdx  0    f  x. f  x  2
0  0 0

1 2

   f  x. f  x 1 dx  0

0

 f  x . f  x   1  0  f 2  x. f  x 1  f 3  x  x  C . Mà f 0  2  C  8 .
3 3

Vậy f 3  x  3x 8 .

1 3 1  3x2 1

 19
Vậy   f  x dx   3x  8dx    8x   .
2 0 2
0 0

Câu 5: Cho f (x) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f  x  f x   2  2 cos 2x . Tính tích phân

3

2

I   f  xdx .
 3
2

A. I 3. B. I 4. C. I 6. D. I 8.

Lời giải: Chọn C

3 3

2 0 2

Ta có I   f  x dx   f  x dx   f  xdx .
3 3 0
2 2

0 Xét  f  x dx Đặt t  x  dt  dx ; Đổi cận: x   3  t  3 ; x  0  t  0.

3 2 2

2

3 3

0 0 2 2

Suy ra  f  x dx    f tdt   f t dt   f xdx .
3 3 0 0
2 2

3 3

2 2

Theo giả thiết ta có: f  x  f x  2  2 cos 2x    f  x  f x dx   2  2cos xdx

0 0

3 3 3

2 2 2

  f  xdx   f x dx  2  sin x dx

0 0 0

3 3 3

2 0  2 2

  f  xdx   f  xdx  2sin x dx  2  sin x dx   f  x dx  6.
0 3 0 0 3
2 2

Câu 6: Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn 0;1 và thoả mãn f  x  8x3 f  x4   x  0 . Tích phân 3

x2 1

1 I   f  x dx có kết quả dạng a  b 2 , a, b, c   , a , b tối giản. Tính abc .c
cc
0

A. 6 . B. 4. C. 4 . D. 10.

Lời giải: Chọn A

f  x  8x3 f  x4   x  0  f  x  8x f 3 3  x4   x . 3
x2 1 x2 1

1 1 1 I   f  x dx   8x3 f  x4 dx   x3 dx 1
0 x2 1
0 0

1 1 1

Xét  8x3 f  x4 dx   2 f  x4  d  x4   2 f  xdx  2I

0 0 0

1 x3 dx .
x2 1
Xét 

0

Đặt t  x2 1  t2  x2 1  tdt  xdx .

Đổi cận x  0 t 1, x  1  t  2 .

1 x3 2 t2 1tdt  t3 2 2
2 dx  
Nên  2
 t  
0 x 1 t  3 1 3 3
1

2 2  2 2
Do đó 1  I  2I     3   I  .  3

Nên a  2, b 1, c  3.

Vậy a  b  c  6 .

Câu 7: Cho hàm số y  x4  4x2  m có đồ thị Cm  . Giả sử Cm  cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho

diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cm  với trục hồnh có diện tích phần phía trên trục hồnh bằng diện tích phần

phía dưới trục hồnh. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?

A. m1;1 . B. m3;5 . C. m  2;3 . D. m 5;   .

Lời giải: Chọn C

Phương trình hồnh độ giao điểm của Cm  với trục hoành là x4  4 x2  m  0 1 .

Đặt t  x2 t  0 , phương trình 1 trở thành t 2  4t  m  0 2 .

Để 1 có bốn nghiệm phân biệt thì 2 phải có hai nghiệm dương phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi

  0 4  m  0

S  4  0   0m4 3.
m  0
P  m  0

Gọi t1 và t2 t1  t2  là hai nghiệm của 2 , khi đó bốn nghiệm (theo thứ tự từ nhỏ đến lớn) của phương trình 1

là x1   t2 , x2   t1 , x3  t1 , x4  t2 .

Do tính đối xứng của Cm  nên từ giả thiết ta có

x3 x4 x4  2x5 8x3  x4
  x4  4x2  m dx   x4  4x2  mdx
  2x4  8x2  2mdx  0     2mx   0
5 3 0
0 x3 0

x45 4 x43 x45 4 x43
   mx4  0    mx4  0
53 53

x45 4 x43 42 .
   mx4  0  3x4  20x4  15m  0
53

Vậy x4 là nghiệm của hệ

x44  4x42  m  0 15x44  60x42 15m  0 12x44  40x42  0
4  4  4
3x4  20x4 15m  0 3x4  20x4 15m  0 3x4  20x4 15m  0222

x4  0

m  0
12x44  40x42  0
 4 x2  10 . Kết hợp điều kiện 3 suy ra m  20 .

4
3x4  20x4 15m  0  3 92
20
m 
 9

 2  15x 9

Câu 8: Cho hàm số y  f  x liên tục trên  \ 0 và thỏa mãn 2 f 3x  3 f     ,  f  xdx  k . Tính

x 2 3

3

2 1

I   f   dx theo k .

