Phương trình hàm cauchy và một số dạng liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN QUỐC TUẤN

PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY
VÀ MỘT SỐ DẠNG LIÊN QUAN

ĐỀ ÁN TỐT NGHIỆP THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN QUỐC TUẤN

PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY
VÀ MỘT SỐ DẠNG LIÊN QUAN

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp
8460113
Mã số : 24

Khóa :

ĐỀ ÁN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS. TS. LƯƠNG ĐĂNG KỲ

Bình Định - 2023

Lời cam đoan

Đề án "PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY VÀ MỘT SỐ DẠNG
LIÊN QUAN" là cơng trình nghiên cứu của cá nhân tôi, được thực hiện
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Lương Đăng Kỳ. Các kết quả nghiên cứu
được trình bày trong đề án này hồn tồn trung thực.

Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm về lời cam đoan này.
Bình Định, ngày 10 tháng 10 năm 2023
Học viên
Nguyễn Quốc Tuấn

1

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lịng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Lương
Đăng Kỳ, người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt
thời gian tôi thực hiện đề án này. Tơi chân thành cảm ơn Phịng Đào tạo
sau đại học, Khoa Toán và Thống kê Trường Đại học Quy Nhơn đã tạo
điều kiện về mọi mặt để tơi thuận lợi trong q trình học tập và hồn
thành đề án. Đồng thời, tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc
đến các thầy cô giáo và gia đình, bạn bè đã động viên giúp đỡ tơi hoàn
thành đề án này.

2

Mục lục

Mục lục 1

Lời nói đầu 1

1 Phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính 4

1.1 Dẫn nhập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Một số phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính . . . . . . . 6

1.4 Dạng rời rạc của phương trình hàm Cauchy một biến cộng

tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Hàm cộng tính trên mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . 15

2 Một số phương trình hàm Cauchy một biến 22

2.1 Dẫn nhập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Phương trình hàm Cauchy một biến dạng mũ . . . . . . . . 23

2.3 Phương trình hàm Cauchy một biến dạng logarit . . . . . . 28

2.4 Phương trình hàm Cauchy một biến nhân tính . . . . . . . 32

3 Phương trình hàm Cauchy nhiều biến 41

3.1 Dẫn nhập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Phương trình hàm Cauchy nhiều biến . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Phương trình hàm Cauchy nhân tính nhiều biến . . . . . . 45

3.4 Một số phương trình hàm Cauchy nhiều biến khác . . . . . 47

Kết luận 49

Tài liệu tham khảo 50

1

Lời mở đầu

Phương trình hàm là một trong những chủ đề hiện đại của toán học,
các nhà tốn học đã bắt đầu nghiên cứu phương trình hàm từ khi định
nghĩa hiện đại của hàm số. Ba bài báo khoa học đầu tiên về phương trình
hàm được nghiên cứu và viết bởi Jean le Rond d’Alembert khoảng từ năm
1747 đến 1750. Sự phát triển đáng kể đầu tiên của chủ đề này được động
lực bởi Bài toán luật hình bình hành của trọng lực. Năm 1769, d’Alembert
đã tìm cách đưa bài tốn này về việc tìm nghiệm của phương trình hàm
f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y). Kể từ đó nhiều nhà toán học nổi tiếng
đã quan tâm và nghiên cứu lý thuyết các phương trình hàm như Abel,
Bolyai, Cauchy, Euler, Fréchet, Gauss, Jensen, Kolmogorov, Lobacevskii,
Pexider, Poisson,... Mặc dù các nghiên cứu hiện đại về phương trình hàm
có nguồn gốc cách đây hơn 270 năm, tuy nhiên chủ đề này vẫn được quan
tâm và phát triển đáng kể trong suốt hơn 60 năm qua.

