bài tập chương 4 phép tính tích phân của hàm một biến thực

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Khoa Tốn Tin

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Danh sách nhóm 4

67 Nguyễn Phan Ngọc Như 715101240 Bài 1 và Bài 2 68 Nguyễn Quý Quỳnh Phương 715101246 Bài 3 và Bài 4 69 Lương Ngân Phương 715101247 Bài 5 và Bài 6 70 Vũ Thị Nam Phương 715101250 Bài 7 và Bài 8 71 Đoàn Diễm Quỳnh 715101264 Bài 9 và Bài 10 72 Nguyễn Thị Hương Quỳnh 715101265

75 Đinh Thị Hải Thanh 715101279 Bài 17 và Bài 18 76 Nguyễn Thu Thảo 705101360 Bài 19 và Bài 20 77 Nguyễn Phương Thảo 705101356 Bài 21 và Bài 22 78 Phạm Quang Thu 715101294 Bài 23 và Bài 24

80 Nguyễn Thị Hà Thương 715101299 Bài 27 và Bài 28 81 Tạ Thị Thu Thủy 695101166 Bài 29 và Bài 30

83 Đặng Thủy Tiên 715101303 Bài 33 và Bài 34

85 Nguyễn Hà Trang 715101312 Bài 37 và Bài 38 86 Bùi Thùy Trang 715101322 Bài 39 và Bài 40 87 Ngô Thị Hiếu Trung 715101331 Bài 41 và Bài 42

2

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Bài 4.1 Tính các tích phân bất định sau:

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

=−^Rln(tan x)d cos x=− ln(tan x) cos x +^Rcos x <small>1</small>

<small>tanx</small>dx = − ln(tan x) cos x +^R<small>(cosx)sinx2</small> dx = − ln(tan x) cos x −^R<small>(cosx)(sinx)22</small>d cos x

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

b)^Rtan<small>5</small>dx =^R(tan<small>5</small>+ tan<small>3</small>−tan<small>3</small>− tan x + tan x)dx =^Rtan (tan<small>3</small>x <small>2</small>x + 1)dx −^Rtan x(tan<small>2</small>x + 1)dx +^Rtan xdx

=^Rtan<small>3</small>xd(tan x) −^Rtan xd(tan x) +^Rtan xdx

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Xét g(x) = lnf(x) là hàm liên tục trên [0; 1] và g(x) khả tích trên [0; 1] Xét phân hoạch π chia đoạn [0; 1] thành n đoạn có độ dài bằng¹

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

2) Do sin<small>2</small>(x + π) = sin<small>2</small>x và cos<small>2</small>(x + π) = cos<small>2</small>x nên F (x + π) = F (x) với mọi .x Vậy F (x) tuần hoàn với một chu kì T = π.

3) Sử dụng: Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì F (x) =

F<small>′</small>(x) = arcsin (| sin |).2 sin x cos x − arccos (| cos |).2 sin x cos x.x x = sin 2x [arcsin(| sin x|) −arccos(| cos x|)] .

Chọn t ∈^h0,^π 2 i

để ^{cos t = | cos x|.}^sin^{t = |}^sin^x|

⇒ arccos(| cos x|) = arccos(cos t) = t.arcsin(| sin x|) = arcsin(sin t) = t ^{⇒ F}^′^{(x) = 0.} ⇒F là hàm hằng ⇒F (x) = F (0) =

14

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

Vậy I hội tụ khi I1,I2 hội tụ ⇔ m > −2 và n > m + 1(n > 0) Bài 4.31. Xét sự hội tụ tuyệt đối vầ bán tụ của các tích phân sau.

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

x ^{dx hội tụ (Theo tính chất Dirichlet).}

• Lại có: lim_x→0^{sin x}_x ^{= 1 nên ∃ x}<small>0</small>< π để ^{sin x}

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

Vậy I<small>1</small>hội tụ (hay hội tụ tuyệt đối) ⇐⇒ p > −2.

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

Kết luận: Tích phân suy rộng

R_(n+1)2π<small>n2π</small> sin xdx = 0, nhưng không tồn tại giới hạn lim<small>x→∞</small>sin x.

Bài 4.34: Giả sử f(x) khả vi liên tục trên [a, +∞] và sup |f<small>′</small>(x)| < +∞ và

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

Vì f đạo hàm bị chặn nên ∃M > 0 thoả mãn |f| < M

Do sup|f<small>′</small>(x)| < +∞ nên ∃M > 0 để: |f<small>′</small>(x)| ≤ M ∀x ∈ [a, +∞) Giả sử phản chứng khơng xảy ra lim<small>x→+∞</small>f( ) = 0a

Khi đó: ∃ϵ<small>0</small>> 0 sao cho ∀A ≥ a, ∃x<small>A</small>> Asao cho |f(x<small>A</small>)| ≥ 2ϵ<small>0</small>. Do đó ∀n ∈ N<small>∗</small>, ta chọn được x<small>n</small>> a sao cho:

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

Điều này không thể xảy ra. Vậy lim<small>x→+∞</small>f(x) = 0.

Bài 4.36 : Chứng minh nếu ^R^∞

<small>a</small> f(x)dx hội tụ và f(x) là hàm đơn điệu thì f(x) = o(<small>1</small>

<small>a</small> f( )x dx hội tụ nên theo tiêu chuẩn Cauchy:

∃A<small>0</small>> a sao cho ∀B > A ≥ A<small>0</small>thì |^R<small>B</small>f(x)dx| <<small>ϵ</small>₂

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

Bài 4.37: Giả sử f(x) liên tục khi x ≥ 1 và ^R<small>∞</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

<small>0a+xa</small>^dx<small>sin2x</small>hội tụ.

Bài 4.41: Chứng minh rằng nếu f liên tục đều trên [a, ∞) và tích phân ^R^∞

<small>a</small> f( )x dx hội tụ thì lim

<small>x→∞</small>f(x) = 0.

Bài làm

∀x ∈ (a, b , f x) là hàm bị chặn trên bởi f b) do f là hàm đơn điệu tăng.) ( ( Đặt A = sup f(x)|x ∈ a, b). Ta sẽ chứng minh rằng lim( _x→b^{f(x) = A.}

Vì A là sup nên với mọi ε > 0 , tồn tại x<small>0</small>∈ (a, b) sao cho A − ε < f(x<small>0</small>) ≤ A < A+ε

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

Vì bất đẳng thức cuối cùng đúng với ε > 0 tùy ý và n đủ lớn. Do đó ta có lim

+) I<small>1</small>là tích phân suy rộng loại 2 với cận suy rộng tại 0 +) I<small>2</small>là tích phân suy rộng loại 1 với cận suy rộng tại +∞

<small>x→∞</small>g(x) =0 (do α > 0) và g(x)=^−(2x_x_α^α−1_{+ sinx}^{+ cosx)}≤ 0 ∀x ∈[2,+ )∞ g(x) đơn điệu giảm về 0

Dirichlet ⇒ I<small>2</small>hội tụ với α ≥ 1

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

x<small>α</small>+ sinx ^{→ ⇒}¹ ^I<small>1</small>là tích phân thường Nếu α = 1 thì x + sinx ∼ 2sinx khi x→ 0

<small>xα+sinx</small>= 0 ⇒ I<small>1</small>là tích phân thường Bài 4.44: Giả sử f là hàm liên tục trên [0, +∞} sao cho lim

</div>