Bài giảng cơ học môi trường liên tục chương 4 ts phạm văn đạt

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Chương 4: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH
4.1 Định luật Hooke

Với vật thể đàn hồi tuyến tính, do đó mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là mối
quan hệ tuyến tính do đó:

 σ11  c11 c12 c13 c14 c15 c16   ε11 
   
σ22  c21 c22 c23 c24 c25 c26  ε22 
σ33  c31 c32 c33 c34 c35 c36  ε33 
 =   (4.1)
σ12  c41 c42 c43 c44 c45 c46  ε12 
σ23  c51 c52 c53 c54 c55 c56  ε23 
   
σ31  c61 c62 c63 c64 c64 c66  ε31 

trong đó: cij :là các hằng số đàn hồi của vật liệu, đối với bài tốn đàn hồi tuyến tính có 36
hằng số.

Cơng thức (4.1) chính là cơng thức của định luật Hooke mở rộng.

120

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

4.2 Thế năng biến dạng x2
σ22
Xét một vật thể đàn hồi, khi chịu tác
dụng của ngoại lực thì vật thể bị biến dạng. σ11 τ13 τ21

Các nội lực đàn hồi sẽ thực hiện một công τ32 σ33
nào đó trên những biến dạng đàn hồi. Ta sử
dụng giả thuyết của lý thuyết đàn hồi là dx2 τ12 τ23 τ31 τ12
công của lực đàn hồi chuyển hoàn toàn σ33
thành thế năng tích lũy khi vật thể biến dạng τ31 τ32 σ11
đàn hồi. Năng lượng tích lũy biến dạng τ23 τ13 x1
trong một đơn vị thể tích được gọi là thế
năng riêng. τ21

x3 dx1 σ22

Hình 4.1

121

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Xét một phân tố, trên một của phân tố có các thành phần ứng suất. Công phân tố do các
nội lực sinh ra trong biến dạng đàn hồi:

dA = 12 σ11ε11dV + 12 σ22ε22dV + 12 σ33ε33dV + 12 σ12γ12dV + 12 σ23γ23dV + 12 σ31γ31dV (4.2)

dA = 12 (σ11ε11 + σ22ε22 + σ33ε33 + σ12γ12 + σ23γ23 + σ31γ31 ) dV

Thế năng riêng:

U = dA dV = 12 (σ11ε11 + σ22ε22 + σ33ε33 + σ12γ12 + σ23γ23 + σ31γ31 ) (4.3)

Công thức Castigliano cho vật thể đàn hồi tuyến tính:

εij = ∂U (4.4)
∂σ ij

Công thức Green cho vật thể đà hồi tuyến tính:σij = ∂U (4.5)
∂ε ij
122

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

4.3 Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

4.3.1 Tính đối xứng của ma trận các hằng số đàn hồi

Ta có, đạo hàm riêng của thế năng riêng theo biến dạng không phụ thuộc vào thứ tự lấy
đạo hàm nên:

∂2U = ∂2U (4.6)
∂εij∂εkl ∂εkl∂εij

Từ đó rút ra:

cij = c ji (4.7)

Như vậy từ 36 hằng số độc lập giờ chỉ còn 21 hằng số độc lập.

123

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

4.3.2 Vật thể đàn hồi trực hướng

Trong trường hợp tổng quát hệ số đàn hồi phụ thuộc vào cách chọn hệ trục tọa độ, vật
thể như vậy gọi là vật thể dị hướng. Bây giớ xét vật thể có 1 mặt đối xứng (chẳng hạn mặt
x1x2 ) do đó khi ta thay đổi chiều của trục thì trong biểu thức U hệ số các biến dạng γ23; γ31
không thay đổi, nghĩa là:

c15 = c16 = c25 = c26 = c35 = c36 = c45 = c46 = 0 (4.8)

Như vậy ma trận các hằng số đàn hồi còn lại 13 thành phần độc lập và biểu thức định
luật Hooke có dạng:

124

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

σ11  c11 c12 c13 c14 0 0   ε11 
   
σ22   c22 c23 c24 0 0  ε22 
σ33   c33 c34 0 0  ε33 
 =   (4.9)
σ12   c44 0 0  ε12 
σ23   (đx) c55 c56  ε23 
   
σ31   c66  ε31 

Nếu 3 mặt đối xứng vng góc nhau là x1x2, x2x3, x3x1 thì tương tự như trên ta tìm
được các hằng số triệt tiêu là:

c14 = c24 = c34 = c56 = 0 (4.10)

Như vậy ma trận các hằng số đàn hồi còn lại 9 thành phần độc lập và biểu thức định
luật Hooke có dạng:

125

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

σ11  c11 c12 c13 0 0 0   ε11 
   
σ22   c22 c23 0 0 0  ε22 
σ33   c33 0 0 0  ε33 
 =   (4.11)
σ12   c44 0 0  ε12 
σ23   (đx) c55 0  ε23 
   
σ31   c66  ε31 

Những vật thể có 3 mặt đối xứng như nhau gọi là vật thể trực hướng. Nếu vật thể trực
hướng có tính chất theo cả 3 phương như nhau thì ta có:

c11 = c22 = c33; c12 = c13 = c32; c44 = c55 = c66 .

