Sự tương giao đồ thị

GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230
VẤN ĐỀ 8 : SỰ TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
Lý Thuyết : cho hai hàm số có đồ thị là (C) và
()yfx=
()ygx
=
có đồ thị là
(C’). Muốn xét sự tương giao của 2 đồ thị trên ta xét phương trình hoành độ giao
điểm :
() ()
f
xgx
=
(*)
số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị C) và (C’)

chú ý : số α không là nghiệm của phương trình g(x) = 0
g
() 0
α
⇔
≠


VD : Cho hàm số (C). Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường
3
yx 3x=−
thẳng (d):
(
)

ymx1 2=++
luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm M cố định và
xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho
tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.
PT hoành độ giao điểm (1)
⇔

xxx m
2
(1)( 2 )+−−−=0
2)
x
xx m
2
10
20(
⎡
+=
⎢
−−− =
⎣
(1) luôn có 1 nghiệm
x
1=−
(
y
2
=
)
⇒

(d) luôn cắt (C) tại điểm M(–1; 2).
(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
⇔
(2) có 2 nghiệm phân biệt, khác –1

⇔

9
4
0
m
m
⎧
>−
⎪
⎨
⎪
≠
⎩
(*)
Tiếp tuyến tại N, P vuông góc
⇔

'( ). '( ) 1
NP
yx yx
=
−

⇔

m
322
3
−±
=
(thoả (*))
Bài 1 : tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của đồ thị 2 hàm số sau
a) (C) :
21
21
x
y
x
+
=
−
và (d) :
yx2
=
+
( Tốt nghiệp THPT– 2011)
b) (C) :
1
3
x
y
x
+
=

−
và (d) :
y
2x 6
=
−

Email : ngvu
1
c) (C) :
32
y
x2xx=− ++1
1
và (d) :
y2x
=
−

Bài 2 : Định m để
a) (Dự Bị khối B – 2003) cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt.
2
y(x1)(x mxm)=− + +
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
2
(ĐS :
04
1

2
mm
m
<∨ >
⎧
⎪
⎨
≠−
⎪
⎩
)
b)
y
cắt (d) :
32
x 3x 2=− +
2ymx
=
+
tại 3 điểm phân biệt
c)
32
xx
y2
cắt (d) :
x
32
=+−
11
ymx

21
⎛⎞
3
2
=
++
⎜⎟
⎝⎠
tại 3 điểm phân biệt.
(Gợi ý : có 1 nghiệm là x = ½ , ĐS : m > - 9/4)
d)
y
cắt (d) :
32
x 6x 9x 6=− +−
y
mx 2m 4
=
−−
tại 3 điểm phân biệt.
(ĐS : m > - 3)
e)
y4
cắt (d) :
3
x 3x1=−+
(
)
y
mx 1 2

=
−+
tại 3 điểm phân biệt.
(ĐS : )
0m9<≠
f) . Tìm m để đường thẳng y = mx + 1 cắt (C) tại ba điểm
phân biệt A , B , C sao cho A(0; 1) và B là trung điểm của AC. ( ĐS : m = 4 )
16x2xy
23
++−=
g) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
()
32
yx 3x m2xm2=− + − ++
(ĐS : )
7m2−≠ <
Bài 3 :
a) (Khối D – 2006) Cho hàm số
3
yx 3x2
=
−+
. Gọi (d) là đường thẳng đi qua
A(3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
(ĐS :
15
)
m24
4
<≠

b) Cho hàm số
2x 1
y
x1
−
=
+
(C). Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(–2; 2) và có
hệ số góc m. Tìm m để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
(ĐS : )
m0m12<∨ >
c) Cho hàm số (C ). Gọi A là giao điểm của (C ) và trục Oy
và (d) là đường thẳng qua A có hệ số góc k. Định k để (d) cắt (C ) tại 3 điểm
phân biệt.
2
y(4x)(x1)=− −
Bài 4 : Cho hàm số có đồ thị là (C), và đt (d) : . Tìm
k để (C) cắt (d) tại 3 đểm phân biệt trong đó có 2 điểm có hoành độ dương
32
y2x 3x 1=−−
ykx1=−
Bài 5 : Cho hàm số
3
32
y
xx=−+
có đồ thị là (C), và đt (d) qua có hệ
số góc là m. Tìm m để (C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt.
(3; 20)A
Bài 6 : cho hàm số

