Một số dạng xác suất trong chương trình toán phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

—————————————–

NGUYỄN THỊ MINH VY

MỘT SỐ DẠNG XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG
TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG

ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

—————————————–

NGUYỄN THỊ MINH VY

MỘT SỐ DẠNG XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG
TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG

Ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 8460113

Người hướng dẫn: TS. LÊ THANH BÍNH

i

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đề án về đề tài “Một số dạng xác suất trong
chương trình tốn phổ thơng” là cơng trình nghiên cứu cá nhân
của tơi dưới sự hướng dẫn của thầy TS. Lê Thanh Bính. Mọi số liệu sử
dụng phân tích trong đề án và kết quả nghiên cứu là do tơi tự tìm hiểu,
phân tích một cách khách quan, trung thực, có nguồn gốc rõ ràng. Tơi
xin hồn tồn chịu trách nhiệm về lời cam đoan này.

ii

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được đề án này, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám
hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán
và Thống kê trường Đại học Quy Nhơn, cùng quý thầy cô giáo giảng dạy
lớp cao học Phương pháp Tốn sơ cấp khóa 24B đã dày cơng giảng dạy
trong suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học
tập và thực hiện đề án. Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Lê Thanh
Bính đã dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, chỉ bảo, tận tình giúp đỡ
trong quá trình xây dựng đề tài cũng như hoàn thiện đề án.

Nhân đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tinh thần
của gia đình, bạn bè đã luôn tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành
tốt khóa học và đề án.

Mặc dù đề án được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của bản
thân, nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh
nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên đề án khó tránh khỏi những thiếu
sót. Tơi rất mong nhận được những góp ý của q thầy cơ giáo để đề án

được hoàn thiện hơn.

Bình Định, ngày ... tháng ... năm 2023
Học viên

Nguyễn Thị Minh Vy

iii

Mục lục

1 PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN - BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 3
1.1 Quy tắc cộng và quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Quy tắc cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Hoán vị − Chỉnh hợp − Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Các khái niệm cơ bản của xác suất . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Phép thử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Không gian mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4 Quan hệ và các phép toán giữa các biến cố . . . . 14

2 ĐỊNH NGHĨA CỦA XÁC SUẤT - CÔNG THỨC TÍNH

XÁC SUẤT 18

2.1 Định nghĩa cổ điển của xác suất . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Định nghĩa thống kê của xác suất . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Các cơng thức tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.1 Công thức cộng xác suất . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2 Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.3 Công thức nhân xác suất . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.4 Công thức Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.5 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes . . . 33

3 MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN XÁC SUẤT VÀ ÁP

DỤNG 36

iv

3.1 Dạng 1: Tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa về
xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 Dạng 2: Tính xác suất bằng quy tắc cộng và quy tắc nhân 43
3.3 Dạng 3: Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Một số bài tập rèn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Tài liệu tham khảo 60

v

Danh sách hình

1.1 Hình minh họa cho Ví dụ 1.1.3. . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Hình minh họa đồng xu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Các phép toán giữa các biến cố. . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Blaise Pascal (1623-1662) và Pierre de Fermat (1601-1665) 18
2.2 Hình minh họa cỗ bài tú lơ khơ. . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Hình minh họa con súc sắc. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Biểu đồ Venn ví dụ 2.1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

vi

Danh sách kí hiệu

Trong đề án này, chúng tơi sử dụng một số kí hiệu sau đây.

Ω Phép cộng tổng của một dãy các số hoặc biểu thức.
|ΩA|, n(A) Không gian mẫu.
∩ Số phần tử của tập hợp A.
∪ Phép giao các tập hợp.
! Phép hợp các tập hợp.
Pn Giai thừa.
P (n1, n2, ..., nk) Hốn vị khơng lặp của n phần tử.
Ak Hốn vị có lặp của n phần tử gồm k loại.
Chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử.
n Chỉnh hợp có lặp chập k của n.
Tổ hợp không lặp chập k của n phần tử.
Akn Tổ hợp có lặp chập k của n.

Ck Xác suất của biến cố A.
Xác suất có điều kiện của A với điều kiện B.
n

Cnk
P (A)
P (A|B)

1

Mở đầu

Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên.
Do đặc thù của chuyên ngành nên các bài tốn về xác suất có nhiều điểm
khác biệt so với các bài tốn đại số, giải tích, hình học. Trong chương
trình tốn học phổ thơng, chương trình sách giáo khoa đã đưa xác suất
vào dạy ở lớp 10, 11, với đa số học sinh, việc làm quen, áp dụng và giải
các bài tốn về xác suất cịn rất bỡ ngỡ và thấy khó. Đứng trước một
bài tốn xác suất nhiều học sinh thường lúng túng, không biết cách giải
quyết như thế nào, thậm chí có nhiều em đã làm xong cũng khơng dám
chắc mình đã làm đúng.

