Tài liệu Phép biến hình và phép dời hình trong mặt phẳng docx

Sắp chữ bằng L
A
T
E
X bởi Trần Văn Toàn,
Giáo viên trường THPT chuyên Lương Thế Vinh,
Biên Hoà, Đồng Nai.
1 Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
1.1 Phép biến hình
Định nghĩa 1.1 Trong mặt phẳng, cho điểm M. Quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm M với một
và chỉ một điểm M

được gọi là phép biến hình. Điểm M

được gọi là ảnh của M qua phép biến
hình.
Nếu F là phép biến hình và M

là ảnh của M qua phép biến hình F , thì ta kí hiệu f(M) = M

.
Khi đó, ta còn nói phép biến hình F biến điểm M thành điểm M

.
Ví dụ 1.1 Cho điểm M và vectơ
#»
v . Quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm M là điểm M

sao cho
# »
MM


=
#»
v là một phép biến hình.
Định nghĩa 1.2 Cho hình H , với mỗi điểm M ∈ H , gọi M

là ảnh của M qua phép biến hình
F . Tập hợp các điểm M

tạo nên hình H

. Khi đó, H

gọi là ảnh của H qua qua phép biến hình
F . Kí hiệu F (H ) = H

.
1.2 Phép dời hình
Định nghĩa 1.3 Phép biến hình F được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa
hai điểm bất kì. Tức là, nếu F (A) = A

và F (B) = B

, thì A

B

= AB.
1.3 Phép tịnh tiến
Định nghĩa 1.4 Trong mặt phẳng cho vectơ

#»
v . Quy tắc đặt tương ứng với mỗi điểm M với điểm
M

sao cho
# »
MM

=
#»
v được gọi là phép tịnh tiến trong mặt phẳng theo vectơ
#»
v và được ký hiệu
là T
#»
v
.
T
#»
v
(M) = M

⇔
# »
MM

=
#»
v
Nhận xét.

a) M

= T
#»
v
(M) ⇔ M = T
−
#»
v
(M

).
b) M

= T
#»
v
(M), N

= T
#»
v
(N) ⇔
# »
M

N

=
# »

MN.
c) Chỉ có phép tịnh tiến theo vectơ - không mới biến điểm A thành chính nó.
Định lí 1.1 Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M

và N

, thì
M

N

= MN. Nói cách khác, phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
1
Định lí 1.2 Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự
của chúng.
Hệ quả 1.1 Phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hay trùng với
nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một
tam giác bằng nó biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc thành
một góc.
1.4 Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ
#»
v = (a; b). Giả sử M(x; y) biến thành
M

(x

; y

). Khi đó, ta có




x

= x + a,
y

= y + b.
 1.1 Qua phép tịnh tiến theo vectơ
#»
u =
#»
0 , đường thẳng d biến thành đường thẳng ∆. Trong
trường hợp nào thì d trùng với ∆? d song song với ∆? d cắt ∆?
 1.2 Cho hai đường thẳng song song a và b. Tìm tất cả các phép tịnh tiến biến a thành b.
 1.3 Cho hai phép tịnh tiến T
#»
u
và T
#»
v
. Với điểm M bất kì, T
#»
u
biến M thành M

, T
#»
v

biến M

thành M

. Chứng tỏ rằng phép biến hình biến điểm M thành điểm M

là một phép tịnh tiến.
 1.4 Cho phép tịnh tiến theo vectơ
#»
u biến điểm A(3; 2) thành điểm A

(2; 3). Tìm ảnh của điểm
B(2; 5) qua phép tịnh tiến theo vectơ
#»
u .
 1.5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(−2; −5), đường thẳng ∆ : 2x +3y −4 = 0, đường
tròn (C ) : x
2
+ y
2
− 2x + 6y + 1 = 0. Tìm ảnh của M, ∆ và (C ) qua phép tịnh tiến theo vectơ
#»
v = (2; −3).
Đáp số. M

(0; −8); ∆

: 2x + 3y + 1 = 1 và (C

) : x

2
+ y
2
− 6x + 12y + 36 = 0.
 1.6 Tìm ảnh của parabol y = x
2
qua phép tịnh tiến theo vectơ
#»
v = (2; −3).
Đáp số. y = x
2
− 4x + 1.
 1.7 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1), B(4; 0) và hai đường thẳng d
1
: 3x +
y + 2 = 0, d
2
: 2x + 5y − 4 = 0. Tìm trên các đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt các điểm C, D sao cho
tứ giác ABCD là hình bình hành.
Đáp số. C(−1; 1) và D(−3; 2).
 1.8 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) đi qua gốc toạ độ và có tâm I(1; −2).
2
a) Viết phương trình của đường tròn (C ). Tìm toạ độ của điểm A là giao điểm (khác gốc toạ
độ O) của (C ) và trục tung.
b) Gọi M là một điểm di động trên đường tròn (C ). Tìm tập hợp các trực tâm H của tam giác
OAM.