x1
y
x1
+
=
−
(C)
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
3
1
a)Tìm m để (D) : cắt (C) tại hai điểm phân biệt
ymx=+
b)Tìm m để (D) :
y
mx 1=+
cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh
của (C)
Bài 7 :
a) Cho hàm số
2x 1
y
x2
+
=
+
(C)
Tìm m để (C) cắt (d) : tại 2 điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn
AB ngắn nhất (ĐS : ,
yx=− +

m0=
m
AB = 24
)
b) Cho hàm số
x2
y
x1
−
=
−
(C)
Tìm m để (C) cắt (d) : tại 2 điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn
AB ngắn nhất (ĐS : )
yx=− +
m2=
m
c) Cho hàm số
x1
y
2x
−
=
(C)
Tìm m để (C) cắt (d) : tại 2 điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn
AB ngắn nhất (ĐS : )
yx=− +
m1/2=
m
d) Cho hàm số

x3
y
x1
+
=
+
(C)
CMR (C) luôn cắt (d) : tại 2 điểm phân biệt M và N. Tìm m để đoạn
MN nhỏ nhất. (ĐS : )
2yx=+
m3=
m

Bài 8 :
a) Cho hàm số
3x 1
y
x1
−
=
+
(C)
Tìm m để (C) cắt (d) : tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho tam giác
OAB vuông tại O. (ĐS : m = – 1/2)
yxm=+
b) Cho hàm số
2x 1
y
x1
−

=
−
(C)
Tìm m để (C) cắt (d) : tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho tam giác
OAB vuông tại O. (ĐS : m = – 2)
yxm=+
c) Giả sử (d) là đường thẳng đi qua A (0,1) và có hệ số góc m. Tìm tất cả tham số
thực m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho :
x3
y
x2
−
=
−
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
4
1/ (ĐS : 2/ là trọng tâm tam giác OAB. (ĐS : m = 5)
AB 10=
0
1
m
m
<
⎡
⎢
>
⎣
2
G;4

3
⎛⎞
⎜
⎝
⎟
⎠
d) Cho hàm số
2x 2
y
x1
−
=
+
(C)
Tìm m để (C) cắt (d) : tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho
y2xm=+
AB 5=

(ĐS : m = – 2, 10)
e) Cho hàm số
x1
y
xm
−
=
+
(C)
Tìm m để (C) cắt (d) : tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho
yx2=+
AB 2 2=

(ĐS : m = 7 )
f) (Khối B – 2010) Cho hàm số
2x 1
y
x1
+
=
+
(C) . Tìm m để đường thẳng
y =
−2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có
diện tích bằng
3
(O là gốc tọa độ).

Bài 9 : Cho hàm số (C
m
)
22
y(x1)(x mxm 3)=− − + −
a) Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
b) Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ dương.
Bài 10 :
a) (ĐHSP HN – 97) Cho hàm số
(

)
42
y1mxmx2m1
=
−−+−
(C
m
). Tìm m
để (C
m
) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. (ĐS :
12
m1m
23
<
<∨ ≠
)
b) (ĐH Y Dược Tp. HCM– 98) Cho hàm số
(
)
42
yx2m1x2m1
=
−+ + − −

