Tích Phân: Chương 1 Phần 2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (10.07 MB, 69 trang )

Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

Cho x = 0, y = 0, z = 0 ta nhận được giao tuyến của mặt với 3 mặt tọa độ là các đường Ellipse.

3. Cách vẽ hình

Vẽ 3 giao tuyến của S với 3 mặt tọa độ

Nếu cả 3 giao tuyến của 1 mặt cong S với 3 mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ đều là ellipse thì ta sẽ

gọi mặt S là mặt Ellipsoid

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

Trong MatLab, để vẽ ellipsoid trên, ta dùng lệnh

ellipsoid(x,y,z,a,b,c)

1.8. Mặt bậc hai

(a,0,0) (0,0,c)

(0,b,0)

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

II. Mặt Paraboloid Elliptic: 1. Phương trình chính tắc :

tọa độ thứ 3 là 1 đường Ellipse.

Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt

song song với các mặt tọa độ là2 Parabol, giao tuyến cịn lại là1 Ellipsethì ta gọi mặt S làParaboloid Elliptic

1.8. Mặt bậc hai

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Vẽ đường parabol y2 = z

trên mặt phẳng x = 0 3. Vẽ hình

Vẽ đường ellipse

x2+y2 = 1 trên mặt phẳng z = 1

Vẽ mặt parabolid z = x2+y2

1.8. Mặt bậc hai

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Vẽ thêm đường parabol x2 = z trên mặt phẳng y = 0

1.8. Mặt bậc hai

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

III. Mặt Paraboloid Hyperbolic (Mặt n ngựa): 1. Phương trình chính tắc :

2. Cách gọi tên mặt:

Cho x = 0, y = 0 thì được 2 giao tuyến với 2 mặt tọa độ là 2 đường Parabol, cho z=c ta được giao tuyến với mặt tọa độ thứ 3 là 1 đường Hyperbol.

Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt

song song với các mặt tọa độ là2 Parabol, giao tuyến cịn lại là1 Hyperbolthì ta gọi mặt S làParaboloid Hyperbolic

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Vẽ parabol trên mp y=0 2

Vẽ parabol trên mp x=0

1.8. Mặt bậc hai

Vẽ hyperbol trên mp z=k

k

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

III. Mặt Paraboloid Hyperbolic (Mặt n ngựa): 1. Phương trình chính tắc : 2 2

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

IV. Mặt Hyperboloid Elliptic: 1. Phương trình chính tắc :

Khi cho z=0: có 2 trường hợp

TH1: Nếu vế phải bằng +1 thì giao tuyến là ellipse TH 2: Nếu vế phải bằng -1 thì cho z=k với

ta có giao tuyến là ellipse

| k | c

1.8. Mặt bậc hai

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

VP là 1: 2 giao tuyến với x=0, y=0

VP là - 1: 2 giao tuyến với x=0, y=0

1.8. Mặt bậc hai

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt

song song với các mặt tọa độ là 2 Hyperbol, giao tuyến cịn lại là1 Ellipsethì ta gọi mặt S làHyperboloid Elliptic

Căn cứ vào hình dạng của 2 mặt Hyperboloid Elliptic trên mà ta gọi tên 2 mặt là:

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Vẽ đường tròn x2+y2=1, trên mặt z=0 (đường chuẩn)

Vẽ các đường thẳng song song với Oz và tựa lên đường tròn trên (các đường sinh)

Ta gọi đây là mặt trụ tròn xoay

theo tên của đường chuẩn

1.8. Mặt bậc hai

Vẽ hình:

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Trong MatLab, để vẽ trụ tròn xoay có thể dùng lệnh cylinder

1.8. Mặt bậc hai

Ví dụ: Mặt trụ Ellipse x2+4z2 = 4

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

z=x2 ở trên

đường chuẩn là parabol z=x2 trên mặt

phẳng y=0 nên ta gọi đây là mặt trụ parabol

1.8. Mặt bậc hai

Cách vẽ hình

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

1.8. Mặt bậc hai

Ví dụ: Mặt trụ Hyperbol y2 - z2 = 1

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt nón và điểm cố định gọi là đỉnh của nón

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

1.8. Mặt bậc hai Vẽ 2 đt trên mp x=0, zcy

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

z = 0 : 0 = x2+y2-2x là pt đường tròn (ellipse) Suy ra mặt đã cho là mặt Paraboloid Elliptic

