Phép dời hình trong mặt phẳng và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN TRỌNG THÀNH

ĐỀ TÀI

PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
VÀ ÁP DỤNG

ĐỀ ÁN THẠC SĨ
PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Bình Định - Năm 2023

0
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN TRỌNG THÀNH

ĐỀ TÀI

PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
VÀ ÁP DỤNG

Ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 8460113

Giảng viên hướng dẫn 1: TS. Ngô Lâm Xuân Châu
Giảng viên hướng dẫn 2: TS. Nguyễn Thu Hà

Mục lục

Mục lục 0

Mở đầu 3

0.1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.4 Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.5 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.6 Cấu trúc đề án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Chương 1 CÁC PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1

1.1 Định nghĩa phép biến hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Định nghĩa và các tính chất của phép dời hình . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Sự xác định của phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Biểu thức tọa độ của phép dời hình trong mặt phẳng . . . . . . . . 8

1.4.1 Hệ tọa độ afin trên mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.2 Công thức đổi tọa độ afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.3 Hệ tọa độ Đề-các vng góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.4 Biểu thức tọa độ của phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Phân loại phép dời hình trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.1 Phép đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.2 Phép đối xứng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1

2
1.5.3 Phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.4 Phép quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Chương 2 PHÉP DỜI HÌNH TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC

PHẲNG VÀ TRONG THỰC TIỄN 26

2.1 Áp dụng phép đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.1 Áp dụng của phép đối xứng trục trong các bài toán chứng
minh hoặc xác định các yếu tố hình học . . . . . . . . . . . . 26

2.1.2 Áp dụng phép đối xứng trục vào bài toán cực trị . . . . . . . 30

2.1.3 Áp dụng phép đối xứng trục vào bài toán dựng hình và quỹ tích 34

2.2 Áp dụng phép đối xứng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1 Áp dụng của phép đối xứng tâm trong các bài toán chứng
minh hoặc xác định các yếu tố hình học . . . . . . . . . . . . 40

2.2.2 Áp dụng phép đối xứng tâm vào bài toán cực trị . . . . . . . 42

2.2.3 Áp dụng phép đối xứng tâm vào bài tốn dựng hình và quỹ tích 43

2.3 Áp dụng phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.1 Áp dụng của phép tịnh tiến trong các bài toán chứng minh
hoặc xác định các yếu tố hình học . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.2 Áp dụng phép tịnh tiến vào bài toán cực trị . . . . . . . . . 52

2.3.3 Áp dụng phép tịnh tiến vào bài tốn dựng hình và quỹ tích . 55

2.4 Áp dụng phép quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4.1 Áp dụng của phép quay trong các bài toán chứng minh hoặc
xác định các yếu tố hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4.2 Áp dụng phép quay vào bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . 64

2.4.3 Áp dụng phép quay vào bài tốn dựng hình và quỹ tích . . . 66

2.5 Ứng dụng vào thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Kết luận 73

Tài liệu tham khảo 74

Mở đầu

0.1 Lý do chọn đề tài

Các phép biến hình trong mặt phẳng là một trong những kiến thức trọng tâm
của chương trình hình học ở Trung học phổ thơng. Phép biến hình gắn liền với sự
hình thành và phát triển của tốn học nói chung và hình học nói riêng. Vào khoảng
năm 300 trước cơng ngun, Nhà tốn học Euclid, trong tác phẩm “Cơ bản” của
mình ơng đã nêu ra tư tưởng sử dụng phép biến hình trong việc định nghĩa hai
hình bằng nhau, đó là: “Hai hình được gọi là bằng nhau nếu chúng chồng khít lên
nhau”. Nhưng lúc này phép biến hình khơng phải là đối tượng nghiên cứu, nó chỉ
ngầm ẩn xuất hiện trong tình huống so sánh hai hình và cũng chỉ được hiểu theo
nghĩa là phép chuyển dời hình từ vị trí này sang vị trí khác. Đến cuối TK XIX ,
nhà toán học người Đức Felix Klein (1849 – 1925) đã nghiên cứu hình học theo
quan điểm nhóm các phép biến hình; trong đó có hình học Euclid sơ cấp được
giảng dạy ở Trung học phổ thông.

Phép biến hình trong mặt phẳng có rất nhiều ứng dụng trong đời sống thực
tiễn như: các cơng trình xây dựng, kiến trúc; ứng dụng trong hội họa mỹ thuật
(nghệ thuật dùng những hình ảnh bằng nhau để lấp đầy mặt phẳng); chế tạo các
sản phẩm mỹ nghệ như bình gốm, thổ cẩm,. . . Dựa vào các tính chất của phép
biến hình để thiết kế họa tiết trên nền gạch hoa, họa tiết quần áo; chế tạo trị chơi;
phóng to thu nhỏ các đồ vật. . .