Phương trình hàm là một lĩnh vực được nhiều nhà toán học quan tâm
nghiên cứu trong toán học hiện đại cũng như toán sơ cấp. Một trong những
lớp phương trình hàm được giảng dạy và nghiên cứu phổ biến trong tốn
sơ cấp là phương trình hàm Cauchy.

Hiện nay, ở nhà trường phổ thông, các kiến thức về phương trình hàm
Cauchy vẫn chưa được đề cập nhiều. Phần lớn các học sinh tiếp cận với
phương trình hàm Cauchy là những học sinh chun tốn, cịn đối với học
sinh đại trà thì đây vẫn là một lĩnh vực xa lạ, khó mà tiếp cận. Đa số học
sinh khi tìm hiểu về phương trình hàm đều cảm thấy khó vì đây là dạng
tốn địi hỏi người học phải vận dụng nhiều kiến thức khi giải, có khả năng
tư duy tốt, khả năng khái quát hóa, phán đoán vấn đề cao,...

Mặt khác hiện nay các tài liệu đề cập về phương trình hàm cịn ít và
chưa có một tài liệu nào trình bày đầy đủ về các khía cạnh của phương
trình hàm; đặc biệt, đối với phương trình hàm Cauchy lại có rất nhiều

1

2

dạng như phương trình hàm Cauchy cộng tính, phương trình hàm Cauchy
nhân tính, phương trình hàm Cauchy nhiều biến,...; các vấn đề liên quan
đến việc mở rộng phương trình hàm Cauchy từ miền xác định nhỏ đến
miền xác định rộng hơn lại rất phức tạp.

Trong chương trình tốn học phổ thơng, phương trình hàm là một
chun đề quan trọng và thường được sử dụng nhiều trong các kì thi
học sinh giỏi các cấp, Olympic khu vực, Olympic quốc tế. Đó là các bài
tốn khó và mới mẻ đối với học sinh, địi hỏi học sinh có tư duy cao và

cách tiếp cận sáng tạo. Trong thực tiễn, phương trình hàm và các ứng
dụng của nó ln là chuyên đề hết sức cần thiết trong việc bồi dưỡng học
sinh giỏi Tốn ở bậc học phổ thơng, đồng thời sự phát hiện các ứng dụng
đa dạng của nó cũng luôn đem lại sự hấp dẫn đối với nhiều đối tượng học
sinh và giáo viên khi nghiên cứu vấn đề này. Trong lý thuyết các phương
trình hàm thì phương trình hàm Cauchy là một phương trình hàm cơ bản
và gần gũi với học sinh trung học phổ thơng. Đó là lý do tại sao tơi chọn
đề tài “Phương trình hàm Cauchy và một số dạng liên quan” làm đề tài
cho đề án thạc sĩ của mình.

Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì đề tài “Phương
trình hàm Cauchy và một số dạng liên quan” bao gồm ba chương có nội
dung như sau:
CHƯƠNG 1. Phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính
1.1. Dẫn nhập.
1.2. Một số phương trình hàm.
1.3. Phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính.
1.4. Dạng rời rạc của phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính.
1.5. Hàm cộng tính trên mặt phẳng phức.
CHƯƠNG 2. Một số phương trình hàm Cauchy một biến
2.1. Dẫn nhập.
2.2. Phương trình hàm Cauchy một biến dạng mũ.
2.3. Phương trình hàm Cauchy một biến dạng logarit.
2.4. Phương trình hàm Cauchy một biến nhân tính.
CHƯƠNG 3. Phương trình hàm Cauchy nhiều biến
3.1. Dẫn nhập.
3.2. Phương trình hàm Cauchy nhiều biến cộng tính.

3
3.3. Phương trình hàm Cauchy nhiều biến nhân tính.

3.4. Một số phương trình hàm Cauchy nhiều biến khác.

Bình Định, ngày 10 tháng 10 năm 2023
Học viên

Nguyễn Quốc Tuấn

Chương 1

Phương trình hàm Cauchy một
biến cộng tính

Trong chương này, chúng tơi tìm hiểu phương trình hàm Cauchy một
biến cộng tính. Tài liệu tham khảo chính là [6].

