CHUỖI LŨY THỪA

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>CHUỖI LŨY THỪA</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

ĐỊNH NGHĨA

<i>a X</i>

<small>=</small>

Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số cĩ dạng:

() ,

<i>ⁿ</i>

Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp:

<small>0</small>

:()

<i><small>n</small></i>

hội tụ

Khơng mất tính tổng quát ta chỉ xét

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Nếu hội tụ tại thì hội tu tuyệt đối trong

<i>a x</i>

−

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Chứng minh định lý

<small>0</small>

0lim

<small>0</small>

0Nếuhội tụ tại thì

<i><small>n</small></i>

<i>a xx</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Số sao chohội tụ trong

và phân kỳ bên ngoài gọi là bán kính

>0

hội tụ của chuỗi.

(

−<i>R R</i>,

)

gọi là khoảng hội tụ của chuỗi.

Vậy nếu đã biết BKHT thì miền hội tụ của chuỗi chỉ cần xét thêm tại <i>R</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Trường hợp chuỗi tổng quát

và phân kỳ bên ngoài gọi là bán kính hội tụ của chuỗi.

Khoảng hội tụ: (<i>x</i>

₀

−<i>R x</i>,

₀

+<i>R</i>)

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Cách tìm bán kính hội tụ

<small>1</small>lim <i>ⁿ</i>

0, 1

= +

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

<i>2. Trường hợp R = 0 hay R = , khơng được gọi là bán </i>

kính hội tụ nhưng có thể gọi tạm cho dễ sử dụng.

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

( !)(2 )!

2 / Tìm bán kính hội tụ:

<i><small>nn</small></i>

3 / Tìm miền hội tụ

<i>ⁿ</i>



</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

1: chuỗi trở thành phân kỳ

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

( !)(2 )!

2 / Tìm bán kính hội tụ:

<i><small>nn</small></i>

(2 )!

++

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

3 / Tìm miền hội tụ

<i>_nⁿ</i>

12

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

<i><small>nn</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

⁽_{( ) (}⁾)

<small>10</small>

<small>− +</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

Hướng dẫn

( )

<i><small>nn</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

<small>→</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

( )

<small>11</small>

<i>xd</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">



ln8 8 3

<i><small>nn</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

<small>− +</small>

3lim1

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

2. Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau:

( )

−

− 

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

<i>R =</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Chuỗi đan dấu với

Chuỗi ht theo tc Leibnitz.

<i>MHTD = −</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

+

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

<small>=</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

3 .

<i>R =</i>

<i>x = −</i>

<small>=</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

<i>x =</i>

  

<small>21</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

()( )

<small>21</small>

+ 

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

* Tìm tất cả các số thực x để

( )

<small>1 (3)115</small>

<small>= −</small>



</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

Tính chất của chuỗi lũy thừa

  −



</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

Chú ý

1. Chuỗi lũy thừa liên tục trên miền xác định

2. Trong khoảng hội tụ, đạo hàm (tích phân)của tổng chuỗi bằng chuỗi đạo hàm (tíchphân) tương ứng.

3. Bán kính hội tụ của chuỗi đạo hàm và chuỗitích phân bằng BKHT của chuỗi ban đầu.

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

<small>11</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

−

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

( )

4 3( )

3 / T

<i>nS xnx</i>

<i><small>nn</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

CHUỖI TAYLOR

<i>Cho hàm f khả vi vơ hạn trong lân cận x</i>₀

khi đó, chuỗi Taylor của f trong lân cận này là

<small>( )</small>

<i>xxn</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 41</span><div class="page_container" data-page="41">

Yêu cầu của 1 bài khai triển chuỗi

1. Vận dụng được chuỗi Maclaurin cơ bản .2. Viết được dạng chuỗi lũy thừa theo <i>(x-x</i>₀)<i><small>n</small></i>

với hàm f cho trước.

3. Chỉ ra miền hội tụ của chuỗi tìm được,

đó chính là miền mà hàm f được khai triểnthành chuỗi Taylor.

</div><span class="text_page_counter">Trang 42</span><div class="page_container" data-page="42">

Chuỗi Maclaurin cơ bản

<i><small>n nn</small></i>

(

1,1

)

<i>D = −</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 43</span><div class="page_container" data-page="43">

ln(1 ) ,

( ) ( )( ) ( )



</div><span class="text_page_counter">Trang 44</span><div class="page_container" data-page="44">

<i>Xn</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 45</span><div class="page_container" data-page="45">

<i>Xf x</i>

<i>x −  −</i>

với

</div><span class="text_page_counter">Trang 46</span><div class="page_container" data-page="46">

−= +

<i><small>nn</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 47</span><div class="page_container" data-page="47">

( )

1

<i>f x =</i>

<i>x </i>

Miền khai triển:

</div><span class="text_page_counter">Trang 48</span><div class="page_container" data-page="48">

( )( 1)

(2 )( 1)

<small>−=</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 49</span><div class="page_container" data-page="49">

<small>=</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 50</span><div class="page_container" data-page="50">

3 /Tìm chuỗi Maclaurin :( )

<i><small>x</small></i>

(1)

<i>f x</i>=<i>e</i>

<small>−</small>

+<i>x</i>

( )( ) (1 )

</div><span class="text_page_counter">Trang 51</span><div class="page_container" data-page="51">

( 1) ( 1)1

<i>n xn</i>

−

</div><span class="text_page_counter">Trang 52</span><div class="page_container" data-page="52">

+ −=

<small>12</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 53</span><div class="page_container" data-page="53">

<i>n n</i>

<small>=</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 54</span><div class="page_container" data-page="54">

Các ví dụ về tính tổng

1 / 31

−

</div><span class="text_page_counter">Trang 55</span><div class="page_container" data-page="55">

<i><small>nn</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 56</span><div class="page_container" data-page="56">

( 3.5

<i>n n</i>

<small>=</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 57</span><div class="page_container" data-page="57">

<small>−=</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 58</span><div class="page_container" data-page="58">

<small>−=</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 59</span><div class="page_container" data-page="59">

3. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số sau:

<i>xbf x</i>

+

</div><span class="text_page_counter">Trang 60</span><div class="page_container" data-page="60">

<i>xn</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 62</span><div class="page_container" data-page="62">

<small>−</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 63</span><div class="page_container" data-page="63">

4. Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau:

</div><span class="text_page_counter">Trang 64</span><div class="page_container" data-page="64">

4. Tính tổng của các chuỗi lũy thừa sau:

()

<small>11</small>

<i>n xn</i>

+



</div><span class="text_page_counter">Trang 65</span><div class="page_container" data-page="65">

4. Tính tổng của các chuỗi số sau:

( )

− 

</div><span class="text_page_counter">Trang 67</span><div class="page_container" data-page="67">

<small>( )</small>

(), ()()

 

=

</div>