Bài giảng cơ học môi trường liên tục chương 1 ts phạm văn đạt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI
TS. PHẠM VĂN ĐẠT

BÀI GIẢNG

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

HÀ NỘI, THÁNG 8 NĂM 2016

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CHUNG CỦA MÔN HỌC
1.1 Nhiệm vụ và đối tượng của môn học

1.1.1 Nhiệm vụ của môn học

Nhiệm vụ của môn học cơ học môi trường liên tục nói chung và lý thuyết đàn hồi nói
riêng là tìm cách xác định trạng thái ứng suất, biến dạng và trường chuyển vị trong môi
trường liên tục khi chịu tác dụng của ngoại lực hoặc các yếu tố ảnh hưởng khác. Môi
trường liên tục là những vật thể có cấu tạo vật chất liên tục. Cũng như các môn cơ học
biến dạng khác, các kết quả của môn học là cơ sở cho việc giải quyết các bài tốn kỹ thuật.

Do mơn học nghiên cứu tất cả các mơi trường liên tục vì vậy lý thuyết xây dựng trong
môn học là lý thuyết tổng quát để giải tất cả các dạng kết cấu khác nhau và phương pháp
của môn học là phương pháp chung nhất để giải các bài tốn trong cơ học. Vì vậy cách đặt
vấn đề về mặt toán học là chặt chẽ và chính xác hơn so với các mơn học như Sức bền vật
liệu, Cơ học kết cấu v.v…

1

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

1.1.2 Đối tượng của môn học

Đối tượng của mơn học là những vật thể có cấu tạo vật chất liên tục, nghĩa là tại một
điểm bất kỳ luôn lấy được một phần tử vật chất bé tùy ý bao quanh điểm đó. Tùy thuộc
cấu tạo vật chất và tính chất cơ học của mơi trường vật chất mà người ta có thể chia ra làm
3 loại: Mơi trường rắn; Mơi trường lỏng; Mơi trường khí.

Tương ứng với mỗi loại vật thể của mơi trường ở trên, có thể xây dựng các lý thuyết
riêng cho từng môi trường. Chẳng hạn đối với vật thể rắn biến dạng có các mơn sau: Sức
bền vật liệu, Cơ học kết cấu, Lý thuyết đàn hồi, Lý thuyết đàn dẻo, Lý thuyết từ biến, Cơ
học phá hủy, Cơ học Compisite v.v… Trong các chương sau môn học chủ yếu đề cập đến
bài tốn phân tích ứng suất biến dạng của vật thể rắn biến dạng đàn hồi khi chịu tác dụng
của ngoại lực.

2

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

1.2 Các giả thuyết và nguyên lý cơ bản của môn học

Môn cơ học môi trường liên tục khác với môn Sức bền vật liệu là giải bài tốn một
cách chặt chẽ nhưng mơn học cũng phải đưa vào các giả thuyết để làm đơn giản bài tốn
khi tính tốn so với kết cấu thực tế. Các giả thuyết cơ bản:

1.2.1 Giả thuyết 1: Giả thuyết về cấu tạo liên tục của vật thể đàn hồi

Vật thể liên tục trước và sau khi biến dạng (khơng có lỗ rỗng, khơng gián đoạn), các
phân tố trong vật thể cũng liên tục. Như vậy biến dạng và chuyển vị của từng điểm trong
vật thể là các hàm liên tục của các tọa độ. Trong thực tế các vật thể ln có cấu trúc nhất

định, khơng cần phải dùng thiết bị phóng đại để quan sát chúng ta cũng có thể thấy cấu
trúc của vật thể có những điểm gián đoạn. Vì vậy, nếu biểu diễn được sự gián đoạn của vật
thể bằng toán học thì kết quả phân tích cũng rất phức tạp đối với các bài toán đơn giản.
Cần chú ý rằng, lý thuyết cơ học môi trường liên tục coi vật thể là liên tục nhưng khi phân
tích vẫn tưởng tưởng cắt vật thể ra thành các phân tố vô cùng bé bằng các mặt bất kỳ,

3

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

nhưng những phân tố nằm cạnh nhau thì chúng cùng chung một mặt bên và từng phân tố
khơng mang tính chất riêng biệt.

