Chương 5 Đường tròn Toán 9 chương trình mới

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (538.44 KB, 43 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

Chương 5. Đường tròn.Bài 13. Mở đầu về đường tròn.B. BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Bài 1: Cho ΔABCABC vng tại A có AB6cm AC, 8cm. Chứng minh rằng ba điểm A B C, , cùng thuộcmột đường tròn. Tính bán kính của đường trịn đó.

Bài làm:

Gọi O là trung điểm của BC.

ΔABCABC vng tại A có AO là đường trung tuyến

ứng với cạnh huyền BC nên 2

OA OB OC.

Vậy ba điểm A B C, , cùng thuộc đường tròn tâm O, bán kính OB.

Ta có BC2 AB2AC2 6282 102 BC10cm 52

Bài 2: Cho hình vng ABCD có E là giao điểm của hai đường chéo.

a) Chứng minh rằng có một đường trịn đi qua bốn điểm A B C D, , , . Xác định tâm đối xứng và hai trục đối xứng của đường trịn đó.

b) Tính bán kinh của đường trịn đó nếu hình vng có cạnh bằng 3 cm.

Bài làm:

a) Hình vng ABCD có E là giao điểm của hai đường chéo

Nên EA EB EC  ED. Vậy bốn điểm A B C D, , , cùng thuộc

đường trịn tâm E , bán kính EA . E là tâm đối xứng của đường tròn

và BD AC, là hai trục đối xứng của đường trịn này.b) Ta có BD2 AB2AD2 3232 2.32  BD3 2cm

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB12cm BC, 5cm. Chứng minh rằng bốn điểm A B C D, , , cùng thuộcmột đường trịn. Tính bán kính của đường trịn đó.

Bài làm:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD .

Khi đó OA OB OC OD   . Như vậy bốn điểm A B C D, , , cùng thuộc một đường tròn tâm Obán kính OB.

Ta có BD2 AB2AD2 12252 132  BD13cm

8 cm6 cm

3 cm

A

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

Như vậy bốn điểm A B C D, , , cùng thuộc một đường tròn tâm O, bán kính OB.

Ta có BD2 AB2AD2 15282 172  BD17cm

a) Chứng minh rằng ΔABCOAB là tam giác đều.b) Tính độ dài đoạn BC.

Bài làm:

a) ΔABCOAB có OA OB ( cùng bằng bán kính) nên cân tại O

Gọi đường thẳng d cắt OA tại M .

ΔABCOAB có BM vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên ΔABCOAB cân tại B

 . Vậy ΔABCOAB có OA OBAB nên là tam giác đều.

b) Ta có

32 2

OM   cm

. Áp dụng Pythagore ta có: 2

Bài 6: Cho đường tròn

 

O

và ba điểm A B C, , thuộc đường trịn đó sao cho ΔABCABC cân tại A .

a) Giả sử BC6cm, đường cao AM của ΔABCABC bằng 4 cm. Tính AB .

b) Gọi 'B là điểm đối xứng với B qua O. Vẽ AH CB' tại H . Tứ giác AHCM là hình gì?

Bài làm:

a) ΔABCABC cân tại A , nên đường cao AM cũng là đường trung tuyến

.Áp dụng định lý Pythagore ta có

b) ΔABCBCB' có OB OB ' nên OC là đường trung tuyến, mà

BBOC 

Nên ΔABCBB C' vuông tại C.

Tứ giác AHCM có ba góc vng nên là hình chữ nhật.

Bài 7: Cho ΔABCABC nhọn. Vẽ đường trịn

 

O

đường kính BC, đường trịnnày cắt AB AC, lần lượt tại D và E . Gọi H là giao điểm của BE

và CD.

a) Chứng minh rằng CDAB và BEAC.b) Chứng minh rằng AH BC.

Bài làm:

a) ΔABCBDC có BO CO nên DO là đường trung tuyến,

BCDO R

nên ΔABCBDC vng tại D CDAB.

ΔABCBEC có BO CO nên EO là đường trung tuyến,

BCEO R

nên ΔABCBEC vuông tại E  BEAC.

