báo cáo bài tập lớn giải tích 1 khái niệm hệ phương trình vi phân tổng quát

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (422.46 KB, 15 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG🙞······🙞

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚNGiải tích 1

Giảng viên hướng dẫn: Ths.Nguyễn Thị Xuân AnhLớp L23, Nhóm 8

TPHCM 11/2023

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

a/ Tính v₃, v₅ theo v₁, v₂, v₄ để cho lượng nước khơng đổi:...6

b/ Thành lập hệ phương trình vi phân với điều kiện đầu miêu tả quá trình trên...6

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

Đề bài

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

1 Khái niệm hệ phương trình vi phân tổng quát

Một cách tổng qt, ta gọi các hệ phương trình có dạngy′i = fi(x, y1, y2, ..., yn), i = 1, 2, ..., n (1)

trong đó fi là các hàm số với (n + 1) biến, còn yi là các hàm chưa biết của biến x là hệ phương trình vi phân. Giải (hay tích phân) hệ trên có nghĩa là tìm tất cả các bộ n hàm số yi(x) i =1,...,n thỏa mãn (1). Nếu cho trước điểm x0 và các giá trị b1,..., bn ∈ R thì một nghiệm y1(x),…,yn(x) của hệ (1) thỏa mãn điều kiện (khởi đầu).

Nội dung của phương pháp khử là đưa hệ phươngtrình vi phân thành 1 ptvp cấp cao bằng cách lấy đạo hàm một phương trình rồi khử các hàm chưa biết.

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Phần 1

a/ Tính v₃, v₅ theo v₁, v₂, v₄ để cho lượng nước không đổi:

Để lượng nước không đổi: tốc độ của nước đổ vào sẽ bằng tốc độ nước thốt ra.Từ đó ta có được tốc độ của v₃ và v₅ là:

{

v ₃=v₁+v₄v ₅=v₁+v₂

b/ Thành lập hệ phương trình vi phân với điều kiện đầu miêu tả quá trình trên.

Bể 1:

 Đầu vào: n₁v₁ + 300y v₄ Đầu ra: 500x v₃

Bể 2:

 Đầu vào: n2v2 + 500x v₃

 Đầu ra: 300y v₄ + 300y v5 = 300y (v4 + v5)Lập phương trình theo hệ x(t), y(t):

{

x'=n ₁v ₁+ y300v ₄− x500v₃y'=n₂v₂+ x500v₃− y300(v₄+v₅)

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Phần 2

Trình bày cách dùng phương pháp khử để đưa hệ phương trình vi phân tuyến tính 2 phương trình – 2 ẩn tổng quát dưới đây về phương trình tuyến tính cấp 2 sau đó giải ví dụ cụ thể.

x 0 (t) = ax(t) + by(t) + f(t) y 0 (t) = cx(t) + dy(t) + g(t)

B2: Thế (*) vào phương trình cịn lại=> phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Cx’’ – ax’’ - f ' (t) = bcx + dx’ -adx – df(t) + bg(t)

 x’’ – (a+d)x’ + (ad – bc)x = f ' (t) – df(t) + bg(t)B3: Giải (**) suy ra xTQ

B4: Thế xTQ (*) suy ra yTQ

VD: Giải hệ phương trình

{

x’(t)=5 x(t)+ y(t)(1)

y’(t)=−101x(t )−15 y(t)−2e−5t sin(t)(2)

Từ phương trình 1: thay vào phương trình 2:

VT:

Phương trình đặc trưng:

VP: là nghiệm của phương trình đặc trưng

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

 xr’’

 Thay vào phương trình

24 A−10B+10 B−50 A+26 B=0−2 A−10B+10B=−2

−10 A+2B+10 A=0



{

A=1B=0

 xTQ’

 Thế yTQ = x’ -5x

 Vậy

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

 Nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất : ytn = C1eAt + C2eBtĐặt yr = ax + b , y’r = a , y’’r = 0

Thay yr vào 2 phương trình tương ứng, ta được: a = 0 , b = 1627

 y = C1eAt + C2eBt + 1627

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

 y’ = AC1eAt + BC2eBt (1)

Ta có x’ = 1.08 -1507 y – y’ => x’ = 1.08 +( 150−7C1 – AC1)eAt + ( 150−7C2 – BC2)eBt (2)Khi t0 = 0 => x’, y’ = 0, => Thế t0 = 0 vào phương trình (1) , (2)

 x’ + y’ = 0,955 -754 y

Ta có y’’ = 0.02x’ - 30019 y’ => x’ = 50y’’ + 196 y’

