Bài Tập lớn Giải Tích 2 năm 2014

BÀI TẬP LỚN MÔN GiẢI TÍCH 2 HỌC KỲ 2-2014
1

CÁCH TÍNH ĐiỂM

1.1

Phần 1: Lập trình 2 câu (5điểm)

.
• Chạy được chương trình: 2 điểm.
• Hỏi các lệnh trong chương trình: 3 điểm.

1.2

Phần 2: Giải bài toán cụ thể bằng các lệnh matlab trên Command window. (5 điểm)

• Tự chọn số câu cho đủ 5 điểm
• Thời gian chuẩn bị: 5 phút

2

Viết 1 đoạn code (5 điểm)
1. ĐỀ 1:

∂ m+n f
(x0 , y0 ). Hàm f (x, y), điểm M (x0 , y0 ), và n, m ≤ 4 nhập từ bàn
∂ m x∂ n y
phím . Báo lỗi nếu đạo hàm tại M không xác định.
3x
Câu 2: Cho miền V giới hạn bởi V : x + y + z = 3, 3x + y = 3,

+ y = 3, y = 0, z = 0. Viết đoạn code
2
để vẽ V và tính tích phân hàm f(x,y,z) nhập từ bàn phím trên miền V
Câu 1: Viết 1 đoạn code để tính

2. ĐỀ 2:
Câu 1: Viết 1 đoạn code để tính đạo hàm zx , zy của hàm z = z(x, y) xác định từ pt hàm ẩn F (x, y, z) = 0
tại M (x0 , y0 ). Hàm f (x, y, z), và x0 , y0 nhập từ bàn phím. Cho phép chọn giá trị z nếu có nhiều giá trị
của z(M ) và báo lỗi nếu không xác định được z(M
√ ).
Câu 2: Cho miền V giới hạn bởi V : x ≤ y ≤ x 3, 0 ≤ z ≤ 4 − x2 − y 2 . Viết đoạn code để vẽ V và
tính tích phân hàm f(x,y,z) nhập từ bàn phím trên miền V
3. ĐỀ 3:
Câu 1: Viết 1 đoạn code để tính vector gradient, pt tiếp diện của mặt cong z = f (x, y) , tại điểm M (x0 , y0 )
. Hàm đa thức f (x, y) và giá trị x0 , y0 nhập từ bàn phím. Vẽ mặt cong và tiếp diện.
Câu 2: Cho miền D giới hạn bởi y = lnx, x = a, y = b. Viết đoạn code để vẽ D và tính diện tích miền D,
xét các trường hợp không có miền D.
4. ĐỀ 4:
Câu 1: Viết 1 đoạn code để tính đạo hàm hàm hợp z = f (u), u = u(x, y) tại M (x0 , y0 ). Hàm f, u và
M (x0 , y0 ) nhập từ bán phím. Báo lỗi nếu các giá trị x0 , y0 làm cho đạo hàm không tồn tại.
y2
x2
+
= 1, z = 0, z = 2x + 3y . Viết đoạn code để vẽ V và tính
Câu 2: Cho miền V giới hạn bởi V :
4
9
tích phân hàm f(x,y,z) nhập từ bàn phím trên miền V
5. ĐỀ 5:
Câu 1: Cho hình vuông |x| + |y| ≤ 1. Viết đoạn code để tìm GTLN, GTNN của hàm f(x,y) nhập từ bàn

phím
Câu 2: Cho miền V giới hạn bởi V : z = 2 − x2 − y 2 , z = x2 + y 2 . Viết đoạn code để vẽ V và tính tích
1


phân hàm f(x,y,z) nhập từ bàn phím trên miền V
6. ĐỀ 6:
Câu 1: Viết 1 đoạn code để tính cực trị hàm đa thức f (x, y) bậc n nhập từ bàn phím (n ≤ 3).
Câu 2: Viết đoạn code để tính tích phân I =
f (x, y, z)ds với S là phần mặt nón z = x2 + y 2 nằm
S

dưới mặt phẳng z = 1 với hàm f (x, y, z) nhập từ bàn phím và vẽ mặt S
7. ĐỀ 7:
√
x
Câu 2: Cho miền D giới hạn bởi x2 + y 2 = 4, y = √ , y = 3x, x, y ≥ 0. Viết đoạn code để tính tích
3
phân trên miền D của hàm f(x,y) nhập từ bàn phím và vẽ miền D.
Câu 3: Cho C là đường cong x2 + y 2 = 1, z = y 2 , và 2 hàm P (x, y) = mx + ny, Q(x, y) = px + qy. Viết
đoạn code tính tích phân P dx + Qdy + ydz với m, n, p, q nhập từ bàn phím và vẽ đường cong C
C