1 x

2

A. I   45  k . B. I  45  k . C. I  45  k . D. I  45  2k .
9 9 9 9

Lời giải: Chọn A

x  1 t 1
Đặt t  2x  dx  1 dt . Đổi cận 2 .

2 x 3 t3
2

1 3 2

Khi đó I   f   dx .

21 t

 2  15x  2  5x 2
Mà 2 f 3x  3 f      f      f 3x
x 2 x 2 3

1 3  5x 2  5 3 1 3 1 3
Nên I     f 3x dx    x dx   f 3x dx  5   f 3x dx (*)
21 2 3  41 31 31

Đặt u  3x  dx  1 dx . Đổi cận x  1  u  3 .
3 x  3 t  9

Khi đó I  5  1 9 f t  dt  5  k   45  k .
93 9 9

Câu 9: Cho hàm số y  f  x liên tục trên  có đồ thị y  f  x cho như hình dưới đây. Đặt

g  x   2 f  x    x  12 . Mệnh đề nào dưới đây đúng.

A. min g  x  g 1 .

3;3

B. max g  x  g 1 .

3;3

C. max g  x  g 3 .

3;3

D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của g  x trên đoạn 3;3 .

Lời giải: Chọn B

Ta có g  x  2 f  x   x 12
 g x  2 f  x  2x  2  0  f  x  x 1. Quan sát trên đồ thị ta có hồnh độ giao điểm của f  x và
y  x 1 trên khoảng 3;3 là x  1.
Vậy ta so sánh các giá trị g 3 , g 1 , g 3

1 1

Xét  g xdx  2  f  x   x 1dx  0
3 3

 g 1  g 3  0  g 1  g 3 .

3 3

Tương tự xét  g xdx  2  f  x   x 1dx  0  g 3  g 1  0  g 3  g 1 .

1 1

3 1 3

Xét  g xdx  2  f  x   x 1dx  2  f  x   x 1dx  0
3 3
1

 g 3  g 3  0  g 3  g 3 . Vậy ta có g 1  g 3  g 3 .

Vậy max g  x  g 1 .

3;3

Câu 10: Cho hai đường tròn O1;5 và O2;3 cắt nhau tại hai điểm A , B sao cho AB là một đường kính của
đường trịn O2;3 . Gọi  D là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường trịn (ở ngồi đường trịn lớn, phần được
gạch chéo như hình vẽ). Quay  D quanh trục O1O2 ta được một khối trịn xoay. Tính thể tích V của khối tròn

xoay được tạo thành.

A

D
O1 O2 C

B

A. V  36 . B. V  68 . C. V  14 . D. V  40 .
3 3 3

Lời giải: Chọn D

Chọn hệ tọa độ Oxy với O2  O , O2C  Ox , O2 A  Oy .

Cạnh O1O2  O1A2  O2 A2  52  32  4  O1  :  x  42  y2  25 .

Phương trình đường trịn O2  : x2  y2  9 .

Kí hiệu  H1  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  25   x  42 , trục Ox , x  0 , x  1.

Kí hiệu  H2  là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  9  x2 , trục Ox , x  0 , x  3.

Khi đó thể tích V cần tính chính bằng thể tích V2 của khối trịn xoay thu được khi quay hình  H2  xung quanh trục

Ox trừ đi thể tích V1 của khối trịn xoay thu được khi quay hình  H1  xung quanh trục Ox.

Ta có V2  1 . 4  r3  2  .33  18 .
23 3

1 1   x  43  1 14

Lại có V1    y dx    25   x  4  dx   25x 22  .

0 0    3  0 3

Do đó V  V2  V1  18  14  40 .
33

Câu 11: Cho hàm số f  x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 0  1 và

1  2 1 1 1

3
3  f  x  f  x   dx  2 f  x f  x dx . Tính tích phân   f  x dx :
0 9
0 0

A. 3 . B. 5 . C. 5 . D. 7 .
2 4 6 6

Lời giải: Chọn D 1 2
Từ giả thiết suy ra: f  x f  x 1 dx  0   3
  f  x f  x 1 dx  0 .
 1 3 f  x f  x  2.3 2
0 
0

Suy ra 3 f  x f  x 1  0  f  x f  x  1  f  x. f 2  x  1 .
3 9

Vì  f 3  x  3. f 2  x f  x nên suy ra  f 3  x  13  f 3  x  13 x  C .

Vì f 0  1 nên f 3 0  1  C  1.

Vậy  f 3  x  1 x 1.