Phần xác suất trong Chương II "Tổ hợp và xác suất" lớp 11 phân
ban có mục đích trang bị cho học sinh các khái niệm cơ bản như: không
gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến chắc chắn,. . .
đồng thời cũng đưa ra các quy tắc tính xác suất để vận dụng vào các bài
tốn thực tiễn.

Để có thể học tốt xác suất, học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ
bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải

quyết các bài tốn và tình huống cụ thể. Trên thực tế, học sinh khó hiểu
được các khái niệm và các định nghĩa, trong khi sách tham khảo về nội
dung này cũng khơng có nhiều, khai thác kỹ hơn thì học sinh lại phải đọc
thêm nhiều lý thuyết ngoài sách giáo khoa. Thực tế đó địi hỏi giáo viên
phải có những phương pháp dạy hợp lý và phát huy tính sáng tạo của
học sinh.

Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững các kiến thức
cơ bản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến
thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau. Học sinh lớp 12 có
thể áp dụng các kiến thức và giải quyết các câu hỏi trong đề thi Trung
học phổ thơng Quốc gia và các kì thi Quốc tế. Bên cạnh đó, đây cũng có

2

thể coi là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên về dạy học xác suất vì
vậy tơi đã chọn đề tài “Một số dạng xác suất trong chương trình
tốn phổ thơng”. Bản đề án này được hoàn thành dựa trên các tài liệu
tham khảo.

Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo thì nội dung
chính của đề án được trình bày trong 3 chương.

Chương 1. Phép thử ngẫu nhiên - Biến cố ngẫu nhiên
Chương này trình bày về

1. Các kiến thức giải tích tổ hợp: Quy tắc đếm cơ bản; hoán vị; chỉnh
hợp, tổ hợp.

2. Các khái niệm cơ bản: Phép thử ngẫu nhiên, biến cố sơ cấp, không

gian mẫu, biến cố ngẫu nhiên, các quan hệ và các phép toán trên các
biến cố, các biến cố xung khắc, các biến cố độc lập.

Chương 2. Định nghĩa của xác suất - Cơng thức tính xác
suất

Chương này trình bày về định nghĩa cổ điển của xác suất, định nghĩa
thống kê của xác suất, tính chất của xác suất và các quy tắc tính xác suất
thơng dụng, cùng với các ví dụ minh họa.

Chương 3. Một số dạng bài toán xác suất và áp dụng
Trong chương này tơi trình bày phân dạng và nêu rõ phương pháp giải
một số dạng bài tốn xác suất liên quan đến định nghĩa và tính chất của
xác suất, các cơng thức tính xác suất cùng với các bài tập rèn luyện nhằm
giúp cho cho học sinh rèn luyện khả năng vận dụng lý thuyết vào giải các
dạng bài tốn xác suất điển hình ở chương trình lớp 11.

3

Chương 1

PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN -
BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

Trong Chương này, chúng tôi trình bày các quy tắc đếm, chỉnh hợp, tổ
hợp và các khái niệm cơ bản về biến cố ngẫu nhiên. Nội dung của chương
1 được tham khảo từ các tài liệu [2], [4], [5].

1.1. Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Trong khoa học cũng như trong cuộc sống, chúng ta thường phải xác
định số phần tử bằng cách đếm số phần tử. Vì vậy bài tốn đếm số phần
tử của một tập hợp xuất hiện khá phổ biến trong khoa học cũng như
trong cuộc sống. Nếu số phần tử của một tập hợp khơng nhiều thì ta có
thể đếm trực tiếp số phần tử bằng cách liệt kê. Tuy nhiên, nếu số phần
tử của một tập hợp rất lớn thì cách đếm trực tiếp là khơng khả thi.

Vì vậy trong phần này, cung cấp cho chúng ta hai quy tắc đếm cơ bản
để giải quyết bài tốn đếm cho tập hợp có nhiều phần tử khi dùng cách
liệt kê không khả thi.