1.1 Dẫn nhập

Sự nghiên cứu về hàm cộng tính bắt nguồn từ A. M. Legendre - người
đầu tiên tìm cách xác định lời giải của phương trình hàm Cauchy

f (x + y) = f (x) + f (y)
với mọi x, y ∈ R. Đến năm 1821, A. L. Cauchy bắt đầu đề xuất những
nghiên cứu có tính hệ thống về phương trình hàm Cauchy cộng tính
trong sách Cours d’Analyse của mình. Hàm cộng tính chính là nghiệm
của phương trình hàm Cauchy cộng tính nêu trên. Vì vậy trong chương
này, chúng ta sẽ tập trung nghiên cứu về hàm cộng tính.

1.2 Một số phương trình hàm

Phương trình hàm là những phương trình mà yếu tố chưa biết chính

là các hàm, giải một phương trình hàm nghĩa là tìm tất cả các hàm thỏa
mãn phương trình hàm đã cho. Và để thu được một lời giải hoàn chỉnh,
các hàm phải được hạn chế trong một điều kiện tự nhiên đặc biệt (chẳng
hạn như giải tích, bị chặn, liên tục, lồi, khả vi, đo được hay đơn điệu).

Một phương trình bao gồm một hàm chưa biết và một hoặc nhiều đạo

4

5

hàm của nó được gọi là phương trình vi phân. Ví dụ như:
f ′(x) + mx = 5

và
f ′′(x) + f ′(x) + sin(x) = 0.

Các phương trình gồm tích phân của hàm số chưa biết được gọi là

phương trình tích phân. Một vài ví dụ về phương trình tích phân

x

f (x) = ex − ex−tf (t)dt,

0
1

f (x) = sin(x) + [1 − x cos(xt)]f (t)dt,

0

và x

f (x) = tf 2(t) − 1 dt.

0

Phương trình hàm là phương trình trong đó các ẩn là các hàm số. Ví

dụ về phương trình hàm là

f (x + y) = f (x) + f (y),
f (x + y) = f (x)f (y),
f (xy) = f (x)f (y),
f (xy) = f (x) + f (y),

f (x + y) = f (x)g(y) + g(x)f (y),
f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y),
f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) + 2f (y),
f (x + y) = f (x) + f (y) + f (x)f (y),

f (x + y) = g(xy) + h(x − y),
f (x) − f (y) = (x − y)h(x + y),
f (pr, qs) + f (ps, qr) = 2f (p, q) + 2f (r, s),

g(f (x)) = g(x) + β,
g(f (x)) = αg(x), α̸ = 1

6

và
f (t) = f (2t) + f (2t − 1).

Phạm vi của phương trình hàm bao gồm các phương trình vi phân,
phương trình sai phân, phương trình tích phân,... Các phương trình hàm
là một lĩnh vực của toán học trên 200 năm tuổi. Hơn 5000 bài báo đã được
công bố trong lĩnh vực này. Tuy nhiên đối với luận văn thạc sĩ tôi chỉ tập
trung nghiên cứu về phương trình hàm Cauchy và một số ứng dụng của
nó.

Năm 1747 và 1750, d’Alambert đã cơng bố 3 bài báo trong đó bài thứ
nhất là phương trình hàm (xem J. Aczél, Lectures on functional equa-
tions and their applications. Academic Press, New York, London, 1966.).
Phương trình hàm được nghiên cứu bởi d’Alambert (1747), Euler (1768),
Poissons (1804), Cauchy (1821), Darboux (1875) và nhiều nhà toán học
khác. Hilbert (1902) đề xuất trong sự nối tiếp với vấn đề 5 của ông là định
lý hàm vi phân cung cấp phương pháp đẹp và mạnh để giải phương trình
hàm, trong đó giả thiết khả vi là điều kiện không thể thiếu. Nhờ đề xuất
của Hilbert nhiều nghiên cứu về phương trình hàm đã xem xét với các
phương trình hàm khác nhau khơng có một vài hoặc ít các giả thiết. Sự
nổ lực này đã góp phần phát triển định lý hiện đại về phương trình hàm.
Lý thuyết các dạng quy tắc tốn học hiện đại của phương trình hàm ngày
càng phát triển nhanh ở cuối thập niên 60 của thế kỉ trước.

