Bài giảng cơ học môi trường liên tục chương 2 ts phạm văn đạt

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Chương 2: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT

2.1 Ứng suất

2.1.1 Ứng suất, Nội lực

P... P3 P...

Pi (II) P2 Pi P
P...
(I) x 2 K
0 Pn A
x 2
P1 x 1

0 P...
x 3 Pn

x 1

x 3

Hình 2.1 Ứng suất tại một điểm

27

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Ứng suất trung bình tại điểm K: ptb = ∆P ∆A (2.1)

Ứng suất tại điểm K: pv = lim ∆P (2.2)

∆A→0 ∆A τν Pν ν
σν
Pν1
x 2
Pν

x 2 Pν3 Pν1

0 x 1 0 x 1
a) x3
b) x3

Hình 2.2 Các thành phần ứng suất tại một điểm

Ứng suất tại điểm K chiếu lên các trục tọa độ (hình 2.2a):

28

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

pv = pv1 + pv2 + pv3 (2.3)

Ứng suất tại điểm K phân ra hai thành phần (hình 2.2b):

pv = σv + τv (2.4)

trong đó: σ v : có phương hướng theo phương pháp tuyến của mặt cắt ngang và được gọi

là ứng suất pháp; τv :có phương tiếp tuyến với mặt cắt ngang và được gọi là ứng suất tiếp.

x2 τ12 x 2 σ22 x τ 2 32
σ11 σ τ31
τ23 τ21
τ13 33

0 x 1 0 x 1 0 x 1

x 3 x 3 x 3

Hình 2.3 Ứng suất trên các mặt

29

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Trong trường hợp đặc biệt khi hệ trục x2
ox1x2x3 có 1 trục là vng góc với mặt cắt σ22
ngang (chẳng hạn trục ox1) thì ứng suất
pháp theo phương trục ox1 được ký hiệu là σ11 τ13 τ21
σ11; ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang lúc này τ32 σ33
được phân thành hai thành phần có phương
theo trục ox2 và ox3 được ký hiệu lần lượt dx2 τ12 τ23 τ31 τ12
là: τ12; τ13. Tương tự như vậy, trên mặt có σ33
phương pháp tuyến là trục ox2 có các thành τ31 τ32 σ11
phần ứng suất: σ22 ; τ21 ; τ23 ; trên mặt có τ23 τ13 x1
phương pháp tuyến là trục ox3 có các thành
phần ứng suất: σ33; τ31; τ32 (hình 2.4). τ21

x3 dx1 σ22

Hình 2.4 Ứng suất trên các mặt của
phần tố lập phương

30

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Tại một điểm bất kỳ trong vật thể, khi tách ra một phân tố hình lập phương mà các mặt
của phân tố này có phương pháp tuyến lần lượt trùng với phương các trục tọa độ của hệ
trục ox1x2x3thì trên các mặt của phân tố này có các thành phần ứng suất (hình 2.4):

- 3 thành phần ứng suất pháp: σ11; σ22; σ33.

- 6 thành phần ứng suất tiếp: τ12 ; τ21 ; τ23 ; τ32 ;τ31; τ13 .

Quy ước cách viết ứng suất tiếp: Ứng suất tiếp có hai chỉ số thì chỉ số đầu tiên là chỉ
số của trục tọa độ có phương trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ 2 là chỉ
số của trục tọa độ có phương là phương của véctơ ứng suất.

Quy ước dấu của các thành phần ứng suất:

- Đối với ứng suất pháp: Ứng suất pháp được coi là dương khi có hướng cùng với
hướng pháp tuyến ra ngồi của mặt cắt.

31

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

- Đối với ứng suất tiếp:

+ Nếu hướng pháp tuyến ra ngoài của mặt cắt trùng với chiều dương của 1 trục tọa độ
thì ứng suất tiếp được coi là dương (âm) nếu nó chiều cùng (ngược) với chiều dương của
trục tọa độ cùng phương với ứng suất tiếp đó.

+ Nếu hướng pháp tuyến ra ngoài của mặt cắt ngược với chiều dương của 1 trục tọa độ
thì ứng suất tiếp được coi là dương (âm) nếu nó chiều ngược (cùng) với chiều dương của
trục tọa độ cùng phương với ứng suất tiếp đó.

2.1.2 Hệ thống ký hiệu ứng suất

Trong mục 2.1.1 là khi hệ trục tọa độ được ký hiệu là ox1x2x3, ngồi ra hệ trục tọa độ
cịn được ký hiệu là oxyz vì vậy hệ thống ký hiệu ứng suất có thể viết dưới các dạng khác
nhau sau:

32

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

 σ11 σ12 σ13  σxx σxy σxz   σx τxy τxz 
     
σ21 σyx σyy σyz  τyx σy τyz 
σ31 σ22 σ23  σzx σzy σzz  ; τzx τzy σz 
;
(B) (C)
σ32 σ33 
(A)

2.2 Các phương trình vi phân cân bằng

Khi cho môi trường chịu tác dụng của các ngoại lực:
- Lực thể tích: là các lực phân bố bên trong không gian của môi trường và được ký

hiệu: f ; khi chiếu lên 3 trục tọa độ xi ký hiệu tương ứng là: fi.

