báo cáo bài tập lớn giải tích 2 tích phân đường ứng dụng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.9 MB, 25 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG & ỨNG DỤNG

Giảng viên hướng dẫn: TS. Trần Ngọc Diễm Nhóm: GT2-L18-16

Ngày 23 tháng 04 năm 2022

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

YÊU CẦU ĐỀ TÀI

Câu 1: Nêu 5 ứng dụng thực tế của tích phân đường, cho ví dụ cụ thể (chỉ ra tính thực tế của

ứng dụng).

Câu 2: Viết một code tính diện tích mặt trụ đứng, có một biên nằm trên đường cong x x t

 

, y  y t

 

, t1 tt2 trong mặt phẳng Oxy, biên còn lại nằm trong mặt cong f  f x y





. Vẽ mặt trụ này. Cho phép người dùng nhập x  x t

 

, y y t

 

, t1, t2, f x y

 

, .

DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 16, LỚP L18

1 2110027 Vũ Hoàng Anh 2 2111723 Đoàn Hoài Mẫn 3 2114454 Trần Hồng Phúc 4 2112242 Phạm Đoàn Hiếu Tâm 5 2113156 Phạm Tiến Đạt

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

NHẬN XÉT VÀ CHẤM ĐIỂM CỦA THẦY/CÔ

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện Bài tập lớn, cũng như bài báo cáo và phần mềm lập trình Matlab, nhóm chúng em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các anh chị khóa trước và các bạn sinh viên cùng khóa, đặc biệt là cơ Trần Ngọc Diễm, giảng viên bộ mơn Giải tích 2, lớp L18. Dù lớp học có đến hàng trăm sinh viên nhưng cơ vẫn sẵn lòng dành chút thời gian quý báu của mình để hướng dẫn tận tình cho từng nhóm, phân tích kĩ từng câu hỏi, từng yêu cầu đề bài đưa ra. Cũng vì thế mà nhóm chúng em đã hiểu rõ hơn về đề tài mà nhóm đang tìm hiểu và có đủ kiến thức để vượt qua những rào cản khi thực hiện Bài báo cáo để hoàn thành đúng tiến độ.

Tuy đã cố gắng hết sức nhưng vì là cơng việc khơng chun nên chắc hẳn khơng thể tránh khỏi những sơ sót khi viết Bài báo cáo. Mong cơ bỏ qua!

Tập thể Nhóm 16, Lớp L18

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

MỤC LỤC

NHẬN XÉT VÀ CHẤM ĐIỂM CỦA THẦY/CÔ ... i

LỜI CẢM ƠN ... ii

CHƯƠNG 1. PHẦN MỞ ĐẦU ... 1

CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ... 2

2.1. Tham số hóa đường cong ... 2

2.2. Tích phân đường loại 1 ... 2

2.3. Tích phân đường loại 2 ... 4

CHƯƠNG 3. THỰC HIỆN YÊU CẦU ĐỀ BÀI... 7

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

CHƯƠNG 1. PHẦN MỞ ĐẦU

Giải tích là mơn học đại cương có tầm quan trọng đối với sinh viên các ngành thuộc khối

Khoa học kỹ thuật – Công nghệ nói chung và sinh viên Đại học Bách Khoa Tp.HCM nói

riêng. Giải tích ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực của đời sống như: khoa học, kinh tế, mơi

trường, xử lí tín hiệu, đồ họa, cơng nghệ máy tính, trí tuệ nhân tạo,... Do đó, việc dành nhiều thời gian cho môn học này là điều tất yếu để giúp cho sinh viên có được cơ sở vững chắc về các môn khoa học tự nhiên và làm tiền đề để học tốt các môn học khác. Sự phát triển của toán tin ra đời đã hỗ trợ rất lớn trong quá trình phát triển của giải tích. Việc ứng dụng tin học trong quá trình giải thích các cơ sở dữ liệu của đại số, giải các bài toán đại số đã làm cho thời gian bỏ ra được rút ngắn lại và mang lại hiệu quả cao hơn.