 1.9 Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (C ), tâm O, bán kính R và một điểm A, thay
đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên một
đường tròn cố định.
 1.10 Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B trên đường tròn sao cho số đo cung AB nhỏ hơn
180
◦
. Gọi (O

; R) là ảnh của (O; R) và B

là ảnh của B qua phép tịnh tiến theo 2
# »
OA. Chứng minh
rằng

BAB

= 90
◦
.
 1.11 Cho tam giác ABC. Với mỗi điểm M , ta dựng điểm N sao cho
# »
MN =
# »
MA +
# »
2MB −
# »
MC.
Tìm tập hợp các điểm N khi M thay đổi trên một đường thẳng d.

 1.12 Cho trước một điểm A, một đường thẳng d không đi qua A. Trên d ta đặt một đoạn thẳng
BC = a (a là độ dài cho trước). Tìm vị trí của đoạn BC để AB + AC nhỏ nhất.
 1.13 Trong số các tứ giác lồi có độ dài hai đường chéo m, n cho trước và góc tạo bởi hai đường
chéo đó bằng α cho trước, tứ giác nào có chu vi nhỏ nhất?
Trả lời. Hình bình hành.
 1.14
1
Where should we construct bridge MN though the river that separates villages A and B
so that the path AMNB from A to B was the shortest one? (The blanks of the river are assumed
to be parallel lines and the bridge perpendicular to the blanks.)
 1.15 Consider triangle ABC. Point M inside the triangle moves parallel to the side BC to its
intersection with side CA, then parallel to AB to its intersection with BC, then parallel to AC to
its intersection with AB, and so on. Prove that after a number of steps the trajectory of the point
M becomes a closed one.
2
Cho tam giác ABC và điểm M nằm ở miền trong của tam giác. Cho điểm M di chuyển trên
đường thẳng song song với cạnh BC đến giao điểm của đường thẳng song song này và cạnh AC.
Sau đó, M di chuyển trên đường thẳng song song với cạnh AB đến giao điểm của đường thẳng
song song này và cạnh BC. Lại cho M di chuyển trên đường thẳng song song với cạnh AC đến
giao điểm của đường thẳng song song này và cạnh AB. Quá trình di chuyển điểm M cứ tiếp tục
như vậy. Chứng minh rằng, sau một số bước, thì đường quỹ đạo của điểm M sẽ là một đường khép
kín.
1
Các đề Toán bằng tiếng Anh trong tài liệu này được trích từ cuốn “Problems in plane and solid”, V.1, Plane
Geometry, Viktor Prasolov.
2
Tôi tạm dịch. Rất mong nhận được góp ý của mọi người. Chân thành cám ơn.
3
 1.16 Let K, L, M and N be the midpoints of sides AB, BC, CD and DA, respectively, of a
convex quadrilateral ABCD.

a) Prove that KM 
1
2
(BC + AD).
b) For given lengths of the sides of quadrilateral ABCD, find the maximal value of the lengths
of the segments KM and LN.
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi K, L, M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD
và DA.
a) Chứng minh rằng KM 
1
2
(BC + AD).
b) Cho biết độ dài các cạnh của tứ giác ABCD, tìm giá trị lớn nhất của các đoạn thẳng KM
và LN .
 1.17 In trapezoid ABCD, sides BC and AD are parallel, M the intersection point of the
bisectors of angles

A and

B, and N the intersection point of the bisectors of angles

C and

D.
Prove that
2MN = |AB + CD −BC − AD|.
Cho hình thang ABCD có các cạnh BC và AD song song nhau. Gọi M là giao điểm của các
đường phân giác trong của góc

A và


B, và N là giao điểm của các đường phân giác trong của góc

C và

D. Chứng minh rằng
2MN = |AB + CD −BC − AD|.
 1.18 From vertex B of parallelogram ABCD heights BK and BH are draw. It is known that
KH = a and BD = b (b > a). Find the distance from B to the intersection point of the heights of
the triangle BHK.
Từ đỉnh B của hình bình hành ABCD kẻ các đường cao BK và BH. Biết rằng KH = a và
BD = b (b > a). Tìm khoảng cách từ B đến trực tâm của tam giác BHK.
 1.19 In the unit square a figure is placed such that the distance between any two of its points
is not equal to 0.001. Prove that the area of this figure does exceed
a) 0.34;
b) 0.287.
Cho hình H . Lấy trong H hai điểm bất kì sao cho khoảng cách giữa chúng khác 0.001. Chứng
minh rằng diện tích của hình H không vượt quá
a) 0.34;
b) 0.287.
4
 1.20 Consider two circles S
1
, S
2
and the line . Draw 
1
so that:
a) the distance between the intersections points of 
1

with circles S
1
and S
2
is a given value a;
b) S
1
and S
2
intercept on 
1
equal chords;
c) S
1
and S
2
intercept on 
1
the sum (or difference) of whose lengths is equal to a given value.
Cho hai đường tròn S
1
, S
2
và đường thẳng . Dựng đường thẳng 
1
sao cho
a) khoảng cách giữa các giao điểm của 
1
với các đường tròn S
1

