Một số dạng toán tổ hợp trong hình học và số học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

—————————————–

NGÔ THỊ HUYỀN TRANG

MỘT SỐ DẠNG TỐN TỔ HỢP TRONG HÌNH
HỌC VÀ SỐ HỌC

ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Bình Định - Năm 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

—————————————–

NGÔ THỊ HUYỀN TRANG

MỘT SỐ DẠNG TỐN TỔ HỢP TRONG HÌNH
HỌC VÀ SỐ HỌC

Ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 8460113

Người hướng dẫn: TS. NGUYỄN HỮU TRỌN

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đề án về đề tài “Một số dạng toán tổ hợp trong
hình học và số học” là cơng trình nghiên cứu cá nhân của tôi dưới sự
hướng dẫn của thầy TS. Nguyễn Hữu Trọn. Mọi số liệu sử dụng phân tích
trong đề án và kết quả nghiên cứu là do tôi tự tìm hiểu, phân tích một
cách khách quan, trung thực, có nguồn gốc rõ ràng. Tơi xin hồn tồn
chịu trách nhiệm về lời cam đoan này.

i

Lời cảm ơn

Để hồn thành được đề án này, trước nhất tơi xin được gửi lời cảm
ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Hữu Trọn đã dành thời gian hướng dẫn, đánh
giá, chỉ bảo, tận tình giúp đỡ trong quá trình xây dựng đề tài cũng như
hồn thiện khóa luận. Đồng thời, tơi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành
đến tất cả các thầy cơ trong Khoa Tốn và Thống kê trường Đại học Quy
Nhơn, khoa Sư phạm, phòng Đào tạo sau đại học, nhà trường, gia đình
và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành đề án này.

Bình Định, ngày ... tháng ... năm 2023
Học viên

Ngô Thị Huyền Trang

ii

Mục lục

Mở đầu vii

1 Kiến thức chuẩn bị 1

1.1 Kiến thức tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Một số quy tắc cơ bản của phép đếm . . . . . . . 1

1.1.2 Hoán vị và chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4 Nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.5 Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.6 Nguyên lý cực hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Kiến thức số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Số nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Tính chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất . . . . . 7

1.2.4 Thuật toán Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.5 Khai triển Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.6 Thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.7 Một số định lý số học quan trọng . . . . . . . . . 9

1.2.8 Phương pháp song ánh . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Kiến thức hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Đa giác lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2 Bao lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3 Đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Các bài toán tổ hợp trong số học 13

2.1 Các bài toán liên quan đến sự tồn tại trong số học tổ hợp 13

2.2 Bài toán đếm số phần tử trong số học tổ hợp . . . . . . 23

iii

3 Các bài tốn tổ hợp trong hình học 34

3.1 Các bài toán chứng minh sự tồn tại nghiệm trong hình học 34

3.2 Các bài tốn đếm trong hình học . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.1 Bài toán đếm liên quan đến đường thẳng, đường trịn 43

3.2.2 Bài tốn đếm các đa giác . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.3 Bài toán đếm liên quan đến mặt phẳng, tứ diện . 48

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 54

iv

Danh sách hình

1.1 Hình minh họa nguyên lý bù trừ. . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Hình minh họa đa giác lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Hình minh họa ví dụ bao lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Hình minh họa bài toán Olympic, 30/04/2012 - 1. . . . . 16
2.2 Hình minh họa bài toán Olympic, 30/04/2012 - 2. . . . . 17
2.3 Hình minh họa bài tốn IMO, 2001. . . . . . . . . . . . . 22
3.1 Hình minh họa bài toán 3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Hình minh họa bài tốn 3.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Hình minh họa bài tốn IMO, 2017. . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Hình minh họa bài toán 3.1.6. . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Hình minh họa bài tốn IMO, 2004 - 1. . . . . . . . . . . 50
3.6 Hình minh họa bài toán IMO, 2004 - 2. . . . . . . . . . . 50

v

Danh sách kí hiệu

Tronng luận văn này, chúng tơi sử dụng một số kí hiệu sau đây.