1.1.1. Quy tắc cộng
Ví dụ 1.1.1. Một trường THPT cử một học sinh đi dự trại hè toàn
quốc. Nhà trường quyết định chọn một học sinh tiên tiến trong lớp
11A hoặc lớp 12B. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn học sinh

4

đi dự trại hè tồn quốc, biết rằng lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến và
lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến?

Lời giải. Nhà trường có hai phương án chọn. Phương án thứ nhất là
chọn một học sinh tiên tiến của lớp 11A, phương án này có 31 cách chọn.
Phương án thứ hai là chọn một học sinh tiên tiến của lớp 12B, phương
án này có 22 cách chọn.
Vậy nhà trường có tất cả 31 + 22 = 53 cách chọn.

Ta có quy tắc đếm sau đây gọi là "quy tắc cộng".

Quy tắc cộng: Giả sử một cơng việc có thể được thực hiện theo

phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và
có m cách thực hiện phương án B. Khi đó cơng việc có thể thực hiện
bởi n + m cách.

Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án được phát biểu như
sau:

Quy tắc cộng tổng qt: Giả sử một cơng việc có thể được
thực hiện theo một trong k phương án A1, A2, ..., Ak. Có n1 cách thực
hiện phương án A1, n2 cách thực hiện phương án A2,... và nk cách
thực hiện phương án Ak. Khi đó cơng việc có thể được thực hiện bởi
n1 + n2 + ... + nk cách.

Ví dụ 1.1.2. Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương
tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ơ
tơ, 5 chuyến tàu hỏa 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Vậy số
cách để di chuyển từ tỉnh A đến tỉnh B là bao nhiêu?

Lời giải. Theo quy tắc cộng, ta có 10 + 5 + 3 + 2 = 20 cách để di chuyển
từ tỉnh A đến tỉnh B.

1.1.2. Quy tắc nhân

Ví dụ 1.1.3. An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà
Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến

5

nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường
đi qua nhà Bình đến nhà Cường?

Hình 1.1: Hình minh họa cho Ví dụ 1.1.3.

Lời giải. Với mỗi cách đi từ nhà An đến nhà Bình sẽ có 6 cách đi tiếp từ
nhà Bình đến nhà Cường. Vì có 4 cách đi từ nhà An đến nhà Bình nên
ta có 4.6 = 24 cách đi từ nhà An qua nhà Bình đến nhà Cường.

Ta có quy tắc đếm sau đây gọi là "quy tắc nhân".

Quy tắc nhân: Giả sử một cơng việc nào đó bao gồm hai công
đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực
hiện cơng đoạn A thì cơng đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó
cơng việc có thể thực hiện theo m.n cách.

Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn được phát biểu như
sau:

Quy tắc nhân tổng qt: Giả sử một cơng việc nào đó bao
gồm k công đoạn A1, A2, ..., Ak. Công đoạn A1 có thể thực hiện theo
n1 cách, cơng đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách ,... và cơng đoạn
Ak có thể thực hiện theo nk cách. Khi đó cơng việc có thể được thực
hiện theo n1.n2...nk cách.

Ví dụ 1.1.4. Biển số xe của tỉnh A (nếu khơng kể mã số của tỉnh)
có 6 kí tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là một chữ cái (trong bảng
26 chữ cái tiếng anh), kí tự ở vị trí thứ hai là một chữ số thuộc tập
{1, 2, ..., 9}, mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập
{0, 1, 2, ..., 9}. Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh A có thể làm
được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau?

6

Lời giải. Ta có 26 cách chọn chữ cái được xếp ở vị trí đầu tiên. Tương
tự có 9 cách chọn chữ số cho vị trí thứ 2 và có 10 cách chọn chữ số cho
mỗi vị trí trong bốn vị trí cịn lại. Theo quy tắc nhân, ta có tất cả
26.9.10.10.10.10 = 2340000 (biển số xe).

1.2. Hoán vị − Chỉnh hợp − Tổ hợp

Trong xác suất các khái niệm về hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp đóng vai
trị quan trọng trong việc tính tốn các phần tử trong một tập hợp ngồi
hai phép đếm cơ bản.

1.2.1. Hốn vị

Định nghĩa 1.2.1. (Hốn vị khơng lặp)
Cho tập hợp A có n (n ≥ 1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo

một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một
hoán vị của A).