Trong chương trình học, giải tích tập trung xoay quanh các nội dung như: giới hạn, liên

tục, đạo hàm, vi phân, tích phân và chuỗi. Nhưng, tích phân có lẽ là vấn đề ln được nhiều học sinh/ sinh viên quan tâm, vì đây là nội dung khá khó, mới mẻ và chiếm khối lượng kiến thức rộng lớn. Hơn thế nữa, tích phân đường cịn là một phạm trù mới hồn tồn mà ở bậc THPT chúng ta chưa từng được tiếp cận nhưng lại có ứng dụng rất nhiều trong thực tế (như tính khối lượng một sợi dây mỏng hay tính cơng do một lực thực hiện trên một đường cong, v.v...).

Ở Bài tập lớn này, nhóm chúng em thực hiện nội dung “Tìm hiểu về tích phân đường và một số ứng dụng thực tế của tích phân đường”. Đây là một đề tài khơng dễ để có thể hồn thành nhưng nhóm hi vọng sau đề tài này sẽ giúp các bạn học sinh/ sinh viên đến gần hơn với tích phân và khơng cịn cảm thấy khơ khan, khó hiểu khi giải những bài tập liên quan đến tích phân, đặc biệt là tích phân đường.

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1. Tham số hóa đường cong

Có 3 dạng tham số hóa đường cong thường gặp trong đường cong phẳng:

- Theo tọa độ Descartes: tham số là x hoặc y. - Theo tham số dạng tổng quát t.

- Theo tọa độ cực: tham số là r hoặc  .

a) Tham số hóa đường cong phẳng dạng tổng quát

 

 ; 0 t 2 (hoặc    t ) - Trường hợp 3: Ellipse:

 ; 0 t 2

Chúng ta có thể tham số hóa như sau:

  

  

 

  

c) Tham số hóa đường cong trong khơng gian

Nguyên tắc: Tham số hóa cho 2 biến trong mặt phẳng để suy ra tham số cho biến thứ 3.

- Bước 1: Chiếu đường cong lên mặt phẳng thích hợp.

- Bước 2: Tham số hóa cho đường cong trong hình chiếu (trong mặt phẳng). - Bước 3: Tham số hóa cho biến cịn lại.

2.2. Tích phân đường loại 1

a) Định nghĩa

- Cho f x y

 

, xác định và liên tục trên đường cong (C) với điểm đầu là A, điểm cuối là B.

- Phân hoạch 𝐴𝐵⏜ thành những cung 𝐶𝑘 có độ dài ∆𝑙𝑘. - Trên mỗi cung 𝐶𝑘 lấy điểm 𝑀𝑘, xét tổng:

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

thì



2

        

1

𝑛→∞𝑆𝑛 tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó là tích phân đường loại 2 của hàm P(x,y),

Q(x,y) dọc theo cung 𝐵𝐶⏜ :

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

- Trường hợp 1:

 

C dạng tham số: xx t

 

;y y t

 

; t1: điểm đầu, t2: điểm cuối

Tích phân đường loại 2 trên đường cong kín được kí hiệu: ∮ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦𝐶

Cho miền D là miền đóng trong mặt phẳng Oxy với biên C trơn từng khúc. Các hàm P(x,y),

Q(x,y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trong D. Khi đó ta có:

∮ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ± ∬(𝜕𝑄𝜕𝑥 −

Tích phân đường vế trái được lấy theo chiều dương quy ước.

C có thể gồm nhiều chu tuyến giới hạn miền D.

e) Tích phân không phụ thuộc vào đường đi

- Cho hàm P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trong miền mở đơn liên D chứa cung 𝐴𝐵⏜ .

- Các mệnh đề sau tương đương:  𝜕𝑄

𝜕𝑥 =𝜕𝑃

𝜕𝑦

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

 Tích phân 𝐼 = ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦𝐴𝐵⏜ không phụ thuộc đường cong trơn từng khúc nối cung

AB nằm trong D.

 Tồn tại hàm u x y





là vi phân toàn phần của P x y dx





Q x y dy





: 𝑑𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝐼 = ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = 𝑢(𝑥𝐵, 𝑦𝐵) − 𝑢(𝑥𝐴, 𝑦𝐴)

𝐴𝐵⏜ phải nằm trong miền D.