|A| Phép cộng tổng của một dãy các số hoặc biểu thức.
Phép nhân tích của một dãy các số hoặc biểu thức.
∩ Số phần tử của tập hợp A.
Phép giao các tập hợp.
∪ Phép hợp các tập hợp.
Giai thừa.
! Tập hợp con.
Thuộc.
⊆ Tập hợp số nguyên.
Tập hợp số nguyên dương.
∈ a đồng dư b theo modulo m.
Chia hết.
Z Ước chung lớn nhất.
Bội chung nhỏ nhất.
Z+
a ≡ b (mod m) Phần nguyên của phép chia m cho n.
...
Hàm trần của x.
U CLN Hoán vị không lặp của n phần tử.
Hốn vị có lặp của n phần tử gồm k loại.
BCNN Chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử.
m Chỉnh hợp có lặp chập k của n.
Tổ hợp không lặp chập k của n phần tử.
n Tổ hợp có lặp chập k của n.
⌈x⌉

Pn
P (n1, n2, ..., nk)
Ak

n

Akn
Ck

n

Cnk

vi

Mở đầu

Lý thuyết tổ hợp là một phần quan trọng của toán học rời rạc chuyên
nghiên cứu sự sắp xếp các đối tượng. Chủ đề này đã được nghiên cứu ở
thế kỷ 17, khi những câu hỏi tổ hợp được nêu ra trong những cơng trình
nghiên cứu các trò chơi may rủi, liệt kê, đếm các đối tượng có những tính
chất nào đó là một phần quan trọng của lí thuyết tổ hợp. Hơn nữa, lý
thuyết tổ hợp được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau
như khoa học máy tính, kinh tế, xác suất, vật lý, sinh học và cả trong
hình học và số học.

Ở nước ta hiện nay, chương trình giảng dạy toán tổ hợp, lý thuyết xác
suất và thống kê đã bắt đầu từ chương trình tốn học phổ thơng. Đặc
biệt, các bài tốn tổ hợp thường xun xuất hiện trong các đề thi học
sinh giỏi quốc gia và quốc tế, địi hỏi các thí sinh phải có kiến thức vững
vàng về lý thuyết tổ hợp cũng như kỹ năng giải bài toán. Tuy nhiên, nhiều
học sinh và giáo viên ở bậc phổ thơng khó tiếp cận và gặp nhiều hạn chế
trong việc nghiên cứu và áp dụng lý thuyết tổ hợp, đặc biệt là trong hình
học và số học. Một nguyên nhân là do lý thuyết tổ hợp là một lĩnh vực

toán học khá trừu tượng và phức tạp, địi hỏi người học phải có kiến thức
vững chắc về toán học và khả năng tư duy logic tốt. Tuy nhiên, hầu hết
học sinh ở bậc phổ thông chỉ mới tiếp cận với lý thuyết tổ hợp và chưa có
đủ kiến thức để áp dụng vào giải quyết các bài toán phức tạp. Thứ hai,
tài liệu về lý thuyết tổ hợp trong tiếng Việt còn rất hạn chế và không đầy
đủ. Nhiều sách giáo khoa và tài liệu giáo dục bằng tiếng Việt về lý thuyết
tổ hợp chưa được cập nhật các kiến thức mới nhất và chưa tập trung vào
cách giải quyết bài toán tổ hợp một cách hiệu quả. Điều này khiến cho
học sinh và giáo viên không thể tiếp cận và nắm vững kiến thức mới nhất
về lý thuyết tổ hợp. Vì vậy, việc nghiên cứu đề tài “Một số dạng tốn tổ
hợp trong hình học và số học” sẽ góp phần nâng cao hiệu quả học tập
và giảng dạy của học sinh và giáo viên ở bậc phổ thông.

Đề tài sẽ giới thiệu các kiến thức cơ bản về lý thuyết tổ hợp và áp

vii

dụng vào giải quyết các bài tốn trong hình học và số học. Từ việc nghiên
cứu và thực hiện đề tài này, chúng tơi hy vọng sẽ góp phần nâng cao hiệu
quả giảng dạy và học tập tổ hợp của giáo viên và học sinh cho bậc phổ
thông ở Việt Nam. Nội dung của đề tài bao gồm các dạng tốn tổ hợp
trong hình học và số học. Bài tốn tổ hợp trong số học liên quan đến việc
sắp xếp, lựa chọn và kết hợp các phần tử khác nhau theo một số quy tắc
nhất định, cụ thể là tìm hiểu các bài toán như phân phối, tổ hợp, hoán
vị, cấu trúc số và số học kết hợp. Trong khi đó, bài tốn tổ hợp trong
hình học liên quan đến việc xác định số lượng và cách thức sắp xếp các
hình học khác nhau trong mặt phẳng và khơng gian. Chúng ta sẽ nghiên
cứu tìm hiểu và trình bày các bài toán liên quan như xác định số lượng
điểm, đường và mặt trong một khơng gian hình học nhất định.

