báo cáo bài tập lớn giải tích 2 đề tài 2 ứng dụng hình học của các loại tích phân

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA</b>

<b>BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2</b>

<b>Đề tài 2</b>

<b>“Ứng Dụng Hình Học Của Các Loại Tích Phân”</b>

<b>Giảng viên hướng dẫn: Đồn Thị Thanh XnSinh viên thực hiệnMã Số Sinh Viên</b>

Lê Minh Quân Lê Trần Bảo VyNguyễn Đức KhoaNguyễn Quang ThiệnNguyễn Tăng VũTrần Tuấn KhôiTrương Đại PhongVõ Ngọc Thùy Trang

<i>Thành phố Hồ Chí Minh, tháng …, năm …</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<b>MSSVTên Thành ViênNhiệm Vụ2313245</b>

<b>Nguyễn Quang ThiệnTrương Đại Phong</b>

<b>Diện tích thành hồ + tổng hợp word</b>

<b>Nguyễn Tăng VũNguyễn Đức Khoa</b>

<b>Thể tích lịng hồ + thiếtkế và 3D</b>

<b>Võ Ngọc Thùy TrangLê Trần Bảo Vy</b>

<b>Chiều dài thành hồ + tổng hợp PPT</b>

<b>Lê Minh QnTrần Tuấn Khơi</b>

<b>Diện tích đáy hồ + thuyết trình</b>

<i><b>Bảng phân cơng nhiệm vụ</b></i>

<b>MỤC LỤC </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<b> Thành viên tham gia...2</b>

<b> Lời nói đầu...4</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<i><b>LỜI NÓI ĐẦU </b></i>

Lời đầu tiên, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TrườngĐại học Bách Khoa – ĐHQG TP.HCM đã đưa mơn Giải Tích 2 vàochương trình giảng dạy. Đặc biệt, chúng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắcđến giảng viên bộ mơn là cơ Đồn Thị Thanh Xuân đã giảng dạy, truyềnđạt cho chúng em những kiến thức quý báu trong những ngày qua.Trong suốt thời gian tham gia lớp học của cô, chúng em tự thấy bản thânmình tư duy hơn, học tập càng thêm nghiêm túc và hiệu quả. Đây chắcchắn là những tri thức quý báu, là hành trang cần thiết cho chúng em saunày.

Qua việc thực hiện bài báo cáo này, nhóm chúng em đã biết thêmrất nhiều kiến thức mới lạ và bổ ích. Do vốn kiến thức của chúng emvẫn còn hạn chế nên mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng chắc chắn khótránh khỏi những thiếu sót. Kính mong cơ xem xét, góp ý để bài báo cáocủa chúng em được hoàn thiện hơn.

Chúng em xin chân thành cảm ơn!

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<i><b>Đề tài: Thiết kế một hồ nước với các yêu cầu sau:</b></i>

 Mặt hồ nằm trên mặt phẳng Oxy, đáy hồ nằm trên mặt cong z = f(x, y) (không phải một mặt phẳng, có thể ghép từ nhiều mặt phẳng hoặc mặt cong).

 Thành hồ song song trục Oz. Phần biên phía trên thành hồ được ghép từ các phần đường cong F(x, y) = 0. Số đoạn thẳng không quá ¹₃số đoạn ghép.

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<b>A. Lý thuyết</b>

<b>I.Tính chiều dài thành hồ</b>

<b> 1. Tên tích phân: Tích phân đường loại 11.1. Định nghĩa</b>

f = f(x, y) xác định trên đường cong C.

<i>Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm A0, A ,..., A₁,..., A<small>n</small>.Độ dài tương ứng L1, L<small>2</small>,..., L<small>n</small>.</i>

Trên mỗi cung A<small>i</small>A<small>i+1 </small><i>lấy tuỳ ý một điểm Mi(xi, yi).</i>

Lập tổng Riemann:

I<small>n</small> =

∑

được gọi là tích phân đường loại một của f=f(x,y) trên cung C.

<b>1.2. Yêu cầu về hàm vector dưới dấu tích phân:</b>

● Tính độ dài của các đoạn cong <i>f (x , y )=0</i> trên mặt cong <i>z=f (x , y )</i>.