Ở bậc Trung học phổ thông, mở đầu chương trình Hình học 11 học sinh đã

được học các phép biến hình trong mặt phẳng gồm phép dời hình và phép đồng
dạng. Trong đó phép dời hình bao gồm: phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng
tâm và phép quay chiếm thời lượng lớn trong chương này. Việc đưa nội dung các
phép dời hình vào giảng dạy giúp cho học sinh làm quen với các phương pháp tư
duy và suy luận mới. Đó là phương thức địi hỏi học sinh phải biết nhận thức các

3

4

đối tượng toán học trong sự chuyển động, thay đổi và phụ thuộc lẫn nhau. Đồng
thời phép dời hình cung cấp cho chúng ta những cơng cụ mới để giải bài tốn hình
học một cách hiệu quả, đặc biệt là đối với các dạng tốn chứng minh, tìm ảnh
của một hình, dựng hình và tìm quỹ tích. Tuy nhiên các em học sinh bậc Trung
học phổ thông thường gặp khó khăn khi tiếp cận các phép dời hình (được trình
bày theo kiểu “tân tốn học”), đặc biệt là ở khâu ứng dụng (sử dụng các phép dời
hình để giải toán). Quả thật, khi mới làm quen khái niệm phép dời hình, người
ta thường chưa hiểu tường tận tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận của lý
thuyết... Trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia, Olympic tốn học quốc tế
và khu vực, hay những kì thi giải tốn trên nhiều tạp chí tốn học thì các bài tốn
hình học liên quan đến các phép dời hình xuất hiện khá nhiều và được xem như
những dạng toán loại khó ở bậc Trung học phổ thơng. Vì thế, để đạt hiệu quả
trong việc giảng dạy và giúp học sinh tiếp cận với việc ứng dụng phép biến hình
thì việc nghiên cứu về phép dời hình và ứng dụng phép dời hình vào giải tốn hết
sức quan trọng.

Với những lí do trên tơi chọn đề tài “Phép dời hình trong mặt phẳng và áp
dụng” cho đồ án tốt nghiệp thạc sĩ Tốn học của mình.

0.2 Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nhằm hệ thống lại một số kiến thức cơ bản, bổ sung
(so với các nội dung có trong sách giáo khoa THPT) và nâng cao về các phép dời
hình trong mặt phẳng. Chúng tơi cũng cố gắng phân loại các dạng toán ứng dụng,
tổng hợp một số phương pháp cụ thể, đưa vào nhiều ví dụ để minh họa cho từng
phương pháp được trình bày; và khi có thể được, chúng tơi sẽ tìm cách nhận xét
hoặc phân tích lí do dẫn đến việc sử dụng một phép dời hình cụ thể.

0.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các phép dời hình trong mặt phẳng. Ngồi lý thuyết
tổng quan cịn có các nhận xét, phân loại, giúp cải thiện khả năng giải toán của
học sinh THPT.

5
Phạm vi nghiên cứu: Đề tài chủ yếu đề cập đến các phép dời hình trong
mặt phẳng và ứng dụng giải tốn THPT. Bên cạnh đó đề tài giới thiệu một số ứng
dụng của phép dời hình trong thực tiễn cuộc sống.

0.4 Nội dung nghiên cứu

- Định nghĩa, tính chất của các phép dời hình trong mặt phẳng.
- Ứng dụng của phép dời hình trong mặt phẳng vào giải một số bài toán THPT
và trong thực tiễn cuộc sống.

0.5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của chúng tơi là tìm hiểu và tổng hợp các kiến thức
từ các nguồn tài liệu tham khảo. Sau đó, phân tích và trình bày chi tiết các kết
quả lý thuyết và các bài toán áp dụng.

0.6 Cấu trúc đề án

Chương 1: CÁC PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Chương này giới thiệu định nghĩa và tính chất của các phép dời hình trong mặt
phẳng; sự xác định phép dời hình và biểu thức tọa độ của phép dời hình.
Chương 2: PHÉP DỜI HÌNH TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC
PHẲNG VÀ TRONG THỰC TIỄN
Chương này tập trung trình bày về ứng dụng các phép dời hình vào giải một
số dạng tốn hình học phẳng ở THPT, đề thi học sinh giỏi và Olympic Toán học
các cấp; cụ thể được chia ra làm ba ứng áp chính:
1. Áp dụng trong các bài toán chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học
2. Áp dụng vào bài toán cực trị
3. Áp dụng vào bài tốn dựng hình và quỹ tích
Ngồi ra chương này cịn trình bày một số ứng dụng của phép dời hình trong
thực tiễn cuộc sống.

Chương 1

CÁC PHÉP DỜI HÌNH TRONG
MẶT PHẲNG

Nội dung của chương này được trình bày lại từ tài liệu tham khảo [2]

1.1 Định nghĩa phép biến hình

Ta kí hiệu P là mặt phẳng Euclid. Một tập con H của P được gọi là một hình
phẳng và được kí hiệu H Ă P.
Định nghĩa 1.1. Một song ánh f : P Ñ P từ tập điểm của P lên chính nó được
gọi là một phép biến hình của mặt phẳng.