Ngoài mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của đề
án được trình bày trong ba chương.

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản được sử dụng trong các
chương sau của đề án, bao gồm: các khái niệm về tập hợp, phép cộng,
phép nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và nhị thức Newton. Ngoài ra,
nguyên lý Dirichlet được đề cập tới như một công cụ đắc lực trong việc
giải quyết các bài toán tổ hợp ở chương sau.
Chương 2. Các bài toán tổ hợp trong số học
Trong chương này chúng tơi trình bày một số định lý và các bài toán
tổ hợp trong số học. Đồng thời, chúng tơi cũng trình bày một số ví dụ áp
dụng.
Chương 3. Các bài tốn tổ hợp trong hình học
Chương 3 dành cho các bài tốn tổ hợp trong hình học và một số ví
dụ áp dụng liên quan đến các hình học khác nhau.

Mặc dù tác giả đã cố gắng tổng hợp tài liệu và trình bày các nội dung
liên quan đến các bài toán tổ hợp trong hình học và số học một cách tốt
nhất, nhưng do điều kiện về mặt thời gian và kiến thức có hạn nên đề
án khơng thể tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý từ q
thầy cơ và các bạn học viên để đề án được hoàn thiện hơn.

viii

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản về tổ

hợp trong hình học và số học chuẩn bị cho các chương sau của luận văn.
Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tham khảo trong các
tài liệu tham khảo [1], [4]... và các tài liệu trong đó.

1.1 Kiến thức tổ hợp

1.1.1 Một số quy tắc cơ bản của phép đếm
Phép đếm có vai trò rất quan trọng trong đời sống cũng như trong khoa

học, đặc biệt là lý thuyết tổ hợp. Trong đời sống hàng ngày, ta thường
phải đếm các đối tượng nào đó, vì vậy phép đếm được sử dụng một cách
cơ bản và thường xuyên. Tuy nhiên, trong các kì thi đại học và thi học
sinh giỏi, bài toán đếm đã gây ra khơng ít khó khăn cho các thí sinh.

Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày các quy tắc đếm cơ bản, nhờ đó
có thể tính chính xác và nhanh chóng số phần tử của một tập hợp mà
không cần đếm trực tiếp bằng phương pháp liệt kệ phần tử của tập hợp
đó.

Quy tắc cộng
Giả sử có hai cơng việc. Việc thứ nhất có thể làm bằng n1 cách, việc

thứ hai có thể làm bằng n2 cách và nếu hai việc này khơng thể làm đồng
thời, khi đó sẽ có n1 + n2 cách làm một trong hai việc đó.
Chúng ta sẽ mở rộng quy tắc cộng cho trường hợp có nhiều hơn hai
công việc. Giả sử các việc T1, T2, . . . , Tm có thể làm tương ứng bằng

1

n1, n2, . . . , nm cách và giả sử khơng có hai việc nào có thể làm đồng thời.

Khi đó số cách làm một trong m việc đó là n1 + n2 + . . . + nm.

Quy tắc cộng có thể phát biểu dưới dạng ngôn ngữ tập hợp nhau sau:
Nếu A1, A2, ..., Am là các tập rời nhau, khi đó số phần tử của hợp các tập
này bằng tổng số các phần tử của các tập thành phần. Giả sử Ti là việc
chọn một phần tử từ tập Ai với i = 1, 2, . . . m. Có |Ai| cách làm Ti và
khơng có hai việc nào có thể được làm cùng một lúc. Số cách chọn một
phần tử của hợp các tập hợp này, một mặt bằng số phần tử của nó mặt
khác theo quy tắc cộng bằng |A1| + |A2| + . . . + |Am|. Cuối cùng chúng
ta nhận được đẳng thức

|A1 ∪ A2 ∪ . . . Am| = |A1| + |A2| + . . . + |Am|.