 50y’’ + 256 y’ + 754 y = 0,955

 Phương trình đặc trưng : 50k2 + 256 k + 754 = 0 => k1 = A k2 = B

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

 Ta có x’ = 0,955 -754 y - y’ => x’ = 0.955 + ( −475C1 – AC1)eAt + ( −475C2 – BC2)eBt (2)Khi t0 = 0 => x’, y’ = 0, => Thế t0 = 0 vào phương trình (1) , (2)

Ta có y’’ = 0.028x’ - 0.06y’ => x’ = 2507 y’’ + 157 y’

 250

7 y’’ + 227 y’ + 301 y = 0.68

 Phương trình đặc trưng : 2507 k2 + 227 k + 301 = 0 => k1 = A k2 = B Nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất : ytn = C1eAt + C2eBtĐặt yr = ax + b , y’r = a , y’’r = 0

Thay yr vào 2 phương trình tương ứng, ta được: a = 0 , b = 20.4 y = C1eAt + C2eBt + 1025

 y’ = AC1eAt + BC2eBt (1)

Ta có x’ = 0.68 -301 y – y’ => x’ = 0.68 + ( −130C1 – AC1)eAt + ( −130C2 – BC2)eBt (2)Khi t0 = 0 => x’, y’ = 0, => Thế t0 = 0 vào phương trình (1) , (2)

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Ta có y’’ = 0.032x’ - 121 y’ => x’ = 31.25y’’ + 12548 y’

 31.25y’’ + 17348 y’ + 0.05y = 0.99

 Phương trình đặc trưng : 31.25k2 + 17348 k + 0.05 = 0 => k1 = A k2 = B Nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất : ytn = C1eAt + C2eBtĐặt yr = ax + b , y’r = a , y’’r = 0

Thay yr vào 2 phương trình tương ứng, ta được: a = 0 , b = 995

 y = C1eAt + C2eBt + 99

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

x’(t) = -x(t) + 5y(t) + e4t y’(t) = x(t) + 3y(t) – 2e-2t

 Nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất : y = C1e4t + C2e-2t

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Đặt yr1 = ate4t , y’r1 = a( e4t + 4te4t ) , y’’r1 = a( 8e4t + 16te4t) yr2 = bte-2t, y’r2 = b( e-2t -2te-2t ) , y’’r2 = b( -4e-2t + 4te-2t )

Thay yr1, yr2 vào 2 phương trình tương ứng, ta được: a = 1/6 , b = -1/3 y(t) = C1e4t + C2e-2t + 16te4t -13te-2t

 y’(t) = 4C1e4t - 2C2e-2t + 16(4te4t + e4t) -13(-2te-2t + e-2t)Ta có x’(t) = 8y(t) + e4t – 2e-2t - y’(t)

=> x’(t) = 4C1e4t + 10C2e-2t + 23 te4t + 16 e4t - te-2t - 13 e-2t

x’(t) = x(t) + 2y(t) - 2e-2t cos(5t) y’(t) = -17x(t) - 5y(t)

 17 x’(t) + y’(t) = 29y(t) - 34e-2t cos(5t) (1)

 Ta có y’’(t) = -17x’(t) - 5y’(t) => 17x’(t) = - y’’(t) - 5y’(t) (2)Thay (2) vào (1) => y’’(t) + 4y’(t) + 29y(t) = 34e-2tcos(5t)  Phương trình đặc trưng : k2 + 4k + 29 = 0 => k1 = -2 +5i k2 = -2 – 5i

 Nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất : ytn = e-2t(C1cos(5t) + C2sin(5t))Đặt yr = te-2t(acos(5t) + bsin(5t)),

y’r = e-2t((-5at -2bt + b)sin(5t) + cos(5t)(-2at + a + 5bt ))

y’’r = e-2t((20at – 10a -21bt - 4b)sin(5t) - cos(5t)(21at + 4a + 20bt – 10b)) Thay yr vào 2 phương trình tương ứng, ta được: a = 0 , b = 175

 y(t) = e-2t( C1cos(5t) + C2sin(5t) + 175 tcos(5t))

 y’(t) = 1 e-2t (((17 - 10 C1 + 25C2 - 34t) cos(5t) - 5 (5C1 + 2C2 + 17t) sin(5t))

</div>