Như vậy cho một phép biến hình f : P Đ P là cho một quy tắc để với bất kì
điểm M thuộc P, ta tìm được một điểm M 1 “ f pM q hoàn toàn xác định thỏa mãn
hai điều kiện sau đây:
- Nếu M, N là hai điểm bất kì của P thì f pM q, f pN q là hai điểm phân biệt của
P.
- Với một điểm M 1 thuộc P bao giờ cũng có một điểm M thuộc P sao cho f pM q “
M 1.

Điểm f pM q được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f . Ngược lại, điểm
M gọi là tạo ảnh của điểm f pM q qua phép biến hình f nói trên.

Nếu H là một hình nào đó của P thì ta có thể xác định tập hợp f pHq “
tf pM q|M P Hu. Khi đó f pHq gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình f và hình
H được gọi là tạo ảnh của hình f pHq qua phép biến hình f đó.

1

2
Định nghĩa 1.2. Cho điểm M nằm trong mặt phẳng P. Một phép biến hình f
biến M thành chính nó thì M gọi là điểm bất động của phép biến hình f .

Muốn xác định một phép biến hình f : P Đ P ta cần nêu rõ quy tắc f đó
bằng các cách sau đây:
- Quy tắc f được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong mặt phẳng như:
tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định nào đó, dựng đường thẳng
đi qua một điểm và vng góc với một đường thẳng cho trước, dựng đường tròn
với tâm và bán kính đã cho,. . .
- Quy tắc f còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ px, yq của điểm M
với tọa độ px1, y1q của điểm M 1 “ f pM q đối với hệ tọa độ Oxy cho trước nào đó.

Ví dụ 1.1. Cho đường thẳng ∆ thuộc P. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành
điểm M 1 đối xứng với M qua ∆ được gọi là phép đối xứng trục. Đường thẳng ∆
gọi là trục đối xứng. Phép đối xứng trục với trục ∆ được kí hiệu là D∆. Ta có
D∆ pM q “ M 1.

Hình 1.1
Ví dụ 1.2. Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định. Phép biến hình biến mỗi
điểm M thành điểm M 1 đối xứng với M qua O được gọi là phép đối xứng tâm O.
Điểm O gọi là tâm của phép đối xứng đó. Phép đối xứng tâm O thường được kí
hiệu là DO. Ta có DO pM q “ M 1.

3

Hình 1.2

Ví dụ 1.3. Trong mặt phẳng cho vectơ ĐÝv cố định. Phép biến hình biến mỗi điểm

1 ÝÝÝÝÑ1 ÑÝ ÑÝ ÑÝ
M thành điểm M sao cho M M “ v gọi là phép tịnh tiến theo v . Vectơ v gọi

là vectơ tịnh tiến. Phép tịnh tiến theo vectơ ÑÝv thường được kí hiệu là TĐÝv . Ta có

TĐÝv pM q “ M 1.

Hình 1.3

Ví dụ 1.4. Trong mặt phẳng P, phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc P đều
thành chính điểm M được gọi là phép đồng nhất. Ta thường kí hiệu e là phép đồng
nhất. Như vậy ta có e : P Ñ P và epM q “ M với mỗi điểm M thuộc P.

Định nghĩa 1.3. Một phép biến hình f : P Đ P biến một điểm M bất kì của P
thành một điểm M 1 rồi lại dùng tiếp một phép biến hình thứ hai g : P Đ P để
biến M 1 thành M 2. Ta có

M 1 “ f pM q và M 2 “ gpM 1q

Khi đó phép biến hình h biến M thành M 2 gọi là tích của hai phép biến hình f
và g và kí hiệu h “ g ˝ f . Ta có

hpM q “ pg ˝ f q pM q “ M 2 “ gpM 1q “ g rf pM qs.

Định nghĩa 1.4. Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm M thành điểm
M 1. Ta có f pM q “ M 1. Khi đó phép biến hình biến điểm M 1 thành điểm M gọi là
phép biến hình nghịch đảo của phép biến hình f đã cho.

Ta kí hiệu phép biến hình nghịch đảo của f là f ´1 và ta có f ´1pM 1q “ M .
Mỗi phép biến hình f có duy nhất một phép biến hình đảo ngược f ´1 và
f ˝ f ´1 “ f ´1 ˝ f “ e (phép đồng nhất).

4

1.2 Định nghĩa và các tính chất của phép dời hình

Định nghĩa 1.5. Một phép biến hình f : P Ñ P được gọi là một phép dời hình
nếu trong mặt phẳng P với hai điểm M, N bất kì và hai ảnh của chúng lần lượt
là M 1 “ f pM q, N 1 “ f pN q ta ln có M 1N 1 “ M N .