Quy tắc nhân

Giả sử một nhiệm vụ nào đó được tách ra làm hai cơng việc. Việc thứ
nhất có thể làm bằng n1 cách, việc thứ hai có thể làm bằng n2 cách sau
khi việc thứ nhất đã được làm, khi đó sẽ có n1n2 cách thực hiện nhiệm
vụ này.
Người ta thường sử dụng quy tắc nhân mở rộng. Giả sử rằng một nhiệm
vụ nào đó được thi hành bằng cách thực hiện các việc T1, T2, . . . , Tm. Nếu
việc Ti có thể làm bằng ni cách sau khi các việc T1, T2, . . . , Ti−1 đã được
làm, khi đó có n1n2 . . . nm cách thi hành nhiệm vụ đã cho.

Tương tự như quy tắc cộng, ta sẽ chuyển qua ngôn ngữ tập hợp như
sau: Nếu A1, A2, . . . , Am là các tập hữu hạn, khi đó số phần tử của tích
Đề-các của các tập này bằng tích của số các phần tử của mọi tập thành
phần. Để liên hệ với quy tắc nhân hãy nhớ là việc chọn một phần tử của
tích Đề-các A1 · A2 · . . . · Am được tiến hành bằng cách chọn lần lượt một
phần tử của A1 một phần tử của A2, ..., một phần tử của Am. Theo quy

tắc nhân ta nhận được đẳng thức

|A1 · A2 · . . . · Am| = |A1||A2| . . . |Am|.

Quy tắc bù trừ

Khi hai công việc có thể được làm đồng thời, chúng ta khơng thể dùng
quy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc. Cộng

2

số cách làm mỗi việc sẽ dẫn đến sự trùng lặp, vì những cách làm cả hai
việc sẽ được tính hai lần. Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ này
ta cộng số cách làm mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cách làm đồng
thời cả hai việc. Đó là “Nguyên lý bù trừ”.

Chúng ta có thể phát biểu ngun lý này bằng ngơn ngữ tập hợp: Cho
A1, A2 là các tập hợp. Gọi T1 là việc chọn một phần tử của A1 còn T2 là
việc chọn một phần tử của A2. Có |A1| cách làm việc T1 và |A2| cách làm
việc T2. Số cách làm hoặc T1 hoặc T2 bằng tổng số cách làm việc T1 và số
cách làm việc T2 trừ đi số cách làm cả hai việc. Vì có |A1 ∪ A2| cách làm
hoặc T1 hoặc T2 và có |A1 ∩ A2| cách làm cả hai việc T1 và T2 nên ta có

|A1 ∪ A2| = |A1| + |A2| − |A1 ∩ A2|.

Hình 1.1: Hình minh họa nguyên lý bù trừ.

Nguyên lý bù trừ được phát biểu một cách tổng quát thông qua định
lý sau.

Định lý 1.1.1. Giả sử A1, A2, ..., An là các tập hợp hữu hạn. Khi đó
ta có cơng thức tổng quát sau đây:

n

|A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An| = |Ai| − |Ai ∩ Aj| + |Ai ∩ Aj ∩ Ak|

i=1 1≤i
− ... + (−1)n+1|A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|.

Định lý này có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học,
tuy nhiên chúng tơi khơng trình bày ở đây. Bạn đọc có thể tham khảo
thêm ở phần Chương 5 trong tập tài liệu [1]-Toán học rời rạc ứng dụng
trong tin học.

3

1.1.2 Hoán vị và chỉnh hợp

Hoán vị của một tập các đối tượng khác nhau là một cách sắp xếp có
thứ tự các đối tượng này. Chúng ta cũng quan tâm tới việc sắp xếp có
thứ tự một số phần tử của một tập hợp. Một cách sắp xếp có thứ tự k
phần tử của một tập n phần tử được gọi là một chỉnh hợp chập k của n
phần tử.

Định nghĩa 1.1.2 (Hốn vị khơng lặp). Giả sử A là tập hữu hạn gồm
n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử khác nhau của tập A theo một
thứ tự nào đó được gọi là một hốn vị khơng lặp của các phần tử trong
tập A, hay đơn giản là sự sắp xếp n phần tử của tập A. Khi đó, số hốn

vị khơng lặp của n phần tử kí hiệu Pn và tính theo công thức

Pn = n! = n(n − 1) · · · 2 · 1.

Định nghĩa 1.1.3 (Hốn vị có lặp). Hốn vị trong đó có mỗi phần tử

xuất hiện ít nhất một lần được gọi là hốn vị có lặp.

