Số phức với các phép dời hình trong mặt phẳng

Mục lục
Lời cảm ơn ................................................................................................2
Mở đầu .......................................................................................................3
Chương 1. Dùng số phức nghiên cứu phép dời hình ...............................4
§1. Mặt phẳng phức .............................................................................4
1. E ≡ C...............................................................................................4
2. Đường thẳng trong mặt phẳng phức...............................................4
3. Đường tròn trong mặt phẳng phức..................................................5
4. Phép biến đổi afin trong mặt phẳng phức.......................................5
§2. Phép dời hình loại 1......................................................................6
1. Phép tịnh tiến..................................................................................6
2. Phép quay........................................................................................9
3. Phép dời hình loại 1........................................................................15
§3. Phép dời hình loại 2......................................................................17
1. Đối xứng trục..................................................................................17
2. Đối xứng trượt.................................................................................22
3. Phép dời hình loại 2........................................................................23
§4. Phép dời hình................................................................................24
1. Dời hình loại 1, loại 2 là các phép biến đổi afin ............................24
2. Các biến đổi afin bảo toàn khoảng cách.........................................25
§5. Một số bài toán hình học phẳng ...................................................26
Chương 2. Giải bài toán bằng cách dùng phép dời hình .......................35
1. Bài toán chứng minh.......................................................................35
2. Bài toán quỹ tích.............................................................................39
3. Bài toán dựng hình..........................................................................42
4. Một số bài toán thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế ....................45
Kết luận .....................................................................................................51
Tài liệu tham khảo ....................................................................................52

Lời cảm ơn
1

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long
- Hà Nội dưới sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Văn Đoành, Đại học Thăng
Long. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy hướng dẫn, người đã
đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu giúp tôi
hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường
Đại học Thăng Long, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động
viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Đặc biệt, tôi xin chân thành
cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Thăng Long đã cho chúng tôi được lĩnh
hội kiến thức trực tiếp từ các thầy giáo đầu ngành trong lĩnh vực toán sơ cấp
Việt Nam hiện nay.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình và các bạn trong lớp Cao học Toán
K3 đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn.

2


Mở đầu
Số phức ra đời do yêu cầu của việc mở rộng tập hợp số thực khi giải phương
trình, nhưng lại tìm thấy những ứng dụng rộng rãi trong hình học, cơ học, vật
lý và các ngành kĩ thuật khác. Đối với học sinh bậc THPT thì số phức là nội
dung còn mới mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh mới hiểu được những
kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn
hạn chế.
Trong hình học có thể sử dụng số phức để biểu diễn các đối tượng và
các tính chất hình học, từ đó dùng số phức để giải toán hình học. Trên cơ sở
khai thác việc biểu diễn bằng số phức các điểm, vec tơ ta sẽ lập các phương
trình dạng phức của đường thẳng, đường tròn, các tính chất thẳng hàng của ba

điểm, tính chất song song, vuông góc của hai đường thẳng ... và các biểu thức
dạng phức của các phép biến hình, dời hình. Xuất phát từ quan điểm xem số
phức là công cụ nghiên cứu các đối tượng, tính chất hình học và cụ thể hơn là
nghiên cứu các phép dời hình chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài "Số phức với
các phép dời hình trong mặt phẳng”.
Mục đích chính của luận văn là hệ thống các kiến thức cơ bản về số
phức. Tổng hợp, phân tích các kiến thức giúp học sinh thấy được ý nghĩa
quan trọng của số phức trong Toán học nói chung và trong giải toán Hình học
phẳng nói riêng. Từ đó rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực ứng dụng số
phức vào giải toán hình học.
Nội dung của luận văn bao gồm 2 chương:
Chương 1. Dùng số phức nghiên cứu phép dời hình
Chương 2. Giải bài toán bằng cách dùng phép dời hình.
Do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn thạc sĩ, nên
chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất
3


mong được sự đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và độc giả quan tâm đến luận
văn này.

4


Chương I. Dùng số phức nghiên cứu phép dời hình
§1. Mặt phẳng phức
1. Trong mặt phẳng E đã cho một hệ tọa độ Đề - các vuông góc xoy thì
mỗi điểm M của E hoàn toàn được xác định bởi tọa độ (x, y) của nó. Khi đó
số phức z = x + yi được gọi là tọa vị của M, viết M (z) và E được gọi là mặt
phẳng phức (ta đã đồng nhất mỗi điểm của E với một số phức).

uuuur
Khi M có tọa độ (x, y) đối với hệ tọa độ Oxy thì vectơ OM cũng có tọa
uuuur
độ (x, y), nên đã nói M có tọa vị z thì cũng nói vectơ OM có tọa độ vị z và
uuuur
viết OM (z).
uuuur
uuur
1
z w + zw được gọi là tích vô hướng
Cho OM (z), OP (w). Số thực
2
uuuur uuur
của hai số phức z, w và kí hiệu là (z, w), nó chính là OM .OP . Số thực

