Luận án tiến sĩ toán học: Phép lặp ẩn và điểm bất động của ánh xạ hai biến

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (31.31 MB, 123 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

ĐẠT HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠT HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRAN QUỐC BÌNH

PHÉP LẶP AN VÀ ĐIỂM BAT ĐỘNGCỦA ÁNH XẠ HAI BIẾN

Chuyên ngành: Toán Giai tíchMã số: 1.01.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐ BOC aude Gia HÀ NỘITRUNG TÂM THONG TÌN THU VIỆt

Người hướng dẫn khoa học:

1. GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh

2. GS. TSKH. Đỗ Công Khanh

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

MỤC LỤC

Mở đầu 4

Chương 1. Điểm bat động của ánh xạ co suy rộng 16

1.1. Các định ly Krasnoselskii, Browder, Boyd-Wong,

Meir-Keeler suy rong 16

1.2. Định lý Frum-Ketkov mở rộng 24

1.3. Một số ví dụ về phép lặp ẩn 30

Kết luận Chương | 33

Chương 2. Điểm bất động của ánh xạ không giãn suy rộng 35

2.1. Ánh xạ không giãn suy rộng trên tập compac 35

2.2. Ánh xạ không giãn thoả mãn điều kiện dang nén và nén yếu 40

2.2.1. Ánh xạ không giãn và nén 402.2.2. Ánh xạ không giãn và nén yếu 45

2.2.3. Ứng dụng 31

2.3. Các định lý kiểu Krasnoselskii, Browder, Boyd-Wong về ánh

xa không giãn suy rộng nhổ

2.4. Các định lý B. E. Rhoades và C. S. Wong mở rộng 62

Kết luận Chương 2 67

Chương 3. Điểm bất động của ánh xạ tựa không giãn 68

3.1. Sự hội tụ mạnh của phép lặp ẩn tới điểm bất động 68

3.2. Sự hội tụ yếu của phép lặp ẩn tới điểm bất động T1

Dent ma sơng trình của tác gic INS

AGE ccít tri tdi ?vti:? ¡ẻjt

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động được phát triển mạnh trong 4 thập ky cuối và đã

tìm thấy nhiều ứng dụng trong những lĩnh vực khác nhau của toán học. Những

hướng lớn trong lý thuyết điểm bất động, mà luận án đề cập đến, là lý thuyết

ánh xa co, lý thuyết ánh xạ không giãn, ánh xạ nén,...

Từ những năm 60, nhiều nhà toán học đã mở rộng nguyên lý ánh xạ co

Banach bằng cách đưa ra những khái niệm ánh xạ co mới. Trong số đó có thể

kể tới các kết quả của M. A. Krasnoselskii [78], J. Caristi, M. Edelstein [24], R.

Kannan [38], D. Boyd-J. Wong [8], A. Meir-E. Keeler [49], L. Ciri¢, S. Nadler

[50].... Ngồi ra cịn nhiều dang ánh xạ co khác, một phan trong số đó được

liệt kê và so sánh trong một bài báo của B. E. Rhoades [60].

Trong những năm tiếp theo, nhiều dạng ánh xạ co được mở rộng thành các

ánh xa co suy rộng. Chang han dạng co Boyd-Wong d(Tz,Ty) < a(r)d(z, y) được

mở rộng như sau:

d(T+, Tụ) < a(r) max{d(z, y),d(z,Tz), d(ụ, Ty),

sld(z,Ty) + d(y,T2)]},

ở đây r = d(x, y), a: (0,00) + [0,1) là hàm nửa liên tục trên từ phải.

Các kết quả về điểm bất động chung cho cặp ánh xa, cho họ ánh xa, co cũng

như không giãn, cũng được nghiên cứu nhiều. Các tác giả quen biết trong lĩnh

vực này có thể kể tới G. Jungck [37], B. Fisher, S. S. Chang [14], K. M. Das

va K. V. Naik [17]... Ánh xa đa trị, co và không giãn, cũng được nhiều người

nghiên cứu. Các cơng trình về điểm bất động cho ánh xạ co vẫn được tiếp tục

công bố cho đến ngày hôm nay [44, 48, 56].

Mot phương pháp thường được sử dung trong các định lý về ánh xạ co là

chứng minh sự hội tụ của phép lặp {7”zo}, zo € X bất kỳ, và chứng tỏ giới hạn

(hay điểm tụ) của dãy trên là điểm bất động duy nhất của ánh xạ.

Khi mở rộng một số kết quả về ánh xạ co cho ánh xạ 2 biến, chúng tôi đã

sử dụng một cách tiếp cận khác để chỉ ra sự tồn tại điểm bất động, đó là sử

dụng phép lặp ẩn

In = T(T„,#a—1) (0.1)

Với các điều kiện co suy rộng 2 biến, chúng tôi chi ra phép lặp ẩn (0.1) xác

định, hội tụ. và giới hạn của nó là điểm bất động của 7, tức là z = 7(z,z). Trong

Chươrø 1, các định lý Erasneselek1t, Browler, Bwd Wen, Meir Kacler sể ánh

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

Cuối Chương | chúng tơi đưa ra một số ví dụ trong các khơng gian lp,

1< p< œ, va C(—s,œ), ở đó phép lặp (0.1) hội tụ tới điểm bất động nhưng

phép lap Picard z„ = 7T(+z„-¡,z„-_¡) không hội tu.

Cũng trong chương này cịn có một bổ để mở rộng định lý Frum-Ketkov

và các kết quả liên quan đến sự hội tụ của phép lặp và phép lặp ẩn tới điểm

bất động của ánh xạ tựa không giãn thoả mãn điều kiện co dạng Frum-Ketkov.

Chúng tôi xin nhắc lại định lý Frum-Ketkov [52], [85]:

Cho D là tập lơi đóng trong khơng gian Banach X và T: D> D là ánh xaliên tục. Giả sử tồn tại tập compac KC X sao cho

d(T+,K) < kd(x,K) Wr € D,

ở đây 0< k< 1, d(y,K) là khoảng cách từ điểm ụ đến tập K. Khi đó T có điểm

bất động.

Lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn được mở đầu bằng 3 cơng

trình của E. E. Browder [9], D. Gøhde và W. A. Kirk [40] vào cùng năm 1965.

Không chỉ quan tâm đến sự tồn tại điểm bất động, người ta còn nghiên cứu

nhiều tính chất khác của ánh xa khơng giãn, như tinh chính qui tiệm cận, ngun

lý bán đóng (demiclosedness principle), sự hội tụ mạnh, sự hội tụ yếu, tính chất

của tập điểm bất động,... Các kết quả về ánh xạ không giãn thường gắn liền

với các tính chất hình học của không gian Banach. Và cả hai hướng nghiên cứu

này đều phát triển phong phú.

Một số nhà tốn học cịn nghiên cứu về ánh xạ không giãn suy rộng như R.

Kannan [39], C. S. Wong [69], D. Roux và P. Soardi [61], S. Reich,... Khi mở

rộng điều kiện co của ánh xạ một biến thành điều kiện không giãn suy rộng

của ánh xạ hai biến, bằng cách sử dụng phép lặp ẩn chúng tơi đã thu được mộtsố kết quả. Đó là các định lý kiểu Krasnoselskii, Browder, Boyd-Wong, B. E.

Rhoades và C. S. Wong về ánh xạ không giãn suy rộng. Với những điều kiện

không giãn suy rộng này, ta không thể khẳng định sự hội tụ của phép lặp thông

thường {7”zo}. Như vậy sự tồn tại cũng như sự hội tụ của phép lặp tới điểm

bất động không được khẳng định bằng cách tiếp cận cũ. Trong khi đó phép lặp

(0.1) lại hội tụ. Các kết quả này còn chứng tỏ sự khác nhau giữa ánh xạ một

biến và ánh xa hai biến, và được trình bày trong Chương 2.

Cũng trong Chương 2 cịn trình bày một số kết quả về ánh xạ không giãn thoảmãn thêm điều kiện dang ”nén” hoặc ”w-nén” (condensing hoặc w-condensing),

trong đó khẳng định sự tồn tại điểm bất động và sự hội tụ của phép lặp ẩn, khiphép lặp thơng thường có thể không hội tụ. Định lý 2.2.3 (hương 2) đã được

E.:K. Gaetd chuvéa esa Ðn,ø nh vue chị Tú ost done. a ` rene erone :4)

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

Các kết quả cho ánh xạ không giãn và nén một biến được nghiên cứu bởi

nhiều tác giả. Để có sự hội tụ mạnh của phép lặp tới điểm bất động của ánh

xa không giãn 7, M. A. Krasnoselskii [77] đã dé xuất phép lap {7?(z)}, ở đây

Ti(x) = 3(z + 7z), và chứng tỏ {7?(z)} hội tụ tới điểm bất động của ánh xa

compac 7 trong không gian Banach lồi đều. M. Edelstein chỉ ra rằng phép lặp

Krasnoselskii hội tu trong không gian Banach lồi ngặt. W. V. Petryshyn [55]chứng minh sự hội tụ của {7?(z)}, ở đây 7ạ(z) = Ax + (1— A)Tz, cho ánh xạ 7nén và không giãn trong không gian lồi ngặt. Từ kết quả của Ishikawa [34],

điều kiện lồi ngặt của X trong các kết quả trên của Edelstein và Petryshyn có

thể bỏ được. L. Janos [36] chứng minh sự hội tụ của {7z} cho ánh xạ 7 nén

và co dang Kannan. Z. -Q. Liu [47] khảo sát sự hội tụ của {7z} cho ánh xạ 7

nén và co dạng Edelstein suy rộng.

Ánh xạ nén với độ đo không compac Kuratowski và Hausdorff, cùng các

định lý về điểm bất động của ánh xạ nén của G. Darbo [16], B. N. Sadovskii

[82], M. Furi và A. Vignoli [28] đã trở nên quen thuộc. Nam 1997, W. A. Kirk

và S. S. Shin [43] phát biểu định lý về ánh xa nén trong không gian mertric siêu

lồi (hyperconvex spaces).

