Bài giảng cơ học môi trường liên tục chương 3 ts phạm văn đạt

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Chương 3: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

3.1 Khái niệm chuyển vị x 2 M'
Xét một vật thể đàn hồi, tại thời điểm ban đầu
M u2
t = t0, vật thể chưa biến dạng. Giả sử tại một u1
điểm bất kỳ M trong vật thể, trong hệ tọa độ 0
u3 x1
ox1x2x3 là: M ( x1, x2 , x3 ). Dưới tác dụng của

ngoại lực làm vật thể bị biến dạng và điểm M

dịch chuyển sang vị trí mới là M’ có tọa độ x3 Hình 3.1

M '( x '1, x '2 , x '3 ). MM'được gọi là chuyển vị của

điểm M.

Ta có: MM ' = u1 + u2 + u3

76

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

 u1 = x1' − x1

trong đó: u2 = x2 − x2' (3.1)
(3.2)
 u3 = x3' − x3

Các thành phần chuyển vị u, v, w là các hàm tọa độ của điểm:

u1 = f1 (x1 , x2 , x3 )

u2 = f2 (x1 , x2 , x3 )
u3 = f3 (x1 , x2 , x3 )

Chuyển vị toàn phần của điểm M:

δ = u12 + u22 + u32 = F(x1 , x2, x3) (3.3)

3.2 Khái niệm biến dạng
Tại điểm M trong vật thể, tách một phân tố hình hộp có các mặt song song với các mặt

tọa độ (hình 3.2). Khi vật thể biến dạng thì phân tố sẽ chuyển sang vị trí mới, nếu giả

77

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

thuyết phân tố khơng biến dạng, để xác định vị trí mới của phân tố thì chỉ với 3 thành phần
chuyển vị tại điểm M chưa đủ vì hình hộp chữ nhật có thể quay quanh cạnh MN ( song
song với trục x1 ) hoặc cạnh MP ( song song với trục x2) hoặc cạnh MR ( song song với
trục x3 ) hoặc trục bất kỳ không song song với các trục tọa độ, lúc đó cần phải kể đến 3

thành phần góc xoay. Những thành phần này x 2

được gọi là các thành phần xoay cứng, ký P'
hiệu ω23( quay quanh trục x1 ); ω31( quay M' N'

quanh trục x2); ω12( quay quanh trục x3 ).
P R'

MN
R

Trường hợp đặc biệt nếu ω12 = ω23 = ω31 = 0 0 x 1

nghĩa là khơng có sự quay tại điểm khảo sát, x3 Hình 3.2
thường được gọi là biến dạng thuần túy.

78

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Khi phân tố bị biến dạng thuần túy thì P1 N1
các cạnh bị biến dạng dài, góc vng bị thay P' N' x1
đổi gọi là biến dạng góc. Trên hình vẽ 3.3
biểu diễn hình chiếu của phân tố trên mặt P M
Ox1x2. Vị trí ban đầu là (MNP), sau khi
biến dạng thì vị trí là (M1N1P1). v

M uN

Hình 3.3

3.3 Quan hệ vi phân giữa chuyển vị và biến dạng bé
Xét phân tố MNP sau khi biến dạng trở thành phân tố M1N1P1, tại điểm M (x1, x2 )

chuyển vị tương ứng là: u1(x1, x2 ); u2 (x1, x2 ).

79

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Điểm N(x1 + dx1, x2 ) có chuyển vị tương x2 u+ u dx2
x2
ứng là: u1(x1, x2 ) + ∂u1 dx1;
∂x1 P
2 P1
∂u 2 v+ v dx2
u2 (x1, x2 ) + dx1. x2 N 1

∂x1 P v + v dx1
x1
Điểm P (x1, x2 + dx2) có chuyển vị dx2 v M1 N2
M N
tương ứng là: u1(x1, x2 ) + ∂u1 dx2;
∂x 2 u+ u dx1
u x1
dx1
u2 (x1, x2 ) + ∂u2 dx2 .
∂x 2 x 1

Hình 3.4

80

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Biến dạng dài tỷ đối theo các phương x1, x2 lần lượt là: ε11;ε22 . Biến dạng góc trong
mặt phẳng ox1x2 là: γ12 = α + β;

Khi giả thuyết là biến dạng bé nên có thể coi rằng: ε11 1; ε22 1; α 1; β 1;

tgα ≈ sinα ≈ α;cosα ≈1; tgβ ≈ sinβ ≈β;cosβ ≈1.

