Tích phân bội

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

Phép đổi biến số trong tích phân bội ba

1Tích phân bội ba

Định nghĩaĐịnh lý FubiniỨng dụng

2Phép đổi biến số trong tích phân bội ba

Phép đổi biến số tổng quátPhép đổi biến tọa độ trụPhép đổi biến tọa độ cầu

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

j =1n

f (x_ijk^∗, y_ijk^∗, z_ijk^∗)∆x ∆y ∆z,

nếu giới hạn ở vế phải tồn tại, trong đó mỗi (x_ijk^∗, y_ijk^∗, z_ijk^∗) là

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Z Z Z

f (x , y , z)dxdydz =Z Z

^Zu

2

(x ,y )u

1

(x ,y )

f (x , y , z)dz^dxdy .

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Z Z Z

f (x , y , z)dxdydz =Z Z

^Zu

2

(y ,z)u

1

(y ,z)

f (x , y , z)dx^dydz.

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Z Z Z

f (x , y , z)dxdydz =Z Z

^Zu

2

(x ,z)u

1

(x ,z)

f (x , y , z)dy^dxdz.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Tích phân bội ba

Phép đổi biến số trong tích phân bội ba ^{Định lý Fubini}Ứng dụng

Ứng dụng tính thể tích của vật thể

Nếu ta tích phân hàm hằng f (x , y , z) = 1 trên khối bị chặn E , thìta thu được thể tích của khối E , tức là

V (E ) =Z Z Z

1dxdydz.

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Ứng dụng tính khối lượng của vật thể

Xét một vật thể chiếm một khối E trong khơng gian Oxyz vàmật độ (density) của nó tại điểm (x , y , z) được cho bởiρ(x , y , z), trong đó ρ là một hàm liên tục trên E .

Khi đó, khối lượng (mass) của vật thể này là

m =Z Z Z

ρ(x , y , z)dxdydz.

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Tích phân bội ba

Phép đổi biến số trong tích phân bội ba ^{Phép đổi biến tọa độ trụ}

Phép đổi biến tọa độ cầu

Xét phép biến đổi T (transformation) từ không gian Ouvwsang không gian Oxyz định bởi các phương trình:

x = x (u, v , w ),y = y (u, v , w ),z = z(u, v , w )

Jacobi của phép biến đổi T được định nghĩa bởi:

J =

∂z∂w

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Với các giả thiết tương tự như trong cơng thức đổi biến cho tíchphân kép, ta có cơng thức đổi biến tổng qt cho tích phân bội ba

Z Z Z

f (x , y , z)dxdydz

=Z Z Z

f (x (u, v , w ), y (u, v , w ), z(u, v , w ))|J|dudvdw

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Tích phân bội ba

Phép đổi biến số trong tích phân bội ba ^{Phép đổi biến tọa độ trụ}

Phép đổi biến tọa độ cầu

Tọa độ trụ (r , ϕ, z) (cylindrical coordinates) của điểm P liên hệvới tọa độ Descartes (x , y , z) của nó bởi các cơng thức sau:

r =^px2+ y2,x = r cos ϕ,y = r sin ϕ,z = z

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Ví dụ

Hãy vẽ điểm có tọa độ trụ là (2, 2π/3, 1) và tìm tọa độ Descartescủa nó.

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Tích phân bội ba

Phép đổi biến số trong tích phân bội ba ^{Phép đổi biến tọa độ trụ}

Phép đổi biến tọa độ cầu

Xét phép đổi biến tọa độ trụ:

x = r cos ϕ,y = r sin ϕ,z = z

Jacobi của nó là

J =

cos ϕ−r sin ϕ 0sin ϕr cos ϕ0

f (r cos ϕ, r sin ϕ, z)rdrd ϕdz

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

x = ρ sin θ cos ϕ,y = ρ sin θ sin ϕ

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Ví dụ

Hãy vẽ điểm có tọa độ cầu là (2, π/4, π/3) và tìm tọa độDescartes của nó.

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Tích phân bội ba

Phép đổi biến số trong tích phân bội ba ^{Phép đổi biến tọa độ trụ}Phép đổi biến tọa độ cầu

Xét phép đổi biến tọa độ cầu:

x = ρ sin θ cos ϕ,y = ρ sin θ sin ϕ,z = ρ cos θ

Jacobi của nó là

J =

sin θ cos ϕ−ρ sin θ sin ϕ ρ cos θ cos ϕsin θ sin ϕρ sin θ cos ϕρ cos θ sin ϕ

f (ρ sin θ cos ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cos θ)ρ²sin θd ρd ϕd θ

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Ví dụ

Tính tích phân bội baZ Z Z

trong đó B là khối cầu đơn vị:

B =ⁿ(x , y , z)|x²+ y²+ z²≤ 1^o.

</div>