3

1 3 11  7
Suy ra   f  x dx    x 1 dx  .
03  6
0



  2 2    2 
Câu 12: Cho hàm số f  x xác định trên 0;  thỏa mãn   f  x  2 2 f  x sin  x   d x  . Tích phân
 2 0  4  2



2

 f  x d x bằng

0

A.  . B. 0 . C. 1. D.  .
4 2
 
Lời giải: Chọn B



2 2    2     2
Ta có:  2sin  x   d x   1 cos  2x   d x   1 sin 2x d x
 4 0  2 
0 0



1  2  2

  x  cos 2x   .
2 0 2

 

2 2    2 2    2  2
Do đó:   f  x  2 2 f  x sin  x   d x  2sin  x   d x    0
0  4   4 2 2
0



2 2   2   
   f  x  2 2 f  x sin  x    2sin  x   d x  0
0  4  4 

   2
2 sin  x   d x  0
2
 4 
   f x

0

   
Suy ra f  x  2 sin  x    0 , hay f  x  2 sin  x   .
 4  4

  

2 2    2
Bởi vậy:  f  x d x   2 sin  x   d x   2 cos  x    0 .
 4  40
0 0

Câu 13: Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng 1m ,
trục bé bằng 0,8m , chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3m . Đươc đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng

đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m . Tính thể

tích V của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến phần trăm).

A. V  1,52m3 . B. V  1, 31m3 . C. V  1, 27m3 . D. V  1,19m3 .

Lời giải: Chọn A y
B
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

x

A O A

B

Theo đề bài ta có phương trình của Elip là x2  y2  1.
14

4 25
Gọi M , N lần lượt là giao điểm của dầu với elip.
Gọi S1 là diện tích của Elip ta có S1   ab   1 . 2   .

25 5

Gọi S2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng MN .

Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m nên ta có phương trình

của đường thẳng MN là y  1 .
5

Mặt khác từ phương trình x2  y2  1 ta có y  4 1  x2 .
14 54

4 25

Do đường thẳng y  1 cắt Elip tại hai điểm M , N có hồnh độ lần lượt là  3 và 3 nên
5 4 4

3 3

4 4 1 2 1 44 1  x2 dx  3 .
 x   dx  
S2    5 4 5 5 3 4 10
3
4 
4

3 1  x2 dx . Đặt x  1 sin t  dx  1 cos tdt .
4 2 2
4

Tính I  

3
4

Đổi cận: Khi x   3 thì t    ; Khi x  3 thì t   .
4 3 4 3

 

31 1 2 13 1  2 3 
Khi đó I   . cos tdt   1 cos 2t  dt     .
 2 2 8  8 3 2 

3 3

4 1  2 3  3  3
Vậy S2  5 8     3 2     .  10 15 20

  3
Thể tích của dầu trong thùng là V       5 15 20 .3  1,52 . 

Câu 14: Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn điều kiện : f 0  2 2, f  x  0,x   và

f x.f x 2
2
 2 dx   2x 1 dx . Tính tích phân  f  x dx .
1 f x
1

A. 1411 . B. 114 . C. 141 . D.  1411 .
30 30 30 30

Lời giải: Chọn A

Ta đặt 1 f 2  x  t  1 f 2  x  t2  2 f  x. f  x  2tdt  f  x. f  x  tdt .

Thay vào ta được :  1 f 2 f  x. f  x  dx  x  tdtt   dt  t  C  1 f 2  x  C .

Do đó 1 f 2  x  C  x2  x ; f 0  2 2  1 2 2   C  0  C  3 . 2

Ta có : 1 f 2  x  3  x2  x  1 f 2  x  x2  x  3  f 2  x   x2  x  32 1

2 2 Suy ra  f 2  x dx    x2  x  32 2 1 dx    x4  x2  9  2x3  6x2  6x 1 dx

1 1 1

   x4  2x3  7x2 2  6x  8 dx   x5  x4  7x  3x2 3  8x   1411 2
5 2 3  1 30
1

Vậy  f 2 2  xdx  1411 .
30
1

Câu 15: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 ; đồng biến trên đoạn 0;1 thỏa mãn các điều kiện

f 0  2,x   và 4 f 2  x. 2  3x2  2x 2  f  x    2  f 2  x3 1 , x 0;1. Tính  f  xdx .
3

0

A. 2  17 1 . B. 34 . C. 2 1 17  . D. 2 2 .

Lời giải: Chọn A

2 2  3x2  2x  2 3 2 2 f  x f  x  3x2  2x , x 0;1
Ta có : 4 f  x. f  x    2 f x 
3 2  f 2  x3 3

2 f x f x 3x2  2x d2  f 2 x 3x2  2x dx   2 x3  x2
Suy ra :  2  f 2  x3 dx   3 2  f 2  x dx   3   C
3 2 f 2 x 3

Theo giả thiết f 0  2 suy ra  2  C  C  1 .
2
2 2

Với C  1 thì  2  x3  x2 1   2  1  1 1  f 1  34
2 f 2 x 3 3 2  f 2 1 3 3

1

Vậy  f  xdx  2  17 1 .