- Lực bề mặt: là các lực phân bố trên bề mặt của môi trường và được ký hiệu: f *; khi
chiếu lên 3 trục tọa độ xi ký hiệu tương ứng là: fi*.

Ta tưởng tượng chia môi trường ra thành các phần tử bằng các mặt phẳng vng góc
với các trục tọa độ, nếu căn cứ vào ngoại lực tác dụng thì có thể phân thành 2 loại phần tử:

33

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

- Phần tử loại 1: là các phần tử chỉ chịu tác dụng của lực thể tích;

- Phần tử loại 2: là phần tử chịu tác dụng cả lực thể tích và lực bề mặt.

2.2.2 Phương trình cân bằng cho phân tố loại 1

Xét tại một điểm bất kỳ trong vật x 2 τ12+ τ12
thể nghiên cứu, tách ra một phân tố có x1
kích thước dx1dx2dx3. Trên 8 mặt của σ11 τ12
phân tố có các thành phần ứng suất như dx2 τ13 σ11 + σ11
hình 2.5. Xét cân bằng phân tố, chiếu x1
các phương trình cân bằng lên 3 trục dx1
tọa độ ta có: x 3 τ13 + τ13 x1
x1

Hình 2.5 Ứng suất trên trên phân tố loại 1

34

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

 ∂σ11 ∂τ12 ∂τ13  d2u 
 + + + f1 = 0 ρ 2 
 ∂x1 ∂x2 ∂x3  dt 

∂τ21 ∂σ22 ∂τ23  d2v 
 + + + f2 = 0ρ 2  (2.5)
 ∂x1 ∂x2 ∂x3  dt 

 ∂τ31 ∂τ32 ∂σ33  d2w 
 + + + f3 = 0ρ 2 
 ∂x1 ∂x2 ∂x3  dt 

Trường hợp cân bằng tĩnh thì vế phải bằng “0”; trường hợp cân bằng độ vế phải là giá
trị trong ngoặc (chính là các thành phần lực quán tính).
2.2.2 Định luật đối ứng ứng suất tiếp

τ12 = τ21

τ23 = τ32 (2.6)
τ
 31 = τ13

35

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

2.2.3 Phương trình cân bằng cho phân tố loại 2

Khi thỏa mãn các phương trình cân x 2
bằng (2.5) thì mới chỉ có các phân tố bên
trong thỏa mãn điều kiện cân bằng. Để vật dx2 σ33 v
thể cân bằng thì ngồi các phân tố bên
trong thỏa mãn điều kiện cân bằng, các f1*
phân tố nằm giáp ngoài biên cũng cần
phải được thoả mãn điều kiện cân bằng. τ31
Do đó những điểm nằm trên bề mặt của
vật thể sẽ phải cân bằng với các ngoại lực σ11 τ12 f2*
tác dụng trên bề mặt của vật thể như hình * τ32 x 1
2.6. Phương trình cân bằng viết cho các f3 dx1
phân tố giáp với bề mặt vật thể: τ21 τ23
τ13

σ22
x 3

Hình 2.6 Ứng suất trên trên phân tố loại 2

36

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

lσ11 + mτ12 + nτ13 = f1*

lτ21 + mσ22 + nτ23 = f2 * (2.7)

 *
lτ31 + mτ32 + nσ33 = f3

trong đó:

l, m, n - các cosin chỉ phương của phương pháp tuyến ngoài bề mặt vật thể đàn hồi tại
điểm đang xét;

f1*;f2*;f3*- các thành phần ngoại lực theo 3 trục x, y, z tác dụng trên một đơn vị diện
tích mặt ngồi của vật thể đàn hồi.

37

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

2.3 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng x 2

Gọi véctơ pháp tuyến của mặt dx2 σ33 v
cắt nghiêng là v có cosin chỉ
p
phương là (l,m,n). Các thành
τ31 v1
phần ứng suất trên mặt cắt
nghiêng chiếu lên ba trục tọa độ là σ11 τ12 pv2
(pv1, pv2, pv3). Dựa vào cân bằng τ32 x 1
phân tố ta sẽ có: τ13 τ21pv3 τ23 dx1

σ22
x 3

Hình 2.7 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng

38

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

lσ11 + mτ12 + nτ13 = pv1 (2.8)

lτ21 + mσ22 + nτ23 = pv2
lτ31 + mτ32 + nσ33 = pv3

Ứng suất toàn phần trên mặt cắt nghiêng:

pv = (pv1 )2 + (pv2 )2 + (pv3 )2 (2.9)