1.2.2 Giả thuyết 2: Giả thuyết về trạng thái không ứng suất ban đầu của vật thể

Theo giả thuyết này thì ứng suất ban đầu trong vật thể trước lúc đặt ngoại lực do quá
trình hình thành vật thể sinh ra được xem bằng “không”. Như vậy ứng suất trong vật thể
khi môn học nghiên cứu là phần tăng ứng suất tại điểm đang xét trong vật thể khi có tác
dụng của ngoại lực sinh ra, chứ khơng kể đến ứng suất sẵn có ban đầu tại điểm đó. Trong
kỹ thuật ta bỏ qua ứng suất ban đầu và sự gián đoạn của vật thể có sai khác thực tế, nhưng
bù lại khi ta tiến hành thí nghiệm các mẫu vật liệu để xác định các đặc trưng cơ học của
chúng (giới hạn đàn hồi, giới hạn chảy, v.v…) từ đó xác định ứng suất cho phép của vật
liệu bằng thực nghiệm chúng ta cũng bỏ qua ứng suất ban đầu và cấu trúc thực của vật
liệu.

4

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

1.2.3 Giả thuyết 3: Vật liệu có tính đàn hồi tuyệt đối, đồng nhất và đẳng hướng

Tính đàn hồi tuyệt đối là tính chất khi vật thể chịu tác dụng của ngoại lực thì biến
dạng, nhưng khi khơng cịn chịu tác dụng của ngoại lực “dỡ tải về khơng” thì vật thể trở về
ngun hình dạng ban đầu. Tính đồng nhất của vật liệu thể hiện là tính chất tại mọi điểm
khác nhau trong vật thể có tính chất như nhau. Tính đẳng hướng của vật liệu là tính chất
tại một điểm bất kỳ trong vật thể theo mọi hướng đều có tính chất cơ – lý là như nhau, như
vậy bất kỳ mặt phẳng nào đi qua phân tố đều là mặt phẳng đối xứng của phân tố đó.

1.2.4 Giả thuyết 4: Biến dạng và chuyển vị rất nhỏ hơn so với kích thước của vật thể

Dựa vào giả thuyết này dẫn đến mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là mối quan
hệ bậc nhất (tuân theo định luật Hooke tổng quát). Dựa vào giả thuyết này, khi tính toán
với các biến dạng dài tương đối hoặc biến dạng góc nếu ta khai triển các đại lượng này
theo chuỗi Taylor thì ta có thể bỏ qua các biến dạng góc bậc cao.

5

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Ví dụ khi α rất nhỏ thì: sin(α) = α − 1 α3 + ... ≈ α .
3!

1.3 Khái niệm về véctơ
1.3.1 Các thành phần của véctơ

Xét trong hệ trục tọa độ Descartes vuông x 2 a a2
góc ox1x2x3 có các thành phần véctơ đơn vị: 0 a1
a3 x1
e1;e2;e3 . Xét véctơ a có các thành phần chiếu
lên các trục tọa độ là: a1;a2;a3. Ta có:

a = a1.e1 + a2.e2 + a3.e3 (1.1) x3

Hình 1.1

6

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Đặt: l = a1 a = cos(a ;e1); m = a2 a = cos(a ;e2 ); n = a3 a = cos(a ;e3) (1.2)

(l,m,n) được gọi là cosin chỉ phương của véctơ a , và ta có:

2 2 2 a12 + a22 + a32
l +m +n = 2 =1 (1.3)
a

1.3.2 Biến đổi các thành phần của véctơ khi xoay hệ trục tọa độ

Xét hệ trục ox1x2x3 quay quanh điểm o chuyển thành hệ trục ox '1 x '2 x '3. Gọi các

véctơ đơn vị trên các trục của hệ trục ox1x2x3 là e1;e2;e3 , véctơ đơn vị trên các trục của hệ

trục ox '1 x '2 x '3 là e'1;e'2;e'3 .

Cosin chỉ phương của các véctơ đơn vị e1;e2;e3 trên hệ trục ox '1 x '2 x '3 lần lượt là:

(l1;l2;l3 ),(m1;m2; m3 ),(n1; n2;n3 ). Ta có:

7

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

e1   l1 l2 l3  e'1  e'1 
     
e2  = m1 m2 m3  e'2  = [T']e'2  (1.4)
e  e   
 3  n1 n2 n3  '3   e '3 

 l1 l2 l3 
[T '] = m1 m2 m 3
trong đó:  

 n1 n2 n3 

Vì li = cos(e1;oxi );mi = cos(e2;oxi );ni = cos(e3;oxi ) nên cosin chỉ phương của các

véctơ đơn vị e'1;e'2;e'3 trên hệ trục ox1x2x3 lần lượt là: (l1;m1;n1 ), (l2;m2; n2 ), (l3; m3; n3 )

và ta có:

e'1  l1 m1 n1  e1  e1 
     
e'2  = l2 m2 n2  e2  = [T]e2  (1.5)
 e '3  l3 m3 n   e3  e 
  3    3 8

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

l1 m1 n1 

[T] = l2 m2 n 2 được gọi là ma trận chuyển từ hệ trục tọa độ ox1x2x3
trong đó:  

l3 m3 n3 

sang ox '1 x '2 x '3.