Ánh xạ w-nén là ánh xa nén trong tôpô yếu của không gian Banach, với khái

niệm độ đo không compac yếu œ(.) do De Blasi [18] đưa ra năm 1977. Độ do

w(U) = 0 khi và chỉ khi U compac yếu tương đối; ăä(B) = 1 khi X không phanxạ, ở đây là hình cầu đơn vị đóng trong X. G. Emmanuele [26] thiết lập định

lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ 7 liên tục yếu và w-nén, ở đây 7 thoả

mãn w(T(U)) < Aw(U), 0< A < 1, hay œ(7(U)) < ø(U), mỗi khi œ(U) >0,UC D.

Trong Chương 2 chúng tơi cịn đưa ra một ứng dụng của phép lặp ẩn đối vớiánh xạ nén cho phương trình tích phân với tham số bé:

và các dạng cải biên của nó, ở đây T¡(z,y) = T(z,y),Ti(z,y) = T(z,T:-1(2, y)),

¡ =2,3,...k; với 7 là ánh xạ tựa không giãn.

Sự hội tụ mạnh của phép lặp sau

wd

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

đã được xét tới bởi N. S. Kurpel [79] và P. K. Anh [73]. Dé mở rộng điều kiện

tue khơng giãn trong cơng trình của P. K. Anh chúng tôi đã hiệu chỉnh phép lap

(0.3) thành phép lặp (0.2) và thu được sự hội tụ của phép lặp (0.2) tới điểm bất

Un = U(un + Un), Un = SE(Un + Un-1), (0.4)

ở cây Si(u,v) = S(utv), Si(u, v) = S[u + S;_1(u, v)],i = 2,3,...,k. Các điều kiện đủ

để (0.4) hội tụ tới nghiệm z = u+v của z = 7z được thiết lập trong [79].

Anh xạ tựa không giãn một biến được nghiên cứu bởi J. B. Diaz và F. T.

Metcalf [20], [21], W. G. Dotson [22], W. V. Petryshyn và T. E. Williamson

Sự hội tụ yếu của dãy lặp đến điểm bất động của ánh xạ không giãn được

nhều người nghiên cứu. Gọi D là tập lồi đóng bị chặn thuộc khơng gian BanachX,T:D— D là ánh xa không giãn. Năm 1967 Z. Opial [53] chứng minh rằng

mết X là khơng gian Banach lồi đều có ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu thì {7?(z)}

hộ tụ yếu đến điểm bất động của 7. Không gian Hilbert và I„,1 < p < , là

nhíng khơng gian lồi đều có ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu. M. Edelstein và

R.C. O’Brien [25] chứng minh rằng nếu D lồi, compac yếu và X là không

giai Banach bất kỳ thoả mãn điều kiện Opial (Định nghĩa 2.2.7, Chương 2) thì

{7(œ)} hội tụ yếu đến điểm bất động của 7. Năm 1979 S. Reich [59] chứng

mình rằng dãy lặp khơng dừng {z„} xác định bởi

#n+ìi = (l— cn)Zn + cnTn, n = 0,1,2,...,

{ent C [0,1] với $2? oea(1 — cn) = +œ, hội tụ yếu đến điểm bất động của 7

troig không gian Banach lồi đều có chuẩn khả vi Fréchet (trong số đó có

Lil <p< œ).

!. B. Baillon khẳng định sự hội tụ yếu của dãy lặp Cesaro

Su(#) = 1s Tr

troig không gian Hilbert [71] (năm 1975) va L, [72] (năm 1978). Sau đó S.

Rech [59] và R. E. Bruck [13] chứng minh sự hội tụ yếu của s„(z) trong không

gian lồi đều có chuẩn khả vi Fréchet (nghĩa là cho cả !, ). N. Hirano [32] chứng

Toba ket qua của Hai Hộn: cho khéng cian lot deu thom man ciền kar rial

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Các kết qua đối với ánh xa không giãn tiệm cận cũng được công bố (ánh

xa 7: D + D được gọi là không giãn tiệm cận nếu tồn tại day {k,} + 1 sao

cho I|7”z - 7*®y|| < kallz — yll, Vz,y € D). N. Hirano và W. Takahashi [33, 64]

khẳng định sự hồi! tụ yếu của day lặp s„(z) đối với ánh xa không giãn tiệm cận

trong không gian Hilbert. K. -K. Tan và H. -K. Xu [68] chỉ ra sự hội tụ yếu

của dãy lặp s„(z) đối với ánh xạ không giãn tiệm cận trong không gian Banach

lồi đều thoả mãn điều kiện Opial (Tan và Xu khẳng định rằng sự hội tụ yếu của

15-77) Ti+kx tới điểm bất động là đều đối với k > 0).

Tt

W. V. Petryshyn và T. E. Williamson cũng dé cập tới sự hội tụ yếu của dãy

{T"z} và {7(z)} đối với ánh xa tựa không giãn. Trong Chương 3 chúng tôi đãphát triển các kết quả của Petryshyn và Williamson [55] cho ánh xa 2 biến.

Phỏng theo kết quả của P. K. Anh [74], trong Chương 4 chúng tơi đã nghiên

cứu mối liên hệ giữa tính ổn định, sự hội tụ địa phương và sự hội tụ toàn cụccủa phép lặp ẩn (0.1). Hai định lý đã chỉ ra: nếu phép lặp ẩn ổn định (hay

tựa ổn định) và hội tụ địa phương trong không gian metric liên thơng (hay liên

thơng đường), thì nó sẽ hội tụ toàn cục đến tập điểm bất động. Sử dụng cácđịnh lý đồng phôi H’adamard, một định lý khác được phát biểu, ở đó nêu một

điều kiện đủ để phép lặp ẩn hội tụ địa phương.

Chúng tôi cũng dé cập tới vấn dé ổn định số của phép lặp ẩn z„ = 7(#„,#a-)

trong Chương 4, và chỉ ra rằng trong các điều kiện của các định lý ở Chương

1 và Chương 2 phép lặp ẩn ổn định. Điều đó có nghĩa là: nếu xấp xi ban đầu

bị nhiễu nhỏ, tức là ||#o — zo|| < e với e cho trước, #„ và z„ là các nghiệm chính

xác của fp = 7(#a,#a-1) Va tn = T(#„,#a_¡) tương ứng, thi ||#„ — z„|| < € Vn.

Tuy nhiên, trên thực tế các nghiệm #„ = 7(Z„,#„_¡) thường chỉ có thể tìm

được một cách gần đúng, với Z„_¡ là giá trị xấp xi của #„_¡ = 7(#„-i,#„_a) Ở

bước trước. Gọi nghiệm xấp xi của z¡ = 7(z¡,zo) là Zị,..., của #„ = T(Zn,En-1)

là #„, n >2. Còn z„ xác định như trên. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng: hoặc tại bước

thứ n nào đó z„ là điểm bất động, với sai số đủ bé cho phép; hoặc phép lặp ổn

định, nghĩa là nếu ||# - z¡|| < En —In|| < e Vn. Điều này đúng với điều kiện

của hầu hết các định lý ở Chương | và Chương 2. Từ đó, gọi u là giới hạn của

day {z„} thì khi ø đủ lớn ||Z„ - ull < ||z„ — ull + Zn — tall < 3e. Điều này chứng

tỏ phép lặp ẩn không chi dùng để chi ra sự tồn tại, mà cịn có thé sử dụng như

một công cụ để xấp xi tới điểm bất động.

Tiếp theo chúng tơi xin được trình bày vài ứng dụng và ví dụ về phép lặp

ẩn, phương pháp gắn liền với nội dung luận án.

Tiền thân ‹ của phép lắp ẩn fa 1) ka phương pháp ”/rung bình lương sức” do

% i ` 3) CA g >"¬... as | rr oe

ññieU nha toan học quan tam va da tin thay nhieu img dung. Trong do có the

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

kể đến các ứng dụng trong việc giải phương trình tích phân Volterra, phương

trình tích phân và hệ phương trình tích phân phi tuyến. phương trình vi phan

dang parabolic, bài tốn Cơsi, bài tốn biên cho phương trình vi-tích phân phi

tuyến, bài tốn giá trị riêng,...V.V.

Chẳng hạn, trong [84] Sokolov đã áp dụng phương pháp của mình để giải

phương trình tích phân

U(z) = @(z) +f K(z,s)f[z,s, y(s)|ds (0.5)

mà trong quá trình giải thì phương trình (0.1) xuất hiện. Phuong pháp xấp xi

được xây dựng như sau:

n(a) = e(e) + [ KG@,s)f(e,s,an)ds, vole) =0

ở đây a, = } f2 i(z)dz, h=b—a>0. Khi đó a; được xác định từ

Nitty, = / az | K(z, s)[f(x, 8, Yn-1 + ơn) — f (2, 8, Yn—2 + On—1)] ds. (0.8)

Rõ ràng phương trình (0.8) có dạng (0.1). Sokolov đã dua ra những điều kiện

đủ để (0.6) va (0.8) có nghiệm duy nhất œ¿(k = 1,...,.n) trong các khoảng xác

định: và các điều kiện đủ khác để dãy lặp (0.7) hội tụ đến nghiệm của (0.5).

Cũng trong cơng trình trên, Sokolov cịn xét việc giải hệ phương trình

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Qin = xf bin(x)dz; bin(z) = Yin(z) ~ Yin-1(Z).

Khi nay ain, Q2n,---;}@mn được xác định từ

Các điều kiện đủ cũng được dua ra để aij, ain, (n = 2,3,...) xác định duy nhất

và phép lặp (0.10) hội tụ đến nghiệm của (0.9).

M.M. Gai [76] đã xét phương trình có trễ

v(z) = v(x) + af K(z,s)f[s,y(s — Ai(z)), -..,y(s — Ak(2))]ds.

Ở đây ƒ là hàm k + 1 biến. Tại bước lặp thứ nhất

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Các điều kiện đủ cũng được thiết lập dé a, (n = 1,2,...) xác định duy nhất va

phép lặp (0.12) hội tụ đến nghiệm của (0.11). Một trường hợp riêng của phương

trình (0.11) xuất hiện khi người ta cần xác định mật độ phổ của sai số của hệ

xung lực cực trị có điều biến, một bài tốn cần thiết khi nghiên cứu các q

trình ngẫu nhiên trong các hệ cực trị rời rạc có điều biến.

N. S. Kurpel [79] đã đưa ra phép chiếu lặp (một dạng lặp ẩn), tổng quát hoá

phương pháp của Sokolov. Một trong các bài tốn chính được xét trong [79] là

giải phương trình

x+=T+z (0.13)thơng qua việc giải phương trình

xz = F(z,2), (0.14)

với F(z,y) là một trong các dang:

(œ,u) = PTx+QTy, F(z,y) = TỰPz + Qy),

Phương pháp chiếu lặp có nhiều ứng dụng. Chúng tôi xin điểm qua vài ứng

dụng và ví dụ trong sách của Kurpel.

1) Ung dụng để giải xấp xỉ phương trình Hammerstein

x(t) = (9 + [` K,9f(,z(9)J4s

Phép lặp ẩn được sử dụng ở đây có dạng

#n() = y(t) + [ix s) — Ks(t, s)| f(s, tn-1(s))ds+f Ksti)slss20l0)as,

ở day Ks(t,s) là nhân suy biến gần với K(t,s) (chang han ia một đoạn của khai

triển Taylor của K(t,s)).

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Dat Tx = {Tix}, ở day Tyr bằng vế phải của (0.15). Goi Kin(t,s) là các nhân gần

với K,(t,s). Các tốn tử %„, gần với 7, có thể lấy dưới dạng S,, = {S„;}, ở đây

a yi(t) +f Kin(t, 8) fils, 21, -.., 2m|ds.

Phép lap z„ = Sntn + (7T — Sa)za-¡ khi này có dạng

Lin(t — @+f [Ky la 3) Cin ( (t, s)] fils, T1j,n—1; --: y #m,n—1)đs-E

vị Kin(t, 8) fils, Cin; ---) Tm.n)đs.

0

3) Sau đây ta xét hệ phương trình tích phân tuyến tinh [79, Vi dụ 13] mà ở

đó phép lặp ẩn hội tụ tới nghiệm của hệ nhưng phép lặp thông thường thì phân

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Bay giờ sử dung các tiêu chuẩn hội tụ của phép lap thơng thường, có thể nhận

thấy rằng, khi z;o(#) (i = 1,2,3) được lấy đủ gần theo giá trị tuyệt đối tới các

hàm z,o() (¢ = 1,2,3) thì day {z„()} (za() = {z¿a(9)}) sẽ hội tụ tới nghiệm

Trong [79] cịn có những ví dụ khác ở đó phép lặp ẩn hội tụ nhưng phép lặp

thơng thường hoặc khơng hội tụ hoặc có miền hội tụ hẹp hơn. Độc giả quan

tâm có thể tham khảo thêm trong quyển sách chuyên khảo này.

Tóm lại, luận án nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ hai biến

yby tt mạnh cũng rhe ự bội ta yếu ce phát Ứ fn tới da bit đng

foes Oe re ^^... bo bebe ek Asay VAN và poate Mote Xác tế ete iy

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

đưa ra đối với phương trình tích phân với tham số bé cùng với các ví dụ trong

những khơng gian trừu tượng mà ở đó phép lặp ẩn hội tụ nhưng phép lặp thơng

thường khơng hội tụ. Qua luận án có thể thấy được sự khác nhau giữa điểm bấtđộng của ánh xạ một biến và ánh xạ hai biến. Luận án còn đề cập tới tính ổn

định của phép lặp ẩn, và mối liên hệ giữa tính ổn định và sự hội tụ của phép

lặp ẩn.

Bố cục của luận án như sau. Luận án ngoài các phần Mở đầu, Kết luận vàTài liệu tham khảo, gồm có 4 chương:

Chương 1: Điểm bất động của ánh xa co suy rộng.

Chương 2: Điểm bất động của ánh xa không giãn suy rộng.

ĐHQGHN, dưới sự chủ trì của GS TSKH Phạm Kỳ Anh và tại Xêmina ”Phương

trình tốn tử, phương trình đạo hàm riêng và giải tích số” của phịng Giải tích

số và Tính tốn khoa học thuộc Viện Toán học, Viện KHCN Việt nam, dưới sựchủ trì của GS TSKH Nguyễn Minh Chương.

Một phần nội dung của luận án cũng đã được báo cáo tại Hội nghị Phương

trình đạo hàm riêng và Ung dụng, Hà nội 12/1999, Hội nghị Ứng dụng Tốn

học tồn quốc lần thứ nhất, Hà nội 12/1999, và Hội nghị Khoa học của Trường

ĐHKHTN 11/2004

Nhân đây, tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng

dẫn GS TSKH Phạm Kỳ Anh, người đã quan tâm, hướng dẫn và đóng góp nhiều

ý kiến q báu trong suốt q trình hồn thành luận án của tác giả. Tác giả

cũng xin cám ơn Thầy GS TSKH Đỗ Công Khanh, dù ở xa nhưng thầy đã bày

tỏ sự quan tâm thích đáng tới nội dung của luận án.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy GS TSKH Nguyễn Minh

Chương. người đã dẫn tác giả vào lĩnh vực nghiên cứu trong luận án và cùng

đăng với tác giả các cơng trình quan trọng của luận án.

Tác giả cũng đã nhận được sự giúp đỡ và những tài liệu q từ PGS TSKH

tố đ13:6 Tin. Tác sie sin chấn thành cấm on Pork GSKA ĐÃ hếng cân sì sự

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Tác gia cũng xin chân thành cám on các bạn, các đồng nghiệp tại cácXêmina "Phương pháp giải phương trình vi phân” và Xémina ”Phương trình

tốn tử, phương trình đạo hàm riêng và giải tích số” vì sự quan tâm. Đặc biệt

tác giả xin cám ơn các đồng nghiệp tại Xêmina "Phương trình tốn tử, phương

trình đạo hàm riêng và giải tích số” đã đóng góp nhiều ý kiến cho một số ví dụ

được trình bày trong luận án.

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

CHUONG 1

DIEM BAT DONG

CUA ANH XA CO SUY RONG

Chương này gồm 3 mục. Mục 1.1 gồm các định lý Krasnoselskii, Browder,

Boyd-Wong, Meir-Keeler suy rộng. Mục 1.2 gồm các định lý liên quan đến

định lý Frum-Ketkov mở rộng. Mục 1.3 gồm các ví dụ trong các không gian

l,, 1< p< œ, và C(—co, co), trong đó phép lặp ẩn hội tụ nhưng phép lặp Picard

khơng hội tu.

Sau đây, nếu khơng nói gì thêm, ta ký hiệu D là tập con đóng thuộc khơng

gian metric đầy đủ X, 7 là ánh xa từ D vào D hay từ D x D vào D. Ta cũng ký

Dang co Krasnoselskii [78, tr 57]: d(Tz,Ty) < k(a,b)d(z, y), nếu a < d(z,y) <b,

ở đây 0 < k(a,b) < 1 khi 0 <a<b. Vi dụ về ánh xa 7 thoả mãn điều kiện co

Krasnoselskii là ánh xạ thoả mãn

d(Tz,Ty) < d(z,y) — +ld(z, 9)ì,

với +(u) là ham liên tục dương khi u > 0.

Dang co Browder [11, Định ly 1.1]: d(Tz,Ty) < v(d(z,y)), ở đây wv : (0,00) >{0,s) là ham không giảm, liên tục phải và 0 < u(r) <r VỚI r >0.

Dang co Boyd-Wong phi tuyến [8]: d(Tz,Ty) < v(d(z,y)), ở đây ý: (0,00) 3

(0,00) là ham nửa liên tục trên từ phải va 0 < (r) <r VỚI r > 0.

Dang co Boyd-Wong* (ta gọi như vây để phân biệt với dang co Bovd-Wongraj teven} ; fs viding A Pave so Ce | Reno rr Dé

tục Uêi từ PHải.

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Dạng co Meir-Keeler [49]: ve > 0 3d > 0 sao cho

c<d(z,u) <c+ð —= d(Tr,Ty) <e.

Nam 1979, D. H. Tan [65] đã so sánh các dạng co trên và nhận được kếtquả sau: Krasnoselskii + Boyd-Wong* = Meir-Keeler, và dạng co Meir-Keelerthực sự mở rộng hon Boyd-Wong*. Từ định nghĩa dé thấy hai dang co Boyd-Wong phi tuyến và Boyd-Wong* tương đương với nhau. Năm 1997 Jachymski

[35] chứng minh rằng: Krasnoselskii + Browder + Wong, và rằng

Boyd-Wong thực sự mở rộng hơn Browder. Tuy nhiên đối với các dạng co suy rộngthì khơng phải tất cả những kết luận này còn đúng nữa.

D. H. Tan, N. A. Minh [65], [67] đã mở rộng các dạng co Boyd-Wong,

Meir-Keeler bằng cách thay biểu thức d(z,y) ở vế phải bất đẳng thức bằng biểuthức r(7z,7y), và đưa ra ví dụ chứng tỏ khơng thể thay r(Tz,Ty) bang

mmaz{d(z, 0), d(+,T+), d(u, Tụ), d(x, Tụ), d(u,Te)}.

Các ví dụ tương tự có thể dễ dàng đưa ra đối với các dạng co Krasnoselskii vàBrowder mở rộng. Để tiện cho việc chứng minh định lý Krasnoselskii hai biến

ta phát biểu định lý Krasnoselskii suy rộng một biến, mà không chứng minh.

Cách chứng minh trực tiếp định lý này có thể thấy được từ cách chứng minh

Định lý 2.3.1 (Chương 2).

Mệnh đề 1.1.1. Gid sử T Tà ánh xạ liên tục tit D vào D thoả mãn

d(T+, Tụ) < k(a,b)r(T+, Tụ) (1.1.1)

Vr,uc D,a< d(,w) <b. Ở đây 0 < k(a,b) < 1 khi 0< a < b, a,b là các số bất kỳ.

Khi đó T có điển bất động duy nhất u và {T"zo} hội tụ tới u từ xạ € D bất kỳ.

Tương tự như ở [65], có thể thấy Mệnh dé 1.1.1 là trường hợp riêng của

của định lý Boyd-Wong* co suy rộng. Điều này vẫn đúng khi so sánh định lý

Krasnoselskii co suy rộng 2 biến và định lý Boyd-Wong* co suy rộng 2 biến.

Tuy nhiên ở đây ta nêu cách chứng minh trực tiếp các định lý Krasnoselskii suy

rộng. Và cách chứng minh này được sử dụng trong chứng minh Định lý 2.3.1,

Chương 2. Ở đó điều kiện ràng buộc (2.3.2) sẽ thích hợp hơn so với việc ta chỉ

xét định lý Krasnoselskii như là trường hợp riêng của định lý Boyd-Wong* vađưa ra điều kiện ràng buộc như điều kiện (2.3.6) trong Định lý 2.3.3, định lý

Boyd-Wong* khơng giãn.

Tình huống tương tự cũng xảy ra khi so sánh định lý Browder co suy rộng với

định lý Bovd Wen ce ph thiyến sụy rộng (hey định !ý Boyd Wcnz co phi tryến

FRUNG TAM THONG TIN THỰ VIÊN I

\-U 444

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

là trường hợp riêng nên khi mở rộng định lý này thì ở định lý Browder không

giãn 2.3.2 điều kiện (2.3.4) là nhẹ hơn điều kiện (2.3.10) ở định lý Boyd-Wong

phi tuyến khơng giãn.

Ví dụ 1.1.1. Ví dụ này chỉ ra ánh xạ 7 thoả mãn điều kiện (1.1.1) với k(a,b) = 3,

nhưng 7 không phải là ánh xạ co Banach. Gia sử MM, = (0,4.2], Mạ = {5},

D=M,UM2,X = R,7T xác định như sau

z/2 nếu re Mì,

tos 5

z/5 néu z€ Mạ.

Khi z,u € My, d(Tzr,Tw) = šd(z,). Khi z € Mì, =5, d(Tz,Ty) = |L— š| <1.1<

2= sd(y, Ty). Tương tự, khi z = 5,y € My,d(Tz,Ty) < ;d(z,T+). Mặt khác, cho+ =5, = 4.2 ta có d(Tz, Ty) = |I— 42| = 1.1 > 0.8 = d(z,), nghĩa là 7 không phảilà ánh xa co Banach.

Sau day ta phat biéu dinh ly Krasnoselskii co suy rong 2 bién.

Dinh lý 1.1.1. Gid sứ 7 là ánh xa liên tục từ D x D vào D thoả man

d(T(z,0),T(z,t)) < k(a,b)m(T(z,),T(, t)), (1.1.2)

Vz,,z,t € D,a < max{d(z, z),d(y,t)} < b. Ở đây 0 < k(a,b) < 1 với a,b là các số

bất kỳ thoả mãn 0< a <b. Khi đó T có duy nhất điểm bất động u. Hơn nữa,

day z„ = T(tn,tn-1) xác định với mọi n và hội tụ tới u từ xo € D bất kỳ.

An+1 < [k(a,a1)]an < ++ < [k(a,a1)|"a1 — 0,

bởi k(a,ai) < 1, 6 day ai = d(x,,z9). Từ mâu thuẫn ta nhận được a = 0.

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Cho « > 0 bất kỳ, ta chọn N sao cho

an < (c/4)(1 ~ k(e/4, 5€/4)).

Ta sẽ chứng minh bang qui nap rằng z„ € B(ry,e) Yn > N, ở đây Biry,e) ={z:

d(,zx) < }. Khi đó day {z„} sẽ là day Cosi và định lý được chứng minh. Giả

SỬ z„< B(xx,e) VỚI Moin: N<n<m. Nếu ang; = zx„ thì đ(zm;i,zv) =Ũ<€.

Néu đ(Zm,#N) € (e/2, €| thi c/4 Š đ(#m,®N) -ang d(Lm,2N-1) < d(Zm, IN) Tay

5/4, và bởi max{d(zZ„+1,#w), đ(#m,#w~1)} = đ(#z,#x—¡) nên ta có

đ(#m+1,#x) < k(e/4, 5€/4)[d(am, rn) tan] < k(e/4,5€/4)e + an <e.

Trong ca hai trường hợp d(zm4i,zv) <<. Từ đó z, € B(ry,e) Vn > N. Tinh duy

nhất của điểm bất động của 7 hiển nhiên. mã

Dưới đây là định lý Browder suy rộng.

Định lý 1.1.2. Gid sử T là ánh xạ từ D x D vào D thoả man

d(T(,w),T(z,t)) < o(m(T(z, y), T(z, t))), (1.1.3)Vzr,y,z,t € D, ở đây ụ : (0,00) > (0,00) là hàm không giảm, liên tục phải và

0< (r) <r với r >0. Khi đó ta có kết luận của Định lý 1.1.1.

Chứng mình. Với uc D cố định bất kỳ, ánh xa 7, xác định bởi 7,(z) = T(z, v)thoả mãn

dŒ:(),Tv(2)) S 0(ri(z),7v(2)))

Vr,zc D. Khi đó từ cách chứng minh của Định lý 2.3.2 (Chương 2) 7, có

điểm bất động. Nghĩa là {z„}, với zn = T(z„,za_¡), xác định Yn, ¥rq € D. Giả sử

Trai Ln Và. KY hiệu ay = đ(#„,#a-l). Dé thay đ(#n+1,#ns) < d(tn,Tn-.1), SUY Tả{a„} là dãy giảm, nên a, < ”~!{a¡), ở đây ý?(r) = (0(r)),...V.V. Dat rạ = ý" (nọ),ngữ Po, = a Gad, Vole = cyte VÉ, 29,2... Từ đó ida (4. ¡ = lwo, Từ

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

d(tm+1,2N) S (d(#m,N) + an) < We) S €— aN.

Vay tni1 € B(tn,e —an). GỌI u= lim zp. Gia sử u # T(u,u). Ta có

d(T(u,u), tn) <p(max{d(u, rp), d(u, #za—+), đứu, T(u, u)), 0,

slau 20) + dan, T(u,u)))})

và bởi d(z„,7(u,u)) < d(tn,u) + d(u,T(u,u)) nên khi chuyển qua giới han với

nm —+ œ ta được d(T(u,u),u) < (d(u,T(u,w))) < d(u,T(u,u)). Từ mâu thuẫn ta

nhận được u = T(u,u). Tính duy nhất của u dễ thấy. a

Hệ qua sau của Định lý 1.1.2 là Dinh ly 5.1 trong [79].

Hệ qua 1.1.1. Gid sit D là tập bị chặn và T là ánh xạ liên tục từ D x D vào D

thoả mãn

dŒT(z,),T(, t)) < y(d(z,z),d(y,t)) V+z,u,z,t € D,

ở đây o(c,d) là hàm liên tục, không giảm theo cả hai biến, nghĩa là ¿(c,d) <

œ(g,h) nếu c < g,d < h. Ngoài ra y(b,b) < b, với b = diamD, và phương trìnhu =(u,u) có duy nhất nghiệm u =0. Khi đó ta có kết luận của Dinh lý 1.1.2.Chứng mình. Thật vậy,

p(d(z, z).d(y, t)) < @(max{d(z, z), d(y, t)}, max{d(z, z), d{u, t)})

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Định lý 1.1.3. Gid sử T là ánh xạ liên tục từ D x D vào D thoa man

đ(T(z,0),TŒ,t)) < e(r)m{(T(z, y), T(z, t)), (1.1.4)

Yr,ỵ2,t € D,(z,u) # (z,t). Ở đây r = max{d(z,z),d(y,t)}, a: (0) —> [0,1) là

ham nua liên tục trên từ phảị Khi đó ta có kết luận của Định lý 1.1.1.Chứng mình. Với uc D cố định bất kỳ, ánh xạ 7, thoả mãn

d(Tt(z),T,(z)) < œ(d(x,z))r(Tv(z),Tv(2)), Ve #2 € D,

nên từ [65, Dinh lý 5] 7, có điểm bat động, nghĩa là {z„}, với z„ = T(tn,tn-1),

xác định Vn, Vro € D. Ký hiệu ay = đ(z„,z„_¡). Giả SỬ za¿¡ # z„ Wn. Ta có

ặ) nửa liên tục trên từ phải suy ra a < ăa)a < a, mâu thuẫn. Vậy a = 0.

Ta khẳng định {z„} là day Côsị Giả sử ngược lạị Khi đó 3c > 0 Yn 3p„ >

q„ > n Sao cho

d(Tp„,Za„) >€, ĂLp,-1,2q,) < €.

(p„ chẳng hạn là số nhỏ nhất lớn hơn ạ„ sao cho d(zp,,2q,) > ©). Ký hiệu

bạ — đ(Zp„ › Za„ )› En = đ(Zp„+1› Tqn +1): Thay ngay

< ơ(b„) max{en, bn, 0,0, glen + €n}} < ăbn)bn.

Chuyển qua giới han khi n — oo ta được ‹ < ăe).c < «. Từ mâu thuẫn ta thấy

{z„} là dãy Cơsị Từ đó tồn tại = lim z„, Và u = T(u,u), bởi 7 liên tục. Tính

duy nhất của u hiển nhiên. a

Dinh lý 1.1.4. Gid sử T là ánh xa từ D x D vào D thod mãn

d(T(z,y), T(z, t)) < ý(m(T(z, y), T(z, t))), (1.1.5)

Va,y,z,t € D, ở đáy ý : [0,00) > [0,œ) là ham nứa liên tục trên từ phải và0< ¿(r) <r với r>0. Khi đó ta có kết luân của Dinh ly 1.1.1.

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Chứng mình. Với v € D cố định bất kỳ ánh xạ 7, thoả mãn

đ(Tv(z),TV(2z)) < w(r(Te (2), Te(z))), Vr,z2 € D,

nên từ, chang han [66, Định lý 2], hay từ cách chứng minh của Dinh lý 2.3.4

(Chương 2), 7, có điểm bất động, nghĩa là {z„}, với z„ = 7(z„,z„_¡), xác định

Vn,Vrọo€ D. Ký hiệu a, = d(za,za-i). Gia SỬ tay, # In Wn. Dễ thay aa+ < an,

Và anii < (a„). Bởi (.) nửa liên tục trên từ phải nên lim a„ = 0.

Gia sử {z„} khơng phải là day Cési. Khi đó 3e > 0 Yn App > qn > n Sao cho

bạ = d(Xp,,2q,) 2€, A(Lp,-1,2q,) < €.

Ký hiệu e, = đ(zp„+1,z¿„+¡). Ta cũng thấy b„ — e+, en + c. Mat khác

en < (max{en, bn, 0,0, sles + en|}) < max{en, ba},

suy ra en < b„ và từ đó e„ < ø(b„). Chuyển qua giới han khi n > co ta được

€ <(e) < e. Điều mâu thuẫn kéo theo {z„} là day Côsi.

Gia sử lim z„ =u Và # T(u,u). Ta có

d(T(u,u),z„) <w(max{d(u, tn), d(u, In—1), dịu, T(u, u)), 0,

slate, Zn) + d(tn,T(u, u))]}),

Ở đây max{...} = d(u,T(u,u)) khi n đủ lớn. Từ đó d(T(u,u),u) < (d(u,T(u,u)))

< d(u,T(u,u)). Từ mâu thuẫn ta có = 7(u,u). Tính duy nhất của u dễ thấy. @

Sau đây là định lý Meir-Keeler suy rộng.

Dinh lý 1.1.5. Giá sứ T là ánh xạ liên tục từ DxD vào D thoả mãn: Ye > 0, 36 > 0

Sao Cho Với mọi z,y,z,t € D

e<m(T(z,y),T(z,t))<e+d =>

d(T(z,w),T(z,t)) < e néu (x,y) # (z,t) và z # ụ và!hoặc z # t; và

d(T(z,w),T(z,t)) < e nếu ngược lại. (1.1.6)

Khi đó T có điểm bất động. Hơn nữa, day z„ = T(za,+„_\) xác định với mọi n

và hội tụ tới điểm bất động của T từ xo D bất kỳ.

Tương tự như ở [67] ta có các nhận xét sau.

Nhân xét 1.1.1. Điều kiện (1.1.6) suy ra

TO, 97 0) <a (9) Te bY VHB đẳng thứ apa

d 8 Ri (24 Foes p vag t 1;›It:d (xe d

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Thật vậy, nếu (z,y) # (z,t) vax # hoặc z z ¿ thì đặt m(T(z,w),7(z,t)) => 0 ta

có từ (1.1.6) d(T(z, y). T(z, t)) < m(T(z,w),T(z,t)). Ngược lại thì cũng từ (1.1.6)d(T(z,y),T(z,t)) << m(T(z, y), T(z, t)). Vậy (1.1.7) ln có.

Nhàn xét 1.1.2. Điều kiện (1.1.6) tương đương với điều kiện sau: Ye > 0, 3ổ > 0

Sao cho

m(T(z,y),T(z,t))<e+6 =>

d(T(z,y),T(z,t)) < ‹ nếu (z,y) # (z,t) va z # và/hoặc z # t; va

d(T(z,y),T(z,t)) < c nếu ngược lại. (1.1.8)

Hiển nhiên rằng (1.1.8) suy ra (1.1.6), ta sẽ chỉ ra chiều ngược lại. Giả sử

(1.1.6) đúng và m(T(z,y),T(z,t)) < e+ ð. Nếu m(T(z,y),T(z,t)) > ‹ thì từ (1.1.6)ta có d(T(z,y),T(z,t)) <c hoặc < ‹. Nếu m(T(z,y),T(z,t)) < e thì bởi Nhận xét

1.1.1 ta có d(T(z,y),T(z,t)) < m(T(z,y),T(z,t)) < e. Vậy (1.1.8) thoả mãn.

Chứng minh Định ly 1.1.5. Với uc D cố định bất kỳ ánh xạ 7, thoả mãn

Ve > 0, 35 >0 sao cho:

€<7r(Ty(z),Ty(z)) <€ +6 => d(T, (2), Ti (z)) <e.

Thật vậy, nếu z = z thi d(T,(z),T,(z)) =0<e, nếu z ¥z thì (z,ø) # (z,u) Và z fv

hoặc z # v, khi đó từ (1.1.6) đ(7,(z), 7y(z)) < e. Do đó từ [67, Định lý 1] tồn tại

duy nhất z sao cho z = T,(z). Như vậy dãy {z„}, với z„ = 7(z„,z„_¡), xác định

Vn,Vzọ € D.

Ký hiệu a, = d(z„,z„_¡). Ta có thể giả sử z„¿¡ #z„ Wn. Khi đó từ (1.1.7)

der < max{d(z+,#a),đ(z,#a—1),0,0, gI4(2n+1,#n) + d(tp,2n+1)}}

= Qn.

Suy ra {a,} giảm va tồn tai a = lim a,. Giả sử a > 0. Dat a = ‹, khi đótồn tai 6 > 0 va N sao cho Wn > N: € < an < € +6. Nên từ (1.1.6) ang: =

d(T(2n41,2n),T (Ln, Tn-1)) < € DOL z„+¡ Aan. Mâu thuẫn suy ra a = 0.

Ta sẽ chứng tỏ {z„} là dãy Côsi. Gia sử ngược lại. Khi đó 3e > 0 sao choVN, 3n >m > N :d(z„,z„) > 2. Ta chọn 6 từ (1.1.6). Dat a = min{e, 5}. Bởi

lim a, = 0 nên tổn tại N sao cho a„ < # Yn > N.Ta khẳng định rằng 3!, m <I <n,

Sao cho

e+ < d(tm,21) Se + 2.

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Thật vậy, ký hiệu lọ = max{l:m <1 <n,d(am,t1) < €+ dE Rõ ràng lạ < n bởi

d(zm,#n) > 2£ >€+ ậ. Nếu Am, Tig) <€+ Š thì đ(Z„.zi¿xì) <€+ G+ 9 =et+ §.

Điều nay mâu thuan với định nghĩa của Io. Từ đó d(z„.z„) e+ #.

e<r(fz, fy) <¢+6 = d(ƒr, fy) <e. (1.1.9)

Chỉ từ điều kiện (1.1.9) ta chưa thé khẳng định sự tồn tại điểm bất động của f.

Và phép lặp Picard z„ = 7(z„_¡,z„_¡) có thể khơng hội tụ. Ví dụ đơn giản sauchỉ ra ánh xạ f : X > X thoả mãn (1.1.9) nhưng ƒ khơng có điểm bất động.

Vi dụ 1.1.2. Gia sử X = {0,1,2,...},d(z,y) = |z—w|,z,ụ€ X, ƒ được xác định nhưsau

ƒ(0) =1

f(n) =0, m = 1,2,...

z=0,u=n>]1, r(ƒz, fy) >d(z,y) >1, d(ƒz, fy) = 1;

z =n, =rn,n # 1n,n,1n > 1, r(ƒz, fy) > d(+,u) >1, d(ƒz, fy) = 0.

Nhu vậy với 0 <e <1 chọn ä =1~e, với 1 < ‹ chon 6 bất kỳ, ta thấy ƒ thoả mãn

(1.1.9), nhưng f khơng có điểm bất động. Và {ƒ*(zo)} không hội tụ với bất kỳ

rq thuộc X nào.

1.2. Định lý Frum-Ketkoy mở rộng

Whig pha: của dina lý Fron.ivctko. ch KaGay chan Gasech A2

Ua iG yp cbf C 2001 tL:} oe © Cil ti “SQ Bo debe SSA «he: GAS gar Gilde fii

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

chứng minh đúng đắn cho định lý này, đầu tiên cho z¡-không gian [51] (bao

gồm không gian Hilbert và L,,1 <p< œ), và sau đó là cho khơng gian Banach

bất kỳ [52]. Trong [52] định lý Frum-Ketkov nhận được như là một hệ quả của

một kết quả tổng quát hơn (chứng minh khá phức tạp), cụ thể là từ Hệ quả 1

trong [52]. Dé tiện cho việc trình bay sau này chúng tôi nêu lại hệ quả trên.

Mệnh dé 1.2.1 [52] Giả sit G là tập lơi đóng trong không gian Banach X và

T:G—>G là ánh xạ liên tục. Giả thiết tồn tại tap compac K C X và hai day số

dương {ax} và {b¿} với a¿ > by và ax — 0 sao cho

(1) với mỗi lân cận mở Go của K trong X và mdi x € G, tôn tại số nguyên

dương nọ (phụ thuộc vào x và Go) sao cho T”+ € G Yn > nọ: va

(2) T anh xạ No, = {2 € G: d(z,K) < ag} vào No, Vk >

O đây d(x, K) là khoảng cách từ điểm + đến tập K. Khi đó T có điểm bất động.

F.E. Browder [11, Dinh lý 16.3] cũng đã tổng qt hố định lý Frum-Ketkovtrong khơng gian Hilbert. Mệnh dé 1.2.1 là kết quả của Browder phát biểucho không gian Banach. Tuy nhiên cách chứng minh của Browder chỉ áp dụng

được cho không gian Hilbert mà không phát triển trực tiếp được cho không gianBanach.

Bổ đề sau là hệ quả của mệnh dé trên, và là sự mở rộng của định lý

Bổ dé 1.2.1. Cho D là tập lơi đóng trong khơng gian Banach X và T : D > D

là ánh xạ liên tục. Giả sử tồn tại tập compac K C X sao cho

d(T+,K) < 0(d(x,K)) Vr € D, (1.2.1)

Ở đây d(ụ, K) là khoảng cách từ điểm y đến K, : (0,00) + [0,00) là hàm khônggiảm nửa liên tục trên từ phải, 0 < p(r) <r voir >0. Khi đó T có điểm bất

Chứng mình. Cho ay = 1/k Và by = (ag) < ax. Với xz € D bất kỳ đặt r, = d(T"z, K)

ta CÓ rn < W(rn-1) < ra-i. Từ đó tồn tại lim rạ = r. Bởi ý nửa liên tục trên từ

phải nên r < #(r) <r, nếu r >0. Suy ra r =0, nghĩa là lim đ(T”z,K) = 0.

Gia sử Go là lân cận mở bat kỳ của K và ký hiệu W,(X) = {z€ D: d(x, K) < 6}.

Bởi K là compac nên d(0Gg, Ä) = 2e > 0, ở đây d(A, B) = ~ int dla, b):ac A,be - B}.

That vậy, nếu đ(ØG;, K) = 0 thì tồn tai z„ € Go, yn € WK sao cho Ilr, — „|| — 0.

Do K compac nên có thể coi ¡ Yr — y* € K, Suy raz, > y*. Điều này mâu thuẫn

với „` lÀ điểm trars của Cy Thit thế ve đủ ph Byte om DO eB

2

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Từ đó N.(K) C Go. Với moi z € D tồn tại nọ : d(T"z,MN) << Yn 3 nọ. Suy ra

T'r € X,¿(Ñ) C Go và điều kiện (1) ở Mệnh dé 1.2.1 thoả mãn. Điều kiện (2)của mệnh đó hiển nhiên thoả mãn vì b, = #(a¿) và ý(r) là hàm khơng giảm.

Như vậy từ Mệnh đề 1.2.1 7 có điểm bất động. "

Ví dụ 1.2.1. Khi 7: X — X là ánh xạ co Browder, nghĩa là

d(Tz,Ty) < 9(d(z, 9)),

với ¿ là hàm tăng, liên tục phải (khi tăng, điều này tương đương với tính nửa

liên tục trên từ phải), thì 7 sẽ thoả mãn (1.2.1), với K := {u}, ở đây u là điểm

Định lý 1.2.1. Giả sử D,X,K,T, như ở Bổ đề 1.2.1 và (1.2.1) thoả mãn. Hơn

nữa gid sử T là tua không giãn, nghĩa là

+ - pl| < llz —p|| Vz € D, vp € P, (1.2.2)

ở đây P={xz€< D:+ = Tz}. Ngoài ra

|Tz — pl| < |lz - p Vr € D\ P, vpeP. (1.2.3)

Khi đó {T"zo} hội tụ tới điểm thuộc PAK với mọi xo € D.

Chứng minh. Chứng minh định lý này tương tự như ở [55, Định lý 3.1]. Ta

tin dy bịt cho day ca

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

mâu thuẫn với (1.2.3): ||7z* — pl| < llz* - pl. Vậy z* e PAK. Lai từ (1.2.2) tồn

tại lim||z, — z*|| nên lim||z, — z*|| = liml|za, — z*|| = 0. |

n n 2

Không gian định chuẩn X được gọi là Idi ngờ nếu từ |x|] = 1, lly|| = 1,

llz — y|] >0 suy ra JJš(z + y)|| < 1, hay tương đương ||Ar + (1 — À)z|| < 1, A € (0,1).

Hệ quả 1.2.1. Giả sử D,X,K,T như ở Bổ đề 1.2.1 và (1.2.1) thoả mãn đối với

hàm (r) nửa liên tục trên từ phải nào đó sao cho 0 < )(r) <r với r>0. Ngồi

ra K lơi, và T tựa khơng gián, tức có (1.2.2). Giả thiết thêm X lơi ngặt. Khi đó

{T(xe)} hột tụ tới điểm thuộc PAK với mọi xo € D, ở đây Ty = ÀI + (L- À)T,

A€(0,1), I là ánh xạ đơn vi.

Chứng minh. Như trên ta thấy Kn D là khác rỗng, lôi, compac. Bởi 1.2.1 nên

T:KnD> KnD. Do đó từ định lý Schauder 7 có điểm bất động. Bởi K lồi,

bằng lập luận tương tự như ở [55, Bổ dé 3.1] có thể thấy Vr e D

d(T)(x),K) < Ad(z, K) + (1 = A)b(d(z, K)) = /”(dứ, K)),

ở đây *(r) = Ar + (1 — A)/(r). Dễ thấy * có các tính chất của . Vậy 7; thoả

mãn (1.2.1). Ngồi ra 7; là tựa khơng giãn bởi

l5(z) — pl| = ||A(z - p) + (1— À)Œz - p)|| < llz - pl.

Khi r € D\ P bất đẳng thức ngặt xảy ra vì X lồi ngặt, vay (1.2.3) thoả mãn.

Tiếp theo lập luận như ở Định lý 1.2.1 ta có kết luận của hệ quả. a

Khi 7 là ánh xa không giãn thi điều kiện X lồi ngặt trong Hệ quả 1.2.1

không cần nữa.

Hệ quả 1.2.2. Gid sit D, X, K,T,U như ở Hệ quả 1.2.1 và (1.2.1) thoả man. Giả

thiết K lồi và T không giãn, tức là

Tx - Twl\ < llz = l| Yz,u € D.

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

nên bằng cách chuyển qua dãy con khi cần, ta có thể giả sử z„„;¡ > FE K.

Khi đó từ (1.2.4), z* = # = 7TẠ(z*), suy ra z' € P. Mặt khác dé thấy tồn tại

limllra — z”|| = limj|T?(zo) — z*|| nên lim||z, — c*|| = limllzn, —z*l||= 0. a

n n n

Tiếp theo ta chứng minh một kết quả cho ánh xa tựa không giãn 2 biến thoảmãn điều kiện co dạng Frum-Ketkov.

Định lý 1.2.2. Cho D là tập lơi đóng trong không gian Banach X và T: DxD >

D là ánh xạ liên tục. Giả sử tồn tại tập compac K C X và hàm t không giảm

và nứa liên tục trên từ phải, 0< (r) <r với r >0, sao cho

d(T(z,u), K) < (max{d(z,K),d(u,K)}) Vz,y € D. (1.2.5)

Ngoài ra Vz,y € D,p€ F, ở đây P = {xzc D:+ = T(,z)}, T thoả man

\|T (x,y) — pl] < max{||z — pl], lly — Pll}:

với bất dang thức ngặt xảy ra khi x # y. (1.2.6)

Thêm nữa, gid thiết 2, = T(a,z„_\) xác định với mọi n > 1 với zọ € D nào do.

Khi đó {z„} hội tụ đến điểm thuộc FO K.

Chứng minh. Ánh xa fx := T(z,z) thoả mãn (1.2.1) nên 7 có điểm bất động,

tức F £0. Ta có thé giả sử z„¿¡ # z„ Wn, VÌ nếu z„¿¡ = z„ với ø nào đó thì z„là điểm bất động của 7, đồng thời z„ e K bởi (1.2.5). Từ đó bởi (1.2.6) ta thấy

|Ízz+: — pll| < max{l|zs+: — pl, [zn — pil} = ÌÌz» — Pil,

Suy ra tồn tại lim llz„ — p|| với mọi p e F.

Nếu zm € K với m nào đó thì từ (1.2.5) 2, € K Vn >rn, nghĩa là d(z„, K) = 0

Yn >m. Gia SỬ rm £ K Ym. Khi đó

d(z„, K) < U(max{d(x„, K),d(za—i, K)})

< max{d(z„,K),d(z„-1, K)}

bởi ulrs <r với r > 0. Từ đó dir. KY < (~„ vị WY). Suy ra tìm clr, BK) =9 Từ: VAP 1 dN) ) ; 1

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

tồn tại {za, _¡} av € A. Khơng mất tính tổng quát có thể giả sử {tn,-1} — v.

Bởi 7 liên tục nên u = T(u, v).

Nếu u zZ v thì từ (1.2.6)

llu — pl] = lf(,9) — pl < max{l|u — pl, lv — pil} = lÌu — pl.

Mặt khác, ||u — pl] = |v - p|| vì

limllz„ — pll = lim|lan, — pl] = lim|len,—-1 — Pll

Mau thuẫn suy rau =v vaueé ƑnK. Lai vì lim llz» —ul| tồn tại va lim ||z,, — w|| = 0

ta thấy {z„} hội tụ đến u. aVi dụ 1.2.2. Gia sử X = R, D = [0,1], K = {0}, T(z,y) = sin %* với F(T) = {0}.

[T(z,y) — 0| = |sin “| < max{lz|,|u|} khi z 4 y,

nên 7 thoả mãn (1.2.6). Ngồi ra, z = sin #‡* ln giải được với mỗi y cố định,

À € [0,1], sẽ thoả mãn điều kiện co (1.2.5). Ngoài ra, giả thiết một trong 2 điều

kiện sau thoả mãn:

a) D bị chan, T(z, y) = U(x) + (1 — A)S(y), A € (0,1), và U là ánh xạ sao cho

+(U(E)) < +(E) với mọi E c D. O đây + là độ đo Kuratowski hoặc Hausdorff

(Định nghĩa 2.2.1 và 2.2.2 Chương 2).

b) U là ánh xa không giãn (D không cần bị chan).

Kh Có r Ty... 7) sốt định cố: nọin> TL Và ca el

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Thật vậy, dat s = d(x, A), t = d(y, K), r = max{s,t} Và u(r) := Aa(r)+(1—A)3(r).

Ham ¿' cũng là ham tang, nửa liên tục trên từ phải và 0 < ¿(r) <r khi r > 0. BởiWx lồi nên tương tu như [55, Bổ đề 3.1]. dễ thấy

đ(AU() + (1 — A)S(y), K) < Ad(U(x), K) + (1 — A)d(S(y), K).

Vi a,Ø là các hàm tang nên từ đó

vEc D. Từ đó ánh xạ T, có điểm bất động trong D.

Giả thiết b) thoả mãn. Ta thấy ngay 7, là ánh xạ co với hệ số A < 1, nênx =T(z,y) giải được duy nhất. a

1.3. Một số ví du về phép lặp an

Trong mục này ta nêu vài ví dụ mà ở đó phép lặp ẩn xác định và hội tụ đếnđiểm bất động, trong khi đó phép lặp Picard z„ = 7(z„-¡,z„_¡) không hội tuhoặc chỉ hội tụ yếu đến điểm bất động.

Rõ ràng z = 7(z.z) khi va chi khi x(k) bằng hằng số Vk € Z. Với zg() € D sao

che z+(1) # x:(9) = 0 và -¿/k` nhân hữu han oid tri khác nhan trần 7 ta thav dav

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

Bf) = T(2@n-1(t). 2n—1(t)) = In—i(t + 1) khong hội tụ, vì

ditn,£n—1) > |ro(1) — zo(0)| = |ro(1)| = const > 0 Yn.

Tham chi day Picard không hội tu điểm nếu zo(k) = zo(k + 2), zo(k) # zo(k + 1)

Vk € Z.

Mat khác ta sẽ chứng tỏ, với zo(¿) như trên dãy lap ẩn z„ = 7(za,z„-¡) Xác

định va và hội tụ đến 0. Thật vậy, đặt &, = d(z„,z„_¡). Ta có

In-i(t + 1)

ky =d(— PC”

(; +d(@n,Zn-1) #n—1{ )

—— ra qứ

— #n—1(É + 1) _, .

= a tall) = ƒ(ka). (Lot)

Ta thấy f(s) là ham liên tục, vi là mazimum của hữu han các ham liên tục (mỗi

hàm jee — za_¡(k)| là hàm liên tục theo s > 0, khi & cố định). Ngoài ra

f : {0,co) — [0,2], vì mỗi giá tri [2% - z„-i(9| < 2. Suy ra ƒ : [0,2] > [0,2]

(f có thể khơng tồn ánh). Do đó ƒ có điểm bất động. Nghĩa là 3k, thoả mãn

(1.3.1). Sau khi xác định k,, thì z,(t) được xác định như sau

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

suy Ta z„ — 0.

Vi dụ 1.3.2. Xét đường tròn đơn vị K trên mặt phẳng. WK = {e” : t € (0,2z)}. Xét

không gian C(A) là tập các hàm thực, liên tục, tuần hoàn trên # :

C(K) = {z(e") :t € (0,00), z(e”) liên tục và nhận giá trị thực trên K,

Dé thấy với zo(e*) sao cho zo(e**) # xo(e®) = 0 dãy z„ = T(tn_-1,2n-1) khơng

hội tụ. Tương tự như ở Ví dụ 1.3.1 có thể chứng minh rằng với zo(e”) như trên

day z„ = 7(z„,z„_¡) hoàn toàn xác định vn và hội tụ đến 0 (hàm đồng nhất bằng

ở đây ánh xạ r : v = (21,20,...) —> Tv = (0,21, 22,...). Ta thấy ngay VỚI uo

(ro,Zo,2,...), 20,1 #0, day lặp un = T(un—1, un-1) chỉ hội tụ yếu đến 0, mà khônghội tụ mạnh, vì |lun — un-1l| > |zo,1| = const > 0.

Ta sẽ chứng minh với mọi uo như trên day lặp ẩn xác định và hội tụ mạnh

tới 0, điểm bất động duy nhất của 7. Ta ký hiệu ky = |lz„ — „-¡||. Dat

_ TUn-1 _

Hs) — In) Un—1]].

Ta thấy f(s) là hàm liên tục, that vậy

j TUn -1 ¡ TUn— dị

f(s) — ƒ(so)| = ees 7 TH... 7 Un—1]]|

iy Tun=1 TUn-1 , |exp(s) — exp(so)!,, ˆ

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

khi s + so. Do ƒ: [0,s) — [0,2||¿„_¡|l} nên hàm liên tục ƒ đưa đoạn {0,2|u„- ¡ ||]

vào chính nó và do đó có điểm bất động. Gọi một trong các điểm đó là ky. Sau

khi &, xác định thì u, được xác định bằng

ne axp(En)

Như vậy day u„ = T (un, un—1) hoàn toàn xác định.

Để chứng minh wu, > 0 ta nhận thấy

M= kj > ˆ 2 ers n

» loa] + exp(M) + exp(M) M là

mâu thuẫn. Từ đó 52; ki = +oo. Mặt khác

ll+z|l =

khi n > 00. Vậy uz, > 0.

Két luan

Chương | gồm những kết qua chính như sau:

1. Bằng cách tiếp cận khác với thông thường, tức là sử dụng phép lặp ẩn,

một số định lý tiêu biểu trong lớp các ánh xạ co đã được mở rộng thành các

định lý ánh xạ co suy rộng hai biến. Đó là các định lý Krasnoselskii, Browder,Boyd-Wong và Meir-Keeler.

2. Dinh lý Frum-Ketkov duoc mở rộng và một số kết quả liên quan đến

lene co Frum-Eectksx chước chứng minh

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

3. Mot số vi dụ trong các không gian I,, 1 < p< œ, va C(—o0, oc), được xây

dựng, ở đó phép lặp ẩn hội tụ nhưng phép lap Picard không hội tụ hoặc chỉ hội

tụ yếu.

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

CHƯƠNG 2

DIEM BAT ĐỘNG

CUA ANH XA KHONG GIAN SUY RONG

Trong Chương 1 chúng tôi đã mở rộng một số định ly ánh xa co thành ánh

xạ co suy rộng hai biến. Trong chương này chúng tôi tiếp tục mở rộng các định

lý Krasnoselskii, Browder, Boyd-Wong, B. E. Rhoades, C. S. Wong thành các

định lý không giãn suy rộng hai biến. Chúng tôi cũng đưa ra một số kết quả

về ánh xạ không giãn thoả mãn thêm điều kiện dạng nén (condensing).

Chương này gồm 4 mục. Mục 2.1 dành cho các kết quả về ánh xạ không

giãn suy rộng xác định trên tập compac. Mục 2.2 gồm các kết quả về ánh xạkhông giãn 2 biến thoả mãn thêm điều kiện dạng nén (condensing) hay w-nén

(w-condensing). Sự tồn tại điểm bất động và sự hội tụ của phép lặp ẩn tới điểm

bất động được chứng minh. Một ứng dụng đối với phương trình tích phân với

tham số bé được đưa ra. Mục 2.3 gồm các định lý KrasnoselskH, Browder,

Boyd-Wong không giãn suy rộng. Mục 2.4 gồm các định lý B. E. Rhoades và

C. S. Wong mở rộng.

2.1. Ánh xạ không giãn suy rộng trên tap compac

Trong [60, Định lý 3] ánh xạ co Edelstein đã được mở rộng như sau:

Giả sử D là tập con đóng thuộc khơng gian metric X, T: D — D là ánh xạ

liên tuc thoả mãn

chứng tỏ dấu ”<” trong (2.1.1) không thể thay thể bằng dấu ”<” dễ dàng đưa

ra, chẳng hạn phép quay một góc nhỏ hơn 2z hình vành khuyên trên mặt phẳng

tạo bởi hai đường tròn đồng tâm xung quanh tâm của chúng. Trong [67] đã xây

dựng được một ví dụ tương đối phức tạp chỉ ra rằng không thể thay thế biểuthức r(7z,7y) ở (2.1.1) bằng biểu thức

AI(T+, Tụ) := max{d(z, 0), d(œ, T+), d(u, Tụ), d(+, Tu), du, T+)}.

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

Nhung như là hệ quả của Shih-Yeh [63, Dinh ly 3] (định lý này về sau được

chính xác hố boi Liu [47, Hệ quả 3.3] bằng việc chỉ ra ánh xạ có mặt trong

định lý cần phải liên tục), ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1.1. [63] Giả sử D là tập con đóng bị chặn thuộc khơng gian metric

đầy đủ X,T:D— D là ánh xạ liên tục thoả man

d(T+, Tụ) < max{d(z, 9), d(+, Ta), d(y, Ty), d(x, Ty), d(u.T+)]}

Vz #y € D. Giả thiết D compac hoặc T là ánh xạ nén. Khi đó T có duy nhất

điểm bất động u và {T"zo} — u từ zọ € D bất kỳ.

Dưới đây ta phát biểu mở rộng của Mệnh đề 2.1.1 cho ánh xa hai biến. Dinh

lý này mở rộng các kết quả trước đó của tác giả trong [6, Dinh lý 1] và [3,

Định lý 1.1].

Định ly 2.1.1. Gia sử D là tập compac thuộc không gian metric X, T là ánh

xạ liên tục từ D x D vào D thoả mấn

dựTŒ. y). 7Œ, £)) < max{d(z, z), d(y, t), d(x, T(x, y)), d(z, T(z, t)),

d(x,T(z.t)),d(z,T(a,y))}; với bất đẳng thức ngặt xảy ra khi

Giả sử z„¿¡ # z„ Wn. Dễ kiểm tra d(z„¿t,za) < d(tn,2n-1). Do đó tồn tại

lim đ(z„,#„_¡). Bởi D compac nên tồn tại các dãy con hội tụ

na] —t hạ Pag} Fat —* He

VỚI tị, ¡ị € D. Vi T liên tục nên uị = T(ui,u), u = T(u,u_¡), ngOài ra,

d(u;,u) = d(u,u_y). Gia SỬ uị #u hay u#u_¡, khi đó từ (2.1.2)

d(uy,u) < max{d(u;,u), d(u, u_1), 0,0, d(ui, u), d(u, uị)}

= d(uy, u).

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

Từ mâu thuẫn ta có vu, = u là điểm bất động của 7. Ngoài ra giả sit r„ # u Vn.

Dé kiểm tra d(zr„.u) < đ(+„_¡, u), thật vậy

d(zn.u) < max{d(Ta,u),đ(zn_—, u),0,0,d(+„,u), d{u,#„)}

= max{d(zn, u),đd(#a_, u)}.

Suy ra tồn tại lim đ(z„,u). BỞI lim zạ, = u nên lim z, = u. Tính duy nhất của u

Tt 3 n

dé thay. a

Nhận xét 2.1.1. Điều kiện D compac có thể được thay bang D đóng và T(D, D)

là compac tương đối, ở đây T(D, D) = {T(z,y): 2,y € D}.

Đặt ƒzr := 7(z,z), khi z = y và z =¿ thì (2.1.2) trở thành

d( fz, fz) < max{d(z, z), d(, fr), d(z, ƒz), d(z, fz), d(z, ƒz)}. (2.1.3)

Chi từ điều kiện (2.1.3) ta chưa kết luận được gi về sự tồn tại điểm bat độngcủa 7, và phép lặp Picard x, = 7(z„-i,z„_¡) có thể khơng hội tu.

Mệnh đề đơn giản sau là sự mở rộng của định lý Edelstein [24] và Kannan

[38]. Điểm khác biệt là nó cho phép 37°_, a; có thể lớn hơn 1.

Mệnh đề 2.1.2. Giả sử D là tập con đóng thuộc khơng gian metric X, T : D > D

là ánh xạ liên tục thod mãn

d(Tx,Ty) < aid(z,T+) + aad(u, Ty) + aad(z, Tụ)

+ øad(w,T*z) + asd(z, 0), (2.1.4)

Ve #yeED. Ở đây ai + da + 2a + as <1 hay ai + aạ +2aa + as < 1;a¿ > Ú,¡ = 1,..., 5.

Giả thiết {T"x9} có điểm tụ với ry € D nào đó. Khi đó T có điểm bất động.

Ngồi ra giả thiết

PGW 1 Tớ cửa > b DADs never lâu a fa Sop de er. tae tóc

` Ầ Yap g3 # na. ee ~ $y fie 5 + 2 ¬ Ta : Hổ teVia, 2 vedolbyY rad; - uv, YEOVCLU đa o U 1i đc 3v dạ t Sug Fy Paty (dg Tũủa rug) A +

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

Từ đó a, = 1, SUY ra ay =a; =0, va do ai +03 + a¿ + a; < 1 nên a3 = 0. Như vậy

điều kiện co (2.1.4) trở thành

d(Tz,Ty) < d(x,T+) Vz,u, z¿c D. (2.1.5)

Lấy z =7, y là một điểm thuộc D sao cho x # . Điểm y như vậy tồn tại vì từ

(2.1.5) 7 khơng thể là ánh xa đồng nhất trên D. Khi đó ta có d(Tz,Ty) < d(Ty, T3),

mâu thuẫn. Vậy khơng xảy ra a; + a4 = 1.

Từ đó {a„} giảm và tồn tại a = lim a„. Giả sử {7z} chứa dãy con hội tu

In; —È th, khi đó Inj+1 > Tu, Inj42 7 T’u. Do 7 liên tục nên a = d(u,Tu) =

d(Tu,T*u). Nếu u # Tu thì

d(T°u, Tu) < aid(Tu, T?u) + aad(u, Tu) + aa.0

+ aad(u, T2u) + asd(Tu, u)

< (a) + dạ + 2a4 + a;)a <a.

Từ mâu thuẫn ta thấy = Tu là điểm bất động của 7. Từ đó lim d(z„,++,za,) = 0.

Ta sẽ chứng minh z„ > u. Ta có thể giả sử z„ # u Vn. Khi đó

đ(+„+1,) < aid(In,In41) + a2.0 + agd(rn, 0)

+ aad(u, In41) + asđ(Zn, u,

Suy ra

a; +a3+ 45

1— a4

< max{d(tn,2n41),d(En,u)} <Š

đ(Tn+1,) < max{d(#„, z„+1); đ(=„, u)}

ở đây n;, được chọn sao cho d(za,„,za„ „) < €, đ(za,,) < € VỚI > 0 cho trước

bất kỳ. Nhu vậy lim z„ = u.

Giả sử là điểm bất động khác của 7 và v # u. Ta cód(u,v) < (a3 + a4 + as)d(u,) < d(u, 0),

mâu thuẫn. Vậy u là điểm bất động duy nhất của 7. L|

Nhân xét 2.1.2. Khi ai = a¿ = a3 = ay = 0, a; = 1 ta có định lý Edelstein

[24]. Khi a; = a2 = ÿ, dạ =a = 0 ta có định ly Kannan [38]. Trường hop

5>” .a, < 1 là trường hợp riêng của định ly Edelstein suy rộng đã biết. Nhưng

» a1% không nhất thiết phải nhỏ hơn hay bằng 1. Chẳng hạn a; = øạ = ay =

1

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

Mệnh đề trên được phát triển thành kết quả sau cho ánh xa hai biến.

Định lý 2.1.2. Giá sử D là tap compac thuộc không gian metric (X,d), T:

DxD— D là ánh xa liên tục thoả man

d1, 1). T(z, t)) < aid(z, T(z, y)) + azd(z, Liz, t)) + asd(z, T(z, t))+ agd(z, T(x, y)) + asd(z,z) + agd(y, t); với bất đẳng thức ngặt

xảy ra khi (x,y) # (z,t) và z # ụ valhodc z # t, (2.1.6)

+,u,z,t€ D. Ở đây S3Š_.a; <1, a3 tay +ay < 1,a; > 0,2 = 1,..5 và

ai + dạ + 2a3 +a¿ <1 hay ai + a¿ + 24 + a; <1.

Khi đó ta có kết luận của Định lý 2.1.1.

Chứng mình. Với v € D cố định bất kỳ ánh xạ 7, thoả mãn điều kiện co (2.1.4)

d(T, (x), Ty(z)) < aid(z,Tv(+)) + aad(z, Ty(z)) + aad(z, Ty (z))

+ aad(z, Ty(z)) + asd(z, 2),

Va # z. Từ Mệnh dé 2.1.2 tồn tại = = T,(Z), suy ra z„ = T({za,z„-¡) xác định.Gia SỬ z„¿¡ 42, Yn ta CÓ

d(Zn41,In) < a).0 + a2.0 + azd(tn41,2n) + a4đ(Tn, Zn+1)

h5 asd(2n41, In) a asd(Tn, In-1),

hay as

d(n+1, 2p) < Trap ag nag (tm tn-1) < d(z„, Ln-1).

Từ đó tồn tai a = lim d(z„,z„_¡). Bởi D compac nên tồn tại các dãy con hội

tu {Za,‡1} —> tì,{fna,} 4 u,{tnj-1} 4 u-i, VỚI ui,u,u_1 € D. Ngoài ra uy

T(u1,u),u = T(u,u_y) Va a = d(uj,u) = d(u, u_).

Nếu u,; z# u hay w #u_¡ thì

d(u1,u) < ai.0 + a¿.0 + aad(u, u) + aad(u, ui) + asd(u, u) + asd(u,_ 1)

= (dạ + dạ +a; + aạ)a <a.

Từ mâu thuẫn ta có wu) = u = u_¡ và œ là điểm bất động của 7.

Mặt khác giả sử z„ # u Vn ta có

</div>Trang 39<div class="page_container" data-page="39">

2.2. Ánh xạ không giãn thoả mãn điều kiện dạng nén và nén yếu

2.2.1. Ánh xạ không giãn và nén

Trước hết chúng tôi xin nhắc lại về hai độ đo không compac thường gặp.

Giả sử U là tập con bi chặn thuộc không gian Banach (hay metric day đủ) X.

Định nghĩa 2.2.1. Độ đo không compac Kuratowski của tập U, ký hiệu là ăU),

được định nghĩa như sau

ăU) =inf{d >0: U có thể được phủ bởi hữu hạn các tập

có đường kính nhỏ hon hay bằng 3}.

Định nghĩa 2.2.2. Độ đo không compac Hausdorff của tập U, ký hiệu là x(U),

là đại lượng

x(U) =inf{r >0: U có thể được phủ bởi hữu hạn các

hình cầu bán kính r}.

Định nghĩa x(U) như trên có dạng tương đương như sau

x(U) = inf{t >0: 3Œ € K sao cho U CC +tB},

ở đây B là hình cau đơn vị đóng của X, K là lớp các tập con compac của X.

Hai độ đo ặ) và x(.) có nhiều tính chất chung [19], [30]. Tuy nhiên, khi X

là không gian Banach vô hạn chiều thì Danes [15] đã chỉ ra rằng x(B) = 1, cịnFuri và Vignoli [29] thì chỉ ra ăB) = 2. Dé chứng minh ăB) = 2 người ta đã sử

dụng đến định lý Lusternik-Schnirelman-Borsuk về các điểm đối xứng qua tâm

trong không gian hữu hạn chiều [70]. Một cách chứng minh khác về x(B) = I1

có thể thấy ở [18]. Vì œ(eoU) = ăU), x(coV) = x(U) (đây là tính chất quan trọngkhi chứng minh các định lý về điểm bất động của ánh xạ nén), nên ăS) = 2,

x(S) = 1, với 9 là mặt cầu don vị trong không gian Banach vô hạn chiềụ

Ta ký hiệu +(U) là độ đo không compac Kuratowski hay Hausdorff của tập

U, khi ta không phân biệt là độ do nào trong các định lý dưới đâỵ

Định nghĩa 2.2.3. Gia sử D là tập bi chặn thuộc không gian Banach (hay metricđầy du) X. Anh xạ ƒ: D> D được gọi là ánh xạ nén nếu

(i) f là ánh xa liên tục, biến tập bi chan thành tập bị chan, và

(il) +(ƒ(U)) < +(U) với mọi tập con Uc D mà +(U) >0.

adinh 1e DỊ 2Ô) c7 7542) rc) Daa lý sát phot tiểu

</div>Trang 40<div class="page_container" data-page="40">

Định lý 2.2.1. Gid sit D là tap đóng bị chặn thuộc khơng gian metric day di

X,T:DxD—+D là ánh xa liên tục thod mãn điều kiện không giản (2.1.2) ở

Định lý 2.1.1 và các điểu kiện sau

1(T(U,U)) < +(U), (2.2.1)

1(U,{z))) < 1), (2.2.2)

với mỗi U CD mà +(U) > 0 và mỗi x € D. Khi đó ta có kết luận của Dinh lý2.1.1.

Chứng minh. Với mỗi v € D cố định ánh xạ T, : D > D thoả mãn các điều

kiện của Mệnh đề 2.1.1 nên 7, có điểm bất động duy nhất z = 7,(z). Như vậy

Ln = T(#a,#a-1) Xác định Vn Vz € D.

Dé chứng minh {z„} là dãy hội tu ta sé chứng to {z„} là compac tương

đối. Sau đó áp dụng Định lý 2.1.1 cho phần cịn lại của chứng minh. Gia sử+({za}j°) > 0 và đặt C = {z„}£. Bởi (2.2.1) và (2.2.2) ta có

+({z„}8")+(C) = ({T(Œn,#n-1}†)+(T({z„}.{za-1}))

thoả mãn các điều kiện (2.2.1) và (2.2.2) với độ đo Kuratowski, và đồng thời

cả điều kiện không giãn (2.1.2), nghĩa là tất cả các điều kiện của Dinh lý 2.2.1

đều thoả mãn.

That vậy, giả sử {U,} là phủ hữu hạn của U với diam U, < s+e, ở đây s = +(U).

Khi đó từ điều kiện co (2.2.3) của 7 các tập {W;;} với Wi; := 7(U,,U;) là phủ hữu

han của T(U,U) VỚI diam Wi; < k(s +e). Vie là bat kỳ nên 7(T(U,U)) < k+(U),

suy ra (2.2.1) thoả mãn. Lai bởi mỗi 7, là ánh xa co với hệ số & nên (2.2.2)

cũng thoả mãn.

Tương tự khi 7 thoả mãn (2.2.3) thì 7 sẽ thoả mãn (2.2.1) và (2.2.2) với độ

ts fousdor’f Thất vậv sia sở các Fình sau fa. tÃ nh Ccủc c7 VĂN

0 day 5G) << taj te nia dou cde wap hss - Thy D3) se

</div>