8. ĐỀ 8:
Câu 1: Viết 1 đoạn code để tính đạo hàm của hàm hợp f = f (u, v), u = u(x).v = v(x) tại điểm
M (x0 , f (x0 )) với các hàm f, u, v và giá trị x0 nhập từ bàn phím.
Câu 2: Vẽ đường cong C x2 + y 2 + z 2 = 4, x + y + z = 0 và tính tích phân f (x, y, z)dl với hàm f (x, y, z)
C

nhập từ bàn phím.

9. ĐỀ 9:
df ∂f
Câu 1: Viết 1 đoạn code để tính đạo hàm
,
của hàm hợp f = f (x, y), y = y(x) tại điểm M (x0 ) với
dx ∂x
các hàm f, y và giá trị x0 nhập từ bàn phím.
√
3x . Viết đoạn code để vẽ V và tính tích
Câu 2: Cho miền V giới hạn bởi V : x2 + y 2 + z 2 4, x y
phân hàm f (x, y, z) nhập từ bàn phím trên miền V
10. ĐỀ 10:
Câu 1: Viết 1 đoạn code để tìm khai triển Taylor hàm f (x, y) tại điểm M (x0 , y0 ) đến bậc n với
f (x, y), x0 , y0 , n nhập từ bàn phím
Câu 2: Cho miền V giới hạn bởi V : x2 + y 2 = 1, z = −1, z = x2 + y 2 . Viết đoạn code để vẽ V và tính
tích phân hàm f (x, y, z) nhập từ bàn phím trên miền V
11. ĐỀ 11:
−
Câu 1: Viết đoạn code để tìm vecto →
u sao cho đạo hàm của hàm f (x, y) tại M (x0 , y0 ) theo hướng vecto
→
−
u bằng 3
Câu 2: Cho đường cong C x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 + z 2 = 2, z ≥ 0. Vẽ đường cong C và tính tích phân
f (x, y, z)dl với hàm f (x, y, z) nhập từ bàn phím.
C

12. ĐỀ 12:
Câu 1: Tìm vecto gradient, pt tiếp diện của mặt cong z = f (x, y) tại điểm M (x0 , y0 ) với hàm f (x, y), M (x0 , y0 )
nhập từ bàn phím. Vẽ mặt cong, vector gradient và tiếp diện.

Câu 2: Cho C là chu tuyến của miền D giới hạn bởi x2 + y 2 ≤ 1, y ≤ x. Vẽ C và tính tích phân f (x, y)dl
C

với hàm f (x, y) nhập từ bàn phím.
13. ĐỀ 13: Câu 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm f (x, y) trong miền D giới hạn bởi (x − a)2 + (y − b)2
R2 , bx ay với hàm f (x, y), a, b, R nhập từ bàn phím và vẽ miền D.
Câu 2: Vẽ và tính thể tích vật thể V : x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 + a, z ≥ 0, z ≤ x2 + y 2 với a ≥ 0 nhập từ bàn phím.

2


14. ĐỀ 14:
Câu 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm f (x, y) = ax+by trong miền D giới hạn bởi x2 +y 2 = c2 , 2cx+c2 = y 2
với a,b,c nhập từ bàn phím. Vẽ miền D
Câu 2: Vẽ và tính thể tích vật thể V : x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1, x + y + z = 3.
15. ĐỀ 15:
Câu 1: Tìm cực trị của hàm z = ax + by + c với điều kiện x2 + y 2 = 4. Vẽ phần mặt phẳng bị cắt bởi
mặt trụ và đánh dấu điểm cực trị với a, b, c nhập từ bàn phím
Câu 2: Vẽ và tính diện tích phần mặt phẳng z + y = a bị cắt bởi các mặt y = x2 , z = 0 với a nhập từ
bàn phím.
16. ĐỀ 16:
Câu 1: Tính tích phân I =

f (x, y, z)dl với C là giao tuyến của 2 mặt z = x2 + y 2 , z = 2ax với a dương
C

nhập từ bàn phím. Vẽ đường cong C
Câu 2: Cho mặt S là biên ngoài của vật thể giới hạn bởi x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = a Tính tích phân
I=
m(x2 +2yz)dydz +n(y 2 +2xz)dxdz +p(z 2 +2xy)dxdy và vẽ mặt S với a, m, n, p nhập từ bàn phím.