0

1

Câu 16: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên khoảng 0;1 và f  x  0 , x 0;1 . Biết rằng f    a ,

2



 3 3 sin2 x.cos x  2 sin 2x
f    b và x  xf  x  2 f  x  4 , x 0;1 . Tính tích phân I   dx theo a và b .
2 f sin x2



6

A. I  3a  b . B. I  3b  a . C. I  3b  a . D. I  3a b .
4ab 4ab 4ab 4ab

Lời giải: Chọn D

x 0;1 ta có:

x2  4x 2xf  x  x2 f  x
x  xf  x  2 f  x  4  x  4  2 f  x  xf  x  x  4x  2xf  x  x f  x  2 2 2

f x f x2

x2  4x  x2 

 f 2  x     f  x  . 

 

3 sin2 x.cos x  2 sin 2x 3 sin2 x.cos x  4sin x.cos x
Tính I   dx   dx
f sin x2 f sin x2

 

6 6

Đặt t  sin x  dt  cos xdx , đổi cận x    t  1 , x    t  3 .
6 2 3 2

2
3  3   1 2
3 2 2  
    2
2 t 2  4t t 2  3  1  3a  b .

Ta có I   2 dt 
1 f t  f t  1  3   1  4b 4a 4ab
2 2 f   f 2
2  

Câu 17: Cho hàm số f  x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;2 . Biết f 0  1 và

f  x. f 2  x  e2x24x 2 , với mọi x 0;2 . Tính tích phân I    x3  3x2  f  x dx .
f x
0

A. I  16 . B. I  16 . C. I  14 . D. I   32 .

3 5 3 5

Lời giải: Chọn B

Theo giả thiết, ta có f  x. f 2  x  e2x24x và f  x nhận giá trị dương nên

ln  f  x. f 2  x  ln e2x2 4x  ln f  x  ln f 2  x  2x2  4x .

Mặt khác, với x  0 , ta có f 0. f 2  1 và f 0  1 nên f 2  1.

2 Xét I    x3  3x2  f  x 2 dx , ta có I    x3  3x2 . f  x dx
f x f x
0 0

u  x3  3x2 du  3x2  6x dx

Đặt  f  x  
dv  dx v  ln f  x
 f x

22 2

Suy ra I   x3  3x2  ln f  x   3x2  6x.ln f  x dx   3x2  6x.ln f  x dx 1 .

 0

0 0

Đến đây, đổi biến x  2  t  dx  dt . Khi x  0  t  2 và x  2  t  0 .

0 2

Ta có I   3t2  6t .ln f 2  t dt    3t2  6t .ln f 2  t  dt

2 0

2

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên I   3x2  6x.ln f 2  x dx 2 .

0

2

Từ 1 và 2 ta cộng vế theo vế, ta được 2I   3x2  6x.ln f  x  ln f 2  x dx

0

Hay I   1 2 3x2  6x.2x2  4x dx   16 .
20 5

Câu 18: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  đồng thời thỏa mãn đẳng thức sau :

3

4xf  x2   2 f 2x 1  4x5  8x3 10x2  30x 12  xf  x , x   . Giá trị của  f  xdx bằng :

0

A. 10 . B. 1. C. 27 . D. 1.

Lời giải: Chọn C

Ta có : 4xf  x2   2 f 2x 1  4x5  8x3 10x2  30x 12  xf  x , x   (*).

0 0 0 0

  4xf  x2 dx   2 f 2x 1 dx   4x5  8x3 10x2  30x 12 dx   xf  x dx .
1 1 1 1

0 0 7 00
2 2
 2 f  x d  x    f 2x 1 d 2x 1    xf  x 1   f  x dx
1 1 3 1

0 1 7 00

 2 f t dt   f u du    xf  x 1   f  x dx3
1 1
1

0 1  2 f  x dx   f  x dx   7 0  f 1   f  xdx  f 1   7 1   f  x dx (1)3
1 1 30
1

Ta có : 4xf  x2   2 f 2x 1  4x5  8x3 10x2  30x 12  xf  x , x   (*).