Định lý 1.2.2. Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là

P (n) = n(n − 1)(n − 2)...3.2.1 = n!. (1.1)

Chứng minh. Việc sắp xếp thứ tự n phần tử của A là một công việc gồm
n công đoạn. Công đoạn 1 là chọn phần tử để xếp vào vị trí thứ nhất,
cơng đoạn 2 là chọn phần tử để xếp vào vị trí thứ hai, công đoạn 3 là
chọn phần tử để xếp vào vị trí thứ ba,..., cơng đoạn n là chọn phần tử

để xếp vào vị trí thứ n. Ở cơng đoạn 1 ta có thể chọn bất kì phần tử nào
trong n phần tử của A nên có n cách thực hiện. Sau khi chọn xong phần
tử xếp vào vị trí thứ nhất, ở cơng đoạn 2 ta có thể chọn bất kì phần tử
nào trong n − 1 phần tử cịn lại của A để xếp vào vị trí thứ hai nên có
n − 1 cách thực hiện. Tiếp tục như vậy ở cơng đoạn 3 ta có n − 2 cách
thực hiện,..., và ở công đoạn thứ n (công đoạn cuối cùng) ta chỉ còn 1
cách thực hiện. Theo quy tắc nhân, ta có n(n − 1)(n − 2)...1 = n! cách
sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A, tức có n! hốn vị.

Ví dụ 1.2.1. Một đồn khách du lịch dự định đến tham quan bảy địa
điểm A, B, C, D, E, G và H ở thủ đô Hà Nội. Họ đi tham quan theo

7

một thứ tự nào đó, chẳng hạn B → A → C → E → D → G → H.
Như vậy, mỗi cách chọn thứ tự các địa điểm tham quan là một hoán
vị của tập {A, B, C, D, E, G, H}. Vậy đoàn khách có tất cả 7! = 5040
cách chọn.

Định nghĩa 1.2.3. (Hốn vị có lặp)

Hốn vị trong đó mỗi phần tử xuất hiện ít nhất một lần được gọi là

hốn vị có lặp.

Kí hiệu P (n1, n2, ..., nk) là số hốn vị có lặp của n phần tử gồm k loại,

mà các phần tử loại i (1 ≤ i ≤ k) xuất hiện ni lần và được tính theo cơng

thức

n! (1.2)
P (n1, n2, ..., nk) = n1!n2!...nk!.

Ví dụ 1.2.2. Cho tập A = {1; 3; 5; 6; 9}. Từ tập A ta lập được bao
nhiêu số có bảy chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 2 lần, chữ số 6 xuất
hiện 2 lần và các chữ số khác xuất hiện đúng 1 lần và số này chia hết
cho 5?

Lời giải. Vì số có bảy chữ số được lập từ tập A chia hết cho 5 nên chữ
số hàng đơn vị phải là số 5. Vì vậy bài tốn trở thành tính các số có 6
chữ số được tạo ra từ tập 1; 3; 6; 9 sao cho chữ số 1 xuất hiện 2 lần, chữ
số 6 xuất hiện 2 lần, chữ số 3 xuất hiện 1 lần và chữ số 9 xuất hiện 1 lần.
Theo quy tắc hoán vị lặp ta có:

P (2, 2, 1, 1) = 6! = 180.

2!.2!.1!.1!

1.2.2. Chỉnh hợp

Định nghĩa 1.2.4. (Chỉnh hợp không lặp)
Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy

ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh
hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A).

Định lý 1.2.5. Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần
tử (1 ≤ k ≤ n) là

kAn = n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) = n! . (1.3)

(n − k)!

8

Chứng minh. Việc lập một chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần
tử được coi như một công việc gồm k công đoạn. Cơng đoạn 1 là chọn
phần tử xếp vào vị trí thứ nhất, công đoạn 2 là chọn phần tử xếp vào
vị trí thứ hai,..., cơng đoạn k là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ k. Vì
tập hợp có n phần tử nên cơng đoạn 1 có n cách thực hiện. Sang cơng
đoạn 2 chỉ cịn n − 1 phần tử chưa chọn nên có n − 1 cách thực hiện.
Tương tự, cơng đoạn 3 có n − 2 cách thực hiện,...và ở công đoạn cuối
(công đoạn thứ k) ta có n − k + 1 cách thực hiện. Theo quy tắc nhân,
ta có n.(n − 1).(n − 2)...(n − k + 1) cách lập ra một chỉnh hợp chập k.
Đó cũng chính là số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp gồm n phần
tử.

Nhận xét 1.2.6. Từ định nghĩa ta thấy một hoán vị của một tập hợp

gồm n phần tử là một chỉnh hợp chập n của tập đó nên An = Pn = n!.

n

ˆ Với 0 < k < n thì ta có thể viết

Ak = n!
.
n (n − k)!