Giải phương trình hàm nghĩa là tìm tất cả các hàm số thỏa mãn phương
trình hàm. Để thu được một nghiệm, các hàm số phải bị giới hạn bởi một
đặc trưng riêng (như là giải tích, bị chặn, liên tục, lồi, khả vi, đo được hay
đơn điệu).

1.3 Phương trình hàm Cauchy một biến cộng tính

Phần này giới thiệu về phương trình hàm Cauchy cộng tính và xác định

nghiệm của nó.

Cho f : R → R trong đó R là tập số thực, f là hàm số thỏa mãn phương

trình hàm

f (x + y) = f (x) + f (y) (1.1)

7

với mọi x, y ∈ R. Phương trình hàm này đã được biết là phương trình
hàm Cauchy. Phương trình hàm (1.1) được nghiên cứu đầu tiên bởi A. M.
Legendre(1791) và C. F. Gauss (1809) nhưng A. L. Cauchy (1821) là người
đầu tiên tìm ra nghiệm trong lớp hàm liên tục. Phương trình (1.1) có vị
trí quan trọng trong tốn học nó được đề cập tới trong hầu hết các khía
cạnh của tốn học.

Định nghĩa 1.1. Hàm số f : R → R được gọi là hàm cộng tính nếu nó
thỏa mãn:

f (x + y) = f (x) + f (y)

với mọi x, y ∈ R.

Định nghĩa 1.2. Hàm số f : R → R được gọi là hàm tuyến tính nếu nó
có dạng:

f (x) = cx (∀x ∈ R),

trong đó c là một hằng số.

Đồ thị của hàm tuyến tính f (x) = cx là một đường thẳng, đi qua gốc
do đó nó được gọi là tuyến tính. Hàm số tuyến tính thỏa mãn phương
trình hàm Cauchy. Các câu hỏi được đưa ra là có hàm nào khác thỏa mãn
phương trình hàm Cauchy hay khơng?

Ta thấy rằng chỉ có nghiệm liên tục của phương trình hàm Cauchy là
tuyến tính. Đây là kết quả được chứng minh bởi Cauchy vào năm 1821.

Định lý 1.1. Cho f : R → R là liên tục và thỏa mãn phương trình hàm
Cauchy cộng tính (1.1). Khi đó f tuyến tính, nghĩa là f (x) = cx trong đó
c là một hằng số tùy ý.

Chứng minh. Trước tiên ta cố định x rồi lấy tích phân hai vế của phương
trình (1.1) theo biến y ta được

1

f (x) = f (x)dy
=
= 0

1

[f (x + y) − f (y)]dy

0

1+x 1

f (u)du − f (y)dy, u = x + y

0 0

8

Vì hàm số f liên tục nên (1.2)
f ′(x) = f (1 + x) − f (x)

f (1 + x) = f (1) + f (x) (1.3)

Thay (1.3) vào (1.2) ta có f ′(x) = f (1) = c. Suy ra f (x) = cx + d, rồi
thay vào (1.1) suy ra d = 0.

Trong Định lý 1.1 ta sử dụng tính liên tục của f bắt buộc nghiệm f của
phương trình Cauchy cộng tính là tuyến tính. Do đó mỗi nghiệm khả tích

của phương trình Cauchy cộng tính cũng tuyến tính.