(

[ z, w ] =

)

1
( z w − zw) được gọi là tích lệch của hai số phức z, w.
2

Ta có: (z, w) = z w cos(4 − ϕ ) , ψ = arg z ,ϕ = arg w

[ z, w ] =

z w sin(ψ − ϕ )

Từ đó nêu M, P khác gốc O thì:
OM ⊥ OP ⇔ ( z , w) = 0
O, M , P thẳng hàng ⇔ [ z , w ] = 0
2. Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng phức được xác định bởi phương
trình z = λ z + δ , λ = 1, λδ + δ = 0 . Đường thẳng này có vecto chỉ phương
r
u
δ
u (u ) mà − = λ và đi qua điểm M0 (z0) z0 = và M0 là hình chiếu vuông góc
2
u
của gốc O lên đường thẳng.
Phương trình đường thẳng có thể viết dưới dạng:
5


α z + β z + γ = 0, α = β ≠ 0,αγ = β γ
Cho đường thẳng d có phương trình: z = λ z + δ hoặc

αz + β z +γ = 0
Và điểm M (z0). Khi đó M' (z'0) là điểm đối xứng với M qua d thì
z0' = λ z0 + δ nếu d có phương trình: z = λ z + δ còn αγ 0' − β z0 + γ = 0 .
Điểm P(co) là hình chiếu vuông góc của M lên d lần lượt là:
w=

1
(z + λ z + δ )
2

w=

1
(λ z − β z − γ )
2λ

3. Một đường tròn trong mặt phẳng phức hoàn toàn xác định bởi
phương trình z z + ( β z + β z ) + p = 0, β ∈ £ , p ∈ ¡ , β β − p > 0 .
Đó là đường tròn có tâm tại I ( − β ) và bán kính R = β β − p
4. Phép biến trên hình f: E → E, z → f (z) mà f ( z ) = α z + β z + γ

α , β , γ ∈ C , α ≠ β được gọi là phép biến đổi afin.
Ta có mọi song ánh f: E → E bảo tồn tính chất thẳng hàng của các điểm
là một biến đổi afin.
Biến đổi afin f ( z ) = α z + β z + γ bảo toàn hướng khi và chỉ khi

α > β và đảo hướng khi và chỉ khi α < β .

6


§2. Phép dời hình loại 1
2.1. Phép tịnh tiến
2.1.1. Định nghĩa 1.1
r
Trong mặt phẳng P cho véc tơ v , phép biến hình biến một điểm M
r
uuuuur r
thành điểm M’ sao cho MM ' = v được gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ v và
y

ký hiệu là Tvr .

r
v

r
Véc tơ v gọi là véc tơ tịnh tiến.
Ta có Tvr (M) = M’ hay Tvr : M → M’.
r
* Cho véc tơ v có tọa vị là β

M'

M

O
Giả sử Tvr : M (z) → M’ (z’)
uuuur uuuur uuuuur uuuur r
uuuuur r
⇒ MM ' = v ta có OM ' = OM + MM ' = OM + v

Hình 1.1

⇔ z’ = z + β
Vậy biểu thức tọa vị của phép tịnh tiến Tvr là z’ = z + β ( β là tọa vị
r
của véc tơ tịnh tiến v ).
2.1.2. Tính chất
a. Phép tịnh tiến bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

b. Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó.
c. Phép tịnh tiến:
+ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng.
+ Biến một tia thành một tia.
+ Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó.
+ Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó.
+ Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó.
+ Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó.
7

x


2.1.3. Chứng minh một số tính chất
Cho Tvr là một phép tịnh tiến có biểu thức tọa vị là z’ = z + β
r
( β là tọa vị của véc tơ tịnh tiến v )
* Tvr biến một đường thẳng thành một đường thẳng.
- Trường hợp đường thẳng ∆ có phương trình là:
z = α z + δ ( α = 1, αδ + δ = 0)
Tvr có biểu thức tọa vị z’ = z + β ⇒ z = z’ - β
Khi đó ảnh của đường thẳng ∆ qua Tvr
z’ - β = α ( z '− β ) + δ
⇔ z’ - β = α z ' - α β ' + δ
⇔ z’ = α z ' + δ + β - α β
Đặt α = α ’, δ + β - α β = δ ’. Khi đó ta có: z’ = α ' z ' + δ ’
Vì α ' = α = 1, α 'δ ' + δ ’= α ( δ + β - α β ) + δ + β - α β
=αδ +αβ - β +α + β -αβ =αδ +δ
=0