AO

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

b) ΔABCABC có hai đường cao BE và CD cắt nhau tại H , nên H là trực tâm AH BC.

3

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

Bài 8: Cho ΔABCABC vng tại A có AB6cm AC, 8cm.Vẽ đường trịn

 

O

đường kính AB cắt BC tại H .a) Tính AH và CH .

b) Kẻ OK AH tại K , tia OK cắt AC tại D .

b) Chỉ ra ΔABCAOD ΔABCBOD c c c



 



 OAD OHD  900

Bài 9: Cho ΔABCABC vuông tại A , đường cao AH . Vẽ đường trịn

 

I

đường kính BH cắt AB tại D , vẽ

đường trịn

 

K đường kính HC cắt AC tại E .a) Chứng minh ADHE là hình chữ nhật.

b) Chứng minh rằng AD AB. AE AC.c) Giả sử AB3cm BC, 5cm.

Tính DE và diện tích tứ giác DEKI .

Bài làm:

a) Chứng minh ΔABCBDH vuông tại D HDABChứng minh ΔABCHEC vng tại E HEAC

Tứ giác ADHE có ba góc vng nên là hình chữ nhật.

b) Chứng minh ΔABCADHΔABCAHB g g



AHADAH2 AB AD.

Chỉ ra SDBI SDHI, SDAE SDHE, SEHK SECK nên SDEKI 12SABC  62 3cm2

Bài 10: Cho nửa đường tròn



O R;



đường kính BC. A là một điểm thay đổi trên đường tròn sao cho

ABAC. Tia phân giác BAC cắt đường trung trực BC tại D . Hạ DH và DK lần lượt vng góc vớiAB và AC.

a) Chứng minh rằng AHDK là hình vng.

b) Chứng minh A B C D, , , cùng thuộc một đường tròn.

A

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

Bài làm:

a) Chỉ ra AHDK là hình chữ nhật. lại có AD là tia phân giác BAC HAD 450

Nên ΔABCAHD vuông cân tại H  HA HD . Vậy AHDK là hình vuông.

b) Chứng minh A B C, , cùng thuộc đường tròn



O OB;



Chỉ ra DB DC ( vì D nằm trên đường trung trực của BC)

Chứng minh ΔABCDHBΔABCDKC ( cạnh huyền – cạnh góc vng)

HDB CDK

  . Khi đó BDC HDK 900

Chứng minh B D C, , cùng thuộc đường tròn



O OB;



Kết luận A B C D, , , cùng thuộc một đường tròn



O OB;



Bài 11: Cho ΔABCABC vng tại A có ABAC, đường cao AH

a) Cho HB4cm HC, 9cm. Tính AH và số đo ABC ( làm tròn đến độ)

b) Gọi D là hình chiếu của H trên AB , E là hình chiếu của H trên AC.Chứng minh rằng:

1) Chỉ ra tứ giác ADHE có ba góc vng nên là hình chữ nhật.

2) Chứng minh ΔABCADHΔABCAHB g g



AHADAH2 AB AD.

A

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Bài 12: Cho ΔABCABC vuông tại A , đường cao AH .

a) Biết AB5cm BC, 13cm. Tính độ dài cạnh AH và số đo góc BAH

b) Gọi O là trung điểm của AC, K là hình chiếu của O trên BC.Chứng minh 4 điểm A B O K, , , cùng nằm trên một đường tròn.

c) Đường thẳng qua A và vng góc với BO cắt đường thẳngqua C vng góc với AC tại M . Chứng minh ΔABCABO∽ ΔABCCAM

b) Lấy I là trung điểm của BO.

ΔABCABO vuông tại A có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BO AI OI BI

ΔABCBKO vng tại K có KI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyển BO KI OI BIVậy bốn điểm A B O K, , , cùng nằm trên một đường tròn.

c) Chỉ ra OAM ABO  ΔABCABO∽ΔABCCAM g g







 nằm trên đường trung trực của HC.

Mà O K, nằm trên đường trung trực của HC nên O K M, , thẳng hàng.