Nhận xét 1.1. Từ định nghĩa của phép dời hình ta dễ dàng suy ra:
- Phép đồng nhất e là một phép dời hình.
- Nghịch đảo của một phép dời hình là một phép dời hình, nghĩa là nếu f là một

phép dời hình thì f ´1 cũng là một phép dời hình.

Định lý 1.1. Phép dời hình biến ba điểm A, B, C thẳng hàng với B nằm giữa A
và C thành ba điểm A1, B1, C1 thẳng hàng với B1 nằm giữa A1 và C1.

Chứng minh. Giả sử qua phép dời hình f điểm A thành A1, điểm B thành B1,
điểm C thành C1 thì ta có A1B1 “ AB, B1C1 “ BC, C1A1 “ CA. Vì B nằm giữa
A và C nên AB ` BC “ AC. Từ đó suy ra A1B1 ` B1C1 “ A1C1. Như vậy ba điểm
A1, B1, C1 thẳng hàng và điểm B1 nằm giữa A1 và C1.

Hệ quả 1.2. Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến
một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó.

Chứng minh. - Cho đường thẳng d và phép dời hình f . Ta chứng minh ảnh của d
qua phép dời hình f là một đường thẳng. Thật vậy, lấy hai điểm phân biệt A, B
bất kì thuộc d và A1, B1 lần lượt là ảnh của A, B. Lấy điểm M bất kì thuộc đường
thẳng AB. Khi đó, theo tính chất của phép dời hình f biến ba điểm A, B, M
thẳng hàng thành ba điểm A1, B1, M 1 thẳng hàng. Do đó M 1 thuộc đường thẳng
A1B1.
- Tương tự, dựa vào tính chất bảo tồn thứ tự các điểm của phép dời hình ta dễ
dàng chứng minh được phép dời hình biến một tia thành một tia.

Hệ quả 1.3. Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến
một góc thành một góc bằng nó, biến một đường trịn thành một đường trịn bằng
nó với tâm đường trịn này thành tâm đường tròn kia.

Chứng minh. - Giả sử A1, B1, C1 lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép dời hình f .
Theo tính chất của phép dời hình ta suy ra A1B1 “ AB, B1C1 “ BC, C1A1 “ CA.

5

Vậy hai tam giác ABC và A1B1C1 bằng nhau.
- Cho góc xz Oy qua phép dời hình f . Trên Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A, B và
gọi O1, A1, B1 lần lượt là ảnh của O, A, B. Theo Hệ quả 1.2 ta suy ra góc A{ 1O1B1
là ảnh của góc A{ OB và A{ 1O1B1 “ A{ OB.
- Cho đường tròn tâm pOq bán kính R và gọi O1 là ảnh của O qua phép dời hình
f . Lấy một điểm M bất kì thuộc pOq và M 1 là ảnh của M qua f . Theo Hệ quả 1.2,
ta suy ra O1M 1 “ OM “ R. Tức là M 1 thuộc đường trịn tâm O1 bán kính R.

Định lý 1.4. Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình.

Chứng minh. Cho hai phép dời hình f và g. Ta hãy xét tính chất của phép biến
hình g ˝ f . Giả sử A, B là hai điểm bất kì và ta có f pAq “ A1, gpA1q “ A2,
f pBq “ B1, gpB1q “ B2. Vì f và g đều là phép dời hình nên ta có AB “ A1B1 và
A1B1 “ A2B2. Như vậy phép biến hình g ˝ f đã biến điểm A thành điểm A2, biến
điểm B thành điểm B2 thỏa mãn điều kiện A2B2 “ AB. Do đó tích của hai phép
dời hình g ˝ f là một phép dời hình vì nó là một phép biến hình có tính chất bảo
tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì A, B của mặt phẳng.

Hệ quả 1.5. a) Tích của n phép dời hình là một phép dời hình.
b) Tích của một phép dời hình với phép nghịch đảo của nó là phép đồng nhất.

Định lý 1.6. Tích các phép dời hình có tính chất kết hợp.

Chứng minh. Giả sử g, h, f đều là các phép dời hình, ta cần chứng minh pg˝hq˝f “
g ˝ ph ˝ f q. Thật vậy, giả sử f biến M thành M 1, h biến M 1 thành M 2 và g biến M 2
thành M 3. Ta có g ˝ h là một phép dời hình biến M 1 thành M 3 và do đó pg ˝ hq ˝ f
biến M thành M 3. Mặt khác, h ˝ f biến M thành M 2 và g ˝ ph ˝ f q biến M thành
M 3.

6

Hình 1.4
Vậy pg ˝ hq ˝ f “ g ˝ ph ˝ f q vì cả hai đều biến điểm M thành M 3 với mọi điểm M
bất kì trong mặt phẳng.

Định lý 1.7. Tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm các phép dời hình
với phép tốn là tích các phép biến hình.