Từ (1.4) và (1.5) suy ra ma trận chuyển trục tọa độ là một ma trận trực giao có:

[T]−1 = [T]T (1.6)

Xét một véctơ a trong hệ trục tọa độ cũ ox1x2x3 (hình 1.2a) có tọa độ là (a1;a2;a3 ), ta

có:

a = a1.e1 + a2.e2 + a3.e3 (1.7)

Véctơ a trong hệ trục tọa độ mới ox '1 x '2 x '3 (hình 1.2b) có tọa độ là (a '1;a '2;a '3 ), ta

có:

9

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

a = a '1 .e'1 + a '2 .e'2 + a '3 .e'3 (1.8)
Chiếu (1.7) và (1.8) lên trục ox'1 của tọa độ của hệ trục ox '1 x '2 x '3 ta có: (1.8a)

a '1 = a1.cos(e1;e'1) + a2.cos(e2;e'1) + a3.cos(e3;e'1)
a '1 = a1.l1 + a2.m1 + a3.n1

x2 x2

a2

a a2' a a'1

O x 1 O x 1

x3 a3 a1

x 3 a'3

a) b)

Hình 1.2

10

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Tương tự với hai trục tọa độ cịn lại ta sẽ có:

a '1 = a1.l1 + a2.m1 + a3.n1 (1.8b)

a '2 = a1.l2 + a2.m2 + a3.n2
a '3 = a1.l3 + a2.m3 + a3.n3

a '1  l1 m1 n1  a1  a1 
     

Hay: a '2  = l2 m2 n2  a2  = [T]a2  (1.8c)
    a 
 a '3  l3 m3 n 3   a 3   3

Từ (1.8c) suy ra:

a1  a '1   l1 l2 l3  a '1 
  −1     
a2  = [T] a '2  = m1 m2 m3  a '2  (1.9)
a    a 
 3  a '3   n1 n2 n3  '3 

11

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

* Điều kiện để một ma trận bậc (3x3) là một ma trận chuyển trục:

l12 + m12 + n12 = 1
2
l2 + m2 + n2 = 122

2 2 2
l3 + m3 + n3 = 1
2 2 2 (1.10)
l1 + l2 + l3 = 1
m12 + m22 + m32 = 1 (1.11)

n2 12
 1 + n 22 + n32 =1

l1.l2 + m1.m2 + n1.n2 = 0

l2.l3 + m2.m3 + n2.n3 = 0
l3.l1 + m3.m1 + n3.n1 = 0

l1.m1 + l2.m2 + l3.m3 = 0
m1.n1 + m2.n2 + m3.n3 = 0

n1.l1 + n2.l2 + n3.l3 = 0

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

1.4 Trường vô hướng và trường véctơ

1.4.1 Trường vô hướng

Trường vô hướng là hàm vô hướng của các điểm trong miền xác định của hàm. Giả
sử có trường vơ hướng ϕ(x1, x2, x3) thì ta có định nghĩa:

grad(ϕ) = ∇ϕ = ∂ϕ e1 + ∂ϕ e2 + ∂ϕ e3 (1.12)
∂x1 ∂x2 ∂x3

Ý nghĩa hình học của gradient: là một véctơ vng góc với một mặt cho bởi phương

trình:

ϕ = const (1.13)

Trong công thức (1.12) thì đại lượng ký hiệu ∇ϕ là một véctơ được gọi là toán tử

Nabla trong tọa độ Descartes.

13

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt cho bởi phương trình (1.13) tại một điểm nào đó trên
bề mặt là v thì ta có:

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ

v = grad(ϕ) grad(ϕ) = ∂x1 grad(ϕ) e1 + ∂x2 grad(ϕ) e2 + ∂x3 grad(ϕ) e3 (1.14)

grad(ϕ) =  ∂ϕ 2  ∂ϕ 2  ∂ϕ 2 (1.15)
  +  + 
 ∂x1   ∂x2   ∂x3 

2 ∂2 ∂2 ∂2
Ký hiệu ∆ϕ = ∇ ϕ = 2 + 2 + 2 :là toán tử Laplace trong tọa độ Descartes.