Định nghĩa 1.3. Một hàm f : R → R được gọi là khả tích địa phương khi
và chỉ khi nó là tích phân trên mọi khoảng hữu hạn.

Theo trên mỗi nghiệm khả tích địa phương của phương trình Cauchy

cộng tính cũng là tuyến tính. Ta đưa ra một cách chứng minh được đưa

ra bởi Shapiro 1973. Giả sử f là một nghiệm khả tích địa phương của

phương trình Cauchy cộng tính. Do đó f (x + y) = f (x) + f (y) đúng với

mọi x, y ∈ R. Từ đó sử dụng tính khả tích địa phương của f ta được

y

yf (x) = f (x)dz
=
= 0
y

[f (x + z) − f (z)]dz

0

x+y x y

f (u)du − f (u)du − f (u)du.

0 0 0

Vế phải của đẳng thức trên bất biến khi ta thay đổi vai trò của x và y từ
đó suy ra

yf (x) = xf (y)

với mọi x, y ∈ R. Do đó với x̸ = 0 ta được

f (x)
= c,

x

với c là một hằng bất kỳ. Điều này suy ra f (x) = cx với mọi x ∈ R \ {0}.
Cho x = 0 và y = 0 ở (1.1) ta được f (0) = 0. Như vậy f là một hàm

tuyến tính trên R. Mặc dù chứng minh của Định lý (1.1) ngắn gọn và chỉ
gồm các phép tính vi phân, tích phân nhưng nó lại khơng hiệu quả cao và

9

có nhiều kiến thức. Giờ ta sẽ trình bày một cách chứng minh khác sẽ giúp
ta hiểu hơn về nghiệm của phương trình Cauchy cộng tính.

Ta xét định lý sau.

Định lý 1.2. Cho f : R → R là hàm cộng tính. Khi đó f là thuần nhất
hữu tỉ. Hơn nữa, f là tuyến tính trên tập số hữu tỉ Q.

Chứng minh. Cho x = 0 = y trong (1.1) ta có, f (0) = f (0) + f (0) từ đó

suy ra

f (0) = 0. (1.4)

Thay y = −x trong (1.1) và sử dụng (1.4), ta thấy f là hàm lẻ trong R

hay

f (−x) = −f (x) (1.5)

với mọi x ∈ R. Tiếp theo, chúng ta chứng minh hàm cộng tính là thuần
nhất hữu tỉ.
Với x bất kì ta có,

f (2x) = f (x + y) = f (x) + f (y) = 2f (x).

Từ đó

f (3x) = f (2x + x) = f (2x) + f (x) = 3f (x);

tổng quát, ta có

f (nx) = nf (x) (1.6)

với mọi số nguyên dương n. Nếu n là số nguyên âm thì −n là số ngun
dương và do đó từ (1.6) và (1.5), ta có

f (nx) = f (−(−n)x) = −f ((−n)x) = −(−n)f (x) = nf (x).

Từ đó ta có f (nx) = nf (x) với mọi số nguyên n và mọi x ∈ R. Tiếp
theo, cho r là một số hữu tỉ bất kì. Ta có

k
r=

l
trong đó k là số nguyên còn l là số tự nhiên. Hơn nữa, kx = l(rx). Sử

dụng tính thuần nhất nguyên của f , ta được

kf (x) = f (kx) = f (l(rx)) = lf (rx)

10

Suy ra

k
f (rx) = f (x) = rf (x).

l

Do đó, f là thuần nhất hữu tỉ. Hơn nữa, cho x = 1 trong phương trình

trên và định nghĩa m = f (1), ta thấy

f (r) = mr

với mọi số hữu tỉ r ∈ Q. Vì vậy f là tuyến tính trên tập số hữu tỉ và chứng
minh được hoàn thành.

Định lý 1.3. Nếu hàm cộng tính liên tục tại một điểm thì nó liên tục mọi
nơi.