1 1 1 1

  4xf  x2 dx   2 f 2x 1 dx   4x5  8x3 10x2  30x 12 dx   xf  x dx

1 1 1 1

1 1 92 1 1
2 2
 2 f  x d  x    f 2x 1 d 2x 1   xf  x 1   f  x dx
1 1 3 1

1 3 92 1 1 3

 2 f vdv   f h dh   xf  x 1   f  x dx
1 1 1

3   f  x dx  92 1 3  f 1  f 1    f  x dx   f  x dx  92  f 1  f 1 (2)33
1 1
1

3 Từ (1), (2) ta có được :  f  x dx  92  f 1  7 1 3  f  x dx   f  x dx  33  f 13
30
1 0

3

Thay x  0 vào (*) ta có được : f 1  6   f  x dx  27 .

0

 1 2  1   x 12
Câu 19: Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn 0;  thỏa mãn ln  x 1  2 x 1 f   x   . Biết tích
 2  2  1 x2

1

2 phân I   f  x dx    1 ln b  1 . Tính S  a  b  c  d .
a3 cd
0

A. 21. B. 24 . C. 22 . D. 23.

Lời giải: Chọn D

2  1   x 12  1  1 ln  x 1
Ta có : ln  x 1  2 x 1 f   x   2  f  x  2.

2
 2  1 x  2  2 1 x 2 x 1

1 1 1

2 1  21 2 ln  x 1
  f   x  dx   2 dx   2 dx (*).
0  2  0 2 1 x 0 2 x 1

1

2 1  1 11
Tính I1   f   x  dx . Đặt u   x  du  dx . Đổi cận : x  0  u  ; x   u  0 .
0 2  2 22

1

0 2

 I1   f udu   f  x dx .
1
0

2

1

21 1 
Tính I2   dx . Đặt x  sin t  dx  cos tdt . Đổi cận : x  0  t  0; x   t 
0 2 1 x2 2 6

 

6 cos tdt 6 dt 
 I2   2   .
0 2 1 sin t 0 2 12

1 u  ln  x 1 du  dx
 x 1
2 ln  x 1 
2 Tính I3    x 12  dx . Đặt dv  2 1 dx v     1
0  2 x 1  2 x 1



11 2
ln  x 1 2 2 dx

 I3    13 1 1 3 1 1 1 3 1
2   ln    ln       ln 
2 x 1 0 0 2 x 1 3 2 2 x 1 0 3 2  3 2  3 2 6

1

2 Từ (*)  I   f  x dx    1 ln 3  1
12 3 2 6
0

Vậy a  12;b  3; c  2; d  6  S  23 .

1
2

Câu 20: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1  0 ,   f  x dx  5 và

0

1 xf  x dx  1 1 . Tích phân  f  xdx bằng :2

0 0

A. 11 . B. 5 . C. 10 . D.  11 .
4 4 9 4

Lời giải: Chọn B

1 Theo giả thiết, ta có :  xf  x dx  1 . 2

0

u  f  x  du  f  x dx

Đặt :    x2
dv  xdx v 
 2

Ta có : 1 1   xf  xdx  x2 1 1 f  x   x2 f  xdx
20 2 0 02

1  0   x2 f  xdx  1 1   x2 f  xdx   1 1   x2 f  xdx  1
02 2 02 20

1 2

  f  x dx  5

0

1 1 1
2
Ta có : f  xdx  1  10 x2 f  xdx  10   25x2  f  xdx  10
 x
0
0 0

 1  5x2 2 dx  5

 0

1 Từ đó ta có :   2 1  f  x dx   25x2 1  f  xdx   5x2 2 dx  5 10  5  0

0 0 0

1 2 2 5x3
22
   f  x  5x  dx  0  f  x  5x  0  f  x  5x  f  x    C
3
0

Mà f 1  0  0   5  C  C  5 . Khi đó : f  x   5x3  5
3 3 33

1 Vậy  f  xdx    5x3  5    dx    5x4  5x   5 1 .
 3 3   12 3  0 4
0

Câu 21: Cho hàm số f  x liên tục trên  và thỏa mãn  tan x. f cos2 x dx  1 ;  f 4 e2 ln2 x dx  1. Tính tích phân
e x ln x
0

2 I   f 2x dx .

1x

4

A. I  1. B. I  2 . C. I  3 . D. I  4 .

Lời giải: Chọn D



4

Xét I1   tan x. f cos2 x dx  1.

0

Đặt t  cos2 x . Khi đó x  0  t  1; x    t  1 .
4 2

sin x.cos x 1 dt 1 1 f t 1 f t
tan xdx  2 dx   . . Do vậy I1   dt   dt  2I1  2 .
cos x 2t 21 t 1t

2 2

e2 f ln2 x
e Xét I2   x ln x dx .