(C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số

cộng . (ĐS : )
m4;4/9=−
c) Cho hàm số (C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 4 điểm
phân biệt lập thành CSC.
42
yx mx m=− +−1
d) Cho hàm số (C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành
tại 4 điểm phân biệt thỏa
()
42 2
yx m 10x 9=− + +
1234
x,x,x,x
1234
xxxx8
+
++=

e) Cho hàm số (C
m
). CMR (C
m

) luôn cắt trục
hoành tại 4 điểm phân biệt với mọi giá trị m và tìm m sao cho
()
4224
yx 2m 2x m=− + + +
1234
x,x,x,x
3
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
5
( ĐS : m = 0 )
2222
1 2 3 4 1234
xx xxx.x.x.x1++++ =1
.
3
Bài 11 :
a) (Khối A 2010) (1), m là tham số thực. Tìm m để
đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thỏa
mãn điều kiện
32
yx 2x (1m)xm=− +− +
222
123
xxx4.++<
12
x,x,x
b) Cho hàm số . Tìm m để
cắt trục hoành tải 3 điểm phân biệt có tổng các bình phương các hoành độ

bằng 28.
32
m
(C ): y 2x 2(6m 1)x 3(2m 1)x 3(1 2m)=+ − − −−+
m
(C )
c) Tìm
m
để
R∈
32
m
(C ) :
y
x 3mx 3x 3m 2=− −+ +
123
x,x
222
123
xxx15
cắt Ox tại 3 điểm phân
biệt có hoành độ thõa mãn
x,
+
+≥
. (
m( ;1][1; )
∈
−∞ − ∪ +∞
)

d)
yx
(1), m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số
(1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn điều kiện

32
2x (1m)xm=− +− +
222
123
xxx15++>
.
312
x,x,x
Bài 11 : Cho hàm số
32
y
x2mx3(m1)x=+ + − +
x 2−+
A
2
(1). Tìm m để đồ thị hàm số cắt
đường thẳng tại 3 điểm phân biệt ; B; C sao cho tam giác
MBC có diện tích
:yΔ=
(0;2)
22
(3;1).M
32
, với (ĐS : m = 0; 3)
Bài 13 : Cho hàm số (C) : . Tìm m để (C) cắt Ox tại

ba điểm phân biệt có hoành độ bé hơn 2.
y3x x (2m6)x2m2=−+ −+−
Bài 14 : (C) :
x1
y
x1
+
=
−
và (d) : y = mx +1. Tìm m để (C) cắt (d) tại hai điểm phân
biệt thuộc cùng một nhánh của (C).
Bài 15 : (C) :
2x 1
y
x1
−
=
+
và (d) : y = mx +2m +2. Tìm m để (C) cắt (d) tại hai điểm
phân biệt thuộc hai nhánh của (C).
Bài 16 : Cho hàm số
x2
y
2x 1
−
=
−
(C) và
(
)

m
d: ymxm1
=
++
. Tìm m để (d
m
) cắt (C)
tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C).
Bài 17 : Cho hàm số (C) và đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O
và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt O, A, B sao cho
32
yx 3x 6x=− +
AB 17=
.
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
6
Bài 18 : Cho hàm số (Cm) : . Tìm m để đồ thị hàm
số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ bé hơn 2.
32
ymx 2(m1)x (m5)x=+−+−
Bài 19 : ( ĐH Ngoại Thương – 96 ) : Cho hàm số (Cm) :
322
y
x 3(m 1)x 2(m 4m 1)x 4m(m 1)=− + + + + − +
.
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ lớn hơn 1.
( Đs :
1
1

2
m<≠
)
Bài 20 : Cho (C) : . Tìm tất cả các đường thẳng đi qua A(4, 4) và
cắt (C) tại ba điểm phân biệt. ( ĐS :
32
yx 6x 9x=− +
09k
<
≠
)
Bài 21 : a) (Khối A - 2011) Cho hàm số
2x 1
y
x1
+
=
+
(C)
Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k +1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. (ĐS : k = -3)
b) (Khối D - 2011) Cho hàm số
x1
y
2x 1
−
+
=
−
(C) . Chứng minh rằng với mọi m

đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k
1
, k
2

lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k
1
+ k
2

đạt giá trị lớn nhất. (ĐS : m = -1)
Bài 22 : Cho hàm số
(
)
32
yx 3x m2xm2=− + − ++
(C)
Tìm m để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ dương
(ĐS : )
2m2−< <
Bài 23 : Cho hàm số y = x
4
–(3m + 4 )x
2
+ m
2
có đồ thị là (C)
a/ Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
b/ Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập cấp số cộng.
Bài 24 : Cho hàm số y = x