Chứng minh. Cho f là hàm liên tục tại t và x là một điểm bất kì. Vì vậy,
ta có lim f (y) = f (t). Tiếp theo, ta chứng f liên tục tại x. Xét

y→t

lim f (y) = lim f (y − x + t + x − t)t
y→x y→x

= lim f (y − x + t) + f (x − t)

y→x

= lim f (y − x + t) + f (x − t)x

y−x+t→t

= f (t) + f (x − t)

= f (t) + f (x) − f (t)

= f (x).

Điều này chứng tỏ f là liên tục tại x và do tính bất kỳ của x, do đó f
liên tục mọi nơi.

1.4 Dạng rời rạc của phương trình hàm Cauchy một biến cộng
tính

Định nghĩa 1.4. Đồ thị của hàm số f : R → R là một tập

G = {(x, y) | x ∈ R, y = f (x)}.
Dễ thấy rằng đồ thị G của hàm số f : R → R là một tập con của R2.
Định lý 1.4. Đồ thị của mọi hàm cộng tính phi tuyến f : R → R trù mật
khắp nơi trong R2.

11

Chứng minh. Đồ thị G của hàm f được cho bởi

G = {(x, y) | x ∈ R, y = f (x)}.

Chọn x1 ∈ R, x1̸ = 0. Từ f là hàm cộng tính phi tuyến, với bất kì hằng
số m, tồn tại x2 ∈ R, x2̸ = 0 sao cho

f (x1)̸ = f (x2),
x1 x2

nếu không viết m = f (x1) và cho x1 = x, ta sẽ có f (x) = mx, ∀x̸ = 0,
x1

và từ f (0) = 0 điều này ngụ ý f là hàm tuyến tính trái với giả thiết f là

hàm phi tuyến. Từ

x1 f (x1)̸ = 0,
x2 f (x2)

ta có vectơ X1 = x1, f (x1) và X2 = x2, f (x2) là độc lập tuyến tính
và chúng sinh ra tồn bộ R2. Từ đó, với bất kì vectơ X = (x, f (x)), tồn

tại số thực r1 và r2 sao cho

X = r1X1 + r2X2.

Nếu chỉ cho các số hữu tỉ ρ1, ρ2 thì bằng cách lựa chọn thích hợp, chúng

ta có thể nhận được ρ1X1 + 2ρ2X2 tùy ý gần với bất kì vectơ X nào đã
cho. Bây giờ,

ρ2X1 + ρ2X2 = ρ1(x1, f (x1)) + ρ2(x2, f (x2))
= (ρ1x1 + ρ1x2, ρ1f (x1) + ρ2f (x2)
= (ρ1x1 + ρ2x2, f (ρ1x1 + ρ2x2))

Khi đó, tập
Gˆ = {(x, y) | x = ρ1x1 + ρ1x2, y = f (ρ1x1 + ρ2x2), ρ1, ρ2 ∈ Q}

là trù mật khắp nơi trong R2. Từ Gˆ ⊂ G, đồ thị G của hàm cộng tính phi
tuyến f cũng trù mật khắp nơi trong R2.

Định nghĩa 1.5. Cho tập S là tập hợp các số thực và B là tập con của
tập S. Khi đó B được gọi là một cơ sở Hamel của S nếu và chỉ nếu mọi
phần tử của S đều là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn duy nhất của B.

12

Có một mối liên hệ chặt chẽ giữa hàm cộng tính và cơ sở Hamel. Để
trình bày một hàm cộng tính ta chỉ cần cung cấp các giá trị của nó trên
cơ sở Hamel là đủ, và các giá trị này được gán tùy ý. Đây là nội dung tiếp
theo của định lý sau đây.

Định lý 1.5. Cho B là cơ sở Hamel đối với R. Nếu hai hàm cộng tính có
cùng giá trị tại mỗi phần tử của B thì chúng bằng nhau.