NHẬN DẠNG

1.8. Mặt bậc hai (Tự đọc)

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

VẼ HÌNH:

Vẽ 2 giao tuyến với 2 mặt z = 0, y = 0

Vẽ bằng Matlab: x=0:.1:2;

z=0*x;

y=sqrt(2*x-x.^2); plot3(x,y,z)

hold on

y=-sqrt(2*x-x.^2); plot3(x,y,z)

Ta được giao tuyến với z=0

1.8. Mặt bậc hai (Tự đọc)

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

-1-0.500.511.522.53hold on

y=-2:.2:2; x=1+0*y; z=-1+y.^2; plot3(x,y,z)

1.8. Mặt bậc hai (Tự đọc)

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

>> [r p]=meshgrid(linspace(0,1,20),linspace(0,2*pi,20)); >> mesh(r.*cos(p),r.*sin(p),r.^2)

1.8. Mặt bậc hai (Tự đọc)

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

1.8. Mặt bậc hai (Tự đọc)

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

-1 -0.5 0 0.5

>> theta=linspace(0,pi,20); >> phi=linspace(0,2*pi,20); >> [t p]=meshgrid(theta,phi);

>> mesh(sin(t).*cos(p),sin(t).*sin(p),1+cos(t)) 1.8. Mặt bậc hai (Tự đọc)

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

=meshgrid(linspace(-1,1,20),linspace(-4,-2,20)); >> z1=sqrt(y1.^2+2*y1); >> mesh(x,y1,z1)

>> hold on

>> mesh(x,y1,-z1)

Tương tự, ta vẽ nửa còn lại ứng với 0<y2<2 1.8. Mặt bậc hai (Tự đọc)

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Ví dụ: Nhận dạng và vẽ các mặt bậc 2 sau:

1. y2-z2+2x2=0

2. x2+2x+2z2-3y=0 3. xy=z2

1. 2 trong 3 giao tuyến là 2 cặp đt, giao tuyến thứ 3 là ellipse nên ta có mặt nón ellipse

2. 2 trong 3 giao tuyến là 2 parabol, giao tuyến thứ 3 là ellipse nên ta có mặt Paraboloid elliptic

3. 2 trong 3 giao tuyến là 2 đt.

Đặt x=u+v, y=u-v thì ta được pt u2-v2=z2

Cho z=c, ta được pt của hyperbol. Vậy đây là pt mặt nón hyperbol

1.8. Mặt bậc hai (Tự đọc)

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

3. 2 trong 3 giao tuyến là 2 đt.

Ta còn có thể gọi tên là

mặt nón ellipse vì ta viết cách khác cho pt: u2=v2+z2

1.8. Mặt bậc hai (Tự đọc)

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

1.9. Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do

Định nghĩa : Hàm f(x,y) được gọi là đạt cực đại chặt tại

M0(x0,y0) nếu tồn tại hình tròn mở B(M0,r) sao cho

Tức là:

r0,M d M M,,

0

r : ( , )f x yf x y(

0

,

0

)

Định nghĩa : Hàm f(x,y) được gọi là đạt cực đại không chặt

tại M0(x0,y0) nếu tồn tại hình trịn mở B(M0,r) sao cho

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

Chú ý: Khái niệm cực trị chỉ mang tính địa phương, nó khác với khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm trong một miền (Xem hình vẽ)

1.9. Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

Ví dụ: Hàm f(x,y) = x2 + y2 đạt cực tiểu bằng 0 tại (0,0) vì

(x2 + y2) ≥ 0, với mọi (x,y)

Ta còn gọi đây 0 còn là giá trị nhỏ nhất của hàm trong tồn MXĐ vì :

f x yx yf

1.9. Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

Điều kiện cần của cực trị : Nếu hàm f(x,y) có cực trị tại điểm M0(x0,y0) thì tại M0 hàm có các đạo hàm riêng đồng thời bằng 0 hoặc không tồn tại

Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng đồng thời bằng 0 thì gọi là điểm dừng của hàm.

Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng đồng thời bằng 0 hoặc không tồn tại thì gọi là điểm tới hạn của hàm tức là điểm nghi ngờ có cực trị.