S

17. ĐỀ 17:
Câu 1: Viết 1 đoạn code để tính tích phân hàm f(x,y) trên tam giác ABC. Toạ độ 3 điểm A, B, C và hàm
f nhập từ bàn phím.Vẽ tam giác
Câu 2 : Viết 1 đoạn code để tính tích phân I =
f (x, y, z)ds với S là phần mặt nón z = x2 + y 2 nằm
S

trong hình trụ x2 + y 2 ≤ a với hàm f(x,y,z) và a nhập từ bàn phím. Vẽ mặt S
18. ĐỀ 18:
Câu 1: Viết 1 đoạn code để tính tích phân hàm f(x,y) trên miền D giới hạn bởi trục Ox, parabol y = ax2
và tiếp tuyến với parabol tại (x0 , ax20 ). a, x0 và hàm f (x, y) nhập từ bàn phím.Vẽ miền D
Câu 2: Viết 1 đoạn code để tính tích phân I = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz với C : z =
C

y 2 , x2 + y 2 = 1 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z > 0. Hàm P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) nhập
từ bàn phím. Vẽ C
19. ĐỀ 19:
Câu 1: Cho S mặt biên của tứ diện x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1. Vẽ tứ diện và tính tích phân
f (x, y, z)ds, với hàm f nhập từ bàn phím
S

Câu 2: Viết 1 đoạn code để tính đạo hàm y , y của hàm y = y(x) xác định từ pt hàm ẩn F (x, y) = 0
tại M (x0 , y(x0 )). Hàm f (x, y) và x0 nhập từ bàn phím. Cho phép chọn giá trị y nếu có nhiều giá trị của
y(x0 ) và báo lỗi nếu không xác định được y(x0 ).
20. ĐỀ 20:
Câu 1:Viết đoạn code để tìm cực trị hàm f(x,y) với điều kiện

x2 y 2

+ 2 = 1. Hàm f (x, y) và a, b nhập từ
a2
b

bàn phím.
Câu 2: Cho miền V giới hạn bởi V : x2 + y 2 + z 2 ≤ 2, z ≥ 0, z ≤ x2 + y 2 . Viết đoạn code để vẽ V và tính
tích phân hàm f (x, y, z) nhập từ bàn phím trên miền V
21. ĐỀ 21:
Câu 1: Cho miền D giới hạn bởi x2 + y 2 ≤ ax, x2 + y 2 ≤ ay. Viết đoạn code để tính tích phân của hàm
f (x, y) trong miền D và vẽ miền D với f (x, y), a nhập từ bàn phím
Câu 2: Cho miền V giới hạn bởi V : z = x2 + y 2 , z = 2 + x2 + y 2 , x2 + y 2 = 4 . Viết đoạn code để vẽ V
và tính tích phân hàm f (x, y, z) nhập từ bàn phím trên miền V

3


22. ĐỀ 22:
Câu 1: Cho miền D giới hạn bởi x2 + y 2 = ax, x = by 2 , x = a. Viết đoạn code để tính tích phân của hàm
f (x, y) trong miền D và vẽ miền D với f (x, y), a, b nhập từ bàn phím. Loại trường hợp không có miền D
Câu 2: Cho mặt S là phần mặt nón z = x2 + y 2 nằm dưới mặt phẳng z = 1 lấy phía dưới và hàm
R(x, y, z) = ax + by + cz. Tính tích phân
R(x, y, z)dxdy và vẽ mặt S.
S

23. ĐỀ 23:
Câu 1: Viết 1 đoạn code để tính tích phân I =

f (x, y)dl với C là phần đường tròn x2 + y 2 = 4 nằm
C

dưới đường thẳng ax + by + c = 0 với f (x, y), a, b, c nhập từ bàn phím. Loại trường hợp không có đường
cong C và vẽ C (nếu có).
Câu 2: Cho miền V giới hạn bởi V : y = x2 , y = 2 − x2 , z = 0, x + y + z = 3. Viết đoạn code để vẽ V và
tính tích phân hàm f (x, y, z) nhập từ bàn phím trên miền V
24. ĐỀ 24:

∂ m+n+p f
(x0 , y0 , z0 ). Hàm f (x, y, z), điểm M (x0 , y0 , z0 ), và n, m, p ≤ 3
∂ m x∂ n y∂ p z
nhập từ bàn phím . Báo lỗi nếu đạo hàm tại M không xác định.
Câu 2: Cho miền V giới hạn bởi V : x = y 2 ; z = 0; x + z = 4 .Viết đoạn code để vẽ V và tính tích phân
hàm f (x, y, z) nhập từ bàn phím trên miền V

Câu 1: Viết 1 đoạn code để tính

25. ĐỀ 25:
Câu 1: Viết 1 đoạn code để tính diện tích phần mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = a2 nằm giữa 2 mặt phẳng
z = b, z = −b. Loại trường hợp không có mặt S.
Câu 2: Cho miền V giới hạn bởi V : y = x2 ; z = 0; x + z = 0, y = 4.Viết đoạn code để vẽ V và tính tích
phân hàm f (x, y, z) nhập từ bàn phím trên miền V
26. ĐỀ 26:
Câu 1: Viết 1 đoạn code để tìm GTLN, GTNN của hàm f (x, y) = ax + by + c trên miền D :

x2
+ y2 ≤
4

1, y ≤ mx. a, b, c, m nhập từ bàn phím
Câu 2: Cho miền V giới hạn bởi V : x = 0, x = 2y = y 2 , z = 0, z = 2 + x − y.Viết đoạn code để vẽ V
và tính tích phân hàm f (x, y, z) nhập từ bàn phím trên miền V

27. ĐỀ 27:
Câu 1: Viết 1 đoạn code để tính diện tích phần mặt cầu xz + y 2 + z 2 = a2 nằm giữa 2 mặt phẳng
x = b, x = −b. Loại trường hợp không có mặt S.
Câu 2: Cho miền V giới hạn bởi V : x2 + y 2 = 4, z = 0, z = x2 + y 2 .Viết đoạn code để vẽ V và tính tích
phân hàm f (x, y, z) nhập từ bàn phím trên miền V
28. ĐỀ 28:
Câu 1: Viết 1 đoạn code để tính diện tích phần mặt nón xz + y 2 = z 2 nằm giữa 2 mặt phẳng z = a, z = b.
Câu 2: Cho miền V giới hạn bởi V : x2 + y 2 2, z = 0, x + y + z = 2 .Viết đoạn code để vẽ V và tính
tích phân hàm f (x, y, z) nhập từ bàn phím trên miền V
29. ĐỀ 29:
Câu 1: Viết 1 đoạn code để tính diện tích phần mặt paraboloid a − x2 − y 2 = z nằm giữa 2 mặt phẳng
z = 0, z = b, 0 < b < a.
Câu 2: Cho miền V giới hạn bởi V : z = x2 + y 2 , z = 2 + x2 + y 2 , x2 + y 2 = 4 .Viết đoạn code để vẽ V và
tính tích phân hàm f (x, y, z) nhập từ bàn phím trên miền V

4


3

Các câu hỏi cụ thể, làm trực tiếp trên command window

3.1

Câu 1 điểm

1. Cho hàm f (x, y) = ex

2 +2y

. Tính A = 3f

x

+ 5f y , B = f

xx

−f

2. Cho hàm f (x, y, z) = ln(ex + ez ) − ln(ex + ey ). Tính A = 5f
(x, y, z) = (0, 0, 0)

x

yy

+ 2f

− 2f

xy

tại (x, y) = (0, 0)

+ f z , B = 2f

y

xx

−f

3. Cho hàm f (x, y, z) = sin(x2 +y 2 +z 2 )−2cos(x+y+z). Tính A = f x +3f y +4f z , B = 2f
tại (x, y, z) = (0, 0, 0)
4. Cho hàm f (x, y) = arcsin(x + y). Tính A = 5f
5. Cho hàm f (x, y, z) =