Chứng minh. Cho f1 và f2 là hai hàm cộng tính có cùng giá trị tại mỗi
phần tử của B. Khi đó f1 − f2 là cộng tính. Đặt f = f1 − f2. Cho x là
một số thực bất kì.

Khi đó ta có các số b1, b2, . . . , bn ∈ B và các số hữu tỉ r1, r2, . . . , rn sao cho

x = r1b1 + r2b2 + · · · + rnbn.

Từ đó
f1(x) − f2(x) = f (x)
= f (r1b1 + r2b2 + · · · + rnbn)
= f (r1b1) + f (r2b2) + · · · + f (rnbn)
= r1f (b1) + r2f (b2) + · · · + rnf (bn)
= r1[f1 (b1) − f2 (b1)] + r2[f1 (b2) − f2 (b2)]+
· · · + rn[f1 (bn) − f2 (bn)]
= 0.

Do do, ta có f1 = f2.
Định lý 1.6. Cho B là một cơ sở Hamel đối với R. Cho g : B → R là
một hàm tùy ý xác định trên B. Khi đó tồn tại hàm cộng tính f : R → R
sao cho f (b) = g(b) với mọi b ∈ B.

Chứng minh. Với mọi số thực x ta có thể tìm được b1, b2, . . . , bn ∈ B và
các số hữu tỉ r1, r2, . . . , rn sao cho

x = r1b1 + r2b2 + · · · + rnbn.

Ta xác định f (x) = r1g (b1)+r2g (b2)+· · ·+rng (bn) , ∀x. Định nghĩa này
là khơng rõ ràng vì, đối với mỗi x, cách chọn b1, b2, · · · , bn, r1, r2, · · · , rn

13

là duy nhất, ngoại trừ thứ tự mà bi và ri được chọn. Với mỗi b ∈ B, ta có
f (b) = g(b) bởi cách xác định f . Tiếp theo, ta chứng minh f là hàm cộng

tính trên tập số thực.

Cho x, y la hai số thực. Khi đó

x = r1a1 + r2a2 + · · · + rnan
y = s1b1 + s2b2 + · · · + snbn.

với r1, r2, . . . , rn, s1, s2, . . . , sn ∈ Q và a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn ∈ B. Hai
bộ {a1, a2, . . . , an} và {b1, b2, . . . , bn} có thể có một số phần tử trùng nhau.
Hợp hai tập này ta được tập {c1, c2, . . . , cl}. Khi dó l ≤ m + n, và

x = u1c1 + u2c2 + · · · + ulcl
y = v1c1 + v2c2 + · · · + vlcl,

với u1, u2, . . . , un, v1, v2, . . . , vn là các số hữu tỉ, trong đó có một số có thể
bằng 0.

Ta có

x + y = (u1 + v1) c1 + (u2 + v2) c2 + · · · + (ul + vl) cl

f (x + y) = f (u1 + v1) c1 + (u2 + v2) c2 + · · · + (ul + vl) cl
= (u1 + v1) g (c1) + (u2 + v2) g (c2) + · · · + (ul + vl) g (cl)
= u1g (c1) + u2g (c2) + · · · + ulg (cl)
+ v1g (c1) + v2g (c2) + · · · + vlg (cl)
= f (x) + f (y).

Do đó f là hàm cộng tính trên R.

Với sự trợ giúp của cơ sở Hamel, tiếp theo ta xây dựng cấu trúc cho

hàm cộng tính phi tuyến. Cho B là một sơ sở Hamel của tập số thực R.
Cho b là một phần tử bất kì của B. Ta xác định



 0 nếu x ∈ B\{b},
g(x) = nếu x = b.

 1

14

Từ Định lý 1.6, tồn tại hàm cộng tính f : R → R sao cho f (x) = g(x) với

mỗi x ∈ B. Chú ý hàm f này khơng thể tuyến tính vì x ∈ B và x̸ = b, ta

f (x) f (b)
có 0 = ̸= .
x b

Từ đó, f là hàm cộng tính phi tuyến.