Điểm M mà tại đó các đạo hàm riêng đồng thời bằng 0 và trong 1 lân cận bất kỳ của nó tồn tại các điểm M1, M2 sao cho f(M1)<f(M)<f(M2) được gọi là điểm yên ngựa

1.9. Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

Ví dụ: Khảo sát cực trị của hàm f(x,y) = y2 – x2 Giải:

Ta có : f’x = -2x , f’y = 2y Điểm dừng của hàm là (0,0) Với mọi y, ta có

Điểm yên ngựa

1.9. Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

Điều kiện đủ của cực trị :

Cho hàm f(x,y) xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong 1 lân cận của điểm dừng Mi(xi,yi).

Ta viết công thức Taylor của hàm đến bậc 2 tại Mi (lưu ý

df(Mi)=0)

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

1.9. Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do Ta viết lại:

22

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

1.9. Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do

Nếu gặp TH4, ta sẽ phải dùng định nghĩa để khảo sát cực trị

Điều kiện đủ của cực trị :

Cho hàm f(x,y) xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong 1 lân cận của điểm dừng Mi(xi,yi).

TH1: Hàm đạt cực đại tại Mi nếu

TH2: Hàm đạt cực tiểu tại Mi nếu D 0,A 0

TH3: Điểm Mi là điểm yên ngựa nếu D 0

TH4: Không sử dụng được đk đủ nếu D 0

</div>Trang 39<div class="page_container" data-page="39">

Các bước khảo sát cực trị hàm nhiều biến

1.9. Cực trị hàm hai biến – Cực trị tự do

Bước 1: Tìm điểm tới hạn Mi(xi,yi), i=1, 2, … bằng cách cho tất cả các đạo hàm riêng của hàm f cùng bằng 0, ta được hệ phương trình, giải ra ta được điểm dừng hoặc tìm những điểm mà tại đó các đạo hàm riêng khơng tồn tại

Bước 2: Tại các điểm dừng thì áp dụng điều kiện đủ. Tại

các điểm mà các đhr không tồn tại thì dùng định nghĩa để

xét dấu f(x,y)-f(xi,yi)

Bước 3: Kết luận

</div>Trang 40<div class="page_container" data-page="40">

xyxy

</div>Trang 42<div class="page_container" data-page="42">

Ta có : Δf(M)= f(x,y) – f(M)

Δf(M)=(x2+y2 –2xy+2x–2y) – (x02+(1+x0)2 –2x0(x0+1)+2x0 - 2(1+x0))

Δf(M)=(x2+y2 –2xy+2x–2y) +1 Δf(M) = (x-y+1)2 ≥ 0

Vậy theo định nghĩa, hàm đạt cực tiểu không chặt tại mọi

điểm dừng M0 và fct = f(M0) = f(x0,x0+1) = -1

f(x,y) ≥ f(M)

1.9. Cực trị hàm nhiều biến (Tự đọc)

</div>Trang 43<div class="page_container" data-page="43">

Vậy ta sẽ tính đạo hàm riêng của f tại (0,0) bằng định nghĩa:

1.9. Cực trị hàm nhiều biến (Tự đọc)

</div>Trang 44<div class="page_container" data-page="44">

Do vai trò x, y như nhau trong hàm f, nên tương tự ta cũng có

Vậy tại (0,0) các đhr khơng tồn tại hữu hạn nên(0,0) chỉ là điểm tới hạn của hàm, tức là điểm nghi ngờ có cực trị.

</div>Trang 46<div class="page_container" data-page="46">

Tại M3(0,0): A = B = C = -2, Δ = 0.

Ta phải xét dấu Δf = f(x,y)–f(0,0) = x4+y4–x2–y2–2xy, với mọi

(x,y) gần với (0,0) bằng cách chọn 2 điểm N1(1/n,1/n), N2(1/n,-1/n) và tính Δf(N1), Δf(N2)

</div>Trang 47<div class="page_container" data-page="47">

Khoảng cách từ điểm M đến mp (P) là khoảng cách ngắn nhất từ M đến 1 điểm N bất kỳ thuộc mp (P)

với x, y, z thỏa điều kiện : x+2y+z=4

1.9. Cực trị hàm hai biến – Cực trị có điều kiện

</div>Trang 48<div class="page_container" data-page="48">

tiểu là điểm thấp nhất

Điểm cực đại là điểm cao nhất

1.9. Cực trị hàm hai biến – Cực trị có điều kiện

Tuy nhiên, nếu ta cắt mặt phẳng trên bởi hình trụ trịn xoay x2+y2 = 1 ta được giao tuyến là 1 đường ellipse