Bài 13: Cho ΔABCABC cân tại A , vẽ hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H .

a) Chứng minh rằng bốn điểm B F E C, , , cùng thuộc mộtđường tròn và chỉ ra tâm của đường tròn đó.

b) Gọi I K, lần lượt là hai điểm trên BH và CH sao cho ,

HEHI HF HK. Chứng minh rằng bốn điểm, , ,

A

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

a) Lấy O là trung điểm của BC

Chỉ ra FOBO CO và EOBO CO .

Vậy bốn điểm B F E C, , , cùng thuộc đường tròn tâm O.b) ΔABCABC cân tại A có BE CF, là hai đường cao nên BE CF

Và AH vừa là đường cao vừa là phân giác góc BAC

Chứng minh ΔABCAFH ΔABCAEH ( cạnh huyền – góc nhọn)HFHE

      . Vậy ΔABCABC đều thì điểm M thuộc đường tròn

 

H .

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Bài 2. Cung và dây của một đường tròn.B. BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Bài 1: Cho đường tròn



O; 5 cm



và AB là một dây bất kì của đường trịn đó. Biết AB6cm.

Gọi OH 3cm khoảng cách từ tâm O đến AB .

ΔABCOAB cân tại A , nên đường cao OH cũng là đường phân giácMà AOB 1000 nên AOH 500

a) Gọi OH AB tại H . AB900  AOB900

ΔABCABO vuông cân tại A ,

Ta có

. 4. 45 4. 2 22

b) AB2 OA2OB2 42 42  AB4 2cm

Bài 4: Cho đường trịn

 

O

đường kính BC, điểm A nằm trên đường tròn sao cho AOC 1200.

a) Chứng minh rằng dây AB bằng bán kính.b) Tính sđ AB .

Bài làm:

a) Vì AOB 1200  AOC 1200  AOB600

ΔABCABO cân tại O lại có AOB600 ΔABCOAB là tam giác đều.

O

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

b) Ta có sđ AB AOB600.

Bài 5: Cho đường tròn



O R;



và dây AB R . Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BCR. Kéo dài CO cắt

 

O

Khi đó sđ BE BOE 1500, sđ AD AOD 900

Bài 6: Cho đường trịn



O; 10 cm



có dây EF , biết khoảng cách từ tâm O tới dây EF bằng 8 cm.

a) Tính độ dài dây EF .b) Tính sđ EF .

Bài 7: Cho đường tròn

 

O

, dây AC bằng dây BD cắt nhau tại I . ( D nằm giữa A và C)a) Chứng minh rằng sđ AC  sđ BD

8 cm

AO

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

và sđ BC sđ BD  sđ CD. mà sđ AC  sđ BD nên sđ AD  sđ BC.

Bài 8: Cho đường tròn

 

O, dây AB . Trên cung nhỏ AB lấy hai điểm M N, sao cho AM BN( M nằm trên cung AN).

a) Chứng minh rằng sđ AN  sđ BM

b) Chứng minh rằng hai dây AN BM, bằng nhau.

Bài làm:

a) Sđ AN sđ AM  sđ MNSđ BM sđ BN sđ MN

Mà sđ AM sđ BN  sđ AN  sđ BMb) Vì sđ AN  sđ BM  AON BOM .

Chứng minh ΔABCAON ΔABCMOB c g c



 

, hai điểm A B, thuộc đường tròn

sao cho AOB 900.

a) Tính diện tích hình quạt trịn tạo bởi cung AB .

b) Tính diện tích hình viên phân ( hình giới hạn bởi cung AB và dây AB ) ( Hình bên)

.b) Diện tích ΔABCAOB là

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

13

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Bài 5: Một chiếc quạt giấy khi xịe ra có hình dạng của một hình quạt trịn với bán kính 25 cm và khi xịe hết thì góc tạo bởi hai thanh nan ngoài cùng của chiếc quạt là 150 .0

a) Tính chiều dài cung trịn của chiếc quạt.

b) Tính diện tích phần giấy làm quạt, biết rằng phần giấy của quạt là một hình vành khun có bán kính đường trịn nhỏ là 10 cm.

c) Tính số đo của cung KH nếu BAC 400.