4
–10mx
2
+ 6m

+ 3 có đồ thị là (C)
a/ Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt (ĐS :
1
m
2
>
)
b/ Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập cấp số cộng.
(ĐS : )
m1=
Bài 25 : Cho hàm số có đồ thị là (C)
()
42
y x 3m 2 x 2m 5m 1=− + + − −
Tìm m để (C) cắt đường thẳng y =
2
−
tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập cấp số
cộng. (ĐS : )
m1=
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
7
Bài 26 : Cho hàm số
()

m
mx
yH
x2
−
=
+

Tìm m để đường thẳng d : 2x + 2y - 1= 0 cắt
(
)
m
H
tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho tam giác OAB có diện tích bằng
8
3
. (Đáp số : m =
2
1
)
Bài 27 : Cho hàm số
2x 1
y
x1
−
=
−
(C).
Tìm m để đường thẳng d: cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

ΔOAB vuông tại O.
=+yxm
Bài 28 : Cho hàm số có đồ thị là (C). Gọi E là tâm đối xứng của
đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại ba điểm E, A, B phân
biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng
yx x
32
3=− +2
2
.
Bài 29 : Cho hàm số y =
1
12
−
+
x
x
(1)
Định k để đường thẳng d: y = kx + 3 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm M, N sao cho
tam giác OMN vuông góc tại O. ( O là gốc tọa độ)
Bài 30 : Cho hàm số
(
)
(
)
32
m
yx 2mx m3x4 C=+ + + +
(1). Tìm m để đường thẳng
d : y = x + 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác

MBC có diện tích bằng 4 . ( Điểm B, C có hoành độ khác không ; M(1;3) ).

VẤN ĐỀ 9 : CÁC DẠNG KHÁC
Công Thức Cũ
:
A
2
2
B
I
Trung điểm
(; )
II
I
x
y
của đoạn thẳng AB :
A
B
I
xx
x
yy
y
+
⎧
=
⎪
⎪
⎨

+
⎪
=
⎪
⎩

Khoảng cách giữa 2 điểm A,B là
22
()(
BA B A
)
A
Bxx yy=−+−

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (D):
MM
M(x;y)
0Ax By C
+
+=
:

MM
22
Ax By C
d[M; D]
AB
+
+
=

+
với
n(A; B)=
r
là pháp vectơ
Điểm cố định :
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
8

2
0
(; ) (; ) 0 . . 0 0
0
A
f
xm y f xm y Am Bm C B m
C
=
⎧
⎪
=⇔ −=⇔ + +=⇔ =∀
⎨
⎪
=
⎩

Tọa độ nguyên : chia hàm số ra , sau đó cho mẫu là các số mà tử chia hết
Bất đăng thức Cachy :
2.ab ab+≥

,dấu “ = “ xảy ra
ab
⇔
=

VD 1: (DB-2007). Cho hàm số
()
1
1
11
x
yC
xx
==−
++

Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận cắt nhau tạo thành
một tam giác cân .
Giải Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm
(
)
00
Mx;y
, thì d :

()
()
00
2
0

1
yxx
x1
=−+
+
y
với
0
0
1
1
1
y
x
⎛⎞
=−
⎜⎟
+
⎝⎠

- Nếu d cắt tiệm cận đứng : x = -1 tại điểm B :
()
()
()
() ()
00 0
B00
2
00 0 0
0

xx1 1
11
y1xy 1;
x1 x1 x1 1
x1
x
B
x
⎛⎞
−−
=−−+=−+=⇒−
⎜⎟
⎜⎟
+++ +
+
⎝⎠

- Khi d cắt tiệm cận ngang : y = 1 tại điểm A , thì
:
()
() (
00 0 0
2
0
1
1xxyx2x12x
x1
AA
A⇒= − + ⇔ = +⇒ +
+