● Hàm vector là <i>r (t )=( x , y (x), 0)</i>, với <i>x</i> là biến cộng tuyến, <i>y (x )</i> là hàm số đã cho và 0 là hệ số của thành phần trong khơng gian ba chiều.

<b>Miền lấy tích phân: miền lấy tích phân là đoạn [a,b] trên trục </b><i>x</i>, nơi đường cong

<i>y (x )</i> nằm.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

● Cơng thức tích phân đường sẽ được áp dụng: <i>l=</i>

∫

√

<i>1+ y^'2</i>(<i>x)dx</i>

● Trong đó:

- y’ là đạo hàm của hàm số y theo x.

- <i>dx</i> biểu thị cho biến cộng tuyến x trên đoạn [a,b].

● <i>^{f x y}</i>^{( , )}là hàm số khả tích trên đường cong C

● Miền lấy tích phân D là miền đóng và bị chặn trong mặt phẳng Oxy

<b> 1.2. Công thức sử dụng:</b>

Giả sử C là đường cong phẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy, f là hàm số 2 biến xvà y, nhận giá trị khơng âm, diện tích miền thẳng đứng giới hạn bởi C và đường congkhông gian xác định như sau:

Nếu cung <i><small>C</small></i>^ được cho bởi phương trình:

( )

<i>yy xa x b</i>

∫

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

<i>f (M_i</i>)<i>∆ S_i</i>

<i><b>được gọi là tổng tích phân của </b>f (x , y ) trên miền D. </i>

Tích phân bội hai của hàm số <i>f (x , y ) trên miền D là </i>

nếu giới hạn này tồn tại. Lúc này <i>f (x , y ) được gọi là hàm khả tích trên D. </i>

<b> 1.2. Yêu cầu. </b>

● <i>f (x , y )</i> là hàm số hai biến khả tích.

<i> ● Miền lấy tích phân D là miền đóng và bị chặn trong mặt phẳng Oxy. ● Thể tích vật thể được giới hạn trên bởi mặt cong z=f</i><small>2</small>(<i>x , y )</i>, giới hạn dưới bởi mặt cong <i>z=f</i>₁(<i>x , y ), giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song trục Oz,tựa trên biên miền D được tính theo cơng thức </i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<b> </b>

<b>2. Tích phân bội ba. 2.1. Định nghĩa. </b>

Cho hàm số <i>f (x , y , z)</i> xác định trên trên miền đóng, bị chặn Ω trong không gian

<i>Oxyz. Chia Ω thành n phần tùy ý khơng dẫm lên nhau, thể tích mỗi phần là ∆ V_i</i>

(<i>i= ´1 ;n)</i>. Trong mỗi <i>∆ V_i</i> ta lấy điểm <i>P_i</i> tùy ý. Lập tổng tích phân:

<i>f (P_i</i>)<i>∆ V_i</i>

Ký hiệu <i>d_i</i> là đường kính của <i>∆ V_i</i>. Tích phân bội ba của hàm số <i>f (x , y , z)</i> trên miền Ω là

nếu giới hạn này tồn tại. Lúc này <i>f (x , y , z)</i> được gọi là hàm khả tích trên Ω.

<b> 2.2. Yêu cầu. </b>

● <i>f (x , y , z)</i> là hàm ba biến khả tích trên Ω.

<i>● Miền lấy tích phân Ω là miền đóng và bị chặn trong Oxyz. </i>

● Thể tích vật thể Ω được tính theo cơng thức:

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<b>IV.TÍNH DIỆN TÍCH ĐÁY HỒ</b>

<b> </b>

<b>1. Tên tích phân</b>

<b>: Tích phân mặt loại 1 </b>

<b>1.1. Định nghĩa: </b>

Cho hàm số f(x,y,z) được xác định trên mặt cong S khơng đồng nhất, khi đó ta chia nhỏ mặt cong S thành n phần <i>∆ S_p</i> (với p = 1,2,…,n) sao cho chúng đồng nhất, lấy điểm

<i>M_p</i> bất kỳ thuộc phần diện tích <i>∆ S_i</i>. Khi đó ta lập được tổng tích phân:

<i>f (M_p</i>)<i>∆ S_p</i>

Nếu <i>_{n → ∞}</i>^lim <i>^I<small>n</small></i>= lim

<i><small>n → ∞</small></i>

∑

<i>f (M_p</i>)<i>∆ S_p</i> tồn tại hữu hạn thì I là tích phân mặt loại 1: I =

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<b>B. Bài toán</b>

<i><b>Đề tài: Thiết kế một hồ nước với các yêu cầu sau:</b></i>

Mặt hồ nằm trên mặt phẳng Oxy, đáy hồ nằm trên mặt cong z = f(x, y) (khơng phải một mặt phẳng, có thể ghép từ nhiều mặt phẳng hoặc mặt cong).Thành hồ song song trục Oz. Phần biên phía trên thành hồ được ghép từ các

phần đường cong F(x, y) = 0. Số đoạn thẳng không quá

¹₃

số đoạn ghép.

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Dựa vào cơng thức tích phân

<i>l=</i>

∫

√

<i>1+ y^'2</i>(<i>x)dx</i>

, ta có thể tính được độ dài thành hồ.

√

<i>1+ y^'2</i>(<i>x)dxl=</i>

∫

(

25

√

<i>^{3 x}</i>1− <i>^x</i>²

<small>2</small><i>t dt</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Chiều dài thành hồ:

<i>l ≈ 25.527</i>

(m)

2. Thể tích lịng hồ.

<i>Hình 2. Mơ phỏng tồn bộ hồ nước.</i>

Khi đó thể tích lịng hồ được tính bởi cơng thức: ∭

<i>1. dxdydz=</i>

∬

<i><small>D</small></i>

[∫

<small>+</small><i><small>y</small></i><small>2]−30</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

<i><small>2 π</small></i>

(

⁻³⁹³20 ⁺<i>^{2 cosφ+}</i>6

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

<i>Hình 3. Mơ Phỏng Thành Hồ.</i>

Dựa vào tích phân đường loại 1 ta có:

<i>l=</i>

∫

( 125<i>^{( x+1)}</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

<small>2</small><i>t dt</i>

|

<i>≈ 7 7.44</i>¿

)Vậy diện tích thành hồ là: 77.44

¿

)

9 ⁼¹<i>⇒ y=±</i>

√

9− ⁹25<i>^x</i>

<i>⇒−</i>

√

9− ⁹25<i>^x</i>

<i>≤ y ≤</i>

√

9− ⁹25<i>^x</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

   

¿

√

1+ ⁴

[

(<i>x+1 )</i>²+<i>y</i><small>2</small>

]

<i>dxdy</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Chiếu mặt cong xuống mặt phẳng Oxy, ta có: {

−

√

9− ⁹^{−5 ≤ x ≤ 5}25<i>^x</i>

<small>2</small><i>≤ y ≤</i>

√

9− ⁹25<i>^x</i>

<i>⇒ I=</i>

∫

<i>dx</i>

∫

<small>−</small>

√

<small>9− 925</small><i>^x</i>

√

<small>9− 925</small><i>^x</i>

<i>dx</i>

[

100¹

(

<i>2 y</i>

√

<i>4 x</i>²+<i>8 x+4 y</i>²+629+

(

<i>4 x</i>²+<i>8 x +629</i>

)

log

(√

<i>4 x</i>²+<i>8 x +4 y</i>²+629+2 y

))]|√

9− ⁹25<i>^x</i>

−

√

9− ⁹25<i>^x</i>

100

(

2

√

9− ⁹25<i>^x</i>

√

<i>4 x</i>²+<i>8 x +4</i>

(

9− ⁹25<i>^x</i>

)

+629+

(

<i>4 x</i>²+8 x +629

)

log

(√

<i>4 x</i>²+<i>8 x +4</i>

(

9− ⁹25<i>^x</i>

)

+629+2

(√

9− ⁹25<i>^x</i>

)))

− 1

100

(

−2

√

9− ⁹25<i>^x</i>

√

<i>4 x</i>²+<i>8 x +4</i>

(

9− ⁹25<i>^x</i>

)

+629−

(

<i>4 x</i>²+<i>8 x +629</i>

)

log

(√

<i>4 x</i>²+8 x+4

(

9− ⁹25<i>^x</i>

)

+629−2

(√

9− ⁹25<i>^x</i>

</div>