Nên z’ = α ' z ' + δ ’ là phương trình của một đường thẳng
Vậy phép tịnh tiến Tvr biến đường thẳng ∆ thành đường thẳng ∆ ' có
phương trình là z’ = α ' z ' + δ ’ (với α ’= α , δ ’= δ + β - α β ).
- Khi đường thẳng ∆ có phương trình là z = α z + δ (trong đó α =
(tức ∆ là đường thẳng song song với véc tơ tịnh tiến v ) thì
Với α ’= α =

β
β
, δ ’= δ + β - α β = δ + β - β = δ
β
β

Khi đó ∆ ' có phương trình là z’ = α ' z ' + δ . Suy ra ∆ ≡ ∆ ' .
8

β
)
β


r
Vậy Tvr biến đường thẳng song song với véc tơ tịnh tiến v thành chính
đường thẳng đó.
* Tvr biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó.
Cho đường tròn (C1) có phương trình là
z z’ + β 1 z + β1 z + p1 = 0 ( p1 ∈ ¡ )
(C1) có tâm có tọa vị là z0 = - β1 , bán kính R1 = β1 β 1 − p1
Ảnh của đường tròn (C1) qua Tvr
(z’ - β ) ( z '− β ) + β 1 ( z’ - β ) + β 1 ( z '− β ) + p1 = 0

⇔ z’ z ’ - z’ β - β z ’ + β β + β 1 z’ - β 1 β + β1 z ’ - β1 β + p1 = 0
⇔ z’ z ’ + z’ ( β 1 - β ) + z ’( β1 - β ) + β β - β1 β - β1 β + p1=0
Đặt β1 - β = β 2 , β β - β 1 β - β1 β + p1 = p2
y

Khi đó ta có phương trình
z’ z ’ + z’ β 2 + z ’ β 2 + p2 = 0

r
v

C1
O

C2

x
Hình 1.2

p2 = β β - β 1 β - β1 β + p1 ∈ ¡ ( vì β β , β 1 β , β1 β , p1 ∈ ¡ ).

β 2 β 2 - p2 = ( β1 - β ) ( β 1 - β ) - β β + β 1 β + β1 β - p1= β1 β 1 - p1 >
0
Nên z’ z ’ + z’ β 2 + z ’ β 2 + p2 = 0 là phương trình của một đường tròn.
Vậy phép tịnh tiến Tvr biến đường tròn (C1) thành đường tròn (C2) có
phương trình là z’ z ’ + z’ β 2 + z ’ β 2 + p2 = 0 ( β 2 = β1 - β , p2= β β - β 1 β 9


β1 β + p1) và đường tròn (C1) bằng đường tròn (C2) (vì R2 =

β 2 β 2 − p2 =

β1 β 1 − p1 = R1).
2.1.4. Định lý: Tích của hai phép tịnh tiến là phép tịnh tiến
→

→

→

T →v .T →w =T →v +→w
Chứng minh:
Giả sử T→v : z → z + β1 , Tw : z → z + β 2
Khi đó: Tv .Tw→ : z → ( z + β 2 ) + β1
→
→
Vậy T→v .w→ là phép tịnh tiến theo véc tơ có tọa vị β 2 + β1 tức là véc tơ v + w

2.2. Phép quay
2.2.1. Định nghĩa 1.2
Trong mặt phẳng P đã được định hướng. Cho một điểm A cố định và
một góc định hướng α sai khác 2k π . Một phép quay tâm A với góc quay α
là một phép biến hình biến điểm A thành chính nó và biến điểm M thành điểm
uuuur uuuur
M’ sao cho AM = AM’ và ( AM , AM ') = α
uuuur uuuur
Ta ký hiệu ( AM , AM ') là góc định hướng mà tia đầu là AM, tia cuối
là AM’.
Ký hiệu phép quay tâm A góc quay α là QαA
Ta có QαA : M → M’ hay QαA (M)=M’

Cho A là điểm có tọa vị là a, giả sử QαA : M(z) → M’(z’)
 AM = AM '
Khi đó ta có:  uuuur uuuur
( AM , AM ') = α
uuuur
uuuur
AM có tọa vị là z – a, AM ' có tọa vị là z’ – a.
Giả sử z − a = z − a (cosϕ + i sinϕ ), z' - a= z '− a (cosϕ '+ i sinϕ ')
10


 AM = AM '
+) Để thỏa mãn  uuuur uuuur
ta phải có:
(
AM
,
AM
')
=
α

 z − a = z '− a

ϕ '− ϕ = α + k2π ⇔ ϕ '=ϕ +α + k2π
Ta có:
z '− a = z − a (cos(ϕ + α + k2π ) + isin(ϕ +α +k2ϕ ))
= z − a (cos(ϕ +α )+ isin(ϕ + α ))
= z − a (cosϕ + isinϕ ) (cosα +isinα )
⇒ z '− a = ( z − a)(cosα + isinα )