Chứng minh. Ta đã biết rằng tích hai phép dời hình là một phép dời hình. Như
vậy tập hợp các phép dời hình đóng kín với phép toán đã cho. Mặt khác ta thấy
rằng tập hợp các phép dời hình có tính chất kết hợp. Hơn nữa trong tập hợp các
phép dời hình có phần tử đơn vị là phép dời hình đồng nhất và bất kì phép dời
hình nào cũng có phép dời hình đảo ngược của nó.

Nếu gọi f là một phép dời hình bất kì, f ´1 là phép dời hình đảo ngược của nó,
e là phép dời hình đồng nhất ta ln ln có

f ˝ f ´1 “ e.

Vậy tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm gọi là nhóm các phép dời
hình.

1.3 Sự xác định của phép dời hình

Trong khi nghiên cứu các phép dời hình cụ thể như phép đối xứng trục, phép
đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay chúng ta đã biết cách xác định chúng.
Bây giờ chúng ta hãy xét sự xác định của một phép dời hình trong trường hợp
tổng quát. Vì phép dời hình biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó
nên ta suy ra phép dời hình biến một tam giác ABC thành một tam giác bằng nó

là A1B1C1. Vậy ngược lại nếu cho hai tam giác bằng nhau là ABC và A1B1C1 trong
đó AB “ A1B1, BC “ B1C1, CA “ C1A1 thì có hay khơng một phép biến hình f
biến A thành A1, B thành B1, C thành C1 và có bao nhiêu phép dời hình f như
thế? Để trả lời câu hỏi này ta có định lí sau:

Định lý 1.8. ABC và A1B1C1 là hai tam giác bằng nhau cho trước trong mặt
phẳng pπq pAB “ A1B1, BC “ B1C1, CA “ C1A1q. Bao giờ cũng có một phép dời
hình f : pπq Ñ pπq biến A thành A1, B thành B1, C thành C1.

7

Chứng minh. Trước hết, để trình bày được gọn gàng ta qui ước kí hiệu như sau:

t rM N s là trung trực của đoạn thẳng rM N s, D∆i chỉ phép đối xứng trục có trục

là ∆i, trong đó i là chỉ số 1, 2, 3, ...

Tồn tại. Nếu A và A1 là hai điểm phân biệt, ta gọi ∆1 “ t rAA1s. Qua phép D∆1,
tam giác ABC biến thành tam giác A1B1C1 bằng nó nên A1B1C1 “ A1B1C1,

do đó A1B1 “ A1B1.

Nếu B1 ‰ B1, ta gọi ∆2 “ t rBB1s thì theo chứng minh trên, A1 P ∆2. Bởi vậy, qua

phép D∆2 tam giác A1B1C1 biến thanh tam giác A1B1C2 bằng nó, nên A1B1C2 “
A1B1C1 và do đó A1C2 “ A1C1 và B1C2 “ B1C1.

Hình 1.5
Đến đây, nếu C2 ‰ C1 , ta gọi ∆3 “ t rCC1s thì A1 và B1 đều thuộc ∆3. Và cuối
cùng, phép đối xứng trục D∆3 biến tam giác A1B1C2 thành tam giác A1B1C1.

Như vậy là, thực hiện liên tiếp ba phép đối xứng trục D∆i, i “ 1, 2, 3 thì tích
f “ D∆3 ˝ D∆2 ˝ D∆1 là một phép đẳng cự biến tam giác ABC thành tam giác
A1B1C1, trong đó A1 “ f pAq , B1 “ f pBq , C1 “ f pCq .
Để ý rằng trong quá trình chứng minh, chúng ta đã ba lần sử dụng đến từ “nếu”
(cũng có nghĩa là “giả sử rằng”) [“Nếu” các cặp điểm pA, A1q , pB1, B1q , pC2, C1q là
phân biệt (khơng trùng nhau) thì xuất hiện ba phép đối xứng trục D∆i, i “ 1, 2, 3].
Với nhận xét này, ta thấy rằng nếu A1 “ A thì khơng cần thực hiện phép D∆1. Nếu
B1 “ B1 thì khơng cần sử dụng đến D∆2 và nếu C2 “ C1 thì cũng khơng sử dụng
đến D∆3.
Nói tóm lại, mỗi lần có một cặp điểm trong ba cặp điểm trên mà trùng nhau thì

8

số phép đối xứng trục cần thực hiện giảm đi một. Đến đây định lý đã được chứng
minh.
Chú ý : Trong định lý này, khi các tam giác ABC và A1B1C1 cùng hướng thì phép
dời hình là duy nhất.

Định nghĩa 1.6. Hình H gọi là bằng hình H1 nếu có một phép dời hình f : P Đ P
biến hình H thành hình H1. Ta kí hiệu f pHq “ H1.