và S
2
là một giá trị a cho trước;
b) S
1
và S
2
chắn 
1
các dây cung bằng nhau;
c) S
1
và S
2
chắn 
1
các dây cung mà tổng độ dài của chúng là một giá trị cho trước.
 1.21 Consider nointersecting chords AB and CD on a circle . Contruct a point X on the circle
so that chords AX and BX would intercept on chord CD a segment, EF, of a given length a.
Cho đường tròn (C ) và các dây cung không cắt nhau AB và CD trên (C ). Dựng điểm X trên
(C ) sao cho các dây cung AX và BX cắt dây cung CD theo một đoạn thẳng EF có độ dài bằng
a (a cho trước)
 1.22 Given point A and two circles S
1
, S
2
. Though A draw line  so that S
1
and S
2

intercept on

1
equal chords.
Cho điểm A và các đường tròn S
1
, S
2
. Qua A hãy dựng đường thẳng  sao cho S
1
và S
2
chắn
trên 
1
các dây cung bằng nhau.
2 Phép đối xứng tâm
Định nghĩa 2.1 Cho điểm O. Phép đối xứng tâm, kí hiệu Đ
O
là phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M

sao cho
# »
OM

= −
# »
OM.
Đ

O
(M) = M

⇔
# »
OM

= −
# »
OM .
Điểm O gọi là tâm đối xứng.
Nhận xét. Phép đối xứng qua tâm O biến điểm O thành chính nó và biến mọi điểm M khác O
thành điểm M

sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM

.
Định lí 2.1 Cho Đ
O
(A) = A

và Đ
O
(B) = B

. Khi đó,
# »
AB = −
# »
A


B

.
Hệ quả 2.1 Phép đối xứng tâm biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hay trùng
với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành
một tam giác bằng nó biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc
thành một góc.
5
2.1 Biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm
Trong hệ toạ độ Oxy cho điểm I(a; b). Nếu phép đối xứng tâm I biến điểm M (x; y) thành điểm
M

(x

; y

) thì



x

= 2a −x,
y

= 2b −y.
2.2 Tâm đối xứng của một hình
Định nghĩa 2.2 Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến
hình H thành chính nó.

 2.1 Tìm một hình có vô số tâm đối xứng.
 2.2 Tìm một hình không có tâm đối xứng.
 2.3 Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau có bao nhiêu tâm đối xứng?
 2.4 Hình gồm hai đường thẳng song song nhau có bao nhiêu tâm đối xứng?
 2.5 Cho hai đường thẳng d và d

cắt nhau tại A và điểm M không nằm trên hai đường thẳng
đó. Dựng đường thẳng đi qua M và cắt d và d

lần lượt tại các điểm B, C sao cho MB = MC.
 2.6 Cho hai đường tròn (O) và (O

) cắt nhau tại A. Hãy dựng đường thẳng d đi qua A cắt hai
đường tròn thành hai dây cung có độ dài bằng nhau.
 2.7 Hãy dựng một hình bình hành ABCD cho biết hai đỉnh A, C còn hai đỉnh đối diện B, D
còn lại nằm trên một đường tròn tâm O, bán kính R cho trước.
 2.8 Cho góc

xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc đó. Hãy dựng đường thẳng đi qua
A, cắt cạnh Ox tại B, cắt cạnh Oy tại C sao cho A là trung điểm của đoạn BC.
 2.9 Consider two concentric circles S
1
and S
2
. Draw a line on which these circles intercept three
equal segments.
Cho hai đường tròn đồng tâm S
1
và S
2

. Dựng đường thẳng sao cho đường thẳng này cắt hai
đường tròn S
1
và S
2
thành ba đoạn thẳng bằng nhau.
 2.10 Prove that if in a triagle a median and a bisector coincide, then the triagle is an isosceles
one.
Chứng minh rằng nếu một tam giác có đường trung tuyến và đường phân giác trùng nhau, thì
tam giác đó là tam giác cân.
6
 2.11 Cho đoạn thẳng AB và hai tia Ax, By vuông góc với AB và nằm cùng về một phía đối
với đường thẳng AB. Xét các hình thoi M N P Q có đỉnh M nằm trên đoạn AB, đỉnh P trên Ax,
đỉnh Q trên By có góc nhọn tại đỉnh M bằng 60
◦
. Tìm tập hợp đỉnh N.
 2.12 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(−1; 3), đường thẳng ∆ có phương trình 7x −5y +4 = 0,
đường tròn (C ) có phương trình x
2
+ y
2
+ 8x − 10y + 3 = 0. Tìm ảnh của điểm M(4; 1), đường
thẳng ∆ và đường tròn (C ) qua phép đối xứng tâm I.
Đáp số. M

(−6; 5), ∆

: 7x −5y − 40 = 0; (C

) : (x + 4)

2
+ (y − 5)
2
= 2.
 2.13 Two players lay out nickels on a rectangular table taking turns. It is only allowed to place
a coin onto an unoccupied place. The loser is the one who can not make any move. Prove that the
first player can always win in finitely many moves.
 2.14 A circle intersects sides BC, CA, AB of a triangle ABC at points A
1
and A
2
, B
1
and B
2
,
C
1
and C
2
, respecrively. Prove that if the perpendiculars to the sides of the triangle drawn though
A
1
, B
1
and C
1
intersect at one point, then the perpendiculars to the sides of the triangle drawn
though A
1