Ứng suất pháp trên mặt cắt nghiêng (chiếu các thành phần pvi lên phương pháp tuyến
của của mặt cắt ngang):

σv = l.pv1 + m.pv2 + n.pv3 (2.10)

Ứng suất tiếp trên mặt cắt nghiêng:

τv = (pv )2 − (σv )2 (2.11)

39

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

2.4 Tenxơ ứng suất

Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả các ứng suất tại các mặt của phân tố
lập phương tại điểm đó. Trạng thái ứng suất của một điểm sẽ lập thành tenxơ hạng 2 hay
còn gọi là tenxơ ứng suất. Ký hiệu:

σ11 σ12 σ13 
 
Tσ = σ21 σ22 σ23  (2.12)

σ31 σ32 σ33 

Một tenxơ ứng suất Tσ có thể phần thành 2 thành phần: tenxơ lệch ứng suất Dσ và
tenxơ cầu ứng suất Toσ.

Tσ = Dσ + Toσ (2.13)

trong đó:

40

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

(σ11 − σtb ) σ12 σ13  (2.14)
Dσ =  σ21 (σ22 − σtb )  (2.15)
(2.16)
 σ32 σ23  ;
 σ31 (σ33 − σtb ) 41

σtb 0 0 
Toσ =  0 σtb 0  ;

 
 0 0 σtb 

σtb = σ11 + σ22 + σ33 3 .
2.5 Phương chính, ứng suất chính

2.5.1 Một số khái niệm
- Mặt chính: là mặt có ứng suất tiếp bằng khơng.

- Phương chính: là phương của mặt chính.

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

- Ứng suất chính: là ứng suất trên mặt chính.

2.5.2 Xác định phương chính, ứng suất chính

* Ứng suất chính:

Gọi véctơ pháp tuyến của mặt cắt chính là v có cosin chỉ phương là (l,m,n). Ứng suất

chính là σ, các thành phần ứng suất trên mặt cắt chính chiếu lên ba trục tọa độ là:
pv1 = lσ;pv2 = mσ;pv3 = nσ. Thay vào (2.8) ta được:

l(σ11 − σ) + mτ12 + nτ13 = 0 (2.17)



lτ21 + m(σ22 − σ) + nτ23 = 0



lτ31 + mτ32 + n (σ33 − σ) = 0

Để hệ phương trình (2.17) có nghiệm (khơng có nghiệm tầm thường) thì:

42

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

(σ11 − σ ) σ12 σ13  (2.18)
det  σ21 (σ22 − σ ) σ23  = 0

 σ32 
 σ31 (σ33 − σ)

hay: σ3 − I1.σ2 + I2.σ − I3 = 0 (2.19)

trong đó: I1;I2;I3được gọi là 3 bất biến và được tính bằng cơng thức:

I1 = σ11 + σ22 + σ33
I2 = σ11 σ12 + σ22 σ23 + σ11 σ13

σ21 σ22 σ32 σ33 σ31 σ33

σ11 σ12 σ13
I3 = σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

43

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Giải phương trình (2.19) sẽ tìm được 3 nghiệm σ1;σ2;σ3 tương ứng với 3 ứng suất
chính: σ1;σ2;σ3 của bài toán.

Quy ước là: σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.

* Phương chính: Muốn tìm phương chính của ứng suất chính nào thì thay giá trị ứng
suất chính tướng ứng vào 2 trong 3 phương trình của hệ (2.17) và kết hợp với phương
trình:

l2 + m2 + n2 =1 (2.20)

Ví dụ muốn tìm phương chính tương ứng với ứng suất chính σ1, bằng việc ta đi giải
hệ phương trình:

44

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

l(σ11 − σ1 ) + mτ12 + nτ13 = 0

lτ21 + m(σ22 − σ1 ) + nτ23 = 0
2
l + m + n = 1 2 2

Nghiệm của hệ là phương chính tương ứng với ứng suất chính σ1.

45

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

2.6 Ứng suất tiếp lớn nhất

Gọi véctơ pháp tuyến của mặt cắt có ứng suất tiếp lớn nhất là v có cosin chỉ phương là

(l,m,n). Các thành phần ứng suất trên mặt cắt nghiêng chiếu lên ba trục tọa độ là

(pv1, pv2, pv3). Dựa vào cân bằng phân tố ta sẽ có:

lσ11 + mτ12 + nτ13 = pv1 (2.21)

lτ21 + mσ22 + nτ23 = pv2
lτ31 + mτ32 + nσ33 = pv3

Ứng suất toàn phần trên mặt cắt nghiêng:

pv = (pv1 )2 + (pv2 )2 + (pv3 )2 (2.22)

Ứng suất pháp trên mặt cắt nghiêng (chiếu các thành phần pvi lên phương pháp tuyến
của của mặt cắt ngang):

46