Kí hiệu P (n1, n2, ..., nk) là số hốn vị có lặp của n phần tử gồm k loại,

trong đó có n1 phần tử như nhau thuộc loại 1, n2 phần tử như nhau thuộc

loại 2, ..., nk phần tử như nhau thuộc loại k được tính theo cơng thức

qt sau đây

n!
P (n1, n2, ..., nk) = n1!n2!...nk!.

Định nghĩa 1.1.4 (Chỉnh hợp không lặp). Cho tập hợp A gồm n phần
tử. Mỗi bộ gồm k (0 ≤ k ≤ n) phần tử được sắp thứ tự của tập A được
gọi là một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử thuộc A.
Kí hiệu số chỉnh hợp khơng lặp chập k của n là Akn, tính bởi cơng thức

An = k n! = n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1).

(n − k)!

Định nghĩa 1.1.5 (Chỉnh hợp có lặp). Cho tập hợp A gồm n phần tử.
Mỗi dãy có độ dài k phần tử của tập A, mà mỗi phần tử có thể lặp lại

nhiều lần và được sắp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh
hợp có lặp chập k của n phần tử thuộc tập A.
Kí hiệu số chỉnh hợp có lặp chập k của n là Akn, tính bởi cơng thức

Akn = nk.

4

Trong lý thuyết tổ hợp, các khái niệm hốn vị, chỉnh hợp và tổ hợp có
vai trị quan trọng trong việc đếm, sắp xếp và lựa chọn các phần tử từ
một tập hợp.

1.1.3 Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của một tập hợp là một cách chọn khơng có thứ tự

k phần tử của tập đã cho. Như vậy, một tổ hợp chập k chính là một tập

con k phần tử của tập ban đầu.
Số tổ hợp chập k của tập có n phần tử được biểu thị bởi Cnk. Đây còn
được gọi là tổ hợp không lặp

Định nghĩa 1.1.6 (Tổ hợp không lặp). Cho tập hợp A gồm n phần tử.

Mỗi tập con gồm k (0 ≤ k ≤ n) phần tử của tập A được gọi là một tổ
hợp không lặp chập k của n là Cnk, tính bởi cơng thức

Ck = n!
.
n k!(n − k)!

Định nghĩa 1.1.7 (Tổ hợp có lặp). Cho tập A gồm n phần tử. Một
tổ hợp có lặp chập k (k khơng nhất thiết phải nhỏ hơn n) của n phần
tử thuộc A là một bộ gồm k phần tử, mà mỗi phần tử này là một trong
những phần tử của A.
Kí hiệu số tổ hợp có lặp chập k của n là Cnk, tính bởi cơng thức

Cnk = Cn+k−1 k .

1.1.4 Nhị thức Newton

Nhị thức Newton, do Isaac Newton đề xuất vào khoảng năm 1665-1666,
có vai trị quan trọng trong lý thuyết tổ hợp để tính toán các hệ số trong
biểu thức đa thức nâng mũ của một biểu thức số học.

Định lý 1.1.8. Cho x, y là hai biến số và n là một số nguyên dương,

ta có n

(x + y)n = C k xn−k yk .

n

k=0

5

1.1.5 Nguyên lý Dirichlet
Nguyên lý lồng chim bồ câu hay còn được gọi là nguyên lý Dirichlet,

được đề xuất bởi nhà toán học Dirichlet vào thế kỉ 19. Nó cung cấp một
cơng cụ quan trọng để phân tích và giải quyết các vấn đề liên quan đến
sự xuất hiện lặp lại và phân phối các phần tử trong tổ hợp.

Định lý 1.1.9 (Nguyên lý lồng chim bồ câu). Nếu có k + 1 hoặc nhiều
hơn đồ vật được đặt vào trong k hộp thì có ít nhất một hộp chứa hai
hoặc nhiều hơn hai đồ vật.

Định lý 1.1.10 (Nguyên lý Dirichlet tổng quát). Có N đồ vật được xếp
vào k hộp. Khi đó, tồn tại một hộp chứa ít nhất Nk hay N+kk−1
đồ vật. Ở đây, kí hiệu ⌈x⌉ là hàm trần của x, là số nguyên bé nhất
lớn hơn hoặc bằng x; còn [x] là phần nguyên của x-là số nguyên lớn
nhất không vượt quá x.