)
1;1

- Goi giao hai tiệm cận là I(-1;1) . Tam giác IAB là tam giác cân khi : IA = IB
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−=−
+
−
+=−
+
−
⇔
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=+⇔=⇔
221

1
1
221
1
1
1
1
1
)22(
0
0
0
0
0
0
2
0
0
2
0
22
x
x
x
x
x
x
x
x
xIBIA

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=→−=
=→=
⇒
⎢
⎢
⎣
⎡
=+
=++
⇔
3
2
2
00
02
)(022
00
00
0
2
0
0
2
0
yx

yx
xx
VNxx

Với x = 0 và y = 0 , ta có tiếp tuyến : y = x
Với x = -2 và y = 2/3 , ta có tiếp tuyến : y = x + 8/3 .
VD 2 : Cho hàm số . (1)
mxxy +−=
23
3
2. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục
Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng
2
3
.
Giải : Với M(1 ; m – 2)
21
00
−=⇒= myx
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
9
- Tiếp tuyến tại M là d: d: y = -3x + m + 2.
2))(63(
00
2
0
−+−−= mxxxxy
⇒
d cắt trục Ox tại A:

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⇒
+
=⇔++−= 0;
3
2
3
2
230
m
A
m
xmx
AA

d cắt trục Oy tại B :
)2;0(2
+
⇒+= mBmy
B


9)2(32
3

2
3||||
2
3
||||
2
1
2
3
2
=+⇔=+
+
⇔=⇔=⇔= mm
m
OBOAOBOAS
OAB

⎢
⎣
⎡
−=
=
⇔
⎢
⎣
⎡
−=+
=+
⇔
5

1
32
32
m
m
m
m
Vậy : m = 1 và m = - 5
VD 3 : Cho hàm số
422
1
yx4mx4m,(
2
=+ + 1)
Tìm giá trị của m để hàm số (1) có
3 cực trị, đồng thời ba điểm cực trị của đồ thị xác định một tam giác có bán kính
đường tròn ngoại tiếp bằng
3
4
.
Giải :
422 2
2
0
1
44 '2(4);'0
2
4
x
yxmxmyxxmy

x
m
=
⎡
=+ +⇒= + =⇔
⎢
=
−
⎣

Đồ thị hàm số có 3 cực trị thì Phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt và y’ đổi
dấu khi x qua 3 nghiệm suy ra điều kiện :
40mm0
−
>⇔ <

Cực đại
2
A(0; 4m )
Hai cực tiểu
22
B(2 m;4m), (2 m;4m)C−−− −−
.
Khi đó tam giác xác định bởi 3 điểm cực trị tạo thành là tam giác cân ABC.Gọi R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi đó
ΔABC
AB.AC.BC
R
4S
=

Khoảng cách từ cực đại đến đường thẳng qua 2 cực tiểu là : ,
2
8hm=
4
B
C=−m
,
4
64 4
A
BAC m m== −
.Suy ra
22
11
.4.816
22
ABC
SBCh mmm
Δ
==−= m−

và AB.AC.BC=
4
(16 4 ) 4mm−−m

Vậy
()
4
32

2
3(16 4)4 3 1
413 4 22
442
4.16.
mm m
Rmmm
mm
−−
⎛⎞
=⇔ =⇔ −= ⇔ + − − =
⎜⎟
−
⎝⎠
0mm

Suy ra
1
m
2
=−

Bài 1 : (Dự Bị -2004 ). Cho hàm số
(
)
422
m
yx 2mx 1 C=− +
(1)
Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân .

GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
10
Bài 2 : Cho hàm số
(
)
422
m
yx 2mx 2m m C=− + −
(1) với m là tham số thực.
Định m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác
vuông.
Bài 3 : Cho hàm số
()
(
)
422
m
yx 2m2x m 5m5 C=+ − + − +

Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu tạo thành một tam giác
vuông cân.
Bài 4 : Cho hàm số
(
)
42
m
yx 2mx 2m1 C=− + −
(1) với m là tham số thực.
Định m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị và:

a) Khoảng cách giữa 2 cực tiểu bằng 4
b) ba cực trị tạo thành 1 tam giác có chu vi
(
)
41 65+
(ĐS : m = 4 )
Bài 5 (Khối B – 2011): Cho hàm số
(
)(
42
m
yx 2m1x mC=− + +
)
(1) m là tham
số. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là
gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
Bài 6 : Cho hàm số
(
2
42
m
m
yx mx 6 C
2
=+ +−
)
(1) với m là tham số thực.
Định m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị A
∈
Oy ,B,C và:

a) Khoảng cách giữa 2 cực tiểu bằng
22

b) Ba cực trị tạo thành 1 tam giác vuông tại A (ĐS : m = -2 )
c) Ba cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 32.
(ĐS : m = -8 )
d) Tứ giác ABOC là hình bình hành (ĐS : m = -
6
)
Bài 7 : Cho hàm số
()
4222
m
11 1
yx mx mC
42 2
=− +

Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu tạo thành một tam giác
nhận O làm trọng tâm .
Bài 8 : Cho hàm số
3x 1
y
x1
+
=
+
(C) (1).
a) Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là những số nguyên.
b) Tính diện tích tam giác tạo bảo các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ thị hàm số

(1) tại điểm M (–2, 5). (ĐS : 81/4 đvdt )
Bài 9: Cho hàm số
3x
y
2x 1
=
+
(C) (1). Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là những
số nguyên.
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
11
Bài 10 (soạn): Cho hàm số
3x 2
y
2x 1
−
=
+
(C) (1). Tìm trên (C) những điểm có tọa độ
là những số nguyên.
Bài 11: (C)
2x 1
y
1x
+
=
+
.Tìm trên ( C ) những điểm có tổng khoảng cách đến hai
đường tiệm cận :

a) Nhỏ nhất (ĐS : M(0,1) và N(-2,3)
b) Bằng 2 (ĐS : M( -2,3) và N(0,1) )
Bài 12: (C)
3x 5
y
x2
−
=
−
.Tìm trên đồ thị những điểm để tổng khoảng cách đến hai
tiệm cận, nhỏ nhất. (ĐS : M(1,2) và N (3,4) )
Bài 13: (C)
x2
y
x3
+
=
−
.Tìm điểm M thuộc ( C ) sao cho khoảng cách từ M đến TCĐ
bằng 1/5 khoảng cách từ M đến TCN (ĐS : M(4, 6), N(2,-4) )
Bài 14: (Khối B - 2003). Cho hàm số
32
y
x3xm
=
−+
(1) (m là tham số). Tìm m
để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Bài 15: Cho hàm số
42 2

y
x2(mm1) mx 1
=
−−++−
( C ).Tìm m để (C) có khoảng
cách giữa hai điểm cực tiểu nhỏ nhất. ( ĐS : m = ½ )
Bài 16: (C) :
3x 7
y
x2
−
=
−
.
Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2 đường tiệm cận . ĐS : M
1
( 3; 2) và M
2
(1; 4)
Bài 17: (C)
x2
y
x2
+
=
−
.Tìm trên ( C ) những điểm có tổng khoảng cách đến hai
đường tiệm cận nhỏ nhất (ĐS : M(0,-1))
Bài 26: (ĐH GTVT – 96 ) Cho (C)
49

23
+++= xmxxy
a) KSHS khi m = 6
b) Tìm m để ( C ) có 1 cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ
Bài 19: Tìm trên đồ thị hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua trục tung:
a. y = 2x
3
– 9x
2
– 12x + 1
b.
32
11
yxx3x
33
=− + + −
1

GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
12
Bài 20: Tìm m để trên đồ thị có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa
độ O
a.
32
1
yxmx2x2m
3
=+−−−
1

3
b. y = x
3
- 3x
2
+ m
Bài 21: Cho hàm số
2x 2
y
x2
−
=
+
(C)
Tìm toạ độ những điểm M sao cho
[
]
[]
,
4
,5
dMOx
dMOy
=
.
Bài 22: Cho hàm số
x
y
x1
=