Tập hợp các điểm trên đường ellipse trên là những điểm thuộc tập xác định của hàm f(x,y) thỏa điều kiện x2+y2 =1

</div>Trang 49<div class="page_container" data-page="49">

Định nghĩa cực trị có điều kiện : Hàm f(x,y) được gọi là đạt cực đại chặt tại M0(x0,y0) với điều kiện φ(x,y) = 0 nếu Δf = f(x,y) – f(x0,y0)<0, với mọi M nằm trong hình cầu B(M0,r) và thỏa điều kiện trên

Thay dấu “<“ bởi dấu “≤” ta được cực trị khơng chặt có điều kiện, và lấy dấu ngược lại ta có khái niệm cực tiểu có điều kiện

1.9. Cực trị hàm hai biến – Cực trị có điều kiện

</div>Trang 50<div class="page_container" data-page="50">

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm f(x,y) = x2-9y2+3xy+6x-5 với điều kiện 2x – 3y = 0

1.9. Cực trị hàm hai biến – Cực trị có điều kiện

Tuy nhiên, hầu hết các trường hợp cực trị có điều kiện, ta không dễ dàng rút ra y theo x hoặc x theo y như trên. Vì vậy, ta sẽ xây dựng phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện 1 cách tổng qt hơn

</div>Trang 51<div class="page_container" data-page="51">

Bài tốn: Tìm cực trị hàm z=f(x,y) với x, y thỏa điều kiện

Rõ ràng, c có giá trị lớn nhất khi đường mức f(x,y)=c tiếp xúc với đường cong g(x,y)=k tức là khi 2 đường cong có tiếp tuyến chung.

Phương pháp nhân tử Lagrange

</div>Trang 52<div class="page_container" data-page="52">

Do đó, 2 đường cong có pháp tuyến tại tiếp điểm M0(x0,y0) như nhau.

1.9. Cực trị hàm hai biến – Cực trị có điều kiện

Ta gọi λ là nhân tử Lagrange Ta có phương pháp nhân tử Lagrange như sau:

Tìm nghiệm của hpt (ta cũng gọi là tìm điểm dừng):

Phương pháp nhân tử Lagrange

Suy ra, 2 vecto gradient tại tiếp điểm M0(x0,y0) tỉ lệ với nhau:

, 1,2,...

yy i

</div>Trang 53<div class="page_container" data-page="53">

xy

</div>Trang 54<div class="page_container" data-page="54">

Ví dụ: Người ta làm 1 hồ ni cá thể tích 0.5m2 với đáy là đá granit và 4 mặt bên bằng thủy tinh. Nếu giá 1m2 đá granit cao gấp 5 lần giá 1m2 thủy tinh thì cần làm hồ có kích thước thế nào để chi phí làm hồ nhỏ nhất

Gọi kích cỡ 3 chiều của hồ các cần làm là x, y, z

Cách 1: Từ điều kiện, ta được thay vào hàm f ta được hàm 2 biến, tìm cực trị hàm 2 biến

Ta đưa u cầu trên thành bài tốn:

Tìm cực tiểu hàm f(x,y,z)=5xy+2yz+2zx với điều kiện xyz = 0.5

Cách 2: Tìm cực trị hàm bằng pp Lagrange

1.9. Cực trị hàm hai biến – Cực trị có điều kiện

</div>Trang 55<div class="page_container" data-page="55">

Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x,y,z) = x - 2y + 2z với điều kiện x2+y2+z2=1

Giải : Ta cũng làm theo các bước như với hàm 2 biến

Ta được 2 điểm dừng M1(1/3,-2/3,2/3) , λ1 = -3/2 M2(-1/3,2/3,-2/3) , λ2 = 3/2

</div>Trang 56<div class="page_container" data-page="56">

Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x,y) = x2+2y2+12xy với điều kiện 4x2+y2 = 25

Giải:

Khử λ từ 2 pt (1) và (2), ta được:

2 12 8 (1)4 12 2 (2)

Ta thay vào pt (3), ta được 4 điểm dừng

</div>Trang 58<div class="page_container" data-page="58">

Định nghĩa: Cho hàm f(x,y) xác định trong miền D đóng và bị chặn. Hàm f được gọi là đạt giá trị lớn nhất (GTLN) tại điểm