Đặt t  ln2 x . Khi đó x  e  t  1; x  e2  t  4 .

dx 1 dt 1 4 f t 4 f t
 . . Do vậy I2   dt   dt  2I2  2 .
x ln x 2 t 21 t 1t

2 Xét I   f 2x dx .

1x

4

Đặt t  2x . Khi đó x  1  t  1 ; x  2  t  4 .
4 2

dx  dt 4 . Do vậy I   f t  1 dt   f t  4 dt   f t  dt  2  2  4 .
xt 1t 1t 1t

2 2

Câu 22: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên 0;    thỏa mãn  
f  0 ,
 2
2
   . Biết rằng

2 3  2 2 3  2

 sin x  x cos x f  x dx    và   f  x dx   . Tính tích phân  f  xdx .
48 8 0 48 8
0 0

A. 1  . B. 2  . C. 3  . D. 4  .

Lời giải: Chọn B

Bằng công thức tích phân từng phần ta có :

 

2 2

 sin x  x cos x f  xdx   x sin x f  x 2    xsin x f  xdx .
0

0 0



2 Suy ra   x sin x f  x dx   3   .
48 8
0

    

2 Ta có :   x sin x2 2 dx    x2 sin2 2 x dx   x2 1 cos 2x 2 dx   x2 2 dx   x2 cos 2x dx   3   .2
02 02 48 8
0 0 0

   

2 2 2 2 2 2 2

Do đó :   f  x dx  2  x sin x f  xdx    x sin x dx  0    f  x  x sin x dx  0 .

0 0 0 0

 

Suy ra f  x  x sin x , do đó f  x  sin x  x cos x  C . Vì f    0  C  1.

2

 

2 2

Ta được :  f  x dx  sin x  x cos x 1dx  2   .

0 0

Câu 23: Cho hàm số f  x thỏa mãn f 0  2 và  x  x 1 f  x  1,x  1

3

1 f  x dx  a 2  b với a,b   . Tính T  a  b .
15
0

A. T  8 . B. T  24 . C. T  24 . D. T  8.

Lời giải: Chọn D

Ta có :  x  x 1 f  x  1,x  1

f  x  1 x  x 1   f  x dx   1 x  x 1 dx

  f  x dx    x 1  x dx  f  x  23  x 13  23 x3  C

Mặt khác : f 0  2  2  2  C  C  0  f  x  2  x 13  2 x3 .
3 33 3 3

1 12 3 2 3 2 2 5 2 2  1 16 2  8
Do đó :  f  x dx     x 1  x  dx   .  x 1  . x5   .
03 3  3 5 35 0 15
0

 a  16;b  8  T  a  b  8 .

Câu 24: Cho hàm số y  x4  3x2  m có đồ thị Cm  , với m là tham số thực. Giả sử Cm  cắt trục Ox tại bốn

điểm phân biệt như hình vẽ. Gọi S1, S2, S3 là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm tất cả các giá

trị thực của tham số m để S1  S2  S3 .

A. m   5 . B. m   5 . C. m  5 . D. m  5 .
2 4 2 4

Lời giải: Chọn D

S3  S1  S2 a b
4
Ta có :    x  3x  m dx   x  3x  m dx242

S1  S2 0 a

a b b

   x4  3x2  m dx    x4  3x2  m dx    x4  3x2  m dx  0

0 a 0

  x  x3 5  mx   0  b  b3  mb  0  b4  5b2 b 5  5m  0
5  0 5

Mà b4  3b2  m  0  m  3b2  b4  b4  5b2  53b2  b4   0  10b2  4b4  0  b2  5  m  5 .
2 4

Câu 25: Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và thỏa mãn

2  2x  2  x4  x3  4x  4 1
x f 1 x  2 f   ,x  0, x  1. Khi đó I   f  x dx bằng :
x x
1

A. 3 . B. 1 . C. 1. D. 0 .
2 2

Lời giải: Chọn D

2  2x  2  x4  x3  4x  4
Từ giả thiết suy ra f 1 x  2 f   .
x x x 3

2 2  2x  2  2 2 x4  x3  4x  4
Ta có :  f 1 x dx   f  . 2 dx   dx
1  x x x 3

1 1

2 2  2x  2   2x  2  2  4 4 
  f 1 x d 1 x   f  d    x 1 2  3  dx
1  x   x  1 x x
1

1 1  x2 2

4 2
   f t  dt  f t  dt     x   2 
2 x x 1
0 0

0 1 1

  f t dt  f t dt  0   f t dt  0
1 1
0

1

Vậy I   f  x dx  0 .
1

Câu 26: Cho hàm số y  ax4  bx2  c có đồ thị C  , biết rằng C  đi qua điểm A1; 0 , tiếp tuyến d tại A của

C  cắt C  tại hai điểm có hồnh độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d , đồ thị C  và hai

đường thẳng x  0; x  2 có diện tích bằng 28 (phần tơ đậm trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d ,

5

đồ thị C  và hai đường thẳng x  1; x  0 có diện tích bằng :

A. 2 . B. 1 . C. 2 . D. 1 .
5 9 9 5

Lời giải: Chọn D

Điểm A1; 0 thuộc đồ thị C   a  b  c  0 .

