Bài giảng cơ học môi trường liên tục chương 5 ts phạm văn đạt

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Chương 5: BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ DESCARTES
5.1 Bài toán phẳng

Trong chương trước ta đã đưa ra các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi và các
phương pháp giải trong trường hợp tổng quát. Nghĩa là các ẩn số của bài toán phụ thuộc
vào 3 biến x, y, z ( x1 , x2 , x3) đây là những bài tốn khơng gian. Tuy nhiên trong nhiều
trường hợp đặc biệt bài toán dẫn tới các ẩn số (biến dạng hoặc ứng suất) chỉ phụ thuộc vào
2 biến số (chẳng hạn: x, y) những bài toán này được gọi là bài toán phẳng. Bài toán phẳng
được chia thành 2 loại: Bài toán biến dạng phẳng và bài toán ứng suất phẳng. Sau đây ta sẽ
đi nghiên cứu chi tiết từng bài toán:

186

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

5.1 Bài toán ứng suất phẳng

Xét một tấm mỏng hay tấm tường (chiều dày h) có y y
đáy song song với mặt phẳng (xoy) và chịu tải trọng ở
mặt sườn song song với đáy và phân bố đều theo chiều q
dày bản (hình 5.1).
x z

Vì theo trục z khơng có tải trọng tác dụng tại hai q
đáy nên mọi điểm thuộc 2 đáy bản có: Hình 5.1

σz = 0; τyz = 0; τzx = 0 (5.1)

Vì chiều dày bản khá bé nên ta có thể coi rằng ứng suất này bằng không tại mọi điểm.

Các ứng suất cịn lại khơng thay đổi theo chiều dày bản tức là không phụ thuộc vào tọa độ
z. Chúng là hàm của tọa độ x, y và được biểu diễn như sau:

187

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

σx = F1(x, y);

σy = F2 (x, y); (5.2)

τ = F3(x, y)
 xy

Như vậy, trong bài toán này các nghiệm ứng suất của bài toán nằm trong một mặt

phẳng và bài toán này được gọi là bài toán ứng suất phẳng.

Định luật Hooke biểu diễn biến dạng qua ứng suất:

1 (σx − υσy )
εx = (σx − υ(σy + σz )) =
E E

1 (σy − υσx )
εy = (σy − υ(σz + σx )) =
E E (5.3)

1 −υ(σx + σy ) 188
εz = E (σz − υ(σx + σy )) = E

 2(1+ υ)τxy
γxy =
 E

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Định luật Hooke biểu diễn ứng suất qua biến dạng:

σx = λθ + 2µεx (5.4)

σy = λθ + 2µεy

τx = µγxy

trong đó: θ = εx + εy + εz

5.3 Bài toán biến dạng phẳng

Giả sử mọi điểm trong vật thể đàn hồi ta có chuyển vị chỉ phụ thuộc vào 2 trong 3 biến
x, y, z (chẳng hạn x, y) nghĩa là:

u = f1(x, y)

v = f2 (x, y) (5.5)

 w=0


189

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Ví dụ: Xét tường chắn dài chịu áp lực của nước như hình 5.2a. Ta xét trong một đơn vị
dài tường chắn thì coi như tấm bị kẹp giữa chiều dài vật nên khơng có biến dạng dài theo
phương theo phương bề dài (phương z) (hình 5.2b)

y

z x
a) z
b)

Hình 5.2

Khi đó các thành phần biến dạng tại một điểm bất kỳ trong tấm:

190

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

 εz = 0; γyz = 0; γzx = 0;

εx = f1(x, y);εy = f2 (x, y); (5.6)

 γxy = f3 (x, y)


Các phương trình (5.5) và (5.6) chứng tỏ tất cả các thành phần chuyển vị và biến dạng
chỉ xẩy ra trong mặt phẳng song song với mặt phẳng oxy. Bài toán như vậy được gọi là bài
toán biến dạng phẳng.

Trong bài toán biến dạng phẳng, ta có: τyz = 0; τzx = 0;

Từ: εz = 1E (σz − υ(σx + σy )) = 0 suy ra: σz = υ(σx + σy )

 ∂σx ∂τxy (5.7)
 + + fx = 0
 ∂x ∂y
Lúc đó, phương trình cân bằng tĩnh học: 
 ∂τyx + ∂σy + fy = 0
 ∂x ∂y

191

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Điều kiện biên:

Điều kiện biên tĩnh học:

l.σx + m.τxy = pvx (5.8)

l.τyx + m.σy = pvy

Điều kiện biên động học: us = u0; vs = v0hoặc các đạo hàm của chuyển vị với u0, v0 là
chuyển vị đã biết trên bề mặt của vật thể.