1.1.6 Nguyên lý cực hạn
Định lý 1.1.11. (a) Một tập hợp hữu hạn các số thực ln có phần

tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất.

(b) Một tập con bất kỳ của tập các số tự nhiên ln có phần tử nhỏ
nhất.

1.2 Kiến thức số học

Chúng tôi dành mục này để nhắc lại một số tính chất và định lý đặc
trưng của số học.

1.2.1 Số nguyên tố
Định lý 1.2.1. Mọi số nguyên n > 1 đều có biểu diễn duy nhất dưới
dạng tích các số ngun tố (khơng kể thứ tự), tức là

n = pα1 1 pα2 2 · · · pαk k ,
trong đó αi ∈ Z+, p1 < p2 < · · · < pk là các số nguyên tố.

6

1.2.2 Tính chia hết

Thuật tốn chia: Nếu a, b là hai số nguyên và b > 0 thì tồn tại duy
nhất hai số nguyên q, r với 0 ≤ r < b sao cho

a = bq + r.

Ta gọi q là thương và r là phần dư. Như vậy, a chia hết cho b nếu và chỉ
nếu phần dư trong phép chia bằng 0.

1.2.3 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất

Định nghĩa 1.2.2. Cho a và b là hai số nguyên khác 0, số nguyên d lớn
nhất sao cho d | a và d | b được gọi là ước số chung lớn nhất của a và b.
Ước số chung lớn nhất của a và b được kí hiệu là UCLN(a, b) hoặc (a, b).

Định nghĩa 1.2.3. Hai số nguyên a và b được gọi là nguyên tố cùng
nhau nếu UCLN(a, b) = 1.

Định nghĩa 1.2.4. Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên a và b là số
nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả a lẫn b.
Bội số chung nhỏ nhất của hai số nguyên a, b được kí hiệu là BCNN(a, b)
hoặc [a, b].

Định lý 1.2.5. Cho a và b là hai số nguyên dương. Khi đó

ab = U CLN (a, b).BCN N (a, b).

Định lý 1.2.6. Giả sử hai số a và b lần lượt được biểu diễn dưới dạng

a = pa1pa2 . . . pann và b = pb1pb2 . . . pbn,n trong đó p1, p2, . . . , pn là các số
12 12

nguyên tố và ai, bi là các số nguyên không âm. Khi đó, ta có

a) (a, b) = p1min(a1,b1)p2min(a2,b2) . . . pnmin(an,bn);

b) [a, b] = p1max(a1,b1)p2max(a2,b2) . . . pnmax(as,bn).

Ta đã biết phương pháp để tính ước số chung lớn nhất của hai số bằng
cách phân tích ra các thừa số nguyên tố. Phương pháp này hơi mất thời

gian cho người học, Ở đây chúng tôi sẽ giới thiệu một phương pháp hiệu
quả hơn để tìm ước số chung lớn nhất, phương pháp đó được gọi là thuật
tốn Euclide.

7

1.2.4 Thuật toán Euclide
Định lý 1.2.7. Cho a, b là hai số nguyên dương và

a = q1b + r1 (0 < r1 < b),
b = q2r1 + r2 (0 < r2 < r1),
...

rn−1 = qn+1rn.

Khi đó,

rn = (a, b).

1.2.5 Khai triển Abel

Định lý 1.2.8. Cho x1, x2, . . . , xn và y1, y2, . . . , yn là các số thực tùy
ý. Đặt

Sk = y1 + y2 + . . . + yk ∀k = 1, 2 · · · n.
Khi đó,

n

xiyi = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn

i=1

= (x1 − x2)S1 + (x2 − x3)S2 + . . . + (xn−1 − xn)Sn−1 + xnSn.

1.2.6 Thặng dư

Định nghĩa 1.2.9. Nếu x ≡ y (mod m) thì ta nói y là một thặng dư
của x theo modulo m.

Định nghĩa 1.2.10. Tập A = {x1, x2, . . . , xm} gồm m số nguyên. Giả
sử ri (0 ≤ ri ≤ m − 1) là số dư của xi khi chia cho m. Nếu tập hợp số
dư {r0, r1, . . . , rm−1} trùng với tập hợp {0, 1, . . . , m − 1} thì ta nói tập

A là một hệ thặng dư đầy đủ theo modulo m.