yz
. Tính A = f
x

x

+ 3f

y

x

+f

xx , B

= 3f

− 5f z , B = f

xx

6. Cho hàm f (x, y, z) = x2 − 2yz + y 2 + xz − z 2 . Tính A = 4f
tại (x, y, z) = (3, −4, 0)
7. Cho hàm f (x, y) =

x2 − xy
. Tính A = f
y 2 + 2xy

x

− f y , B = 2f

xx

x

yy

− 2f

− 2f
+ 2f

−f

yy

yy

y

xyy

+ 3f

xy

zz

y
9. Cho hàm f (x, y, z) = tan(πx + π ). Tính A = f
2

−f

xx

yy

xx

+f

xy

y 2 dl với C là y = ex , 1 ≥ x ≥ 3
C

3xdl với C là y = x2 + 1, 0 ≥ 2
C

13. Tính tích phân (x + 2y)dl với C là x2 + y 2 = 2y, x ≥ 0
C

2ydl với C là x2 + y 2 = 4y, y ≥ 2

14. Tính tích phân
C

15. Tính tích phân (2x − 3y)dl với C là x2 + y 2 = 4x, x ≤ 2
C

2ydx + xdy với C là x = y 2 từ A(0, 0) đến B(1, 1)

16. Tính tích phân
C

ydx − 2xdy với C là x2 + y 2 = 1 từ A(1, 0) đến B(0, −1)

17. Tính tích phân
C

y 2 dx − x2 dy với C là x2 + y 2 = π 2 từ A(π, 0) đến B(0, π)

18. Tính tích phân
C

ydx + x2 dy với C là y = 4 − x2 từ A(2, 0) đến B(0, 4)

19. Tính tích phân

C

20. Tính tích phân (y + 1)dx + (x − 2)dy với C là
C

x2 y 2
+
= 1 từ A(0, −3) đến B(−2, 0)
4
9

5

yy

√

+ 4f

zz

2)

1
tại (x, y) = ( , 1)
2

C

12. Tính tích phân

− 2f

√
tại (x, y) = ( 3, 1)

10. Tính tích phân (x − y)dl với C là x2 + y 2 = 2x, y ≥ 0
11. Tính tích phân

tại

xx +3f yy −5f zz

tại (x, y) = (1,

xx −2f yy +3f xy

− 2f y , B = f

zz

tại (x, y, z) = (1, 2, 0)

x
8. Cho hàm f (x, y) = arctan +ln(x2 +y 2 ). Tính A = 3f x −f y , B = f
y
x

+ 3f

tại (x, y) = (0, π)

− 3f z , B = f

+ 3f

yy


3.2

Câu 2 điểm

1. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x3 + 2y 2 − 6xy + 4
2. Tìm cực trị hàm f (x, y) = (x2 − 2y 2 )ex−y
3. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x2 + 3y 2 − 2lnx + 3lny − 1
1
4. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x4 + y 4 − 2x2 − y 2
4
5. Tìm cực trị hàm f (x, y) = xy +

3 9
+
x y

6. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy − 3y 2 + 3x + 3y + 1
7. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x3 + 2y 2 − 6xy + 4
8. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 39x − 36y + 4
9. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x2 + y 2 + xy − 4lnx − 10lny
10. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x2 + y 2 − 32lnxy

x

11. Tìm cực trị hàm f (x, y) = (x + y 2 )e 2

12. Tìm cực trị hàm f (x, y) = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2
13. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x2 + 3xy − 8lnx − 6lny + 2
14. Tìm cực trị hàm f (x, y) = 3x3 + y 3 − 3y 2 − x + 1
15. Tìm cực trị hàm f (x, y) = (x + y 2 + 2y)e2x
16. Tìm cực trị hàm f (x, y) = 3x2 y + y 3 − 18x − 30y
17. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x3 − 2xy 2 − 48y 2 − 15x + y với điều kiện x − 2y = 3
18. Tìm cực trị hàm f (x, y) = x3 + 2xy 2 − 3x2 y + 5y 2 − 4xy với điều kiện 2x + 3y = 6
f (x, y)dxdy với f (x, y) = x + 2y và D : y = lnx, y = −1, x = e2

19. Tính tích phân
D

f (x, y)dxdy với f (x, y) = 2xy và D : x2 + y 2 ≤ 2x, x2 + y 2 ≤ 2y, y ≥ 0

20. Tính tích phân
D

f (x, y)dxdy với f (x, y) = x + y và D : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≤ 0