−
(C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp
tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua điểm M và điểm I (1; 1).
(ĐS : M(0,0) ; M(2, 2))

GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
13
VẤN ĐỀ 10 : ĐỒ THỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI
Lý Thuyết về các phép biến đổi cơ bản : Cho hàm số
y f(x)
=
có đồ thị là (C) ta
suy ra được các đồ thị hàm số sau :
+ Lấy đối xứng (C) qua Ox ta sẽ được đths (C
1
) :
yf(x)
=
−

+ Lấy đối xứng (C) qua Oy ta sẽ được đths (C
2
) :
yf(x)
=
−

Phương pháp : Xét dấu trị tuyệt đối rồi đưa thành các hàm không chứ trị tuyệt
đối sau đó vẽ từng phần rồi ghép lại

AA=
nếu
A0≥

A=−A
nếu
A0
<

Dạng 1 : Đồ thị hàm số (C’) :
yf(x)=


f(x) khi f(x) 0
yf(x)
f(x) khi f(x) 0
≥
⎧
==
⎨
−<
⎩

Đồ thị (C’) gồm 2 phần :
+ Giữ nguyên phần (C) phía trên Ox
+ Lấy đối xứng qua Ox phần (C) nằm phía dưới trục hoành


Dạng 2 : Đồ thị hàm số (C’) :
y
f( x )=


f(x) khi x 0

yf(x)
f( x) khi x 0
≥
⎧
==
⎨
−<
⎩

Đồ thị (C’) gồm 2 phần :
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
14
+ Giữ nguyên phần (C) phía bên phải Oy ( x ≥ 0 )
+ Lấy đối xứng qua Oy phần (C) trên và bỏ phần (C) nằm bên trái Oy



Dạng 3 : Đồ thị hàm số (C’) :
y
f(x)=


f(x) 0
yf(x)
y f(x) ; (1)
yf(x);(2
≥
⎧
⎪

=⇔
=
⎡
⎨
⎢
⎪
=−
⎣
⎩
)

Đồ thị (C’) gồm 2 phần :
+ Giữ nguyên phần (C) nằm phía trên Ox (do (1))
+ Bỏ phần (C) nằm dưới Ox
+ Lấy đối xứng qua Ox phần (C) nằm phía trên
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
15

3
1
y2x3x
2
=
−+

3
1
y2x 3x
2

=−+

u(x)
y
v(x)
=
Dạng 3 : Đồ thị hàm số (C’) :

u(x) khi u(x) 0
u(x)
u(x) khi u(x) 0
≥
⎧
=
⎨
−<
⎩

Đồ thị (C’) gồm 2 phần :
+ Giữ nguyên phần (C) khi u(x) ≥ 0
+ Lấy đối xứng qua Ox phần (C) khi u(x) < 0
Tương tự ta cũng sẽ làm được dạng
u(x)
y
v(x)
=

GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 om
16

Email :




GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
17

Bài 1 :
a) khảo sát và vẽ (C) :
3
yx3x=− + +

1
b) Từ (C) suy ra các đồ thị sau :
3
1
(): x 3x1Cy
=
−+ +
;

3
2
():
y
x3xC 1

=
−+ +
;

3
3
():y x 3xC
=
−+

c) Biện luận theo m số nghiệm pt sau :
3
x3x12m1
−
+++=−
(*)
Bài 2 :

a) Khảo sát và vẽ (C) :
x1
y
x2
+
=
−

b) Từ (C) suy ra các đồ thị sau :

1
x1

():y
x2
C
+
=
−
;
5
x1
():y
x2
C
+
=
−

3
x1
():y
x2
C
+
=
−


2
x1
():y
x2

C
+
=
−
;
4
x1
():y
x2
C
+
=
−


GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
18
Bài 3 :

a) Khảo sát và vẽ (C) :
42
yx 4x 1=− +
b) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt :
42
x4x12m3
−
+= +