, B
1
and C
1
also intersect at one point
Một đường tròn cắt các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC theo thứ tự tại các điểm A
1
và
A
2
, B
1
và B
2
, C
1
và C
2
. Chứng minh rằng nếu các đường cao của tam giác kẻ từ các điểm A
1
, B
1
và C
1
đồng quy, thì các đường cao của tam giác kẻ từ các điểm A
2
, B
2
và C
2

cũng đồng quy.
 2.15 Let P be the midpoint of side AB of convex quadrilateral ABCD. Prove that if the area
of a triangle P CD is equal to a half area of quadrilateral ABCD, then BC  AD.
Cho tứ giác lồi ABCD có P là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng nếu diện tích của
tam giác P CD bằng một nửa diện tích của tứ giác ABCD, thì BC  AD.
 2.16 Unit circles (C
1
) and (C
2
) are tangent at a point A; the center O of circle (C ) of radius 2
belongs to (C
1
). Circle (C
1
) is tangent to circle (C ) at a point B. Prove that the line AB passes
through the intersection point of circle (C
2
) and (C ).
Cho hai đường tròn đơn vị tiếp xúc với nhau tại điểm A. Gọi (C ) là đường tròn tâm O, bán
kính bằng 2 (O ∈ (C
1
)). Đường tròn (C
1
) tiếp xúc với (C ) tại điểm B. Chứng minh rằng đường
thẳng AB đi qua giao điểm của (C
2
) và (C ).
 2.17 In triangle ABC medians AF and CE are drawn. Prove that if

BAF =


BCE = 30
◦
, then
triangle ABC in an equilateral one.
Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AF và CE. Chứng minh rằng nếu

BAF =

BCE = 30
◦
, thì tam giác ABC là tam giác đều.
 2.18 Prove that the composition of two central symmetries is a parallel translation.
7
Chứng minh rằng hợp thành của hai phép đối xứng tâm là một phép tịnh tiến.
 2.19 Prove that the composition of a parallel translation with a central symmetry (in either
order) is a central symmetry.
Chứng minh rằng hợp thành của một phép tịnh tiến và một phép đối xứng tâm (hoặc một
phép đối xứng tâm và một phép tịnh tiến) là một phép đối xứng tâm.
 2.20 a) Prove that a bounded figure cannot have more than one center of symmetry.
b) Prove that no figure can have precisely two centers of symmetry
c) Let M be a finite set of points on a plane. Point O will be called an “almost center of
symmetry” of the set M if we can delete a point so that O becomes the center of symmetry
of the remaining set. How many “almost center of symmetry” can a set have?
a) Chứng minh rằng một hình bị chặn (hình kín) không thể có nhiều hơn một tâm đối xứng.
b) Chứng minh rằng không tồn tại một hình mà nó có đúng hai tâm đối xứng.
c) Cho M là một tập hợp hữu hạn các điểm trên mặt phẳng. Điểm O được gọi là hầu tâm đối
xứng của tập hợp M nếu như ta xoá một điểm nào đó của M thì O trở thành tâm đối xứng
các điểm còn lại của M. Hỏi có bao nhiêu điểm là hầu tâm đối xứng của M?
 2.21 On segment AB, consider n pairs of points symmetric through the midpoint; n of these 2n

points are painted blue and the remaining points are painted red. Prove that the sum of distances
from A to the blue points is equal to the sum of distances from B to the red points.
Trên đoạn thẳng AB, cho n (cặp) điểm đối xứng qua trung điểm của đoạn thẳng AB; n điểm
trong số 2n điểm này được sơn màu xanh. Số điểm còn lại được sơn màu đỏ. Chứng minh rằng
tổng các khoảng các từ A đến các điểm sơn màu xanh bằng tổng các khoảng các từ B đến các
điểm sơn màu đỏ.
3 Phép đối xứng trục
Định nghĩa 3.1 Phép đối xứng qua đường thẳng a, kí hiệu Đ
a
, là phép biến hình biến điểm M
của mặt phẳng thành điểm M

sao cho
• nếu M ∈ a, thì a là đường trung trực của đoạn thẳng MM

.
• nếu M ∈ a, thì M ≡ M

.
Định lí 3.1 Phép đối xứng trục biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M

, N

, thì M

N

=
MN.
8

Định lí 3.2 Phép đối xứng trục biến ba điểm thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của
chúng.
Hệ quả 3.1 Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia,
biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó biến
một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc thành một góc bằng nó.
3.1 Phép đối xứng qua các trục toạ độ
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy,
• phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M(x; y) thành điểm M

(x; −y).
• phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M(x; y) thành điểm M

(−x; y).
Định nghĩa 3.2 Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua
trục d biến H thành chính nó.
 3.1 On the bisector of the exterior angle

C of triangle ABC point M distinct from C is taken.
Prove that MA + MB > CA + CB.
Trên đường phân giác ngoài góc C của tam giác ABC lấy điểm M (M không trùng với C).
Chứng minh rằng MA + MB > CA + CB.
 3.2 The inscribed circle of a triangle ABC is tangent to sides AC and BC at points B
1
and A
1
,
respectively. Prove that if AC > BC, then AA
1
> BB
1

.
Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với với các cạnh AC và BC lần lượt tại B
1
và A
1
.
Chứng minh rằng nếu AC > BC, thì AA
1
> BB
1
.
 3.3 Prove that the area of any convex quaddrilateral does not exceed a half sum of the products
of opposite sides.
Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác lồi bất kì không vượt quá một nửa tổng của tích
các cạnh đối diện.
 3.4 Given line  and two points A and B on one side of it, find point X on line  such that the
length of segment AXB of the broken line was minimal.
Cho đường thẳng  và hai điểm A, B ở về cùng một phía của . Tìm điểm X trên  sao cho độ
dài đường gấp khúc AXB nhỏ nhất.
 3.5 Cho góc nhọn

xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc này. Tìm trên cạnh Ox một
điểm B và trên cạnh Oy một điểm C sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
 3.6 Inscribe a triangle of the least perimeter in a given acute triangle.
9
Dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất sao cho ba đỉnh của tam giác đó nằm trên ba cạnh khác
nhau của tam giác nhọn cho trước.
 3.7 Point M belongs to a diameter AB of a circle (C ). Chord CD pass through M and intesects
AB at an angle of 45
◦

. Prove that the sum CM
2
+ DM
2
does not depend on the choice of point
M.
Cho đường tròn (C ), điểm M nằm trên đường kính AB của (C ). Dây CD qua M và hợp với
AB một góc 45
◦
. Chứng minh rằng tổng CM
2
+ DM
2
không phụ thuộc vào việc chọn điểm M.
 3.8 Through point M on base AB of an isosceles triangle ABC a line is drawn. It intersects
sides CA and CB (or their extensions) at points A
1
and B
1
. Prove that
A
1
A
A
1
M
=
B
1
B

B
1
M
.
Cho tam giác cân ABC, trên cạnh đáy AB ta lấy điểm M, đường thẳng qua M cắt các cạnh CA
and CB (hoặc phần kéo dài của các cạnh) tại các điểm A
1
và B
1
. Chứng minh rằng
A
1
A
A
1
M
=
B
1
B
B
1
M
.
 3.9 Cho đường tròn (C ), đường thẳng ∆ và hai điểm phân biệt A, B không thuộc chúng. Xác
định điểm C ∈ ∆, D ∈ (C ) sao cho tứ giác ABCD là hình thang có hai đáy là AB và CD.
 3.10 Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm khác phía đối với d. Hãy dựng điểm C trên d
sao cho tam giác ABC có đường phân giác góc

ACB nằm trên d.

 3.11 Cho hai điểm A và B cố định. Với mỗi đường thẳng d qua B, ta dựng điểm A

đối xứng
với A qua d. Tìm tập hợp điểm A

khi d quay quanh B.
4 Phép quay
Định nghĩa 4.1 Trong mặt phẳng cho một điểm O và một góc lượng giác ϕ không đổi. Phép biến
hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành điểm M

sao cho OM = OM

và (OM, OM

) = ϕ được gọi là phép quay tâm O góc quay ϕ, kí hiệu Q
(O,ϕ)
.
Ví dụ 4.1 Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G. Tìm ảnh của A qua phép quay tâm G, góc
quay −120
◦
. Tìm ảnh của B qua phép quay tâm G, góc quay 240
◦
Định lí 4.1 Phép quay là một phép dời hình.
Định lí 4.2 Phép quay biến ba điểm thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng.
Hệ quả 4.1 Phép quay trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia,
biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó biến
một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc thành một góc bằng nó.
10
 4.1 Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C (B nằm giữa A và C). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
AC vẽ các tam giác đều ABE và BCF . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AF

và CE. Chứng minh rằng BMN là tam giác đều.
 4.2 Cho tam giác đều ABC. Vẽ các tam giác đều ABC
1
, CAB
1
, BCA
1
nằm ngoài miền tam
giác ABX. Chứng minh rằng các đoạn thẳng AA
1
, BB
1
, CC
1
có độ dài bằng nhau và đồng quy
tại một điểm.
 4.3 Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC ta dựng ra phía ngoài các hình vuông ABMN
và ACP Q.
a) Chứng minh rằng NC ⊥ BQ và NC = BQ.
b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC, chứng minh AM ⊥ QN và AM =
BQ
2
.
 4.4 Chứng minh rằng các trung điểm của các cạnh của một đa giác đều là các đỉnh của một đa
giác đều.
 4.5 Cho hai đường thẳng d và d

không vuông góc với nhau và điểm A không nằm trên hai
đường thẳng đó. Hãy dựng tam giác vuông cân ABC (AB = AC) sao cho hai đỉnh B, C nằm hai
trên đường thẳng đã cho.

 4.6 Cho hai đường thẳng song song a và b và điểm C không nằm trên hai đường thẳng đó. Hãy
tìm trên a và b lần lượt hai điểm A và B sao cho ABC là tam giác đều.
4.1 Rotation by 90
◦
 4.7 On sides BC and CD of square ABCD points M and K, respectively, are taken so that

BAM =

MAK. Prove that BM + KD = AK.
Cho hình vuông ABCD, trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy các điểm M và K sao cho

BAM =

MAK. Chứng minh rằng BM + KD = AK.
 4.8 In triangle ABC median CM and height CH are drawn. Through an arbitrary point P
of the plane in which ABC lies the lines are drawn perpendicularly to CA, CM and CB. They
intersect CH at points A
1
, M
1
and B
1
, respectively. Prove that A
1
M
1
= B
1
M
1

.
Gọi CM là trung tuyến và CH là đường cao của tam giác ABC. P là điểm bất kì ở trên mặt
phẳng chứa tam giác ABC. Qua P kẻ các đường vuông góc với CA, CM và CB, chúng cắt CH
lần lượt tại các điểm A
1
, M
1
và B
1
. Chứng minh rằng A
1
M
1
= B
1
M
1
.
 4.9 Two squares BCDA and BKMN have a common vetex B. Prove that the median BE of
a triangle ABK and height BF of a triangle CHB be long to a line. (The vertices of each square
are counted clockwise).
11
Cho hai hình vuông BCDA và BKMN có chung đỉnh B (và ở cùng trong một mặt phẳng).
Chứng minh rằng đường trung tuyến BE của tam giác ABK và đường cao BF của tam giác CHB
cùng nằm trên một đường thẳng. (Các đỉnh của mỗi hình vuông được sắp theo chiều kim đồng
hồ).
 4.10 Inside square A
1
A
2

A
3
A
4
point P is taken. From vertex A
1
, we drop the pependicular on
A
2
P ; from vertex A
2
, we drop the pependicular on A
3
P ; from A
3
on A
4
P and from A
4
on A
1
P .
Prove that all four perpendiculars (or their extentions) intersect at one point.
 4.11 On sides CB and CD of square ABCD points M and K are taken, respectively, so that
the perimeter of triangle ABC is equal to the doubled length of the square’s side. Find the value
of angle

MAK.
Trên các cạnh CB và CD của hình vuông ABCD lần lượt lấy các điểm M và K sao cho chu
vi của tam giác ABC bằng hai lần chiều dài cạnh của hình vuông. Tìm giá trị của góc


MAK.
 4.12 On the plane three squares (with same orentation) are given: ABCD, AB
1
C
1
D
1
and
A
2
B
2
CD
2
; the first square has common vertices A and C with the two other squares. Prove
that median BM of triangle BB
1
B
2
is perpendicular to segment D
1
D
2
.
 4.13 Triangle ABC is given. On its sides AB, BC squares ABMN and BCP Q are constructed
outwards. Prove that the centers of these squares and the midpoints of segments MQ and AC
form a square.
Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC, về phía ngoài của tam giác, dựng các hình vuông
ABMN và BCPQ. Chứng minh rằng tâm các hình vuông này và trung điểm của các đoạn M Q

và AC là các đỉnh của một hình vuông.
 4.14 A parallelogram is circumscribed about a square. Prove that the pependiculars dropped
from the vertices of the parallelogram to the sides of the square form a square.
4.2 Phép quay góc 60
◦
(Rotation by 60
◦
)
 4.15 On segment AE, on one side of it, equilateral triangles ABC and CDE are constructed;
M and P are the midpoints of segments AD and BE, respectively. Prove that triangle CP M is
an equilateral one.
Trên đoạn thẳng AE ta dựng các tam giác đều ABC và CDE về cùng một phía của đoạn
thẳng. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD và BE. Chứng minh rằng tam
giác CP M là một tam giác đều.
 4.16 Given three parallel lines. Construct an equilateral triangle so that its vertices belong to
the given lines.
Dựng một tam giác đều có ba đỉnh nằm trên ba đường thẳng song song cho trước.
12
 4.17 Given a square, consider all possible equilateral triangles P KM with fixed vertex P and
vetex K belong to the square. Find the locus of vetices M.
 4.18 Find the locus of points M that lie inside equilateral triangle ABC and such that MA
2
=
MB
2
+ MC
2
.
Tìm tập hợp các điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC sao cho MA
2