Đặt cosα + isin α = p ⇒ p là số phức có p = 1 và argp=α
Khi đó z’ – a = p(z – a) ⇔ z’ = p(z – a) + a
Vậy biểu thức tọa vị của phép quay QαA (A có tọa vị là a) là
z ' = p( z − a) + a ( p = 1 và argp = α ). Nếu A là gốc O thì biểu thức
tọa vị của phép quay là z ' = pz .
Trường hợp phép quay tâm A có góc quay α =180o
0

Khi đó Q180
(A có tọa vị là a) có biểu thức tọa vị là
A
z ' = (cos 1800 + isin1800 )(z-a)+a = - (z - a)+a = - z + 2a
2.2.2. Tính chất
a) Phép quay bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ
b) Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự của chúng
c) Phép quay QϕA
+ Biến đường thẳng ∆ thành đường thẳng ∆ ’ và ( ∆ , ∆ ’)= ϕ
+ Biến một tia thành một tia
+ Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó
11


+ Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó
+ Biến một tam giác thành tam giác bằng nó
+ Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó
d) Phép quay QϕA có tâm A là điểm kép duy nhất
2.2.3. Chứng minh một số tính chất
Cho phép quay QϕA có biểu thức tọa vị là
z' = p (z-a) + a (a là tọa vị của A, argp = ϕ , p = 1 )

* QϕA biến một đường thẳng thành một đường thẳng
+ Cho đường thẳng ∆ có phương trình là
z = az + δ ( α = 1, αδ + δ = 0)
Do QϕA có biểu thức tọa vị là z ' = p( z − a) + a ⇒ z =

z '− a
+a
p

Khi đó ảnh của đường thẳng ∆ qua QϕA là đường ∆ ’ có phương trình là
 z '− a

z '− a
+ a =α
+ a ÷+ δ
p
 p

⇔

 z '− a

z '− a
+ a =α
+ a ÷+ δ
p
 p


⇔ z ' p − a p + ap p = α pz '− α pa + α p pa + δ p p

⇔ z' =

α pz ' α p pa + δ p p − α pa + a p − ap p
+
p
p

α pz '
αp
⇔ z' =
+ α pa + δ p −
a + a − ap
p
p
Đặt

y

M'

N' N

αp
αp
= α ', α p a + δ p −
a + a − ap = δ '
p
p

∆'

ϕM∆

A

Khi đó ta có: z ' = α ' z '+ δ '
O

12

Hình 1.6

x


α' =

αp α p
=
= 1 (vì α = 1, p = p ).
p
p

α 'δ '+ δ ' =


αp
α . pa
αp
+ a − a. p ÷+ α pa + δ p −
a + a − ap

 α . pa + δ p −
p
p 
p


= p(αδ + δ ) = 0 (vì αδ + δ = 0)
Suy ra z ' = α ' z '+ δ ' là phương trình của một đường thẳng.
Vậy QϕA biến đường thẳng ∆ thành đường thẳng ∆ ’ có phương trình là
z ' = α ' z '+ δ ' (với α ' =

αp
α pa
, δ '=α p a + δ p −
+ a − ap) .
p
p

* QϕA biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó
Cho đường tròn C1 có phương trình là z z + z β1 + zβ1 + p1 = 0 (p1 ∈ ¡ )
Khi đó ảnh của C1 qua QϕA là đường C1’ có phương trình là

y

C

A

O

13

ϕ
C

Hình 2.7

x


 z'-a
 z'-a   z'-a   z'-a 
+a
+a
+
+aβ
+
÷ 
 p
÷ p
÷ 1  p +a
p






 z'-a   z'-a 
 z'-a   z'-a 

⇔

÷+ a 
÷+ aa
÷
÷+ a 
p
p
p
p



 


⇔ z'z' - z'a- az'+ aa+
+


β÷ +1 p =0
1

 z'-a 
+β + aβ÷ +1
 p 

1

 z'-a 

β +aβ÷+p
1 =01
p



1

az' aa az' a a
z'β aβ
- +
- + aa + 1 - 1 + aβ1
p p
p
p
p p

z'β1 aβ1
+ aβ1 + p1 = 0 (vì pp=1)
p
p

 aβ

⇔ z ' z ' + z'  + 1 -a ÷ +
p p 
Đặt


a β

aa aa aβ 1aβ 1
z'  + 1 - a ÷+ 2aa + aβ1 + aβ1+ p1 =0
p
p
p
p
p
p



aβ 1
aa aa aβ aβ
+
- a = β1' , 2aa + aβ1 + aβ1 - 1 - 1 + p1 = p1'
p p
p
p
p
p

Khi đó ta có:
z'z'+z'β1 '+z'β1 '+p1 ' = 0 b 2 − 4ac
p1 ' = 2aa + a β1 + aβ1 −
(vì 2a a, a β 1 + aβ1 ,