Bài 4 (ĐH – Khối A - 2006) :

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
32
y
2x 9x 12x 4.
=
−+−

2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt :

3
2
2 x 9x 12 x m.++ =

Bài 5 (ĐH – Khối B - 2009) :
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
42
y
2x 4x=−
(1)
2. Với giá trị nào của m thì phương trình
22
xx 2 m
−
=
có đúng 6
nghiệm thực phân biệt
TỔNG ÔN TẬP
Bài 1. Cho hàm số
3
y

x3x=−+2
0
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương
3
x3x2m
−
+− =
.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
(
)
M2; 4
.
d) Viết phương trình của (C) tại các điểm có tung độ là 0 .
e) tìm k đề phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
3
x3x22k0
−
+− =
.
e) tìm a đề phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
3
x3x2a0
−
+−=
.

Bài 2.

Cho hàm số (C)
4
yx 2x=−
2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
42
x2x m
−
=

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
2
=
x
.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
8y
=
.
e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 .
f) Tìm k để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt
42
x2x 3k
−
=

Bài 3.
Cho hàm số
2x 1

y
x1
+
=
+
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
1
2
x
=
, có tung độ
1
2
y
=
−
.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến là 4.
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
19
d) Tìm m để đường thẳng
()
5
:y mx 2m
3
d =+−
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .

Bài 4.
Cho hàm số (C)
3
y4x 3x1=−−
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

()
1
15
:2
9
dy x=− + 010

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

()
2
: 2010
72
x
dy=− +

Bài 4. Cho hàm số (C)
32
y2x 3x 1=−−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

()
1

2
: 2010
3
dy x=+

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua
(
)
2;3M
và tiếp xúc với đồ thị (C).
d) Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
()
2
:dymx=−1
e) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).
Bài 5.
Cho hàm số (C). Tìm m để đường thẳng
32
y2x3x=− + −1
(
)(
3
d: mx1y =−
)
cắt đồ
thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
Bài 6.
Cho hàm số
3x 1
y

1x
+
=
−
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) và song song với đường phân giác của góc phần
tư thứ nhất .
c) Tìm m để đường thẳng
(
)
1
:y mx 2m 7d =−−
cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt .Tìm
tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB .
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
.
()
2
:x y 2 0d +−=
e) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên .
Bài 7.
Cho hàm số
3x
y
2x 1
−
=
−
(C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) và song song với đường phân giác của góc phần
tư thứ hai .
c) Viết phương trình đường thẳng qua điểm
6
3;
5
M
⎛⎞
−
⎜
⎝
⎟
⎠
và tiếp xúc với đồ thị (C) .
d) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên .
e) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến hai đường tiệm cận
của (C) là một hằng số .
GV. Nguyễn Vũ Minh SỰ TƯƠNG GIAO
Đt : 0914449230 Email :
20
Bài 8. Cho hàm số
x4
y
x1
+
=
+
(C)
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm tập
hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB .
()
d:x y m 0−+ =
Viết phương trình đường thẳng qua điểm
10
2;
3
M
⎛
−
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
và tiếp xúc với đồ thị (C) .
Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến hai đường tiệm cận của
(C) là một hằng số .
Bài 9.
Cho hàm số (C)
()(
2
y2xx1=− +
)
)
2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Tìm m để đồ thị (C’) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
()(
2yxm=− −

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

()
1
3
: y x 2010
8
d =− +

d) Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực đai, cực tiểu và điểm
(
)
3; 4M −
.
Bài 10.
Cho hàm số
3
2
x
y2x3x
3
=− ++1
0
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình :

32
x6x9x3m−++−=
c) Tìm tất cả các tâm đối xứng của đồ thị (C) .

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hệ số góc tiếp tuyến nhỏ nhất .
Bài 11.
Cho hàm số
42
y
x2x=− + −1
7
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
42
x2x3m
−
=+
.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
9y
=
−
.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24


Tham khảo thêm tài liệu Toán – Lý – Hóa trên website :