21. Tính tích phân
D

22. Tính tích phân

f (x, y)dxdy với f (x, y) =
D

√
√
1
2 + y 2 ≤ 2x, − 3y ≤ x ≤
và
D
:
x
3y
x2 + y 2

f (x, y)dxdy với f (x, y) = x − 2y và D : x2 + y 2 − 2x − 4y ≤ 0, x ≥ 1

23. Tính tích phân
D

24. Tính tích phân

f (x, y)dxdy với f (x, y) =
D

x2

√
1
1
và D : 2 ≤ x2 + y 2 ≤ e2 , 0 ≤ y ≤ 3x
2
+y

e

f (x, y)dxdy với f (x, y) = x − y và D : xy = 6, x + y = 6

25. Tính tích phân
D

f (x, y)dxdy với f (x, y) = 2x và D : y = ex , x = −2, y = e2

26. Tính tích phân
D

27. Tính tích phân
D

4x
f (x, y)dxdy với f (x, y) = 2y và D : x2 + y 2 ≤ 4, x2 + y 2 ≤ √
3
f (x, y)dxdy với f (x, y) = x + 2y − 5 và D : x2 + y 2 − 2x − 4y ≤ 0, y ≥ 2

28. Tính tích phân
D

6


29. Tính tích phân

f (x, y)dxdy với f (x, y) = 2xy và D :
D

x2 y 2
+
≤ 1, y ≤ 0
4
9

f (x, y)dxdy với f (x, y) = 2x và D : y = 2x2 − 3x, y = x2 + 2x − 6

30. Tính tích phân
D

31. Tính tích phân

f (x, y)dxdy với f (x, y) =
D

1
x2 − y 2

và D : x2 + y 2 ≤ 2x, −x ≤ y ≤ x

√
√
f (x, y)dxdy với f (x, y) = x và D : 2y ≤ x2 + y 2 4y, − 3y ≤ x ≤ 3y

32. Tính tích phân
D

33. Tính diện tích miền D : y = x2 , y = 2 − x2

34. Tính diện tích miền D : x2 + y 2 = 2x, x2 + y 2 = 4x, y ≤ x
√
35. Tính diện tích miền D : y = x2 , y = x
36. Tính diện tích miền D : y = x2 , x = 3 − 2y 2
37. Tính diện tích miền D : y =

x2
,y = x
2

38. Tính diện tích miền D : y = x, y = 0, x + y =
39. Tính diện tích mặt S : z =

π
2

x2 + y 2 giới hạn bởi các mặt x2 + y 2 + z 2 = 2

40. Tính diện tích mặt S : x + y + z = 1 giới hạn bởi các mặt y = 0, x + 2y = 2, 2x + y = 1
√
41. Tính diện tích mặt S : x2 + y 2 + z 2 = 1 giới hạn bởi các mặt y = x, y = 3x, x ≥ 0, y ≥ 0
42. Tính diện tích mặt S : x2 + y 2 + z 2 = 2 giới hạn bởi các mặt z = 1, z ≥ 1
43. Tính diện tích mặt S : x2 + y 2 = 1 giới hạn bởi các mặt x2 + y 2 + z 2 = 2
44. Tính diện tích mặt S : x2 + y 2 + z 2 = 2 giới hạn bởi các mặt x2 + y 2 ≥ 1
45. Tính diện tích mặt S : z = 4 − x2 − y 2 giới hạn bởi các mặt z = 0
46. Tính diện tích mặt S : y = x2 giới hạn bởi các mặt z = 0, z = 1, y = 4

3.3

Câu 3 điểm

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = 2z và V : x = 0, y = 0, x + y + z = 1, x + y − z = 1

1. Tính tích phân
V

2. Tính tích phân

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = z + 1 và V : y = 0, 2x + y = 1, x + 2y = 1, x + 2y =
V

2, x + y + z = 1
f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = x và V : z =

3. Tính tích phân

x2 + y 2 , z =

2 − x2 − y 2

V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = z và V : x2 + y 2 = 1, z = 0, x + 2y + 3z = 6

4. Tính tích phân
V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = 2y và V : z = x2 + y 2 , z = 0, x + y + z = 2

5. Tính tích phân
V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = z và V : x2 + y 2 ≤ 1, z 2 ≤ x2 + y 2

6. Tính tích phân
V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = y và V : x2 + y 2 + z 2 ≤ 2z, x ≥ 0

7. Tính tích phân
V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = 2z và V : y = x2 , y = 4, z = 0, x + z = 0

8. Tính tích phân
V

7


f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = x2 + y 2 và V : x2 + y 2 + z 2 ≤ 2z, x2 + y 2 ≤ z 2

9. Tính tích phân
V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = 3 và V : x2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 + 1

10. Tính tích phân
V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = 2z và V : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0