Tính chất 1.2.11. Giả sử tập A = x1, x2, ..., xm là hệ thặng dư đầy đủ
modulo m thì

a) Với mọi y ∈ Z tồn tại duy nhất xi ∈ A sao cho y ≡ xi (mod m).

8

b) Với mọi số nguyên b thì tập {x1 + b, x2 + b, . . . , x10 + b} là hệ thặng
dư đầy đủ theo modulo m.

c) Với mỗi c ∈ Z và (c, m) = 1 thì tập {cx1, cx2, . . . , cxm} là hệ thặng
dư đầy đủ modulo m.

Định nghĩa 1.2.12. Tập {r1, r2, . . . , rn} gọi là một hệ thặng dư thu
gọn modulo m nếu (r1, m) = 1 và với mọi x ∈ Z, (x, m) = 1 thì tồn tại
duy nhất ri để ri ≡ x (mod m).

Nhận xét. a) Ta có thể thu được hệ thặng dư thu gọn modulo m bằng
cách loại trừ từ một hệ thặng dư đầy đủ các phần tử không nguyên tố
cùng nhau với m.

b) Mọi hệ thặng dư thu gọn modulo m đều có cùng số phần tử, kí hiệu
φ(m).

Định lý 1.2.13. Nếu n = pω1 1 pω2 2 · · · pωk k , trong đó p1, p2, . . . , pk đại
diện cho các số nguyên tố phân biệt trong phân tích nguyên tố duy

nhất của n và w1, w2, . . . , wk là các mũ tương ứng với các số ngun

tố đó thì

1 1 1
φ(n) = n 1 − 1− ··· 1− .
p2 pk
p1

Hệ quả 1.2.14. Nếu p là số nguyên tố thì q(p) = p − 1.

1.2.7 Một số định lý số học quan trọng

Định lý 1.2.15 (Định lý Euler). Giả sử m là số nguyên dương và a là
số nguyên với (a, m) = 1. Khi đó aφ(m) ≡ 1 (mod m), trong đó φ(m) là
kí hiệu của phi hàm Euler đếm số các số nguyên giữa 1 và m nguyên
tố cùng nhau với m là số nguyên dương.

Định lý 1.2.16 (Định lý Fermat nhỏ). Giả sử p là số nguyên tố và a
là số nguyên dương với (a, p) = 1. Khi đó ap−1 ≡ 1 (mod p).

Định lý 1.2.17 (Định lý phần dư Trung Hoa). Giả sử m1, m2, ..., mr
là các số nguyên tố cùng nhau đôi một. Khi đó hệ các đồng dư tuyến

9

tính 

 x ≡ a1 (mod m1) ,


 x ≡ a2 (mod m2) ,

 ...

 x ≡ ar (mod mr) ,

có nghiệm duy nhất modulo M với M = m1m2...mr.

Ngoài ra, nguyên lý Fubini cũng là một một cơng cụ hữu ích để giải
quyết các bài toán tổ hợp bằng phương pháp ma trận liên thuộc.

Định lý 1.2.18 (Nguyên lý Fubini). Cho hai tập hữu hạn R, C và
S ⊆ R · C. Nếu (p, q) ∈ S, ta nói rằng p và q liên thuộc với nhau. Đặt
rp là số các phần tử liên thuộc với p ∈ R và cq là số các phần tử liên
thuộc với q ∈ C. Khi đó

rp = |S| = cq.

p∈R q∈C

Để minh họa cho tập S, ta sẽ dùng đến ma trận liên thuộc của S.

Định lý 1.2.19. Ma trận M = (apq) là ma trận mà các cột và các
hàng của nó tương ứng được đánh số theo các phần tử của R và C với

1 nếu (p, q) ∈ S;
apq = nếu (p, q) ∈/ S.

0

Khi đó rp là tổng của các phần tử ở cột p, cq là tổng của các phần

tử ở cột q và |S| là tổng tất cả các phần tử của ma trận M .

1.2.8 Phương pháp song ánh

Mục này dành để nhắc lại khái niệm về đơn ánh, toàn ánh và song
ánh, cũng như cách vận dụng các đối tượng này trong việc giải quyết các
bài toán tổ hợp.
Định nghĩa 1.2.20. Cho 2 tập hợp X và Y (khác rỗng). Một ánh xạ
f từ X lên Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ X với một
và chỉ một phần tử y ∈ Y . Kí hiệu

f :X → Y

x → y = f (x)

10