Lúc này chỉ còn 3 hằng số độc lập là: c11;c12;c44. Ma trận hằng số đàn hồi của vật liệu
có dạng:

126

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

c11 c12 c12 0 0 0 

 
 c11 c12 0 0 0 
 c11 0 0 0 
(cij ) =   (4.12)
c44 0 0 

 (đx) c44 0 
 
 c44 

Vật thể đẳng hướng: là vật thể có tính chất theo mọi phương là như nhau. Do đó khi
xoay trục thì các hằng số đàn hồi khơng thay đổi. Giả sử xoay các trục x1, x2 , x3 đến vị trí
các trục chính khi đó biểu thức U có dạng:

Như vậy đối với vật thể đàn hồi đẳng hướng chỉ còn hai hằng số độc lập và ký hiệu:
c12 = λ;c44 = µ.

Hai hằng số λ,µ được gọi là hai hằng số Lame.

Biểu thức quan hệ giữa ứng suất và biến dạng sẽ có dạng là:

127

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

 σ11 = λθ + 2µε11 (4.13)
σ22 = λθ + 2µε22

σ33 = λθ + 2µε33


 τ12 = µγ12
 τ23 = µγ23

 τ31 = µγ31

trong đó: θ = ε11 + ε22 + ε33 là biến dạng thể tích tương đối.

Nếu đặt S = σ11 + σ22 + σ33 là bất biến thứ nhất của hàm ứng suất (hàm tổng ứng suất).

Biểu thức của định luật Hooke dưới dạng khối sẽ là: S = (3λ + 2µ )θ (4.14)

Giải hệ phương trình (4.13) theo các ẩn số là biến dạng sẽ ta được:

128

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

 1 λ (4.15)
 ε11 = σ11 − S (4.16)
 E  2µ + 3λ 
 1 129
λ
ε22 = σ22 − S
 E  2µ + 3λ 
 1
ε33 = σ33 − λ
S
 E  2µ + 3λ 

 1

 γ12 = τ12 ;
µ
 1
 γ23 = τ23
µ
 1
 γ31 = τ31
 µ

Đặt: λ = Eυ ;µ = E
(1+ υ)(1− 2υ) 2(1+ υ)

Hệ thức (4.15) được viết lại:

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

1

ε11 = σ11 − υ(σ22 + σ33 )
E
ε22 = 1 σ22 − υ(σ33 + σ11 )
E
1
ε33 = σ33 − υ(σ11 + σ22 )
E

 2(1+ υ)
 γ12 = E τ12

 2(1+ υ)

γ23 = τ23
 E

 γ31 = 2(1+ υ) τ31 (4.17)

 E

trọng đó: E được gọi là mô đun đàn hồi của vật liệu; υ gọi là hệ số poisson (hệ số nở
ngang); µ = G gọi là mô đun đàn hồi trượt của vật liệu.

130

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Ví dụ 4.1: Tại điểm K của vật thể đàn hồi có E = 2.104 (kN / cm2 );υ = 0, 25 với biến dạng
cho bởi tenxơ:

3 1 2
1 1 2.10−4
 
2 2 1

Yêu cầu

1) Hãy xác định ứng suất toàn phần, ứng suất pháp, ứng suất tiếp trên mặt cắt đi qua điểm
r 22

đang xét có véctơ pháp tuyến v = ( ; ;0).
22

2) Tính ứng suất chính tại điểm K.

3) Xác định phương chính của ứng suất chính thứ nhất.

4) Tính suất tiếp lớn nhất

131

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Lời giải:

1) Ứng suất tồn phần trên mặt cắt

Bước 1: Tính tenxơ ứng suất tại K:

Cách 1:

Tính các hằng số Lame:

λ = Eυ = 2.104.0,25 = 0,8.104(kN / cm2 )
(1+ υ)(1− 2υ) (1+ 0,25)(1− 0,5)

µ = E = 2.104 = 0,8.104(kN / cm2)
2(1+ υ) 2(1+ 0,25)

Biến dạng thể tích tương đối:

θ = ε11 + ε22 + ε33 = 5.10−4

132

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

Theo định luật Hooke:

σ11 = λ.θ + 2µε11 = 0,8.104.5.10−4 + 2.0,8.104.3.10−4 = 8,8kN / cm2

σ22 = λ.θ + 2µε22 = 0,8.104.5.10−4 + 2.0,8.104.1.10−4 = 5, 6kN / cm2

σ33 = λ.θ + 2µε33 = 0,8.104.5.10−4 + 2.0,8.104.1.10−4 = 5, 6kN / cm2

σ12 = 2µε12 = 2.0,8.104.2.10−4 = 1, 6kN / cm2

σ23 = 2µε23 = 2.0,8.104.4.10−4 = 3, 2kN / cm2

σ31 = 2µε31 = 2.0,8.104.4.10−4 = 3, 2kN / cm2

Tenxơ ứng suất tại điểm K là:

133

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

8,8 1,6 3,2
1,6 5,6 3,2 (kN / cm2 )
 
3,2 3,2 5,6

Cách 2:

Theo định luật Hooke

E 2.10 − 4 4 2
τ12 = γ12 = 2.10 = 1,6(kN / cm )
2(1+ υ) 2(1+ 0, 25)

E 2.10 − 4 4 2
τ23 = γ23 = 4.10 = 3, 2(kN / cm )
2(1+ υ) 2(1+ 0,25)

E 2.10 − 4 4 2
τ31 = γ31 = 4.10 = 3, 2(kN / cm )
2(1+ υ) 2(1+ 0, 25)

134

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

1

ε11 = σ11 − υ(σ22 + σ33 )

E
1

ε22 = σ22 − υ(σ33 + σ11 )

E
1

ε33 = σ33 − υ(σ11 + σ22 )

 E

 σ11 − 0, 25σ22 − 0, 25σ33 = ε11E = 6

→ −0, 25σ11 + σ22 − 0, 25σ33 = ε22E = 2 (a)
−0, 25σ11 − 0, 25σ22 + σ33 = ε33E = 2

Giải hệ phương trình (a) sẽ xác định đươc các thành phần ứng suất pháp:
σ11 = 8,8(kN / cm2 ); σ22 = 5, 6(kN / cm2 ); σ33 = 5, 6(kN / cm2 ).

Bước 2: Xác định các thành phần ứng suất theo ba phương của ứng suất toàn phần trên
mặt phẳng nghiêng:

135

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

 2 2
pv1 = lσ11 + mτ12 + nτ12 = .8,8 + .1,6 + 0.3, 2 = 5, 2 2
 2 2

 2 2
pv2 = lτ21 + mσ22 + nτ23 = .1,6 + .5,6 + 0.3, 2 = 3,6 2
 2 2

 2 2
pv3 = lτ31 + mτ32 + nσ33 = .3, 2 + .3, 2 + 0.5,6 = 3, 2 2

 2 2

Bước 3: Xác định ứng suất toàn phần:

Ứng suất toàn phần trên mặt cắt nghiêng:

pv = (pv1 )2 + (pv2 )2 + (pv3 )2 ≈ 10, 2(kN / cm2 )

Bước 4: Xác định ứng suất pháp trên mặt cắt nghiêng:

σv = (pv1.l) + (pv2.m) + (pv3.n ) ≈ 8,800(kN / cm2 )

136

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT
137
Bước 5: Xác định ứng suất tiếp trên mặt cắt nghiêng:

τv = pv2 − σv2 ≈ 4,800(kN / cm2 )

2) Tính ứng suất chính tại điểm K.

8,8 1,6 3,2
1,6 5,6 3,2 (kN / cm2 )
 
3,2 3,2 5,6

Tính các bất biến I1;I2;I3:

I1 = σ11 + σ22 + σ33 = 8,8 + 5,6 + 5,6 = 20

I2 = σ11 σ12 + σ22 σ23 + σ11 σ13 = 106,88
σ21 σ22 σ32 σ33 σ31 σ33

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

σ11 σ12 σ13
I3 = σ21 σ22 σ23 = 146,94

σ31 σ32 σ33

Xác định ứng suất chính:

Ứng suất chính là nghiệm của phương trình: σ3 − I1.σ2 + I2.σ − I3 = 0

σ3 − 20.σ2 +106,88.σ −146,94 = 0 (b)

Nghiệm của phương trình (b) là:

σ1 = 12, 26(kN / cm2 ); σ2 = 5, 6(kN / cm2 ); σ3 = 2,14(kN / cm2 ).

3) Xác định phương chính của ứng suất chính thứ nhất

Phương chính tương ứng với ứng suất chính thứ nhất là nghiệm của hệ phương trình:

138

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT

(8,8 −12,26).l +1,6.m + 3, 2.n = 0


1,6.l + (5,6 −12,26).m + 3, 2.n = 0 (c)
2
l + m + n = 1 2 2

Giải hệ phương trình (c) trên ta được: l = 0,7114 l = −0,7114
 
m = 0, 4358; m = −0, 4358
n = 0,5513 n = −0,5513

139