aa aa a β 1 aβ1
−
−
−

+ p1 ∈ ¡
p
p
p
p

aa aa a β1 aβ1
+
,
+
, p1 ∈ ¡ )
p
p
p
p


 aβ
a β
aa aa aβ aβ
β1'β1 -p1'=  + 1 -a ÷ + 1 -a ÷-2aa-aβ1 -aβ1 + + + 1 + 1 -p
p p
p
p
 p p  p p 
= β1β1 -p1 >0
Từ đó suy ra z'z'+z'β1 '+z'β1'+p1' = 0 là phương trình của một đường tròn.
Vậy QαA biến đường tròn C1 thành đường tròn C1’ có phương trình là:
z ' z '+ β 1 z '+ β1 ' z '+ p1 ' = 0
(với β1 ' =

a β1
aa aa a β 1 aβ1
+ − a , p1 ' = 2aa + a β 1 + aβ1 −
−
−
−
+ p1 )
p
p
p p
p
p
14


C1’ có tâm có tọa độ vị là z '0 = − β1 ' = −

a β1
− + a, có bán kính
p p

R1 ' = β1 ' β 1 '− p1 ' = β1 β 1 '− p1 = R1 ⇒ đường tròn C1 bằng đường tròn C1’
* Phép quay QϕA có A là điểm kép duy nhất
Giả sử QϕA : A(a) → A’(a’)
⇒ a ' = p(a − a ) + a = p.0 + a = a ⇒ A ≡ A '
Vậy A là điểm kép duy nhất
2.2.4. Định lý 1: Tích của phép tịnh tiến và phép quay là 1 phép quay
r
r

Cho Tvr : z → z ' = z + β , v( β ) ≠ 0
Và Q( J ,ϕ ) : z → z ' = α Z + (1 − α ) z0 , α = 1,α ≠ 1 , α = eiϕ .
• Q( J ,ϕ ) .Tvr : z → z ' = α ( z + β ) + (1 − α ) z0 = α z + αβ + (1 − α ) z0
Vậy Q( J ,ϕ ) .Tvr là một phép quay với tâm quay J1 ( z1 )
Trong đó: z1 = z0 +

α
β và vuông góc quay ϕ
1−α

• Tvr.Q( J ,ϕ ) : z → z ' = α z + (1 − α ) z0 + β là phép quay với cùng góc quay

ϕ và tâm quay J2 (z2) trong đó: z2 = z0 + 1 β , ta có: Q( J ,ϕ ) .Tvr ≠ Tvr.Q( J ,ϕ )
1−α
* Định lý 2: Tích của 2 phép quay khác tâm là phép quay hoặc tịnh tiến
Cho Q( J ,ϕ ) xác định bởi z '− z1 = α1 ( z − z1 ), J1 ( z1 );ϕ1 = arg α1 .
1

Q( J

2 ,ϕ 2 )

1

xác định bởi z '− z2 = α 2 ( z − z2 ), J 2 ( z2 ),ϕ2 = arg α 2

Khi đó Q( J

2 ,ϕ 2

).Q( J ,ϕ ) xác định bởi:
1

1

z → z ' = α 2 (α1 ( z − z1 ) − z2 ) + z2
= α 2α1 z + α 2 (1 − α1 ) z1 + (1 − α 2 ) z2
Vậy ta có:
15


Nếu α1α 2 = 1 (khi và chỉ khi ϕ1 + ϕ 2 = 2kπ ) thì tích đó là phép tịnh tiến
với vectơ tịnh tiến có tọa vị (1 − α 2 )( z2 − z1 ) .
Nếu α 2α1 ≠ 1 thì tích đó là phép quay với góc quay ϕ = ϕ1 + ϕ 2 và tâm
quay J 0 ( z0 ) trong đó:
z0 =

α 2 (1 − α1 ) z1 + (1 − α 2 ) z2
1 − α 2α1

3. Phép dời hình loại 1.
3.1. Định nghĩa.
- Biến đổi của mặt phẳng phức xác định bởi z a z ' = z + β là phép tịnh
r
tiến Tvr theo vectơ v có tọa vị β .
- Biến đổi xác định bởi z a z ' = α z , α = 1 , α ≠ 1 là phép quay tâm O
(gốc tọa độ) với góc quay có số đo ϕ = arg α mà ta ký hiệu là QO ,ϕ .
- Ta xét các phép biến đổi f của mặt phẳng phức xác định bởi
z a z' = αz + β, α =1
+ Khi α = 1, f là 1 phép tịnh tiến

+ Khi α ≠ 1, f có 1 điểm bất động J (tức điểm J mà f(J) = J) duy nhất có
toạ vị z0 xác định bởi z0 = α z0 + β tức z0 =

β
và khi đó công thức
1−α

z ' = α z + β có thể viết thành z '− z0 = α ( z − z0 ) tức là f là phép quay tâm J,
góc quay có số đo ϕ = arg α .
Do đó công thức z a z ' = α z + β , α = 1 xác định mọi phép tịnh tiến
và

mọi

phép

quay

trong

mặt

phẳng.