Các biến dạng được viết theo định luật Hooke:

1εx = (σx − υ(σy + σz )) = (σx − υ(σy − υ(σx + σy ))) =11− υ2  1

σx − σy 
E E E  1−υ 

tương tự:

192

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

 1− υ2  1 (5.9)
εx = σx − σy 
 E  1−υ  (5.10)

 1− υ2  1 193
εy = σy − σx 
 E  1−υ 

 2(1+ υ)
 γxy = τxy
 E

Nếu ta đặt: E1 = 1− υ2 E ; υ1 = υ 1− υ Biểu thức (5.9) có dạng:

1
εx = (σx − υ1σy )
 E1
1
εy = (σy − υ1σx )
 E1


 γxy = 2(1+ υ1) τxy

 E1

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Hệ thức liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong trường hợp này sẽ có dạng:

 ∂u
 ε=
 x ∂x

 εy = ∂v (5.11)

 ∂y

 1  ∂u ∂v 
γxy =  + 
 2  ∂y ∂x 

6 phương trình liên tục của biến dạng lúc này chỉ cịn 1 phương trình:

∂2εx ∂2εy ∂2γxy (5.12)
+ 2=

∂y2 ∂x ∂x∂y

Giải hệ các phương trình (5.10), (5.11) và (5.12) ta sẽ tìm được các ẩn số chuyển vị,
biến dạng và ứng suất của bài toán.

194

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

So sánh các biểu thức (5.3) và (5.9) cho thấy các biểu thức đều có dạng giống nhau, chỉ
khác nhau ở các hệ số đàn hồi: Trong bài toán ứng suất phẳng là: E, υ; trong bài toán biến
dạng phẳng là: E1,υ1

5.4 Giải bài toán phẳng theo ứng suất, hàm ứng suất Airy

5.4.1 Hàm ứng suất airy – phương trình lưỡng điều hịa

Phép giải bài tốn phẳng theo ứng suất nghĩa là chọn 3 thành phần ứng suất: σx , σy , τxy
là nghiệm của phương trình. Để giải các ẩn số này ta sử dụng các phương trình cân bằng
(5.7), phương trình liên tục (5.12), điều kiện biên (5.8), các phương trình quan hệ giữa
biến dạng qua ứng suất (5.10).

Ta có:

Các ứng suất này phải thỏa mãn phương trình cân bằng (5.7) .

195

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

 ∂σx ∂τyx (5.13)
 + = −fx
 ∂x ∂y

 ∂τxy ∂σy

 ∂x + ∂y = −fy
Nghiệm của (5.13) sẽ là tổng của nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất:

∂σx ∂τyx (5.14)
 + =0
 ∂x ∂y

∂τxy ∂σy
 ∂x + ∂y = 0
và nghiệm riêng của phương trình (5.15)

196

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

 ∂σx ∂τyx (5.15)
 + = −fx
 ∂x ∂y

 ∂τxy ∂σy
 ∂x + ∂y = −fy

- Nghiệm riêng của phương trình (5.15) tìm được khơng khó khăn, nó phụ thuộc vào dạng
cụ thể của các lực thể tích.

Ví dụ nghiệm riêng có thể lấy là :

* σx = 0 ; σy = 0 ; Txy = -Px khi fx = 0 ; fy = P = hằng số.

* σx = ax2 + bx ; σy = Txy = 0 khi fx = ax + b ; fy = 0

2

* σx = 0 ; σy = -a y3 ; Txy = axy2 khi fx = axy , fy = 0.
6 2

197

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

5.4.2 Hàm ứng suất Airy – phương trình lưỡng điều hịa
Nghiệm của phương trình (5.14) sẽ bằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần

nhất và nghiệm riêng của phương trình (5.15).

Điều kiện cần và đủ cho biểu thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y), tức

p (x, y)dx + q (x, y)dy là vi phân tồn phần của 1 hàm u(x,y) nào đó thì giữa p và q phải

có quan hệ : ∂p = ∂q .
∂y ∂x

- Phương trình thứ (1) của hệ (5.14) ⇔ ∂σx = − ∂τyx , tức là (σx.dy - Txy.dx) là vi phân
∂x ∂y

toàn phần của 1 hàm A(x,y) nào đó. Nên ta có quan hệ σx = ∂A ∂y ; τyx = − ∂A ∂x (a)

198

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Tương tự, phương trình thứ 2 : ∂σy = − ∂τxy
∂x ∂x

⇒ σx .dx − τxydy là vi phân toàn phần của 1 hàm B(x,y) nào đó :
→ Ta có quan hệ : σx = ∂B ∂x ; τyx = − ∂B ∂y (b)
So sánh (a) và (b) ta có : ∂A = ∂B (c)

∂x ∂y
⇒ (A.dy + B.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm ϕ(x,y) nào đó :

→ Ta có quan hệ : A = ∂ϕ ; B = ∂ϕ (d)
∂y ∂ x

thay (d) vào (a) và (b) ta có:

∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ (5.16)
σx = 2 ;σy = 2 ; τxy = −
∂y ∂x ∂x∂y 199

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Hàm ϕ(x,y) : Gọi là làm ứng suất Airy, là hàm để giải bài toán phẳng theo ứng suất.
Hàm ứng suất phải tồn tại đạo hàm đến bậc 4. Vì hàm tổng ứng suất là hàm điều hòa nên
hàm ứng suất phải là hàm trùng điều hòa nên:

∂4ϕ ∂4ϕ ∂4ϕ (5.17)
+2 2 2 + 4 =0

∂x4 ∂x ∂y ∂y

Lúc này điều kiện biên được biểu diễn qua hàm ứng suất:

 ∂2ϕ ∂2ϕ *
 l. 2 − m. = fx
 ∂y ∂x∂y
 (5.18)
 ∂ϕ 2 ∂2ϕ *

−l. ∂x∂y + m. ∂x2 = fy

5.5 Giải bài toán phẳng bằng hàm đa thức

Ta thấy giải bài tốn phẳng là tích phân phương trình trùng điều hịa (5.17) cùng với

các điều kiện biên (5.18) để tìm hàm ứng suất ϕ(x,y). Nhưng việc làm này vô cùng phức

200

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

tạp. Bởi vậy người ta thường giải bài toán này bằng phương pháp ngược, nghĩa là cho
trước dạng của hàm ứng suất ϕ(x,y) phụ thuộc vào những tham số nào đó cần xác định.
Hàm ϕ(x,y) chọn này sẽ thỏa mãn phương trình trùng điều hịa và từ điều kiện biên để tìm
các tham số cần thiết đó.

5.5.1 Chọn hàm ϕ(x,y) dưới dạng hàm đa thức bậc 3:

Dễ dàng thấy hàm ϕ(x,y) được chọn như vậy thỏa mãn phương trình hàm trùng điều
hịa (5.17) với những giá trị bất kỳ của của các hệ số a, b, c, d, v.v…

ϕ = ax3 + bx2y + cx y2 + cy3 + a1x2 + b1xy + c1y2 (5.19)

Khi đó trong trường hợp khơng có lực khối thì theo (5.16) ta có:

201

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

 ∂2ϕ
σx = 2 = 2cx + 6dy + 2c1;
 ∂y
 ∂2ϕ
σy = 2 = 2ax + 6by + 2a1; (5.20)
 ∂x
 ∂2ϕ
τxy = − = −2bx − 2cy − b1;
 ∂x∂y

Hệ số (a, b, c) trong (5.20) sẽ được xác định từ điều kiện biên (5.18):

5.5.2 Chọn hàm ϕ(x,y) dưới dạng hàm đa thức bậc 4 hoặc cao hơn:

Nếu chọn hàm ϕ(x,y) là một hàm đa thức bậc 4 hoặc cao hơn thì trước tiên phải chọn
các hệ số sao cho nó là một hàm trùng điều hòa. Chẳng hạn chọn:
ϕ = ax4 + bx3y + cx2y2 + dx y3 + ey4 + a1x3 + b1x2y + c1xy2 + d1y3 + a2x2 + b2xy + c2y2(5.21)

Theo điều kiện của hàm trùng điều hịa ta có:

202

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

∇2 (∇2ϕ) = 24(a + e) + 8c = 0

Suy ra: a=c=e=0.

Khi đó nhận được hàm lưỡng điều hòa:

ϕ = bx3y + dx y3 + a1x3 + b1x2y + c1xy2 + d1y3 + a2x2 + b2xy + c2y2 (5.22)

Các hàm ứng suất tìm được theo (5.16) là:

 ∂2ϕ
σx = 2 = 6dxy + 2c1x + 2d1y + 2c2;
 ∂y
 ∂2ϕ
σy = 2 = 6bxy + 6a1x + 2b1y + 2a2; (5.23)
 ∂x
 ∂2ϕ
τxy = − = −3bx − 2d1y − 2b1x − 2c1y − b2;22

 ∂x∂y

203

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Ví dụ 5.1: Xét một dầm conson dài l, mặt δy

cắt ngang hình chữ nhật (δ × h ) (δ nhỏ) chịu m

tải trọng P ở mặt cắt đầu mút. Hãy xác định h P x
trạng thái ứng suất trong dầm (hình 5.3)
x m
l
Lời giải

Chọn hàm ứng suất ϕ(x, y) : Hình 5.3

Mô men là hàm bậc nhất của x, nên ứng suất là hàm bậc 2 của x và y. Vì ứng suất là
đạo hàm bậc 2 của hàm ứng suất, nên hàm ứng suất là hàm bậc 4 theo x và y:

ϕ = bx3y + dx y3 + a1x3 + b1x2y + c1xy2 + d1y3 + a2x2 + b2xy + c2y2

Điều kiện biên:

- Tại biên trên (y = h;0 ≤ x ≤ l): có l = 0; m = 1 nên: τxy = 0;σy = 0 (a)

204

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

- Tại biên dưới (y = 0;0 ≤ x ≤ l): có l = 0; m = −1 nên: τxy = 0;σy = 0 (b)

σx = 0 (c)
h
- Tại biên bên phải (0 ≤ y ≤ h; x = l): có l = 1;m = 0 nên: ∫ δτyxdy = P
(d)
0

Thay (5.23) vào (a, b,c) được:

a1 = a2 = b = b1 = b2 = 0;

c1 =1,5dh;c2 =1,5dhl;d1 = −dl;

Như vậy hàm ϕ(x, y) sẽ trở thành:

ϕ = dxy3 + dly3 −1,5dhxy2 +1,5dhly2 = dy2 (x − l)(y −1,5)

Ứng suất:

205