 Tích phân trên mọi chu tuyến kín C, trơn từng khúc trong D bằng 0:

𝐼 = ∮ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = 0

𝐶

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

CHƯƠNG 3. THỰC HIỆN YÊU CẦU ĐỀ BÀI

3.1. Câu 1

Yêu cầu: Nêu 5 ứng dụng thực tế của tích phân đường, cho ví dụ cụ thể (chỉ ra tính thực tế

của ứng dụng).

Ứng dụng 1: Tính khối lượng sợi dây; tính khối tâm và momen quán tính của một sợi dây

trong khơng gian.

* Tính khối lượng sợi dây:

Giả sử rằng một đoạn dây được mô tả bằng một đường cong C trong không gian ba chiều.

Khối lượng trên một đơn vị chiều dài của dây là một hàm liên tục Khi đó, tổng khối lượng của dây được biểu thị thông qua tích phân đường của hàm vơ hướng như sau:

Ví dụ: Tìm khối lượng của một sợi dây chạy dọc theo đường cong mặt phẳng C với mật

độ:



x y,



3x2y. Đường cong C là đoạn thẳng từ điểm A(1,1) đến điểm B(2,4).

trong đó tham số t biến thiên trong đoạn [0,1] Khi đó khối lượng của dây là

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

= √10 ∫ (9𝑡 + 5)01 𝑑𝑡

= 19√10

2 ≈30

* Tính khối tâm và momen quán tính của một sợi dây trong khơng gian:

Giả sử một đoạn dây được mô tả bằng một đường cong C với mật độ khối lượng được cho

+ (𝑑𝑦𝑑𝑡)

= ∫ 𝑎2𝑠𝑖𝑛2𝑡 √(−𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑡)2+ (𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑡)22𝜋

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Trong vật lý, việc tính momen qn tính có ý nghĩa quan trọng bởi nó giúp chúng ta khảo sát chuyển động quay của các vật. Từ đó tìm ra mối quan hệ giữa gia tốc góc và momen lực thơng qua momen qn tính.

Ứng dụng 2: Ứng dụng tích phân đường loại 2 trong ngành cơng nghệ dệt may.

Trường Đại học Công Nghiệp Dệt may Hà Nội đã dạy học tích phân đường loại 2 giúp sinh viên tính được diện tích các chi tiết thành phẩm của sản phẩm dệt may. Cụ thể của bài học tích phân đường loại 2, giảng viên lấy ví dụ cụ thể tính diện tích túi áo để sinh viên tiếp cận với chuyên ngành may mặc một cách dễ dàng nhất. Ở đây ưu tiên sử dụng mơ hình thành phẩm của sản phẩm cắt may để sinh viên quan sát và tính tốn.

Ví dụ: Giảng viên sẽ đưa ra chi tiết thành phẩm túi áo và yêu cầu sinh viên tính diện tích

của túi áo để phục vụ cho việc thiết kế và cắt may để tạo thành sản phẩm. Và từ đó sinh viên sẽ áp dụng tích phần đường loại 2 vào để tính diện tích túi áo.

Ứng dụng 3: Tích phân đường loại 2 được dùng để tính cơng sinh ra bởi một lực F tác động

vào một chất điểm làm cho chất điểm chuyển động từ A đến B. Biết F thay đổi và

F x y P x y iQ x y j.

Trường hợp lực F không đổi, AB là một đoạn thẳng/đường thẳng, F tạo với AB một góc

 thì cơng sinh ra được tính bằng công thức: A F AB. .cos F AB.

Trường hợp lực F thay đổi và F x y





P x y i





Q x y j





. AB là một đường cong thì

A



P x y dx Q x y dy (1).

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Khi tính (1) cần phải lưu ý chiều đường đi vì khi đổi chiều đường đi tích phân (1) sẽ đổi

dấu. Điều này có ý nghĩa thực tế vì khi ta tác động một lực theo chiều từ A đến B, giả sử công sinh ra nhận giá trị dương thì khi tác động theo chiều ngược lại (từ B đến A), công sinh ra sẽ

Trong thực tế, các máy móc bao giờ cũng có ma sát. Vì vậy, cơng mà chúng ta phải tốn để làm một vật chuyển động bao giờ cũng lớn hơn cơng làm vật chuyển động khi khơng có ma sát, đó là vì phải tốn một phần cơng để thắng lực ma sát.