Những

biến

đổi

afin

z a z ' = α z + β , α = 1 là các biến đổi bảo tồn hướng, bảo tồn khoảng cách.
16


- Định nghĩa: Biến đổi z ' = α z + β , α = 1 được gọi là phép dời hình
loại 1 của mặt phẳng.
3.2. Các tính chất của phép dời hình loại 1
Tập hợp các phép dời hình loại 1 của mặt phẳng làm thành 1 nhóm (đối
với phép toán hợp thành các ánh xạ) gọi là nhóm dời hình loại 1.
- Biến đổi đồng nhất của mặt phẳng, kí hiệu Id, xác định bởi z a z ' = z
là một dời hình loại 1.
- f là dời hình loại 1 thì f-1 (biến đổi ngược) cũng là dời hình loại 1, dễ
dàng thấy ( Tvr ) = Tvr ;(QJ ,ϕ ) −1 = QJ ,−ϕ . Nếu f, g là dời hình loại 1 thì tích g 0f là
−1

dời hình loại 1.
Thật vậy:
f xác định bởi z a z ' = α1 z + β1; α1 = 1
g xác định bởi z a z '' = α 2 z '+ β 2 ; α 2 = 1
thì g0f xác định bởi z a z '' = α 2 (α1 z + β1 ) + β 2
= α 2α1 z + (α 2 β1 + β 2 )
mà rõ ràng α 2α1 = α 2 . α1 = 1 .

17


§3. Phép dời hình loại 2.
3.1. Phép đối xứng trục

3.1.1. Định nghĩa 1.3
Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định, phép biến hình
biến điểm M thành điểm M’ sao cho đoạn thẳng MM’ nhận đường thẳng d
làm đường trung trực được gọi là phép đối xứng trục d.

d

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng.
Ký hiệu phép đối xứng trục d là Đd.

M

Ta có Đd(M) = M’ hay Đd: M → M’
Cho đường thẳng d có phương trình là:
z=

M'

I

Hình 1.3

u
u
z + δ ( δ + δ = 0, u ≠ 0 ).
u
u

r
(d là đường thẳng có véctơ chỉ phương là véc tơ u có tọa vị là u).

Giả sử Đd: M(z) → M’(z’)
Suy ra MM’ ⊥ d và d đi qua trung điểm I của MM’, I có tọa vị là
z1 =

uuuuur
z + z'
véc tơ MM ' có tọa vị là z’ – z.
2
< z '− z , u >= 0

Để MM’ ⊥ d và d đi qua I thì ta phải có:  z + z ' u  z + z ' 
 2 = u  2 ÷+ δ



⇔

( z '− z )u + ( z '− z )u = 0
r

(
z
+
z
')
u
−
u
z − u z '− 2δ u = 0


Cộng hai phương trình trên vế với vế ta được: 2z’ u - 2u z - 2 δ u =0

18


⇔ z' =

u
u
z + δ ( δ + δ = 0, u ≠ 0)
u
u

Nếu đặt

u
= α ( α = 1) ⇒ z ' = α z + δ
u

Khi đó Đd là phép đối xứng trục có biểu thức tọa vị là

(

)

z ' = α z + δ α = 1, αδ + δ = 0 .
3.1.2. Tính chất
a) Phép đối xứng trục bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
b) Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng
hàng và không làm thay đổi thứ tự của chúng.

c) Phép đối xứng trục:
+ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng
+ Biến một tia thành một tia
+ Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó.
+ Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó.
+ Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó.
+ Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó.
d) Phép đối xứng trục là phép biến hình có tính chất đối hợp.
3.1.3. Chứng minh một số tính chất
Cho phép đối xứng trục Đd có biểu thức tọa vị là
z’ = α z + δ

( α = 1, αδ + δ = 0 )

(d là đường thẳng có phương tình là z = α z + δ , α = 1, αδ + δ = 0 ).
* Phép Đd biến một đường thẳng thành một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ có phương trình là

19


z = α1 z + δ1

( α = 1,α δ
1

1

+ δ1 = 0

Do Đd có biểu thức tọa vị là z ' = α z + δ ⇒ z =

)

z '− δ
α

Khi đó ảnh của đường thẳng ∆ qua phép Đd là
 z '− δ
z '− δ
= α1 
 α
α

⇔


÷ + δ1
÷


y
d

z '− δ α1 z '− α1δ
=
+ δ1
α
α

∆

⇔ α z '− αδ = α1α z '− α1αδ + δ1αα
⇔ α1α z ' = α z '+ α1αδ − αδ − δ1 (vì αα = 1)