Tính chất 1.1. Quan hệ bằng nhau giữa các hình là một quan hệ tương đương,
tức là
a) Mọi hình H đều bằng chính nó, vì trong nhóm các phép dời hình ta có phép
đồng nhất e biến H thành H.
b) Nếu hình H bằng hình H1 thì hình H1 bằng hình H. Thật vậy vì hình H bằng
hình H1 nên có phép dời hình f sao cho f pHq “ H1. Khi đó trong nhóm các phép
dời hình có phép dời hình nghịch đảo ngược f ´1 biến hình H1 bằng hình H và ta
có f ´1pH1q “ H. Vậy hình H1 bằng hình H. Do đó ta có thể nói tới khái niệm bằng
nhau của hình H và hình H1.

c) Nếu hình H bằng hình H1 và hình H1 bằng hình H2 thì hình H bằng hình
H2 . Thật vậy theo định nghĩa phép dời hình f và g của nhóm dời hình sao cho
f pHq “ H1 và gpH1q “ H2. Khi đó tích g ˝ f cũng là phép dời hình sẽ biến H thành
H2. Ta có g ˝ f pHq “ H2. Vậy hình H bằng hình H2.

1.4 Biểu thức tọa độ của phép dời hình trong mặt
phẳng

1.4.1 Hệ tọa độ afin trên mặt phẳng

Định nghĩa 1.7. Trong mặt phẳng P chọn một điểm O làm gốc và hai vectơ độc
lập tuyến tính pĐÝe1, ĐÝe2q thì hệ tO; ÑÝe1, ÑÝe2u biểu thị cho một hệ tọa độ afin trong
mặt phẳng (người ta còn gọi là hệ tọa độ xiên). Như vậy hai đường thẳng đi qua
O và lần lượt nhận ÑÝe1, ÑÝe2 làm các vectơ chỉ phương tạo nên một hệ tọa độ afin.

9

Hình 1.6
Với một vectơ ĐÝu bất kì trong mặt phẳng ta có một cặp số px, yq sao cho ÑÝu “
xÑÝe1 ` Ýe2.
Cặp số px, yq có thứ tự đó được gọi là tọa độ của vectơ ÑÝu đối với hệ tọa độ afin
tO; ĐÝe1, ĐÝe2u.
Ta kí hiệu ĐÝu “ px, yq hoặc ÑÝu px, yq.

Chú ý 1.1. Hai vectơ pÑÝe1, ÑÝe2q độc lập tuyến tính, cịn được gọi là hai vectơ khơng
cùng phương.
Người ta cịn gọi tĐÝe1, ĐÝe2u là hai vectơ cơ sở của hệ tọa độ afin tO; ÑÝe1, ÑÝe2u.
Nếu ta có ĐÝu “ px, yq và ĐÝv “ px1, y1q thì ta có χĐÝu ` µĐÝv “ pχx ` µx1, χy ` µy1q
với χ, µ P R.

Với mỗi điểm M trong mặt phẳng P, ta gọi tọa độ afin của điểm M đó đối với

hệ tọa độ afin tO; ÑÝe1, ÑÝe2u đã cho là tọa độ của vectơ ÝÝÝÑ đối với hệ tọa độ afin
OM

ÝÝÝĐ
đó. Như vậy, nếu OM “ px, yq thì cặp số px, yq cũng được gọi là tọa độ afin của

điểm M đối với hệ tọa độ afin đã cho và ta kí hiệu M “ px, yq hay M px, yq.

Trong mặt phẳng P cho cặp vectơ độc lập tuyến tính pĐÝe1, ĐÝe2q và một cặp vectơ
´ÝÑ1 ÝÑ1 ¯

khác là e 1, e 2 cũng độc lập tuyến tính. Nếu ta có

$
& ÝÑ1 ÑÝ ÑÝ

e 1 “ a1e1 ` a2e2
% ÝÑ1 ÑÝ ÑÝ

e 2 “ b1e1 ` b2e2

ă ˛

thì ma trận A “ ˝a1 a2‚ được gọi là ma trận chuyển từ cặp vectơ cơ sở pÑÝe1, ÑÝe2q
b1 b2

´ÝÑ1 ÝÑ1 ¯
sang cặp vectơ cơ sở e 1, e 2 . Các số a1, a2 và b1, b2 gọi là các hàng của ma trận

A, các số a1, b1 và a2, b2 gọi là các cột của ma trận A. Định thức của ma trận A

10

nói trên là một số và được kí hiệu là det A “ |A| “ a1b2 ´ a2b1.