1.9. Cực trị hàm hai biến – GTLN GTNN

</div>Trang 59<div class="page_container" data-page="59">

Cách tìm GTLN - GTNN

1. Tìm điểm dừng trong miền D

3. Tìm các giao điểm của các đường biên của D

4. Tính giá trị của hàm f tại các điểm dừng và các giao điểm. So sánh để tìm GTLN,GTNN

1.9. Cực trị hàm hai biến – GTLN GTNN

</div>Trang 60<div class="page_container" data-page="60">

Ví dụ: Tìm GTLN GTNN của hàm f(x,y) = x2+y2-xy trong miền

|x| + |y| ≤ 1 Giải:

Trước hết, ta xác định miền D là hình vng ABCD như hình vẽ

D(0-1) C(-1,0)

B(0,1)

A(1,0) Tìm điểm dừng trong hình vng

Ta được điểm dừng M1(0,0)

Tìm điểm dừng trên biên tức là lần lượt trên 4 cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông

1.9. Cực trị hàm hai biến – GTLN GTNN

</div>Trang 61<div class="page_container" data-page="61">

D(0-1) C(-1,0)

M2(1/2,1/2)

Cuối cùng, ta tính giá trị của hàm tại 5 điểm dừng vừa tìm:

f(M1)=0, f(M2) = f(M4) = 1/4, f(M3) = f(M5) = 3/4

Và tại 4 điểm đặc biệt: f(A) = f(B) = f(C) = f(D) = 1

Vậy: fmax = f(A) = f(B) = f(C) = f(D) = 1, fmin = f(M1) = 0 1.9. Cực trị hàm hai biến – GTLN GTNN

</div>Trang 62<div class="page_container" data-page="62">

Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm

f(x,y) = (x-6)2+(y+8)2 thỏa điều kiện x2+y2 ≤ 25

Giải:

Miền D là hình trịn, bao gồm cả

đường trịn tâm O(0,0) bán kính r = 5 Tìm điểm dừng trong hình trịn tức là giải hpt

    

</div>Trang 63<div class="page_container" data-page="63">

Tìm điểm dừng trên biên D tức là tìm điểm dừng có điều kiện bằng cách giải htp

</div>Trang 64<div class="page_container" data-page="64">

1. Tìm điểm dừng trong miền D :

Ví dụ : Tìm GTLN, GTNN của hàm f(x,y) = x2+y2 trên miền

Giải:

Trước tiên, ta xác định miền D là phần hình trịn nằm trên đường thẳng

I(1,2) B(0,4)

A(2,0

)

Ta KHÔNG nhận điểm này vì nó nằm ngồi của miền D 1.9. Cực trị hàm hai biến – GTLN GTNN (Tự đọc)

</div>Trang 65<div class="page_container" data-page="65">

2. Tìm điểm dừng trên biên của D gồm 2 đường : đoạn thẳng AB và nửa trên đường tròn ACB.

Trên đoạn thẳng, ta có điều kiện: 2x+y = 4 ↔ y = -2x+4 ,

A(2,0)

1.9. Cực trị hàm hai biến – GTLN GTNN (Tự đọc)

  

  

</div>Trang 66<div class="page_container" data-page="66">

M1 I(1,2)

B(0,4)

A(2,0) M2

Cuối cùng, ta tính giá trị f tại 2 điểm đặc biệt (giao của đt và đường tròn) và tại 2 điểm dừng

f(M1) = 80/25, f(M2) = 20, f(A) = 4, f(B) = 16

và so sánh để được

fmax=f(2,4)=20, fmin = f(8/5,4/5) = 80/25

1.9. Cực trị hàm hai biến – GTLN GTNN (Tự đọc)

</div>Trang 67<div class="page_container" data-page="67">

Bài tập tham khảo I. Tìm cực trị các hàm sau

442222

</div>Trang 68<div class="page_container" data-page="68">

Bài tập tham khảo

II. Tìm cực trị các hàm sau với điều kiện tương ứng

</div>Trang 69<div class="page_container" data-page="69">

Bài tập tham khảo

III. Tìm GTLN, GTNN các hàm sau trong miền tương ứng

</div>

Tích Phân: Chương 1 Phần 2

<i><sup>| k | c</sup></i>

<i>Ví dụ: Nhận dạng và vẽ các mặt bậc 2 sau: </i>

<i>r</i>0,<i>M d M M</i>,,

r : ( , )<i>f x yf x y</i>(

,

)

<i>f x yx yf</i>

<i>xy</i>

)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về