Phương trình tiếp tuyến của C  tại A1; 0 là d  : y  y1 x 1  4a  2b x 1 .

Phương trình hồnh độ giao điểm của C  và d  là : 4a  2b x 1  ax4  bx2  c (*).

4a  2b  c
Mà x  0; x  2 là nghiệm của (*) suy ra  (1).
12a  6b  16a  4b  c

28 2 32 8 28
Và   4a  2b x 1  ax  bx  c dx  44a  2b  a  b  2c  (2).42

50 33 5

Từ (1), (2), suy ra : a  1;b  3; c  2  y  x4  3x2  2 .

Vậy diện tích cần tính là S   2x  2  x4  3x2 0  2 dx  1 . 5
1

Câu 27: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên 1;8 thỏa mãn :

3 2 2 3 2 2 2 8 2 2 2 3 a a
  f x  dx  2 f x dx   f  x dx    x 1 dx . Biết tích phân   f  x dx  ln 2 , với a,b   ; là
 31 b b

1 1 1 1

1
phân số tối giản. Tính S  a  b  2 .

a b

A. 747 . B. 1294 . C. 1368 . D. 719 .
22 37 37 20

Lời giải: Chọn D

Đặt x  t3  dx  3t2dt .

Với x  1  t  1; x  8  t  2 .

8 2 2
Ta được 2  f  x dx  2 t2 f t3 dt  2 x2 f  x3 dx .
31
1 1

Thay vào giả thiết ta được :

2 22 2 2
  2

  f x3 dx  2 f  x3 dx  2 x2 f  x3  dx    x2 1 dx


1 1 1 1

2 22 2 2
  2
   f x3 dx  2 f  x3 dx  2 x2 f  x3 dx    x2 1 dx  0


1 1 1 1

  2 2 2
   f  x   2 f  x 1 x   1 x  dx  0
 3 3 2 2

1

 2  x3   1 x2 2 dx 0   f  x3   1 x2 2 0  f x3   x2 1 f x  3 x2 1  f x  2. 1 .

f    3 3x

1

2 3 8 21 8 2 8

Do đó :   f  x dx   dx  .ln x 1  ln 2
27 1 x 27 27
1

 a  8;b  27  S  1294 .
37

Câu 28: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện

x6  f  x3  27  f  x 14  0,x   và f 1  0 . Giá trị của f 2 bằng :

A. 7 . B. 7 . C. 1. D. 1.
Lời giải: Chọn A

Ta có : x6  f  x3  27  f  x 14  0  f x 1  1  1
 2   2
3 f  x 1 3 f  x 1 x 3 f  x 1  x


 1  1 1 1 1
 3 f Do đó    x 1  dx   x2 dx   x 3 f  C . Suy ra  x 1   x  C .

Có f 1  0  C  0 . Do đó f  x  1 x3 .

Khi đó f 2  7 .

Câu 29: Cho hàm số y  f  x có đồ thị trên đoạn 2;6 như hình vẽ. Biết các miền A, B, C có diện tích lần lượt

2   3 2 
là 32, 2 và 3. Tích phân I   3x  4 1 f   x  2x  5 dx bằng :
2  4 

A. I  44 . B. I  82 . C. I  50 . D. I  66 .

Lời giải: Chọn C

2 2  32 
Ta có : I   3x  4 dx   3x  4 f   x  2x  5 dx  I1  I2 .
2 2 4 

2 3 2 2
+) I1   3x  4 dx   x  4x   16 .
2 2  2

2  32 
+) Tính I2   3x  4 f   x  2x  5 dx .
2 4 

32 3  1
Đặt t   x  2x  5  dt    x  2 dx   3x  4 dx  3x  4 dx  2dt
4 2  2

x  2  t  2
Đổi cận :  .
x  2 t  6

6

Ta có : I2  2  f t  dt  2 A  B  C   66
2

Vậy I  I1  I2  50 .