Để xét sự định hướng của mặt phẳng đối với một cơ sở cho trước ta hãy xét định

thức của ma trận chuyển A nói trên. Nếu det A “ a1b2 ´ a2b1 ą 0 ta nói rằng cặp

´ÝĐ1 ÝĐ1 ¯ ÑÝ ÑÝ
vectơ e 1, e 2 cùng hướng với cặp vectơ pe1, e2q. Nếu det A “ a1b2 ´ a2b1 ă 0

´ÝÑ1 ÝÑ1 ¯ ĐÝ ĐÝ
ta nói rằng cặp vectơ e 1, e 2 ngược hướng với cặp vectơ pe1, e2q. Như vậy, nếu

trên một mặt phẳng nào đó ta đã chọn một cặp vectơ độc lập tuyến tính làm cặp

có hướng dương thì có thể định nghĩa hướng của các cặp vectơ độc lập tuyến tính

khác là âm hay dương tùy theo nó cùng hướng hay khác hướng với cặp vectơ đã

được chọn. Làm như vậy có nghĩa là ta đã định hướng mặt phẳng. Người ta chứng

minh được rằng:

a) Một cặp vectơ đều cùng hướng với chính nó.

´ÝÑ1 ÝÑ1 ¯ ÑÝ ÑÝ ÑÝ ÑÝ

b) Nếu cặp vectơ e 1, e 2 cùng hướng với cặp vectơ pe1, e2q thì cặp vectơ pe1, e2q

´ÝÑ1 ÝÑ1 ¯
cùng hướng với cặp vectơ e 1, e 2 .

´ÝÝÑ11 ÝÝÑ11 ¯ ´ÝÑ1 ÝÑ1 ¯
c) Nếu cặp vectơ e 1, e 2 cùng hướng với cặp vectơ e 1, e 2 và cặp vectơ

´ÝÑ1 ÝÑ1 ¯ ÑÝ ÑÝ ´ÝÝÑ11 ÝÝÑ11 ¯
e 1, e 2 cùng hướng với cặp vectơ pe1, e2q thì cặp vectơ e 1, e 2 cùng hướng

với cặp vectơ pÑÝe1, ÑÝe2q.

Như vậy dựa trên sự định hướng này người ta có thể phân tập hợp các cặp vectơ

độc lập tuyến tính trên mặt phẳng thành hai lớp riêng biệt và các cặp vectơ thuộc

cùng một lớp thì cùng hướng với nhau.

1.4.2 Cơng thức đổi tọa độ afin

ÑÝ ÑÝ ! 1 ÝÑ1 ÝÑ1 )
Trong mặt phẳng P cho hai hệ tọa độ afin tO; e1, e2u và O ; e 1, e 2 . Giả

ÝÑ1 ÑÝ ÑÝ ÝÑ1 ÑÝ ÑÝ ÝÝÑ1 ÑÝ ÑÝ
sử ta có: e 1 “ a1e1 ` a2e2, e 2 “ b1e1 ` b2e2, OO “ c1e1 ` c2e2

11

Hình 1.7

ÝÑ1 ÝÑ1 1
Như vậy ta đã biết tọa độ các vectơ e 1, e 2 và tọa độ của điểm O đối với hệ tọa

độ afin tO; ĐÝe1, ĐÝe2u.

Khi đó với một điểm M bất kì của mặt phẳng, giả sử px, yq là tọa độ của điểm

M đối với hệ tọa độ afin tO; ÑÝe1, ÑÝe2u và px1, y1q là tọa độ của cùng điểm M đó đối
! 1 ÝÑ1 ÝÑ1 )

với hệ tọa độ khác O ; e 1, e 2 . Điều đó có nghĩa là:

ÝÝÝÑ ÑÝ ÑÝ
OM “ xe1 ` ye2,

ÝÝ1ÝÑ 1ÝÑ1 Ý1ÝÑ1
O M “ x e 1 ` y e 2.

Ta hãy tìm sự liên hệ giữa hai tọa độ px, yq và px1, y1q của cùng một điểm M đối

với hai hệ tọa độ khác nhau. Ta có

ĐÝ ÑÝ ÝÝÝÑ ÝÝÑ1 ÝÝ1ÝÑ ÑÝ ÑÝ 1ÝÑ1 1ÝÑ1 ÑÝ ÑÝ
xe1 ` ye2 “ OM “ OO ` O M “ c1e1 ` c2e2 ` x e 1 ` y e 2 “ c1e1 ` c2e2 `

x1 pa1ÑÝe1 ` a2ÑÝe2q ` y1 pb1ÑÝe1 ` b2ÑÝe2q “ pa1x1 ` b1y1 ` c1q ÑÝe1 ` pa2x1 ` b2y1 ` c2q ĐÝe2

Từ đó ta suy ra

$
& x “ a1x1 ` b1y1 ` c1

% y “ a2x1 ` b2y1 ` c2.

Công thức trên gọi là công thức đổi tọa độ afin từ hệ tọa độ tO; ÑÝe1, ÑÝe2u sang hệ
! 1 ÝÑ1 ÝÑ1 )

tọa độ O ; e 1, e 2 .