α
αδ
δ
⇔ z' =
z '+ δ −
− 1
α1α
α1α α1α

Đặt

O

∆'
x
Hình 2.4

α
αδ
δ
= α ', δ − 1 =δ '
α1α
α1α α1α

Khi đó ta có: z ' = α ' z '+ δ '

α' =

α
α
1
=
=
= 1,
α1α α1 α 1.1

ur




α
αδ
δ
αδ
δ
δ
α
δ
1
1
1
1 1 + δ1
α 'δ '+ δ ' =
δ

−
−
+
δ
−
−
=
−
αδ
−
=
−
1

÷= 0

÷
α1α 
α 1α α 1α 
α 1α α1α
α1α
α
α
1


( vì α1 = α = 1,α1δ1 + δ1 = 0) .
Nên z ' = α ' z '+ δ ' là phương trình của một đường thẳng.
Vậy Đd biến đường thẳng ∆ thành đường thẳng ∆ ’ có phương trình là


α
αδ
δ 
z ' = α ' z '+ δ '  α ' =
; δ '=δ − 1 ÷.
α1α
α1α α1α 

20


* Đd biến một đường tròn thành đường tròn bằng nó
Cho đường tròn ε có phương trình là z z + β z + β z + p = 0 (p ∈ ¡ ).

ε là đường tròn có tâm có tọa yvị zo = - β , có bán kính R= β β − p

ε

d

ε'
x
O
Hình 1.5

Ảnh cuả đường tròn ε qua Đd là đường ε ' có phương trình là

 z '− δ

 α

  z '− δ
÷
 α


 z '− δ
( z '− δ )
÷+ β ur + β 
÷
 α
α




÷+ p = 0
÷


z '− δ z '− δ
( z '− δ )
( z '− δ )
)(
)+β
+β
+ p=0
α
α
α

α
z ' z '− δ z '− δ z '+ δ δ βα z '− βαδ + αβ z '− αδβ
⇔
+
+ p = 0 (vì αα = 1)
αα
αα
⇔ z ' z '+ z '(αβ − δ ) + z '(α β − δ ) + δ δ − α βδ − αδβ + p = 0
⇔(

Đặt α β − δ = β ', δ δ − α βδ − αδβ + p = p '
Khi đó ta có phương trình: z ' z '+ z ' β '+ z ' β '+ p ' = 0

21


p ' = δ δ − α βδ − αδβ + p ∈ ¡ (vì p,δ δ ,α βδ + αδβ ∈ ¡ )

β 'β '− p ' = (α β − δ )(αβ − δ ) − δ δ + α βδ + αδβ − p
= ββ − p >0
Suy ra z ' z '+ z ' β '+ z ' β '+ p ' = 0 là phương trình của một đường tròn.
Vậy Đd biến đường tròn ε thành đường tròn ε ' có phương trình là
z ' z '+ z ' β '+ z ' β '+ p ' = 0 (với β ' = α β − δ , p ' = δ δ − α βδ − αδβ + p )

ε ' là đường tròn có tâm có tọa vị là z’ 0= - β ' = δ − α β , có bán kính
R ' = β ' β '− p ' = β β − p = R ⇒ đường tròn C bằng đường tròn C ’
* Đd có tính chất đối hợp
Giả sử Đd: M(z) → M’(z’)
M’(z’) → M’’(z’’)

⇒ z' =α z +δ
z '' = α z '+ δ = α (α z + δ ) + δ = αα z + αδ + δ
= z+αδ + δ = z (vì αα = 1,αδ + δ = 0)
Từ z’’ = z ⇒ M '' ≡ M . Vậy Đd có tính chất đối hợp
3.1.4. Tích của 2 đối xứng trục.
Đ∆1: z → z ' = α1 z + δ1 , α1 = 1,α1δ 1 + δ 2 = 0
Đ∆2: z → z ' = α 2 z + δ 2 , α 2 = 1,α 2 δ 2 + δ 2 = 0
Tích Đ∆2 . Đ∆1 được xác định bởi:
z → z ' = α 2 (α1 z + δ 1 ) + δ 2 = α 1α 2 z + α 2 δ 1 + δ 2

y

∆1
δ
a) Khi α1α 2 = 1 tức là α1 = α
2 1(như vậy ∆1 và ∆ 2 song song hoặc trung
2
r
α 2 δ 1 + δ 2 = α1δ 1 + δ 2 = −δ1 + δ 2 . Ta đã biết
nhau) thì Đ∆2 . Đ∆1 = Tvr , v H
có tọa
vị
1

∆2

22

O

δ2

H2 2

x


các điểm có tọa vị

δ1 δ 2
; lần lượt là hình chiếu vuông góc của góc O lên ∆1 và
2 2

∆2.