∂x1 ∂x2 ∂x3

Nếu hàm ϕ có ∇2ϕ = 0 thì hàm ϕ được gọi là hàm điều hòa.

Nếu hàm ϕ có ∇2 (∇2ϕ) = 0 thì hàm ϕ được gọi là hàm trùng điều hòa (hàm điều hòa

kép).

14

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Ví dụ 1.1: Tìm véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C biết tọa độ

của các điểm trong hệ trục tọa độ ox1x2x3 là: A(a,0,0); B(0, b,0); C(0,0,c).

Lời giải:

Phương trình của mặt phẳng đi qua 3 điểm x 2 x 1
A, B, C:
B(0,b,0) A(a,0,0)
x1 + x2 + x3 = 1
abc o
Xét hàm: ϕ = x1 + x2 + x3 C(0,0,c)
abc

Tốn tử Nabla theo cơng thức (1.12): x3

Hình 1.3 Ví dụ 1.1

15

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

grad(ϕ) = ∇ϕ = ∂ϕ e1 + ∂ϕ e2 + ∂ϕ e3
∂x1 ∂x2 ∂x3

grad(ϕ) = ∇ϕ = 1a e1 + 1b e2 + 1c e3
Véctơ pháp tuyến đơn vị:

1 e v = a 1 + 1b e2 + 1c e3
 1 2  1 2  1 2
  +  + 
a b c

hay:

r bc ur ca uur ab uur
v= e1 + e2 + e3
a2b2 + b2c2 + c2a2 a2b2 + b2c2 + c2a2 a2b2 + b2c2 + c2a2

16

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Trường hợp đặc biệt: a = b = c (mặt ABC nghiên đều với các trục tọa độ), khi đó véctơ

r ±1 ur ±1 uur ±1 uur
pháp tuyến đơn vị của mặt là: v = e1 + e2 + e3
3 3 3

Ví dụ 1.2: Tìm véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm

A(−2,−2,−1);, biết mặt cầu có tâm I(−2;1;3) và bán kính R=5.

Lời giải:

Phương trình của mặt cầu: ( x1 + 2)2 + ( x2 −1)2 + ( x3 − 3)2 = 52
Hàm vô hướng: ϕ = ( x1 + 2)2 + ( x2 −1)2 + ( x3 − 3)2

grad(ϕ) = 2( x1 + 2).e1 + 2( x2 −1).e2 + 2( x3 − 3).e3

Tại điểm A(−2,−2,−1) ta có: grad(ϕ) = 0.e1 − 6.e2 − 8.e3

grad(ϕ) = 0 + 62 + 82 = 10

17

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Suy ra véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt cầu tại điểm A: v = 0.e1 − 0, 6.e2 − 0,8.e3 hay
v = (0;−0,6;−0,8)
1.4.2 Trường véctơ

Trường véctơ là một hàm véctơ của các điểm (x1,x2,x3)trong hàm xác định.

Giả sử có trường véctơ a(x1,x2,x3) với các hình chiếu lên ba trục tọa độ Descartes
vng góc là: a1;a2;a3, thì ta có định nghĩa:

div(a)= ∂a1 + ∂a2 + ∂a3 e3  (1.16)
∂x1 ∂x2 ∂x3  (1.17)
 e1 e2
 ∂a3  18
 ∂a1 ∂a2 ∂x3 

rot(a)=∇ × a = ∂x1 ∂x2 
 a3 
 a1 a 2

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

1.5 Khái niệm về tenxơ

Thực tế trong toán học chúng ta đã gặp một số loại đại lượng:

- Đại lượng vô hướng: là đại lượng mà đặc trưng cho đại lượng là các con số. Trong
thực tế có một số đại lượng là đại lượng vô hướng như: khối lượng, thời gian v.v…

- Đại lượng có hướng (đại lượng véctơ): là đại lượng mà đặc trưng cho đại lượng
ngồi các con số cịn có phương và chiều. Trong thực tế có một số đại lượng là đại lượng
có hướng như: vận tốc, gia tốc, lực v.v…

Ngồi 2 đại lượng vừa trình bày, trong thực thế còn những đại lượng đặc trưng cho
một trạng nào đó của mơi trường mà đại lượng này khơng phụ thuộc vào cách chọn hệ
trục tọa độ. Các đại lượng này được biểu diễn bởi một số giá trị nào đó gọi là thành phần
của đại lượng. Đối với những hệ trục khác nhau thì những thành phần này cũng thay đổi
theo một quy luật nào đó (có thể xác định các thành phần của đại lượng này trong hệ trục

19