Sau đây ta xét một mở rộng của phương trình hàm Cauchy và nghiệm
của phương trình mở rộng này.

Định lý 1.7. Cho f : R → R thỏa mãn

f (α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn) = α1f (x1) + α2f (x2) + · · · + αnf (xn) (1.7)

(với αi ∈ R tùy ý và ∀xi ∈ R với i = 1, n)

là một hàm cộng tính. Hơn nữa, nếu f (x) liên tục thì f (x) là hàm tuyến
tính.

Chứng minh. Với xi = 0, ∀i = 1, n thì từ phương trình 1.7 suy ra được

f (0) = (α1 + α2 + · · · + αn)f (0).

⇔ f (0) = 0 hoặc α1 + α2 + · · · + αn = 1

Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp : f (0) = 0.
Trong phương trình 1.7 thay lần lượt xi̸ = 0 và xj = 0 với i; j = 1, n và
j̸ = i ta được

f (αixi) = αif (xi), ∀xi ∈ R; i = 1, n.

Do đó,

f (α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn) = f (α1x1) + f (α2x2) + · · · + f (αnxn).

Hay

f (x1 + x2 + · · · + xn) = f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn), ∀xi ∈ R, , i = 1, n.

Như vậy, f (x) làm hàm Cauchy cộng tính. Nếu f (x) là hàm liên tục trên
R thì f (x) là hàm tuyến tính.
Trường hợp : α1 + α2 + · · · + αn = 1.
Ta có:

f (α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn) − f (0)

15

= α1[f (x1) − f (0)] + α2[f (x2) − f (0)] + · · · + αn[f (xn) − f (0)].
Với g(x) = f (x) − f (0) thì ta được

g(α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn) = g(α1x1) + g(α2x2) + · · · + g(αnxn).
Hay g(x) là một hàm cộng tính. Từ đó ta cũng có được f (x) là hàm cộng
tính. Hơn nữa với cách xác định của g(x) thì nó cũng là hàm liên tục nên
g(x) = cx. Từ đó ta có được f (x) là một hàm tuyến tính.

1.5 Hàm cộng tính trên mặt phẳng phức

Trong mục này, đầu tiên ta trình bày một số kết quả liên quan đến hàm
cộng tính trên mặt phẳng R2 và sau đó nghiên cứu hàm cộng tính có giá
trị phức trên mặt phẳng phức. Chúng ta bắt đầu với kết quả sau đây.

Định lý 1.8. Nếu f : R2 → R là cộng tính trên mặt phẳng R2, thì tồn tại
các hàm cộng tính A1, A2 : R → R sao cho

f (x1, x2) = A1 (x1) + A2 (x2) , ∀x1, x2 ∈ R. (1.8)

Chứng minh. Cho x = (x1, x2) , y = (y1, y2) là hai điểm bất kì trong mặt
phẳng. Từ tính cộng tính của f , ta có:

f (x + y) = f (x) + f (y)

hay
f (x1 + y1, x2 + y2) = f (x1, x2) + f (y1, y2) .

Chúng ta xác định A1 (x1) = f (x1, 0) và A2 (x2) = f (0, x2) và ta cần
chứng minh A1, A2 là cộng tính. Thật vậy,

A1 (x1 + y1) = f (x1 + y1, 0)

= f (x1 + y1, 0 + 0)

= f (x1, 0) + f (y1, 0)

= A1(x1) + A1(y1).

Do đó A1 là cộng tính trên R. Tương tự, ta có thể chứng minh A2 là
cộng tính trên R. Tiếp theo, chúng tôi thấy f là sự chồng chất của A1 và
A2. Lưu ý rằng (x1, x2) = (X1, 0) + (0, x2) và

f (x1, x2) = f (x1, 0) + f (0, x2) = A1(x1) + A2(x2).