Theo định nghĩa: ε11 = M1N1 − MN MN ; (3.4)
trong đó: MM = dx1; M1N1 = M1N2 cosα = M1N2 (3.5)

  ∂u1   ∂u1 
Theo hình (3.4): M1N2 = dx1 +  u1 + dx1  − u1 = 1 +  dx1 (3.6)
  ∂x1   ∂x1 

Thay (3.5), (3.6) vào (3.4) ta được:

81

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

ε11 = M1N1 − MN = M1N2 − MN = ∂u1 (3.7)
MN MN ∂x1 (3.8)

tương tự: (3.9)

ε22 = M1P1 − MP = M1P2 − MP = ∂u2
MP MP ∂x 2

Góc quay của cạnh MN là:

 ∂u2  ∂u 2
 u2 + dx1  − u2
N1N2  ∂x1  ∂x1 ∂u 2
α ≈ tgα = M1N2 =  ∂u1  =  ∂u1  = ∂x1
1+ dx1 1+ 
 ∂x1   ∂x1 

tương tự:

82

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

φ ≈ tgβ = ∂u1 (3.10)
∂x 2

Suy ra biến dạng góc trong mặt phẳng ox1x2 là:

γ12 = α + β = ∂u2 + ∂u1 (3.11)
∂x1 ∂x 2

Tương tự bằng cách sử dụng hốn vị vịng trịn nhận được quan hệ giữa chuyển vị và
biến dạng bé như sau:

 ∂u1 ∂u 2 ∂u3
 ε11 = ;ε22 = ;ε33 =
 ∂x1 ∂x 2 ∂x3
 (3.12)
 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 ∂u3 ∂u1
γ12 = 2ε12 = + ; γ23 = 2ε23 = + ; γ31 = 2ε31 = + ;

 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂x3

hoặc viết dưới dạng tổng quát:

83

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

1  ∂ui ∂u j  (3.13)
εij =  + 

2  ∂x j ∂xi 

Công thức (3.13) biểu diễn mỗi quan hệ tuyến tính giữa các thành phần biến dạng với
các thành phần chuyển vị đang xét tại thời điểm t, các công thức này được thiết lập nhờ
mối quan hệ hình học.

3.4 Quan hệ vi phân giữa các thành phần quay cứng với chuyển vị
Để xét được đầy đủ chuyển động của phân tố trong mỗi mặt phẳng tọa độ ta cần xét

thêm sự thay đổi của phương các đường chéo phân tố gọi là chuyển động quay. Ta xét
đường chéo phân tố với các giả thiết: ε11 = ε22 = ε33 = 0. Có 3 thành phần chuyển động
quay tương ứng: ω12;ω23;ω31.

84

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

x 2 α= x2 v
x1 Q1

P P1
Q Q1 P Q

β β= u β ω2=α/2 N1

ω1=β/2 x2 x1 M α= v N x 1
x1
M N (3.14a)

Hình 3.5

Góc quay của đường chéo MQ trong mặt phẳng ox1x2 là:

1  ∂u2 ∂u1 
ω12 = ω1 + ω2 =  − 

2  ∂x1 ∂x2 

85

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Tương tự ta cũng viết được góc quay của các đường chéo phân tố trong hai mặt phẳng
còn lại:

 1  ∂u2 ∂u1 
ω12 =  − 
 2  ∂x1 ∂x2 

 1  ∂u3 ∂u2  (3.14b)

ω23 =  − 
 2  ∂x2 ∂x3 

 1  ∂u1 ∂u3 
ω31 =  − 
  2  ∂x3 ∂x1 

Chú ý: Các công thức (3.14b) cho thấy các hàm biến dạng và các góc quay cứng được
biểu diễn tuyến tính qua các đạo hàm riêng bậc nhất của các hàm chuyển vị u1, u3, u3. Các
đạo hàm riêng này được viết dưới dạng ma trận:

86

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

 ∂u1 ∂u1 ∂u1  

 ∂x1 ∂x2 ∂x3 
∂u2 ∂u2 ∂u2 
  (3.15)
 ∂x1 ∂x2 ∂x3 
∂u3 ∂u3 ∂u3 
 
 ∂x1 ∂x2 ∂x3 

Về mặt tốn học có thể biểu diễn (3.15) dưới dạng tổng của hai ma trận:

 ∂u1 ∂u1 ∂u1   1 1
 ∂x ∂x ∂x   ε1 γ12 γ13 
 1 2 3  2 2   0 −ω12 ωx31 

∂u2 ∂u2 ∂u2  1 1  0 ω23  (3.16)
  = γ21 ε2 γ23 +  ω12 
 ∂x1 ∂x2 ∂x3 2 2
  −ω31 −ω23 0 
∂u3 ∂u3 ∂u3  1 γ 1 γ ε 
   2 31 2 32 3 
 ∂x1 ∂x2 ∂x3 

87

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Ma trận thứ nhất của vế phải là ma trận đối xứng biểu thị biến dạng thuần túy, ma trận
thứ hai của vế phải biểu thị sự quay cứng.

3.5 Khái niệm về tenxơ biến dạng bé

Xét một đoạn vô cùng bé bất kỳ MN=ds có cosin chỉ phương v là (l,m,n). Tọa độ của
các điểm tại thời điểm ban đầu: M(x1, x2, x3); N(x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3).

Cosin chỉ phương của đoạn thẳng: l = dx1 ;m = dx2 ;n = dx3 .
ds ds ds

Tọa độ của các điểm tại thời điểm sau biến dạng: M(x1 + u1, x2 + u2, x3 + u3);

N(x1 + dx1 + u1 + du1, x2 + dx2 + u2 + du2, x3 + dx3 + u3 + du3).

Các thành phần vi phân của chuyển vị du1 ,du2 ,du3:

88

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

du1 = ∂u1 dx1 + ∂u1 dx2 + ∂u1 dx3;
∂x1 ∂x 2 ∂x 3

du2 = ∂u2 dx1 + ∂u2 dx2 + ∂u2 dx3 (3.17)
∂x1 ∂x 2 ∂x3

du3 = ∂u3 dx1 + ∂u3 dx2 + ∂u3 dx3
∂x1 ∂x 2 ∂x 3

Gọi chiều dài của đoạn thẳng sau khi biến dạng là ds1 = M1N1 và biến dạng tương đối
theo phương v là:

εv = ds1 − ds ds = ds1 ds −1 (3.18)

2  ds1  2 2  ds1 2
(εv + 1) =   → (εv + 2εv + 1) =   (3.19)
 ds   ds 

89

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

2  ds1 2 ds12 − ds 2 (3.20)
εv + 2εv =   −1 =
 ds  ds 2

Nếu bỏ qua vô cùng bế bậc 2 của biến dạng thì (3.20) được viết thành:

εv = ds12 − ds 2 (3.21)

2ds 2

Nhưng:

 ds 2 = du12 + du22 + du32 (3.22)
2
ds1 = (dx1 + du1 ) + (dx2 + du2 ) + (dx3 + du3 )222

Sau khi thay ds ;ds1 (3.15) vào (3.14) và biến đổi, kết quả biến dạng tương đối theo
phương v là:

εv = ε11.l2 + ε22.m2 + ε33.n2 + 2.ε12.l.m + 2.ε23.m.n + 2.ε31.n.l (3.23)

90

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

hoặc viết gọn lại: εv = εij.li.lj (i, j = 1 ÷ 3) (3.24)

Biểu thức (3.24) chứng tỏ khi biết được 9 thành phần biến dạng (ε11; ε22 ; ε33;
γ12 ; γ 21; γ 23; γ32 ; γ31; γ13) thì có thể tính được biến dạng theo 1 phương bất kỳ. Nói cách khác,
khi biết các thành phần của ma trận biến dạng:

 1 1
 ε11 γ12 γ13 
 2 2  ε11 ε12 ε13 

1 γ21 ε22 1   (3.25)
γ23 = ε21 ε22 ε23 
2 2
1 1  ε31 ε32 ε33 
 γ31 γ32 ε33 
2 2 

ta có thể tính được biến dạng theo 1 phương bất kỳ. Ta gọi các thành phần biến dạng được
sắp xếp theo ma trận (3.25) là tenxơ biến dạng, ký hiệu là Tε. Như vậy tenxơ biến dạng
đặc trưng cho trạng thái biến dạng tại một điểm.