r uuuuuur
Vậy v = 2 H1.H 2 (vẽ hình học rất hiển nhiên), H1 là điểm tùy ý thuộc
∆1 , H 2 là hình chiếu vuông góc của H1 lên ∆ 2
b. Khi α 1α 2 ≠ 1 ; α1α 2 = 1 thì Đ∆2 . Đ∆1 là một phép quay tâm J (điểm
bất động duy nhất của tích): J = ∆1 ∩ ∆ 2 và quay góc quay có số đo

ϕ = arg(α1α 2 ) là hai lần số đo góc định hướng (∆1, ∆2) giữa hai đường thẳng ∆1
và ∆2.
Hệ quả: Mỗi phép tịnh tiến và mỗi phép quay cho trước luôn có thể viết
Tvr = Đ∆2 . Đ∆1 Q( J ,α ) = Đ∆2 . Đ∆1.
3. 2. Đối xứng trượt
r
Ta có Đ∆ . Tvr = Tvr . Đ∆ khi và chỉ khi v có phương ∆
Thật vậy: Giả sử Đ∆ xác định bởi z a z ' =
Tvr

xác

định

bởi

z → z' = z + v

u
z + δ , < u, δ >= 0 ;
u

thì

Tvr .Đ∆

u
z → z ' = .z + δ + v
u
u
u
ur
r
T
Đ∆ . v xác định bởi z → z ' = ( z + v) + δ = z + v
u
u
u
23

xác

định

bởi:


ur
.v = v
u
rr
r
hay uv − uv = 0 hay [ u, v ] = 0 . Do đó u , v cùng phương tức là v có
Vậy Tvr . Đ∆ = Đ∆ . Tvr khi và chỉ khi

phương ∆.
• Định nghĩa: Tích của phép đối xứng trục Đ∆ với một phép tịnh tiến
r
r
T v theo vectơ v có phương ∆ gọi là một phép đối xứng trượt (
r
f = Tvr.D∆ = D∆ .Tvr ) trục ∆ với vectơ trượt v .
• Công thức của đối xứng trượt: z → z ' =

u
z +δ + v
u

< u, δ >= 0, [ u, v ] = 0

• Công thức của phép đối xứng trượt có dạng:
u
z → z ' = α z + β trong đó α = , β = δ + v
u
ur
ur
r
ur
ur
Kí hiệu β ( β );δ (δ ); v(v) thì δ là thành phần vuông góc với ∆ của β
ur
r
còn v là thành phần song song với ∆ của β .

u
r ur

δβ
r
u

r
v

∆

• Biến đổi xác định bởi z → z ' = α z + β , α = 1 là 1 phép đối xứng
trượt.

24

r
ur
ur
u
= α và gọi u (u ), β ( β ) và gọi δ (δ ) là thành
u
r
ur
r
r
phần vuông góc với u của β và gọi v(v) là thành phần cùng phương với u
Thật vậy, lấy u ≠ 0 mà

ur
u
của β thì công thức trên có thể viết dưới dạng z → z ' = z + δ + v ,
u
(u, δ ) = 0, [ u, v ] = 0 như vậy biến đổi đó là tích Tvr.D∆ = D∆ .Tvr , ∆ là đường
thẳng có phương trình Z =

u
z + δ , (u, δ ) = 0 .
u

3.3. Phép dời hình loại 2
- Định nghĩa: Phép đối xứng z ' =α z + β , α = 1 được gọi là phép dời
hình loại 2.
- Đối xứng trượt có điểm bất động khi và chỉ khi nó là 1 đối xứng trục

(và khi đó có vô số điểm bất động làm thành 1 đường thẳng).
- Đường thẳng được bất biến qua đối xứng trượt f = Tvr . Đ∆ = Đ∆. Tvr
r r
(tức f(d) = d). Khi v ≠ 0 buộc phải là ∆ vì nếu d song song với ∆ (không cắt
∆) thì dễ thấy d và f(d) nằm trong 2 nửa mặt phẳng khác nhau bờ ∆, còn nếu d
cắt ∆ tại đúng một điểm thì điểm đó phải là điểm bất động của f mà theo tính
r r
chất trên thì khi v ≠ 0 , f không có điểm bất động, còn rõ ràng f(∆) = ∆.
- Trục ∆ của phép đối xứng trượt f đi qua trung điểm mọi đoạn Mf(M)
(M tuỳ ý trong mặt phẳng) và là đường thẳng bất biến bảo tồn hướng duy nhất
của f.
- Phép đối xứng trượt f = Tvr . Đ∆ = Đ∆. Tvr có tính chất đối hợp tức
f 2 = f . f = Id (biến đổi đồng nhất), khi và chỉ khi f là đối xứng trục vì
r r
f 2 = (Tvr . Đ∆) . (Đ∆. Tvr ) = Tvr.Tvr = T2 vr là Id khi và chỉ khi v = 0 .
25