= MB
2
+ MC
2
.
 4.19 Hexagon ABCDEF is a regular one, K and M are midpoints of segments BD and EF ,
respectively. Prove that triangle AMK is an equilateral one.
Cho lục giác đều ABCDEF . Gọi K và M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BD và
EF . Chứng minh rằng tam giác AMK là tam giác đều.
 4.20 Let M and N be the midpoints of sides CD and DE, respectively, of regular hexagon
ABCDEF , let P be the intersection point of segments AM and BN .
a) Find the value of the angle between lines AM and BN .
b) Prove that S
ABP
= S
MDN P
.
Cho lục giác đều ABCDEF . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh CD và DE, gọi
P là giao điểm của các đoạn thẳng AM và BN .
a) Tìm giá trị của góc giữa các đường thẳng AM và BN.
b) Chứng minh rằng S
ABP
= S
MDNP
.
 4.21 On sides AB and BC of an equilateral triangle ABC points M and N are taken so that
MN  AC; let E be the midpoint of segment AN and D the center of mass of triangle BMN.
Find the value of the angles of triangle CDE.
 4.22 On sides AB and AC of triangle ABC equilateral triangles ABC


and AB

C

are contructed
outwards. Point M divides side BC in the ratio of MB : M C = 3 : 1; points K, M are the midpoints
of sides AC

and B

C, respectively. Prove that the angles of triangle KLM are equal 30
◦
, 60
◦
and
90
◦
.
Trên các cạnh AB và AC của tam giác ABC, về phía ngoài của tam giác, dựng các tam giác
đều ABC

và AB

C

. M là điểm trên cạnh BC chia cạnh BC theo tỉ số MB : M C = 3 : 1; các
điểm K, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AC

và B


C. Chứng minh rằng số đo các góc của
tam giác KLM là 30
◦
, 60
◦
và 90
◦
.
 4.23 Equilateral triangles ABC, CDE, EHK (vertices are circumvent counterclockwise) are
place on the plane so that
# »
AD =
# »
DK. Prove that triangle BHD is also an equilateral triangle
13
Trong mặt phẳng, cho các tam giác đều ABC, CDE, EHK (các đỉnh được đánh nhãn theo
chiều ngược chiều kim đồng hồ) sao cho
# »
AD =
# »
DK. Chứng minh rằng tam giác BHD cũng là
tam giác đều.
 4.24 Inside an acute triangle find a point the sum of distances from which to the vertices is the
least one.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Tìm điểm M bên trong tam giác sao cho tổng các khoảng
cách từ M đến các đỉnh A, B, C nhỏ nhất.
 4.25 Inside triangle ABC all the angles of which are smaller than 120
◦
a point O is taken; it
serves as vertex the angles of 120

◦
that subtend the sides. Prove that the sum of distances from O
to the vertices is equal to
1
2
(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 2
√
3S. Where, a, b, c are lengths of sides and S is area
of triangle ABC.
Cho tam giác ABC có các góc đều nhỏ hơn 120
◦
. Gọi O là điểm thuộc miền trong của tam giác
sao cho điểm O trương một góc 120
◦
với các cạnh của tam giác (

AOB =

BOC =

AOC = 120
◦
).
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ O đến các đỉnh A, B, C bằng

1
2
(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 2
√
3S.
Ở đây, a, b, c là độ dài các cạnh và S là diện tích của tam giác ABC.
 4.26 Hexagon ABCDEF is inscribed in a circle of radius R and AB = CD = EF = R. Prove
that the midpoints of sides BC, DE and F A determine an equilateral triangle.
Cho lục giác ABCDEF nội tiếp trong đường tròn bán kính R và AB = CD = EF = R.
Chứng minh rằng các trung điểm của các cạnh BC, DE và F A xác định một tam giác đều.
 4.27 Về phía ngoài đa giác A
1
A
2
. . . A
n
xét các vectơ
#»
e
1
,
#»
e
2

, . . . ,
#»
e
n
lần lượt vuông góc với các
cạnh A
1
A
2
, A
2
A
3
, . . . , A
n
A
1
có độ dài bằng các cạnh tương ứng và các gốc (điểm đầu) thuộc cạnh
tương ứng đó. Chứng minh rằng
#»
e
1
+
#»
e
2
+ ···+
#»
e
n

=
#»
0 .
 4.28 Cho đa giác đều A
1
A
2
. . . A
n
tâm O. Chứng minh rằng
# »
OA
1
+
# »
OA
2
+ ···+
# »
OA
n
=
#»
0 .
4.3 Phép quay với góc bất kì (Rotations through arbirary angles)
 4.29 A lion runs over the arena of a circus which is a dish of radius 10 m. Moving along a broken
line the lion covered 30 km. Prove that the sum of all the angles of his turns is not less than 2998
radian.
3
Một con sư tử chạy trên sân khấu xiếc có dạng hình tròn bán kính 10 m. Sư tử chạy tất cả

30 km theo một đường gấp khúc. Chứng minh rằng tổng tất cả các góc quay của nó không nhỏ
hơn 2998 radian.
3
Trích từ cuốn “Bài tập nâng cao và một số chuyên đề hình học 11”, Trần Văn Tấn, NXBGD, tr.21.
14
5 Phép vị tự
Định nghĩa 5.1 Trong mặt phẳng cho điểm O. Phép đặt tương ứng với mỗi điểm M với điểm
M

sao cho
# »
OM

= k ·
# »
OM, với k là một số khác không cho trước, được gọi là phép vị tự tâm O,
tỉ số k và được ký hiệu là V
k
O
.
Vậy
V
k
O
(M) = M

⇔
# »
OM


= k ·
# »
OM
Nhận xét.
1. Nếu M

là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỉ số k, thì M là ảnh của M qua phép vị tự
tâm O tỉ số
1
k
.
2. Phép vị tự tâm O tỉ số k = −1 là phép đối xứng tâm O.
Định lí 5.1 Nếu M