91

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

3.6 Biến dạng chính, phương biến dạng chính

Do sự tương quan về toán học giữa tenxơ biến dạng và tenxơ ứng suất tại một điểm bất
kỳ của môi trường, tại điểm này tồn tại 3 trục chính vng góc nhau. Các trục chính này
được gọi là phương của biến dạng chính, biến dạng tương ứng với các phương của các trục
này gọi là biến dạng chính và ký hiệu là ε1;ε2;ε3 và quy ước ε1 ≥ ε2 ≥ ε3 . Các biến dạng
chính này được xác định từ phương trình bậc 3 tương tự phương trình xác định ứng suất
chính (2.19).

(ε11 − ε) ε12 ε13 
det  ε21 (ε22 − ε) ε23  = 0

 ε32 
 ε31 (ε33 − ε)

hay:

ε3 − J1.ε2 + J2.ε − J3 = 0 (3.26)

92

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

trong đó:

J1 = ε11 + ε22 + ε33 (3.27)
J2 = ε11 ε12 + ε22 ε23 + ε11 ε13

ε21 ε22 ε32 ε33 ε31 ε33

ε11 ε12 ε13
J3 = ε21 ε22 ε23

ε31 ε32 ε33

Phương trình (3.27) bao giờ cũng tồn tại 3 nghiệm tương ứng là biến dạng chính:
ε1;ε2;ε3. Sau khi tìm được biến dạng chính cũng tương tự như phương pháp tìm phương
chính của ứng suất chính chúng ta sẽ tìm được phương của biến dạng chính.

93

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

3.7 Tenxơ lệch biến dạng và tenxơ cầu biến dạng

Tương tự như tenxơ ứng suất tenxơ biến dạng Tε cũng có thể phần thành 2 thành phần:
tenxơ lệch biến dạng Dε và tenxơ cầu biến dạng Toε .

Tε = Dε + Toε (3.28)

trong đó:

(ε11 − εtb ) ε12 ε13  (3.29)
Dε =  ε21 (ε22 − εtb ) ε23  ;

 ε32 
 ε31 (ε33 − εtb )

εtb 0 0 
Toε =  0 εtb 0  ;
  (3.30)

 0 0 εtb 

94

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

εtb = ε11 + ε22 + ε33 3 . (3.31)

Như vậy trạng thái biến dạng có thể phân tích thành 2 thành phần: Thành phần tenxơ
lệch biến dạng có biến dạng thể tích bằng không (bất biến thứ nhất bằng không), thành
phần tenxơ biến dạng thứ 2 có biến dạng dài theo ba phương bằng nhau và khơng có biến
dạng góc nên phân tố chỉ có biến dạng thể tích.

3.8 Các phương trình liên tục của biến dạng

Điều kiện tương thích về biến dạng là các biến dạng và chuyển vị cần đảm bảo tính
liên tục từ điểm này sang điểm khác trong cùng một vật thể đàn hồi. Nếu khi cho 6 thành
phần biến dạng tùy ý mà không thỏa mãn về điều kiện tương thích về biến dạng thì trước
khi biến dạng mơi trường liên tục về mặt biến dạng, nhưng sau khi biến dạng thì điều kiện
liên tục của các điểm trong vật thể khơng cịn thỏa mãn nữa. Về mặt tốn học điều kiện
liên tục chính là điều kiện để bài tốn có nghiệm duy nhất, tức là mỗi trạng thái ứng suất
sẽ tương ứng với một trạng thái biến dạng và chuyển vị duy nhất.

95