Bài làm:

a) ΔABCKBC vuông tại K có KO là trung tuyến KO OB OC

ΔABCHBC vng tại H có HO là trung tuyến HO OB OCVậy H K, thuộc đường trịn tâm O đường kính BC.

b) ΔABCOBK cân tại O BOK 1800 2.KBO

ΔABCOCH cân tại O HOC1800 2.HCO

Mà ΔABCABC cân tại A KBO HCO . Từ đó BOK HOC  sđ BK sđ HC  BK HC 

c) Từ A 400 ABC700  BOK 400 KOH 1000 sđ HK  1400.

Bài 7: Cho ΔABCABC đều có AB2 3cm. Đường trịn đường kính BC cắt hai cạnh AB AC, lần lượt tại

b) ΔABCABC đều nên BC2 3cm OC 3cm

Diện tích hình quạt trịn tạo bởi cung CE là

A

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Tính được diện tích ΔABCABC bằng

23 3

2 cm .

Diện tích ΔABCOEC là

4 ΔABCABC 8

Bài 8: Cho ΔABCABC vuông tại A có AB3cm BC, 6cm, đường trịn đường kính BC.

a) Chứng minh rằng đỉnh A thuộc đường trịn.

b) Tính diện tích hình quạt trịn tạo bởi cung AC và diện tích phần viên phân giới hạn bởi dây AC vàcung AC.

Bài làm:

a) Lấy O là trung điểm của BC.

ΔABCABC vng tại A có AO là trung tuyến nên OA OB OC

Vậy A thuộc đường trịn tâm O đường kính BC.

b) Tính được OC3cm và

Bài 9: Cho đường tròn



O; 5 cm



và hình lục giác đều ABCDEF sao cho 6 đỉnh của hình lục giác đều đều thuộc đường tròn.

a) Chứng minh rằng cung AC và cung BD bằng nhau.

b) Tính diện tích hình quạt trịn tạo bởi cung BD và diện tích phần viên

phân tạo bởi cung AC và dây AC

Tính diện tích ΔABCOAB được

225 3

4 cm suy ra

O

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

25 3

26, 2 15, 44

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Bài 16. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.B. BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Bài 1: Cho SA SB, là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn

 

O

( A B, là hai tiếp điểm). Gọi M là mộtđiểm tùy ý trên cung nhỏ AB . Tiếp tuyến của

 

O tại M cắt SA tại E và cắt SB tại F .

a) Chứng minh rằng chu vi của ΔABCSEF bằng SA SB

b) Giả sử M là giao điểm của đoạn SO với đường tròn

 

O

Bài 2: Cho đường tròn

 

O và điểm A nằm bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến AM AN, với đường

tròn ( M N, là các tiếp điểm)a) Chứng minh rằng OAMN

b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng MC∥ AO.c) Giả sử OM 3cm OA, 5cm. Tính các cạnh của ΔABCAMN.

C

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Khi đó

.b) Chỉ ra MN MC CN MA NB

c) Chứng minh AM BN. MC CN OC.  2 R2

Bài 4: Cho nửa đường tròn

 

O đường kính MN, tiếp tuyến Nx. Qua A trên nửa đường trịn ( A khơng

trùng với M N, ) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Nx ở B . Tia MA cắt Nx ở C.a) Chứng minh bốn điểm O A B N, , , cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh OBAN

c) Chứng minh B là trung điểm của NC.

Bài làm:

a) Chỉ ra bốn điểm O A B N, , , cùng thuộc đường trịn

có tâm là trung điểm của OB, bán kinh 2

.b) Chỉ ra OB là trung trực của AN OBANc) Chi ra OB∥ MC vì cùng vng góc với AN

Bài 5: Cho đường trịn



 

O

đường kính AD . Vẽ tiếp tuyến tại A của đường trịn, từ C trên tiếp tuyến đó vẽ tiếp tuyến thứ hai CM của đường tròn

 

O

( M là tiếp điểm và M khác A ) cắt AD tại B .