, N

lần lượt là ảnh của M, N qua phép vị tự tâm O tỉ số k, thì
1.
# »
M

N

= k
# »
MN,
2. M

N


= |k|MN.
Từ Định lí trên ta suy ra hệ quả sau. Phép vị tự
a) biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng,
b) biến đường thẳng thành đường thẳng song song hay trùng với nó,
c) biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng,
d) biến một góc thành một góc bằng nó,
e) biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó,
f) biến một đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|R.
Định nghĩa 5.2 Hai hình H và H

được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng
biến hình này thành hình kia.
 5.1 Cho tam giác ABC. Gọi A

, B

, C

lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng
minh rằng tồn tại một phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A

B

C

.
 5.2 Cho tứ giác ABCD. Gọi A

, B


, C

, D

lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA,
DAB, ABC. Chứng minh rằng tồn tại một phép vị tự biến tứ giác ABCD thành tứ giác A

B

C

D

.
 5.3 Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;
M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác MNP . Chứng minh bốn điểm O, G, I, H thẳng hàng và I là trung điểm của đoạn OH.
15
 5.4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy viết phương trình ảnh của đường thẳng ∆ : x + 2y −3 = 0 và
ảnh của đường tròn (C ) : x
2
+ y
2
− 2x − 2y −7 = 0 qua phép vị tự tâm I(2; −1), tỉ số k = −3.
Đáp số. ∆

: x + 2y + 9 = 0 và (C

) : (x −5)
2

+ (y + 7)
2
= 81.
 5.5 Cho đường tròn (O) và tam giác ABC có đỉnh A cố định và cạnh BC là dây cung của (O).
Tìm tập hợp trọng tâm tam giác ABC.
 5.6 Cho đường tròn (O) và điểm M cố định không nằm trên (O) . Với mỗi điểm A thuộc (O)
ta gọi I là trung điểm của đoạn M A. Tìm tập hợp điểm I khi A thay đổi.
 5.7 Cho tam giác ABC và đường tròn (O). Với mỗi điểm M thuộc (O) ta xác định điểm N sao
cho
# »
MN =
# »
MA + 2
# »
MB + 3
# »
MC. Tìm tập hợp điểm M , khi M thay đổi trên (O).
 5.8 Cho hai đường thẳng cắt nhau d
1
và d
2
và điểm M không thuộc hai đường thẳng đó. Hãy
dựng đường thẳng d
3
đi qua M cắt d
1
tại A, d
2
tại B sao cho M chia trong đoạn AB theo tỉ số
MA

MB
= 3.
 5.9 Cho đường tròn (O) và điểm M nằm trong đường tròn. Dựng đường thẳng d qua M cắt
đường tròn tại hai điểm A, B sao cho MA = 3M B.
 5.10 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hãy dựng một hình vuông có ba đỉnh nằm trên ba
cạnh của tam giác.
6 Khái niệm phép đồng dạng
Định nghĩa 6.1 Phép biến hình f trong mặt phẳng được gọi là phép đồng dạng nếu với hai điểm
M, N bất kỳ và ảnh M

= f(M), N

= f(N) của chúng, ta luôn có M

N

= k ·MN, trong đó k là
một số dương cho trước.
Số dương k được gọi là tỉ số đồng dạng của phép đồng dạng f.
Tính chất 6.1 1. Thực hiện liên tiếp một số hữu hạn phép đồng dạng sẽ được một phép đồng
dạng.
2. Phép đồng dạng tỉ số k
(a) biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng,
(b) biến đường thẳng thành đường thẳng, biến một tia thành một tia,
(c) biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng,
(d) biến một góc thành một góc bằng nó,
(e) biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó,
(f) biến một đường tròn bán kính R thành một đường tròn bán kính |k| ·R.
16
 6.1 Chứng minh rằng hai hình vuông bất kì thì đồng dạng với nhau.

 6.2 Cho đường thẳng d, đường tròn (O) và điểm A không nằm trên d và (O). Hãy dựng một
tam giác vuông cân ABC có đỉnh góc vuông C nằm trên d, đỉnh B nằm trên (O).
 6.3 Tìm ảnh của đường thẳng ∆ : 2x + 3y −4 = 0, đường tròn (C ) : x
2
+ y
2
−2x −4y + 1 = 0
khi thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ
#»
v = (1; −3) và phép đối xứng tâm I(−4; 2).
17
Mục lục
1 Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng 1
1.1 Phép biến hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.4 Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Phép đối xứng tâm 5
2.1 Biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Tâm đối xứng của một hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Phép đối xứng trục 8
3.1 Phép đối xứng qua các trục toạ độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Phép quay 10
4.1 Rotation by 90
◦
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Phép quay góc 60
◦
(Rotation by 60
◦

) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 Phép quay với góc bất kì (Rotations through arbirary angles) . . . . . . . . . . . . 14
5 Phép vị tự 15
6 Khái niệm phép đồng dạng 16
18