ˆ Ta quy ước (0 ≤ k ≤ n)

0! = 1; A0 = 1.

n

Định nghĩa 1.2.7. (Chỉnh hợp có lặp)
Cho tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi dãy có độ dài k phần tử của tập

X, mà mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần và được sắp theo một thứ tự
nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử thuộc tập
X.

Kí hiệu số chỉnh hợp có lặp chập k của n là Akn, tính bởi cơng thức

Akn = nk. (1.4)

Ví dụ 1.2.3. Có bao nhiêu cách chọn bốn cầu thủ khác nhau trong
mười cầu thủ của đội bóng quần vợt để chơi bốn trận đấu đơn, các
trận đấu là có thứ tự?

Lời giải. Mỗi cách chọn có thứ tự bốn cầu thủ của đội bóng là một chỉnh
hợp chập bốn của mười phần tử. Nên ta có số cách chọn là

4 = 10.9.8.7 = 5040.

A10

9

Ví dụ 1.2.4. Biển đăng kí ô tô có 6 chữ số và 2 chữ cái đầu tiên
trong 26 chữ cái (không dùng chữ O và I ). Hỏi số ơ tơ được đăng kí
nhiều nhất là bao nhiêu?

Lời giải. Gọi X là tập hợp các chữ cái dùng trong bảng đăng kí, suy ra

X có 24 phần tử (vì không dùng O và I). Vì vậy ta có A2 = 242 cách

24

chọn cho hai chữ cái đầu tiên. Gọi Y là tập hợp các chữ số dùng trong

bảng đăng kí, suy ra Y có 10 phần tử. Vì vậy có A6 = 106 cách chọn cho

10
6 chữ số cịn lại. Do đó có tất cả 106.242 biển số.

1.2.3. Tổ hợp

Định nghĩa 1.2.8. (Tổ hợp khơng lặp)
Cho tập hợp A có n phần tử, lấy ngẫu nhiên ra k phần tử từ tập gồm

n phần tử (0 ≤ k ≤ n). Sao cho 2 cách lấy được gọi là khác nhau nếu
giữa chúng có ít nhất 1 phần tử khác nhau. Số cách lấy ra k phần tử như
vậy được gọi là tổ hợp chập k của n phần tử của A , kí hiệu là Cnk.

Định lý 1.2.9. Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử
(1 ≤ k ≤ n) là

k Ak n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) (1.5)

n
Cn = = .
k! k!

Chứng minh. Mỗi cách sắp thứ tự các phần tử của một tổ hợp chập k

của A ta cho một chỉnh hợp chập k của A. Nói cách khác, mỗi hốn vị

của một tổ hợp chập k của A cho ta một chỉnh hợp chập k của A. Vậy từ

một tổ hợp chập k của A ta lập được k! chỉnh hợp chập k của A.

Vậy ta có

k Ak n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1)

n
Cn = = .
k! k!

Chú ý.

ˆ Với 1 ≤ k ≤ n thì ta có thể viết cơng thức (1.5) dưới dạng

Ck = n! (1.6)
.
n k!(n − k!)

10

ˆ Ta quy ước C0 = 1. Với quy ước này công thức (1.6) cũng đúng

n

với k = 0. Vậy công thức (1.6) đúng với mọi số nguyên k thỏa

mãn 0 ≤ k ≤ n.

Ví dụ 1.2.5. Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm 7 điểm, trong
đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3
đỉnh đều thuộc P .

Lời giải. Với mỗi tập con gồm 3 điểm bất kì của P , ta tạo được một tam

giác với các đỉnh là 3 điểm đó. Ngược lại, mỗi tam giác có 3 đỉnh thuộc

P tương ứng với một tập con gồm 3 điểm của 7 điểm. Vậy số tam giác có

3 đỉnh thuộc P chính bằng số các tổ hợp chập 3 của P , tức là bằng

3 7.6.5
C7 = = 35.
3!

Trong một số bài toán phức tạp hơn, ta cần phối hợp sử dụng các công
thức về tổ hợp và quy tắc nhân.

Ví dụ 1.2.6. Trong một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh
nữ. Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ

đi tham gia chiến dịch "Mùa hè xanh" của Đồn Thanh niên Cộng
sản Hồ Chí Minh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải. Chọn 4 bạn nam trong số 20 học sinh nam ta có C4 = 4845.