11. Tính tích phân
V

12. Tính tích phân

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) =
V

1
x2

+

y2

+

1 − x2 − y 2 ≥ z ≥

và V : 1 −

z2

x2 + y 2
13. Tính tích phân

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = x và V : z =

x2 + y 2 , z =

2 − x2 − y 2

V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = x − 2z và V : z =

14. Tính tích phân

x2 + y 2 , z =

2 − x2 − y 2

V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = x + y và V : y = x2 , y = 0, x = 2, x + y + z = 1, z = 0

15. Tính tích phân
V

16. Tính tích phân

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) =

x2 + y 2 và V : x2 + y 2 ≤ 1, z 2 ≤ x2 + y 2

V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = 2y và V : y = 4 − x2 , x + z = 0, z = 0, y = 0

17. Tính tích phân
V

f (x, y, z)dxdydz với f (x, y, z) = 3 và V : x + y = 0, x − y = 0, 2x + z = 2, z = 0

18. Tính tích phân
V

19. Tính tích phân

(x + 2y + 3z)dxdy với S là phía trên mặt nón z =

x2 + y 2 phần nằm dưới mặt phẳng

S

z=1
xdydz + y 2 dzdx + (x + y 2 + z 3 )dxdy với S là phía ngoài mặt trụ x2 + y 2 = 1, phần

20. Tính tích phân
S

nằm giữa 2 mặt z = 1, z = −1
x2 dxdy + 2y 2 dzdx − 3z 2 dxdy với S là phía trong mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 1 phần ứng

21. Tính tích phân
S

với z ≥ 0
x2 dydz − 3y 2 dzdx + dxdy với S là phía dưới mặt nón z =

22. Tính tích phân

x2 + y 2 phần nằm dưới

S

mặt z = 2
(x2 + y 2 )ds với S là mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 4

23. Tính tích phân
S

x2 + y 2 ds với S là phần mặt nón z =

24. Tính tích phân

x2 + y 2 nằm dưới mặt phẳng z = 1

S

x2 + y 2 ds với S mặt xung quanh vật thể giới hạn bởi các mặt z 2 = x2 +y 2 , z = 0, z = 1

25. Tính tích phân
S

(x + y + z)ds S là mặt xung quanh hình lập phương 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1

26. Tính tích phân
S

x(1 + y 2 )ds S là phần mặt trụ y 2 = 4(4 − z) bị chắn bởi các mặt x = 0, x = 1, z = 0

27. Tính tích phân
S

xdydz + ydzdx + zdxdy S là phía trên của mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 4 phần ứng với z ≥ 0

28. Tính tích phân
S

ydydz − xdzdx + dxdy, S là phiá ngoài mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 1 phần ứng với

29. Tính tích phân
S

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
30. Tính tích phân
S

1
ds S là mặt phẳng x + y + z = 1 phần bị chặn bởi 3 mặt x = 0, y = 0, z = 0
(1 + x + y)2
8


31. Tính tích phân

x2

S

32. Tính tích phân

x
ds S là phần mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 1 trong góc x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
+ y2

(xy + yz + zx)ds trong đó S là phần mặt nón z =

x2 + y 2 bị cắt bởi mặt trụ

S

x2 + y 2 = 2y
2dxdy + ydxdz − x2 zdydz trong đó S là phía ngoài mặt 4x2 + y 2 + 4z 2 nằm trong góc

33. Tính tích phân
S

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
(y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y)dxdy trong đó S là phía ngoài của phần mặt nón

34. Tính tích phân
S

z 2 = x2 + y 2 , 0 ≥ z ≥ 2
z 2 dydz + xdxdz − 3zdxdy trong đó S là phía trong mặt trụ z = 4 − y 2 giới hạn bởi

35. Tính tích phân

S

x = 0, x = 1, z = 0
xdydz + ydzdx + zdxdy trong đó S là phía trong mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 4 nằm trong

36. Tính tích phân
S

góc x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
z 2 dxdy trong đó S là mặt ngoài ellipsoid x2 +

37. Tính tích phân
S

y2 z2
+
=1
4
9

2ydx + zdy + 3ydz trong đó C : x2 + y 2 + z 2 = 6z, z = 3 − x lấy ngược chiều kim đồng

38. Tính tích phân
C

hồ nhìn từ phía z ≥ 0
2ydx − xdy + xdz trong đó C : x2 + y 2 = 1, z = y + 1 lấy cùng chiều kim đồng hồ nhìn

39. Tính tích phân
C

từ phía z ≥ 0

9