Gọi A là cơng tồn phần, A là cơng có ích và 1 A2 là cơng hao phí.

Hiệu suất của máy (hoặc động cơ): HA1 AA2 1 A2

Vì A ln lớn hơn A nên hiệu suất luôn nhỏ hơn 100%. Tuy nhiên, nhờ việc tính cơng, 1

người ta có thể tính tốn để thiết kế những máy móc, động cơ có cơng có ích xấp xỉ với cơng tồn phần để gia tăng hiệu suất của máy móc, động cơ.

Ứng dụng 4: Tính diện tích của một mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz (trục thẳng

đứng), biên dưới là đường cong (C) nằm trong mặt phẳng Oxy (mặt đáy).

Bài tốn 1: Tính diện tích xung quanh của một hồ nước được tạo bởi một mặt trụ sinh bởi

đường cong

 

C có phương trình: 1 2

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

(Tham khảo Slide bài giảng Tích phân đường, cơ Huỳnh Thị Vu,

có thay đổi số liệu, hình vẽ)

Diện tích mặt trụ tạo bởi đường cong

 

C có giá trị đúng bằng tích phân:

Mặt phẳng y9 chạy song song với trục Oz, nhưng giới hạn bởi   9 x 9 và 0 z 5

tạo thành hình chữ nhật có chiều rộng bằng 5 (đvđd) và chiều dài bằng 9.218 (đvđd). Diện tích của hình chữ nhật nói trên bằng: I2 18.590 (đvdt).

Vậy, diện tích xung quanh của hồ nước bằng: I  I1 I2 133,1 90 223,1 (đvdt).

Bài tốn 2: Tính diện tích mặt trụ song song với đường Oz có đường chuẩn là đường cardioid

   

C :r  2 1 cos



 



với 0 





; chiều cao là 1,5.

(Tham khảo Đề thi cuối kì 202 – Ca 3 – Đại học Bách Khoa Tp.HCM;

có thay đổi số liệu, hình vẽ)

Diện tích mặt trụ cần tính có giá trị đúng bằng tích phân:

  

2

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

I 1,5.1624 (đvdt)

(Mặt trụ song song với đường Oz có đường chuẩn là đường cardioid

   

C :r  2,5 1 sin



 



với 0 





; chiều cao là 3,5)

(Mặt trụ song song với đường Oz có đường chuẩn hình trái tim

   

C :r t  



1 t



1 3 t



với

  1t1

; chiều cao là 1)

Qua hai bài toán và những hình ảnh trên, chúng ta thấy rằng có thể ứng dụng trong thực tế thơng qua việc tính diện tích xung quanh của một cái hồ nước (chẳng hạn: hồ cá, hồ bơi,...) dùng trong thiết kế, tính tốn chi phí vật tư,...

Ứng dụng 5: Tính độ dài tấm phôi kim loại dùng làm tôn lợp nhà.

Ta cần tính độ dài đường cong của hàm số y f x

 

giới hạn bởi hai đường thẳng xa

Ví dụ 1: Một con diều hâu bay tại độ cao 180 m tình cờ

đánh rơi con mồi. Con mồi rơi theo quỹ đạo là đường parapol có phương trình

Ví dụ 2: Một luồng gió thổi ổn định con diều về hướng

Tây, chiều cao của con diều phụ thuộc vào vị trí tính theo phương ngang từ x0 đến x80 (m) được cho bởi phương trình 1



2

y  x (trong đó y (m) là độ

cao tính từ mặt nước biển và x (m) là khoảng cách dịch

chuyển theo phương ngang). Tìm quãng đường con diều bay được.