Câu 30: Cho hàm số f  x liên tục trên  . Gọi F  x,G  x là hai nguyên hàm của hàm số f  x trên  , thỏa

1

mãn F 0  G 0  13 , F 1  G 1  12 và F 3  G 3  78 . Khi đó  f  2x 1  dx bằng :
1

A. 33 . B. 33 . C. 32 . D. 16 .
2

Lời giải: Chọn D

Do F  x,G  x là hai nguyên hàm của hàm số f  x trên  nên G  x  F  x  C .

F 3  G 3  78 2F 3  C  78 F 3  F 0  65 2

 
Theo giả thiết : F 1  G 1  12  2F 1  C  12  
F 1  F 0   1
   2

F 0  G 0  13 2F 0  C  13

1

1 2 1

Ta có : I   f  2x 1  dx   f 1 2x dx   f 2x 1 dx  I1  I2 .
1 1 1

2

21 x  1  u  3

Tính I1   f 1 2x dx . Đặt u  1 2x  du  2dx . Đổi cận  1 .
x   u  0
1 2

1 0 1 3 1 3 1 65

 I1    f u du   f u du   f  x dx   F 3  F 0 
23 20 20 2 4

1 x 1 v 1

Tính I2   f 2x 1 dx . Đặt v  2x 1  dv  2dx . Đổi cận  1 .
x   v  0
1 2

2

11 11 1 1

 I2   f v dv   f  x dx   F 1  F 0   .
20 20 2 4

Vậy I  I1  I2  65  1  16 . f  x  1, x 1;2 . Biết
44
D.  5 .
Câu 31: Cho hàm số y  f  x xác định và có đạo làm liên tục trên đoạn 1; 2 , 2

2 4 2

f  x  f  x  2   f  x 1  x 1 và f 1  2 . Tính I   xf  x dx .2

1

A. 7 . B.  3 . C. 1.
2 2

Lời giải: Chọn D

f  x  f  x  2 2

Ta có : f  x  f  x  22   f  x 14  x 12  4   x 1 2

 f  x 1

f  x  f  x  2 2

 f    x 14 dx    x 1 dx (1). 2

2

f  x  f  x  2

 f Xét A    x 14 dx .

Đặt t  f  x 1, khi đó :

t 12 1 2 1 1 1 1

A   4 dt    2  3  4 dt    2  3  C
t t t t  t t 3t

11 1 x 2 3
Thay vào (1) ta được :   2  3  C   x  x .
t t 3t 3

Hay :  1  1 1 x 2 3
2 3 C  x x
f  x 1  f  x 1 3 f  x 1 3

Vì f 1  2 nên C  0 , suy ra :  1  1 1 x 2 3
2 3  x x
f  x 1  f  x 1 3 f  x 1 3

Đồng nhất 2 vế, suy ra :  1 f  x 1  x  f  x  1 1x .

2  1 2 5
Khi đó : I   x  1  dx   x 1dx   .
1 x 2
1

Câu 32: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 2; 4 và f  x  0,x 2; 4 . Biết rằng f 2  7

4

và 4x3. f x   f 3  x3, x  2; 4 . Giá trị của f 4 bằng :

 x

A. 20 5 1 . B. 40 5 1 . C. 20 5 1 . D. 40 5 1 .
4 2 2 4

Lời giải: Chọn D

Ta có : f  x  0,x 2; 4 nên hàm số y  f  x đồng biến trên 2; 4

 f  x  f 2 , mà f 2  7 . Do đó f  x  0,x 2; 4 .

4

Từ giả thiết ta có : 4x3. f x   f 3  x3  x3 4 f  x 1   f 3

 x  x

 x.3 4 f  x 1  f  x  f  x  x .
3 4 f x1

Suy ra :  f  x dx   xdx  1  d 4 f  x 1  x2  C  3 3 4 f  x 12  x2  C
3 4 f x1 4 3 4 f x1 2 8 2

f 2  7  3  2 C  C  1
42 2

3

4 2 
  x 1 1
Vậy f  x  3   f 4  40 5 1
.

4 4

Câu 33: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên 0;  và thỏa mãn các điều kiện f 1  3 và

2 f 2 x  1 8  8 4

2    3  f  x  4  f  x,x  0 . Tính  f  x dx :
x x x  x
2

A. 6  2 ln 2 . B. 6  4 ln 2 . C. 6  2 ln 2 . D. 8  4 ln 2 .

Lời giải: Chọn C

2 f 2 x  1 8  8
Giả thiết : 2    3  f  x  4  f  x ,x  0
x x x  x

 2x2 f 2  x  x3 f  x  8xf  x  8  x4 f  x

 2 x2 f 2  x  4xf  x  4  x3 xf  x  f  x