C3 20

Chọn 3 bạn nữ trong số 15 học sinh nữ ta có 15 = 455 cách.

Theo quy tắc nhân, chọn 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ ta có số cách

chọn là

4845.455 = 2204475.

Tính chất 1.2.10. Cho số nguyên dương n và số nguyên k với

(0 ≤ k ≤ n). Khi đó

Ck = Cn−k.nn (1.7)

Chứng minh. Ta có:

Ck = n!
.
n k!(n − k)!

n−k n! n!
Cn = = .
(n − k)!(n − (n − k))! (n − k)!k!

Do đó

Ck = Cn−k.nn

11

Tính chất 1.2.11. (Cơng thức Pascal)

k = Ck + k−1 (1 ≤ k ≤ n). (1.8)

Cn+1 n Cn

Chứng minh. Ta có:

k−1 n(n − 1)...(n − k + 2)
Cn = ;
(k − 1)!

k n(n − 1)...(n − k + 1) .
Cn =
k!

Vậy

k k−1 n(n − 1)...(n − k + 1) n(n − 1)...(n − k + 2)
Cn + Cn = +
k! (k − 1)!

n(n − 1)...(n − k + 1) + kn(n − 1)...(n − k + 2)

=

k!

n(n − 1)...(n − k + 2)(n − k + 1 + k)
=

k!

n(n − 1)...(n − k + 2) k
= = Cn+1.
k!

Định nghĩa 1.2.12. (Tổ hợp có lặp)
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một tổ hợp có lặp chập k (k không

nhất thiết phải nhỏ hơn n) của n phần tử thuộc A là một bộ gồm k phần
tử, mà mỗi phần tử này là một trong những phần tử của A.

Kí hiệu số tổ hợp có lặp chập k của n là Cnk, được tính bởi công thức

Cnk = Cn+k−1 k . (1.9)

Ví dụ 1.2.7. Giả sử có n viên bi giống nhau và k cái hộp, ta xếp bi
vào các hộp. Gọi xi với i = 1, 2, 3, ..., k là số bi ở hộp i. Chứng minh
rằng:

a) Số cách xếp khác nhau n viên bi vào k cái hộp là Cnk+n−1.

b) Trong Cnk+n−1 cách xếp đó có Cn−1 k−1 cách xếp cho tất cả các hộp

đều có bi.

12

Lời giải. a) Ta biểu diễn k cái hộp bởi k + 1 gạch thẳng đứng, còn các
viên bi biểu diễn bằng các dấu sao (∗). Chẳng hạn như

∗ ∗ | ∗ | ∗ ∗ ∗ | ∗ |...| ∗ ∗ ∗ |.

Như vậy ta thấy rằng ở ngồi cùng ln là các vạch thẳng đứng, còn
lại (k − 1) vạch thẳng đứng và n các viên bi được xếp theo thứ tự
tùy ý. Như vậy số cách xếp khác nhau bằng số cách chọn n phần tử
trong tập hợp (k − 1 + n) phần tử (cả vạch và dấu sao) đó chính là
C kk+n−1.

b) Trường hợp mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi tương ứng với cách biểu
diễn mỗi vạch phải bao gồm giữa 2 ngơi sao. Nhưng có tất cả (n − 1)
khoảng trống giữa n ngơi sao. Vì vậy phải xếp (k−1) vạch vào (n−1)
khoảng trống đó.
Vậy ta có tất cả Cn−1 k−1 cách xếp.

1.3. Các khái niệm cơ bản của xác suất

1.3.1. Phép thử ngẫu nhiên

Một trong những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất là phép thử.
Một thí nghiệm, một phép đo hay 1 sự quan sát hiện tượng nào đó,...
được hiểu là phép thử.
Chẳng hạn, gieo một đồng tiền kim loại (gọi tắt là đồng tiền), rút 1 quân
bài từ cỗ bài tú lơ khơ (cỗ bài 52 lá) hay bắn 1 viên đạn vào bia,... là

những ví dụ về phép thử.
Khi gieo 1 đồng tiền, ta khơng thể đốn trước được mặt số (mặt ngửa,
viết tắt là N) hay mặt hình (mặt sấp, viết tắt là S) sẽ xuất hiện. Đó là 1
ví dụ về phép thử ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.3.1. Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là
một thí nghiệm hay hành động mà:

ˆ Kết quả của nó khơng đốn trước được;

ˆ Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của
phép thử đó.

Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T .