Nhận xét 1.2. Trong công thức tọa độ afin trên đây ta nhận thấy ma trận

» fi

–a1 b1fl có cùng định thức với định thức của ma trận chuyển A nói trên. Nếu ta
a2 b2

chuyển các hàng thành cột (hoặc cột thành hàng) trong ma trận chuyển A thì ta

được ma trận của cơng thức đổi tọa độ. Ta kí hiệu

» ăằ fi˛˚

–a1 b1fl “ ˝–a1 a2fl‚ “ A˚.
a2 b2 b1 b2

A˚ gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A.

1.4.3 Hệ tọa độ Đề-các vng góc

Định nghĩa 1.8. Hệ tọa độ afin tO; ÑÝe1, ÑÝe2u trên mặt phẳng là một hệ tọa độ
Đề-các vng góc hoặc hệ tọa độ trực chuẩn nếu ÑÝe1, ÑÝe2 là hai vectơ đơn vị và
vng góc với nhau, tức là ĐÝe12 “ ĐÝe22 “ 1 và ÑÝe1. ÑÝe2 “ 0.

12

Hình 1.8
Nhận xét 1.3. Giả sử đối với hệ tọa độ Đề-các vng góc tO; ĐÝe1, ĐÝe2u hai vectơ
ĐÝu , ĐÝv lần lượt có tọa độ là ĐÝu “ px1, y1q , ĐÝv “ px2, y2q thì khi đó ta có

ÑÝu . ÑÝv “ px1ÑÝe1 ` y1ÑÝe2q . px2ÑÝe1 ` y2ÑÝe2q “ x1x2 ` y1y2.
Chú ý 1.2. Hệ tọa độ Đề-các vuông góc là một hệ tọa độ afin nên có đầy đủ các
tính chất của hệ tọa độ afin.

! ÝÝÝÑ ÝÝÝÑ)
Định lý 1.9. Trong mặt phẳng cho hai hệ tọa độ trực chuẩn O; OE1, OE2 và
! 1 ÝÝ1ÝÑ ÝÝÝ1 ÝÑ1 )

O ; O E1, O E 2 . Khi đó có một phép dời hình duy nhất f : P Ñ P sao cho
f pOq “ O1, f pE1q “ E11, f pE2q “ E12.

Hình 1.9

13

ˇˇÝÝÝÑˇˇ ˇˇÝÝÝÑˇˇ ˇˇÝÝÝ1 ÝÑ1 ˇˇ ˇˇÝÝÝ1 ÝÑ1 ˇˇ
Chứng minh. Ta có ˇOE1ˇ “ ˇOE2ˇ “ ˇO E 1ˇ “ ˇO E 2ˇ và như vậy hai tam giác
vuông cân bằng nhau là OE1E2 và O1E11E12 xác định một phép dời hình duy nhất
f biến các điểm O, E1, E2 thành các điểm O1, E11, E12.

! ÝÝÝÑ ÝÝÝÑ)
Hệ quả 1.10. Phép dời hình f biến một hệ tọa độ trực chuẩn O; OE1, OE2

! 1 ÝÝ1ÝÑ ÝÝÝ1 ÝÑ1 ) 1
thành một hệ tọa độ trực chuẩn O ; O E1, O E 2 trong đó f pOq “ O , f pE1q “

E11, f pE2q “ E12.

! ÝÝÝÑ ÝÝÝÑ)
Định lý 1.11. Trong mặt phẳng cho hệ tọa độ trực chuẩn O; OE1, OE2 và một

phép dời hình f . Gọi O1 “ f pOq, E11 “ f pE1q, E12 “ f pE2q. Khi đó nếu một điểm

M có tọa độ px, yq đối với hệ tọa độ trực chuẩn đã cho thì điểm M 1 “ f pM q cũng
! 1 ÝÝ1ÝĐ ÝÝÝ1 ÝĐ1 )

có tọa độ px, yq đối với hệ tọa độ ảnh của f là O ; O E1, O E 2 .

Chứng minh. Nếu px, yq là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ trực chuẩn
! ÝÝÝÑ ÝÝÝÑ) ÝÝÝÑ ÝÝÝÑ ÝÝÝÑ

O; OE1, OE2 thì OM “ xOE1 ` yOE2.

Gọi M1, M2 lần lượt là hình chiếu vng góc của M trên các đường thẳng OE1 và
OE2. Gọi M 11, M 12 lần lượt là hình chiếu vng góc của M 1 trên các đường thẳng
O1E11 và O1E12.

Hình 1.10

1 1 ÝÝÝĐ

Do tính chất của phép dời hình ta có f pM1q “ M 1, f pM2q “ M 2. Ta có OM “

ÝÝÝÑ ÝÝÝÑ ÝÝÝÑ ÝÝÝÑ ÝÝÝÑ ÝÝÝÑ ÝÝÝÑ ÝÝÝÑ
OM1 ` OM2 “ xOE1 ` yOE2 nên OM1 “ xOE1 và OM2 “ yOE2. Do tính

chất của phép dời hình (bảo tồn sự thẳng hàng, bảo tồn khoảng cách) ta có