DC

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

b) Chứng minh ΔABCBMO∽ΔABCBAC g g







BM ACBA MOBAAC

Bài 7: Cho



O R;



đường kính BC, lấy điểm A

 

O

. Gọi H là trung điểm của AC. Tia OH cắt

 

Otại M . Từ A vẽ tiếp tuyến với

 

O cắt tia OM tại N.

Bài 8: Cho đường tròn

 

O

đường kính AB . Gọi I là trung điểm của OB. Qua I kẻ dây CD vng gócvới OB. Tiếp tuyến của

 

O

a) Chứng minh ΔABCOIC∽ ΔABCOCE g g







 OI OE OC.  2 R2

b) Chỉ ra OE là tia phân giác COD  ΔABCCOE ΔABCDOE c g c



 



    là tiếp tuyến của đường tròn

 

O .

c) Chỉ ra AO OB2OI và AI là trung tuyến của ΔABCACD O là trọng tâm.

Khi đó DO là đường trung tuyến nên đi qua trung điểm của AC D O F, , thẳng hàng.

Bài 9: Cho đường tròn

 

O và dây AB . Qua O kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt tiếp tuyến tại A

của đường tròn tại C.

a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn. b) Vẽ đường kính BOD. Chứng minh AD∥ OC

c) Cho biết bán kính của đường trịn là 15cm AB, 24cm.Tính OC.

19

BA

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

   . Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Chứng minh ΔABCABD vuông tại A ADAB mà CO AB nên AD∥ OC.c) AB24cm AH 12cm. Tính HO9cm.

2 152259

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Bài 10: Cho đường tròn

 

O

đường kính AB và C là một điểm trên đường tròn ( C khác A và B ). Kẻ

CH AB. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của

 

O

tại M , MB cắt CH tại K .

a) Chứng minh OI AC và ΔABCABC vuông tại C.b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn

 

O .c) Chứng minh K là trung điểm của CH .

nên ΔABCABC vuông tại C.

b) Chỉ ra AOI BOI ΔABCAOM ΔABCCOM c g c



 







 AB2 BC BM.b) Chỉ ra KC KA  ΔABCCKO ΔABCAKO c c c



 



Bài 13: Cho đường trịn

 

O

đường kính AB . Qua A vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn

 

O

. Trên Ax

lấy điểm M ( M khác A ), từ M vẽ tiếp tuyến MC của đường tròn ( C là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm

của OM và AC. Đường thẳng MB cắt đường tròn

 

O

Bài 14: Cho nửa đường trịn

 

O

đường kính AB . Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến dcủa đường tròn. Gọi E F, lần lượt là chân đường vng góc từ A và B tới d. Gọi H là chân đường

vng góc kẻ từ C đến AB .

a) Chứng minh rằng CE CF .

23

12 34

B

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

b) Chứng minh AC là tia phân giác BAE .

c) Chứng minh rằng CH2 AE BF.

Bài làm:

a) Gọi OC cắt BE tại D . Chỉ ra AE∥ OC∥ BF  BDDE EC CFb) AE∥ CO EAC ACO  ( so le trong)

Mà ΔABCOAC cân tại O ACO CAO , suy ra EAC CAO  AC là tia phân giác BAE .

c) Chỉ ra ΔABCAEC ΔABCAHC ( cạnh huyền – góc nhọn) AEAHChỉ ra ΔABCBHCΔABCBFC ( cạnh huyền – góc nhọn) BH BFChứng minh ΔABCBHC∽ ΔABCCHA g g







 CH2 AH BH. AE BF. .

Bài 15: Cho nửa đường trịn



O R;



đường kính AB , C là điểm thuộc nửa đường tròn sao cho ACBC

( C khác A và B ). Kẻ CH AB và OI AC.

a) Chứng minh C H O I, , , cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn. Tia OI cắt Ax tại M . Chứng minh OI OM. R2

c) Gọi giao điểm của BM với CH là K . Chứng minh ΔABCAMO∽ΔABCHCB và CKKH

Suy ra CK HK ( vì MA MN ).

Bài 16: Cho nửa đường trịn

 

O

đường kính AB2R. Trên nửa đường trịn lấy điểm C ( C khác A vàB ). Kẻ OK BC tại K . Gọi D là giao điểm của BC với tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn