bài tập lớn giải tích 2 tính chiều dài thành hồ bơi

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2</b>

<i><b>a. Tính chiều dài thành hồ bơi</b></i>

Trước hết ta sẽ chọn loại hồ nước để tính và ta chọn loại hồ cong như hình dưới đây đểtính:

<i>Hồ bơi dạng cong cho các khu nghỉ mát</i>

<b>Bể bơi hình oval</b>

Loại hình dạng bể bơi này thường được thiết kế mà đối tượng sử dụng là trẻ em nhưngchúng ta cũng bắt gặp các hồ tương đối lớn ở các homestay. Hồ bơi hình Oval đẹp, uốnlượn mềm mại, hợp phong thủy.

Ngoài ra bể bơi composite đúc sẵn hình oval loại mini dành cho gia đình là một lựachọn tuyệt vời dành cho khu vườn thân yêu của bạn. Hay hình oval được thiết kế và thựchiện xây dựng hồ bơi khu nghỉ dưỡng ven biển.

Từ đây, ta sẽ thiết lập các kích thước bể bơi sơ bộ như sau:

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<i>Thơng số ban đầu của bể bơi</i>

-Kích thước bao của hồ là : dài 9 mét và rộng là 4.5 mét

Hình dạng của hồ bơi được tạo từ 4 đoạn khác nhau bao gồm 3 đường tròn và 1 đườngthẳng (thỏa yêu cầu đề bài cho)

Từ đây, ta có thể dễ dạng nhận thấy để tính chiều dài thành hồ thì chúng ta sẽ áp dụngđến tích phân đường loại 1 và chia thành 3 tích phân để cộng lại sẽ thành chiều dài thànhhồ:

<i>Ta chọn góc tọa độ nằm ở phía dưới như hình vẽ.</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

2 <i>^{≤ φ ≤2,448(140.28 độ)}</i>Suy ra: <i>d l</i>₁=

√

<i>x_t<small>' 2</small></i>

√

16⁸¹<i>^{dt ≈ 9,042m}</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<i>dt ≈ 1,755 m</i>

Vậy tổng chiều dài thành hồ là:

<i>L=5+2. L 1+ L2=5+2.9,042+1,755=24,839 m</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<i><b>b. Tính thể tích của hồ bơi</b></i>

Vì u cầu đề là mặt đáy phải được tạo thành từ mặt cong hay nhiều mặt phẳng ghép lạithế nên để thuận tiện cho việc tính tốn thì ta sẽ chọn mặt đáy được hình thành từ 2 mặtphẳng có biên dạng như hình dưới đây và tạo ra 1 tam giác cân và giao nhau của 2 mặt làđường thẳng đi qua tâm của đường trịn biên dạng như phía trên

<i>Hình cắt của đáy hồ được tạo bởi 2 mặt phẳng </i>

Ta có hệ trục tọa độ sẽ như trên hình thì ta sẽ có lần lượt phương trình của 2 mặt phẳngcắt ngang thành hồ là :

<i>-Phương trình mặt đầu tiên: z=</i>⁻

^√

³

<i>-Phương trình mặt thứ hai: z=</i>

^√

³

<b><small>YZ</small></b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Ta sẽ cắt từng phần ra để tính thể tích các khối. Vì khối thể tích này đối xứng với nhauthơng qua mặt phẳng OYZ thế nên ta chỉ cần tính thể tích 1 bên và nhân đối sẽ ra thể tíchtồn phần của hồ nước. Trước hết ta sẽ tích 1 phần thể tích tơ đậm như trên hình; ta giả sửchiều cao thành hồ là 300 mm là bằng 0,3 m.

Từ đây ta cũng tương tự tách ra hai phần thể tích khác nhau để tính tốn cho thuận tiệnvà vì hình được đối xứng qua 1 mặt phẳng có Y=2,25 thế nên ta cũng sẽ chỉ cần tính 1phần phía trên hoặc phía dưới thì sẽ có thể tính được tồn phần thể tích được đánh dấu.

Bài làm

<i>*Ta có phương trình hình trịn thứ nhất như được biết là: ( x−2,5 )</i><small>2</small>

+( y −2,25)²=2,25² vàchọn nửa hình trịn dưới để tính thể tích cho khối.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Khối thể tích được chọn trên được tạo thành từ các mặt phẳng như sau:

<i>Trong đó: ( x−2,5 )</i><small>2</small>

+( y −2,25)²=2,25²

<i>y ≤2,25z=0,3z=</i>⁻

^√

³

Miền D khi ta chiều lên mặt phẳng OXY là dạng phương trình hình trịn

<i>( x−2,5 )</i>²+( y −2,25)²<i>≤ 2,25</i>² lấy nửa phía dưới đường hình trịn.

<i>Đặt x=rcosφ+2,5 (0 ≤r ≤ 2,25)y=rsinφ+2,25(−π ≤φ ≤ 0)</i>

Suy ra:

<i>r .</i>

(

^{6+ 15}20

^√

³

)

+

√

33 <i>^{. r}</i>

<small>2</small><i>. sinφdφdr</i>

−

√

33 <i>^{. r}</i>

<i>Suy ra: ta có được thể tích của tồn bộ khối tròn trụ là: V 1=2. V =2.8,332=16,663 m</i><small>3</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

*Tiếp theo ta sẽ tính đến khối tiếp theo như hình dưới đây

Với khối thể tích này thì ta cũng sẽ phải chia nhỏ thành từng phần để tính tốn chothuận tiện. Trước hết ta sẽ tính khối thể tích phía dưới như hình dưới đây

Từ khối thể tích này ta sẽ có các mặt phẳng tạo nên khối là:

<i>Trong đó: ( x−2,5 )</i><small>2</small>

+( y −2,25)²<i>≥ 2,25</i>²

<b><small>Xy</small></b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Miền D khi ta chiều lên mặt phẳng OXY là dạng phương trình hình trịn

<i>( x−2,5 )</i>²+( y −2,25)²<i>≥ 2,25</i><small>2</small><i> ; 0 ≤ x; 0 ≤ y ≤ 2,25lấy phía ngồi hình trịn của góc phần tư thứ</i>

0,3+

^√

³3 <i>^{y dxdy}</i>

(

0,3+

^√

³3 <i>^y</i>

)

<i>. x</i>

|

<small>0</small>

<i>dy</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<i>→ V =</i>

∫

3 <i>^y</i>

)

<i>.</i>

(

−

√

2,25²−( y−2,25)²+2,5

)

<i>dy→ V 2=1,175 m</i>³

Tiếp theo ta sẽ tiếp tục tính tiếp khối thể tích tiếp theo

Để tính thể tích khối thể tích này ta sẽ tính qua trung gian và trừ các phần thể tích khơngcần thiết để suy ra khối thể tích cần tính.

Đầu tiên ta sẽ tính khối thể tích bao qt như hình

Khối thể tích này ta sẽ có các mặt phẳng tạo nên khối là:

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<i>Trong đó: x=0x=0,769y=2,25y=3,688z=0,3z=</i>

^√

³

Từ đây ta suy ra được cách tính thể tích theo tích phân bội là:

3

√

32

)

<i>. x</i>

|

<small>0</small>

2

)

<i>.0,769 dy→ V =1,3 m</i><small>2</small>

Tiếp tục sau đó ta sẽ tính đến khối thể tích tiếp theo như hình

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Khối thể tích trên ta sẽ có các mặt phẳng tạo nên khối là:

<i>Trong đó: x=−</i>

√

2,25²−<i>( y−2,25)</i>²+2,5

Từ đây ta suy ra được cách tính thể tích theo tích phân bội là:

<small>320,3</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

<i>V =</i>

∫

Tiếp theo đó, ta sẽ tính khối thể tích cịn lại như hình sau

Khối thể tích trên ta sẽ có các mặt phẳng tạo nên khối là:

<i>Trong đó: y=−</i>

√

<i>1−x</i>²+4,326

<i>y=3,688</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Từ đây ta suy ra được cách tính thể tích theo tích phân bội là:

<small>−√</small><i><small>1− x</small></i><small>2+4,3263,688</small>

*Cuối cùng ta suy ra được khối thể tích cần tính ban nãy là

<b>Kết luận </b>

Kết quả thể tích của hồ nước là:

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

<i>V_Tổng</i>=2. (V 1+V 2+V 3)=2.(16,663+1,175+0,484)=36,644 m<small>3</small>

</div>