Quãng đường con diều bay được là:

Ứng dụng thực tế: Một nhà máy sản xuất tấm lợp kim loại bằng tơn có chiều rộng 28 inch

và cao 4 inch, bề mặt tấm lợp được dàn bằng máy theo chương trình máy tính lập trình trước

mà tập hợp các điểm trên bề mặt tấm lợp đều thuộc đồ thị của hàm số 2sin7

xy 

từ một

tấm phơi kim loại phẳng có chiều dài L. Tính chiều dài cần thiết của tấm phôi kim loại để

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

chế tạo được tấm lợp theo yêu cầu trên, biết rằng độ dài đường cong y f x

 

trên đoạn

 

a b; được xác định bởi công thức:

 

2

clear close

syms t t1 t2 k

x = input('nhap ham x theo t: x = '); y = input('nhap ham y theo t: y = '); t1 = input('nhap gia tri t1 = '); t2 = input('nhap gia tri t2 = '); f = input('nhap f(x,y) = '); dx = diff(x,t);

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

dy = diff(y,t);

u= f*sqrt(dx^2+dy^2); S=int(u,t,t1,t2);

S=round(S,4);

ezplot3(x,y,f,[t1,t2]); hold on;

ezplot3(x,y,0,[t1,t2]); hold on;

ezsurf(x,y,k*f,[0,1,t1,t2]); xlabel('x');

ylabel('y'); zlabel('z'); grid on; disp(S); end

3.2.2. Một số ví dụ minh họa

0 t 2 trong mặt phẳng Oxy, biên còn lại nằm trong mặt cong

 

2

, 1

f x y  x . Vẽ mặt trụ này.

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Ví dụ 2: Tính diện tích mặt trụ đứng, có một biên nằm trên đường cong x2 1 sin



 t



cost,

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Ví dụ 4: Tính diện tích mặt trụ đứng, có một biên nằm trên đường cong xcost, 3sin3

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

Có thể nói, trong q trình phát triển và hội nhập không ngừng, kỹ năng giao tiếp, ứng xử, kỹ năng làm việc nhóm, thuyết trình, quản lý và phân bố thời gian là vô cùng quan trọng đối với mỗi người, đặc biệt là học sinh, sinh viên. Những Bài tập lớn ấy đã chúng em có cơ hội, thời gian để trao đổi, học hỏi, sẻ chia kinh nghiệm lẫn nhau; đồng thời, cũng là dịp để trau dồi, rèn luyện những kỹ năng mềm. Đó chính là “bệ phóng” tốt nhất để chúng em có thể vươn xa hơn, bay cao hơn trong chặng đường lắm gian nan phía trước.

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Slide Bài giảng Tích phân đường loại 1, 2, TS. Trần Ngọc Diễm. Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc Gia Tp.HCM.

[2] Slide Bài giảng Tích phân đường loại 1, 2, TS. Huỳnh Thị Hồng Diễm. Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc Gia Tp.HCM.

[3] Giáo trình Giải tích 2, Nguyễn Đình Huy. NXB Đại học Quốc Gia Tp.HCM.

[4] Website: huong-ung-dung-nghe-nghiep-cho-sinh-vien-nganh-cong-nghe-may.htm.

Video Bài giảng Tích phân đường loại 2 (Trên youtube) của cô “Giang Le”.

[6] Website:

[7] Website: trai-tim/

Website: tich-phan-2223.html

Website:

</div>

báo cáo bài tập lớn giải tích 2 tích phân đường ứng dụng

<b>BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO </b>

<b>ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA </b>

<b>BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 </b>

<b>TÍCH PHÂN ĐƯỜNG & ỨNG DỤNG </b>

<b>Giảng viên hướng dẫn: TS. Trần Ngọc Diễm Nhóm: GT2-L18-16 </b>

<b>Ngày 23 tháng 04 năm 2022 </b>

<b>YÊU CẦU ĐỀ TÀI </b>

 

 





 

 

 

<b>DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 16, LỚP L18 </b>

<b>NHẬN XÉT VÀ CHẤM ĐIỂM CỦA THẦY/CÔ </b>

<b>LỜI CẢM ƠN </b>

<b>MỤC LỤC </b>

<b>CHƯƠNG 1. PHẦN MỞ ĐẦU </b>

<b>CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT </b>

  

 



        

 

 

 













<b>CHƯƠNG 3. THỰC HIỆN YÊU CẦU ĐỀ BÀI </b>



















 

 

   









  

   









   







  1<i>t</i>1

 



 



 

 



 

 



 









 



 