Luận văn thạc sĩ khoa học: Tính toán ngẫu nhiên và một số ứng dụng vào lĩnh vực tài chính

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (13.23 MB, 84 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN THỊ PHƯƠNG THUY

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội — Năm 2012

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN THỊ PHƯƠNG THUY

Chuyên ngành: Ly thuyết Xác suất và Thống kê toán họcMã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HOCTS. NGUYEN THINH

Hà Nội — Năm 2012

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

BANG KÝ HIỆU

Tập các số tự nhiênTập các số hữu tỉ

Tập các số thực

Tập các số nguyênTập các số phức

Không gian n - chiêu

Sa, Giao của A và B

Tơng các sơ a¡

Tích các sô a;

{veX:xeP}={xeX|xe P} Tập các phan tử xe X có tính chất P

|x| Chuan của x

sup E

inf E

Cận trên đúng của E— Cận dưới đúng của E

E"(X)=E(X|F) . 6 th Lian của X Ác vét

Ky vọng có điêu kiện của X đôi với F

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

MỤC LỤC

00/0/0671. ... 7

CHƯƠNG 1. KIÊN THỨC CƠ SỞ...©5<<sstt+ereEeeEtrEEerttrdrreotoririe 9

Phan 1. Cơ sở giải tích ngẫu nhiên: ...sccsccsscsssssssssssssssessssssssssecssesssssssessessssssseseessenssesseesseesees 91.1. Một số kiến thức liên quan tới quá trình ngẫu nhiên ...--- 9

1.1.1. Quá trình đo ƯỢC... ....- --- Ăn 1S HH TH HH HH 9

1.1.2. Quá trình đo được dẫn...---¿- 2s ESt+E£EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEkerkerkerree 9

1.1.3. Q trình khả đốn ...-.-- -- c Sc 3321112113811 118511181 E515Eexe. 91.1.4. Q trình thích nghi với một bộ lọc. ...- --¿- s5 +55 +++ss+<>+xx 10

1.1.5. Quá trình khuếch tán. ...-- - 2 SE E+E£EE+EEEEEEEEEEErkererkerxrreree 11

1.1.6. Qua trình Ornstein-Uhlenbeck...-- 5 255 *‡++<++ssesxsssevxss 12

1.1.7. Quá trình Wiener (Chuyên động Brown)...-.---2---cs+csccce¿ 13

1.2. Tích phân ngẫu nhiên và Bài tốn lọc...--- ¿5 s+secs+secs+2 14

1.2.1. Tích phân ngẫu nhiên Itơ và cơng thức ltô... ---- ¿5-25 5s 14

1.2.2. Lý thuyết lọc ngẫu nhiên ...-- ¿- ¿2 + E+EE+E£+E££E££EerEerxrrsrree 18Phần 2. Martingale với thời gïan rị rrc...---ccccsseevvovvvzzssssssoooooree 22

1.3. Khái niệm tương thích và dự báo được ...-- -ccSccssScssseeseeerssssrs 23

1.4. Thời điểm Markov và thời điểm dừng ...---¿- 5¿©cccx+crxesrxez 23

1.4.1. Thời điểm dừng...-¿- 2-2 ©52+E2EE2EEEEEEEE2E12E171 21.1111 EEEcrkee 23

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

1.6.1. Bat đăng thức KolmOBOFOYV...--- + 2 + E+EE+EE+EE2EE£E£Eerkerxerssrs 30

1.6.2. Dinh 00.40000007 ... 30

1.6.3. Bat đăng thức Doob...--- ¿+52 s+SE+EE2E2+EEEEEEEEEEEEE21121121221 2121 xe. 301.6.4. Bat đăng thức cắt ngang ...--- ¿52 2s EEE2112112112121 11 xe. 31

1.6.5. Định lý hội tụ Doob...---- +: 55c 25+2EE+EE‡EECEEEEEEEEEEEEEErrrrkerkervee 31

1.6.6. Dinh lý về tồn tại và duy nhất lời giải...-.---55-c5+555c2 32

1.6.7. Lời giải yếu và lời giải mạnh. ...-- 2-2-5 2+E2+EE+EEeEEzEsrxerxerree 37CHUONG 2. TÍNH TỐN NGẪU NHIÊN VA MOT SO UNG DỤNG VÀO LĨNHVUC TÀI CHÍNH ... 5---2s°°©©EE2Eed©EEEEE22add9EEE22222d9920222229990022222d2 38

2.1. Thị trường, danh mục đầu tư và thị trường có độ chênh lệch thi giá ... 38

2.1.1. Định ngÌhĩa...-- -- Ăn HT TH HH ng HH già 38

2.1.2. Dinh nghia ẽ...:... 42

2.1.3. Định nghĩa...-- - -- 5 11121191 HH HH ky 42"8... -‹:‹+,... 432.1.5. Định ly của Dudley ...- cv HH HH ng ưệt 45

;»Š: ca... 45

2.1.7. Dinh nghia nh ... 46

P20 ... 4... 47"rơ. ...Ả..ỐƠƠƠẦ.Ỗ .... 49

2.2. Tinh đạt được và tính đầy đủ ...--- ¿5c + St 2 cEEEEEkerkerkerkerres 502.2.1 BO đề...- 5621 2t 2t 2 21122102112112111111211.11 0110112112111 11a. 50

CHUONG 3. ĐỊNH GIÁ QUYEN CHON onsssssssssssssssssssssssscsosssssssssssssnsssssssssssssssssnnssssses 59

3.1. Dimh nghia 0 ... 60

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

3.2. Định lý...--- 2222111112211 tt. c2 60

E900 ... 65

3.4. Dinh LY 0 ... 66

B.S. Vi dU wee ... 67

3.6. Dinh lý (Công thức tong quát Black & Scholes)...--.----:--- 69

Quyền chọn kiêu Mỹ (American Options) ...c.ccesssesseessesssesssecstessesssesssecseesseessees 74S200. ...Ỏ 743.8. Định lý (Công thức định giá quyền chọn kiểu Mỹ)...-- 5-5555: 75Trường hop Khuyéch tán Itô: Liên kết với tối ưu đừng ...---+: 78

S000 ... 80

S48... <.d&-:..-...,.. 80

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

LOI MO DAU

Ngày nay quá trình ngẫu nhiên ứng dung rộng rãi trong nhiều ngành khoa học

như: tin học, sinh học, y học, vật lý, tài chính. Trong đó có những kiến thức về lýthuyết các quá trình ngẫu nhiên, lý thuyết martingale, lý thuyết lọc ngẫu nhiên, lý

thuyết khuyéch tán, tích phân ngẫu nhiên, công thức Itô.

Bản luận văn gồm 3 chương: Dựa trên cơ sở các phần nội dung cơ bản là lýthuyết của các quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu và vận dụng vào các mơ hình

tốn đáng tin cậy và được áp dụng rất nhiều trong thực tế đặc biệt là trong ngành tài

chính. Các mơ hình được nghiên cứu là các mơ hình chung (có thể khơng liên tục)

như mơ hình nửa martingale hoặc những mơ hình làm cơ sở cho các q trình ngẫu

nhiên mà khơng cần nửa martingale như chuyên động Brown.

Chương 1. Trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên

Đó là các quá trình liên quan tới quá trình ngẫu nhiên như: quá trình đo được,

đo được dần, quá trình khả đốn, q trình thích nghi, q trình khuyếch tán, q

trình Ornstein - Uhlenbeck, q trình Wiener (chuyền động Brown).

Đó là Martingale với thời gian rời rac nội dung chủ yếu là Thời điểm Markovvà thời điểm dừng, Mactingale; Các bất đăng thức và Định lý Kolmogorov, Doob.

Chương 2. Trình bày về tính tốn ngẫu nhiên Ito và khái niệm đầy đủ của thị trường.

Chương này đưa ra các định nghĩa về thị trường đầu tư, danh mục đầu tư,

danh mục đầu tư chấp nhận được (có độ chênh lệch thị giá - arbitrage) dé so sánh

với thị trường thực tế hiện nay là khơng có độ chênh lệch thị giá -no arbitrage (Định

Chương 3. Dùng các kỹ thuật tính tốn ngẫu nhiên được trình bày trong

chương 2 để tính giá (pricing) và chiến lược đầu tư tương ứng (hedging) cho thị

trường đầy đủ, sau đó áp dụng cho mơ hình Black & Scholes là trường hợp riêngcủa thị trường đầy đủ.

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Trong lĩnh vực tài chính ta biết rằng hoạt động tiêu biểu chính là hoạt động

ngân hang và trong nền kinh tế thị trường hoạt động này thường có các dịch vụ chủchốt như: dịch vụ khách hàng, ngoại thương, nhận tiền gửi, dịch vụ cho vay kinh

doanh và các dịch vụ khác. Trong các dịch vụ ay, có nhiều cơng đoạn hoạt động với

lãi lỗ khác nhau và thay đơi theo thời gian. Vì vậy điều quan trong là: xác định đượcgiá của mỗi quyền chọn mua tại từng thời điểm và đầu tư số tiền bảo chứng là bao

nhiêu cho vừa phải dé dam bảo cho hoạt động kinh doanh. Có hai loại quyền chọn

mua chủ yếu:

- Quyền chọn kiêu Châu Âu (European options) - Nhà đầu tư đi mua quyềnđược bán hoặc được mua, trong đó chỉ cho phép kinh doanh tại chính một thời điểm

có định.

- Quyền chọn kiéu Mỹ (American options) trong đó có thé kinh doanh tại bat

cứ thời điểm nào trước thời điểm kết thúc kinh doanh.

Hiện nay quyền chọn kiểu Châu Âu là khá phổ biến và nội dung cơ bản củaphần này đó là đưa ra các định nghĩa về giá, giá mà người mua sẽ phải trả cho

quyền chon mua và giá mà người bán có thé chấp nhận trong quyền chọn bán của

mình (Định nghĩa 3.1). Bên cạnh đó cũng đưa ra cơ sở lý luận cho việc đầu tư quay

vòng như thé nào dé có thé dat được một yêu cau? thể hiện trong nội dung (Định ly

3.4) tìm một danh mục đầu tư quay vòng để đạt được yêu cầu F cho trước. Hiểu rõhơn vấn đề này luận văn cũng đưa ra một ví dụ cụ thể (Ví dụ 3.5).

Lý thuyết xác suất nói chung và lý thuyết các q trình ngẫu nhiên nói riêng

đã được áp dụng có hiệu quả trong ngành tài chính những năm gần đây, đặc biệt là

sử dụng mơ hình Black & Scholes để xác định chính xác hơn giá chi phí cho mộtquyền chọn mua kiểu Châu Âu (Định lý 3.6).

Quyền chọn kiểu Mỹ có sự khác biệt với quyền chọn kiểu Châu Âu đó làngười mua có thê tự do chọn lựa thời điểm kinh doanh bất kỳ trước hoặc tại thờiđiểm kết thúc kinh doanh. Chương này cũng đưa ra các định nghĩa trong quyền

chọn kiêu Mỹ và công thức định giá quyền chọn kiểu Mỹ (Định lý 3.8).

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

CHƯƠNG 1. KIÊN THUC CƠ SỞ

Phần 1. Cơ sở giải tích ngẫu nhiên

Trong chương này, các kiến thức chuẩn bị về giải tích ngẫu nhiên được đưara gồm các khái niệm, các tính chất và các định lý có liên quan được ứng dụng vào

lĩnh vực tài chính. Trong đó có những kiến thức về lý thuyết các quá trình ngẫunhiên, lý thuyết martingale, lý thuyết lọc ngẫu nhiên, lý thuyết khuyếch tán, tích

phân ngẫu nhiên, các cơng thức Itd.

1.1. Một số kiến thức liên quan tới quá trình ngẫu nhiên

1.1.1. Quá trình đo được

Cho (Q,F,P) là một khơng gian xác suất. Một quá trình ngẫu nhiên

X ={X,,t20} được gọi là đo được nếu nó đo được đối với Ø —truong tích

B @FE. Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel của , tập hợp

{(t,@): X (t,@) eB} thuộc về Ø— trường tích B , @F . Đó là o—trudng nhỏ

nhất chứa các tập có dạng [0,t]x A voite ”,AeF.1.1.2. Quá trình đo được dần

Cho một khơng gian xác suất được lọc (O,F,(F,) „.P). Gọi B,, là120’ [0.]

o—trudng Borel trên [0,:]. Cho một quá trình ngẫu nhiên X =(X,) . Xét hạnte * =[0.)

chế của X trên đoạn [0.|. với một ¡ cố định thuộc . Ta có ánh xạ

X:[0.]|xQ—>_.. Trên tích [0,r]xQ, ta xét z— trường tích B, xF.. Néu X do duoc

[0.1]

đối với o—trudng tích ấy với mỗi te ' thì quá trình X là quá trình đo được dan.

1.1.3. Q trình khả đốn

- trường khả đốn là ø- trường nhỏ nhất các tập con của * xQ, mà đốivới nó mọi q trình liên tục trái đều là đo được. Cho một q trình ngẫu nhiênX=(X(.ø)) thích nghi với (F,). Nếu hàm (7,0) > X(t,o) (từ 'xO— )làP- đo được thì ta nói X là một hàm khả đoán đối với ().

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

a. ơ— trường các tập hoan tồn đo được trên “x© đó là o-truong O các

tập con của *xQ và nhỏ nhất mà đối với nó mọi q trình liên tục bên phải và có

giới hạn trái là đo được.

b. Nếu X =(X (/,ø)) là một ánh xạ đo được từ ( *xQ,0)>( .B ) ta nói

X là một q trình hoan tồn do được.

1.1.4. Q trình thích nghỉ với một bộ lọc

1.1.4.1. Một họ các Ø-— trường con F, CF được gọi là một bộ lọc nếu thoả mãn

các điều kiện sau:

(i) Họ đó là một họ tăng, tức là Fs E, nếu s <t

(ii) Họ đó là liên tục phải, tức là F, ={ ,..

{F,* te 0} được gọi là bộ lọc tự nhiên của quá trình X , hay lịch sử của X .

1.1.4.3. Cho một bộ lọc bất kỳ {Ft = | trén (WF ). Một quá trình Y được gọi

là thích nghỉ với bộ lọc này nếu với mọi Y, là đo được đối với o —trường E,.

Mọi q trình X ={X,,t¢ '} là thích nghỉ với lịch sử của nó {F,*,te '}.

1.1.4.4. Cho một q trình X với lịch sử của nó là {F, c *}. Một qua trình

Y bat kỳ là thích nghỉ với lịch sử F,Ý của quá trình X nếu và chỉ nếu Y(ø) cóthể biểu diễn được đưới dạng

!, (ø) — ⁄, (X, (ø)sX, (ø)›--.)

trong đó s,„.s„„... là một dãy các phần tử của [0, rÌ và ƒ, là một hàm Borel thực trên

10

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

1.1.5. Quá trình khuếch tán

Theo quan điểm tất định, một quá trình khuếch tán là lời giải của bài tốnCauchy cho một loại phương trình đạo hàm riêng parabolic. Theo quan điểm ngẫunhiên, thì quá trình này thực chất là một họ các quá trình ngẫu nhiên và là các quá

trình Markov, chúng thoả mãn một phương trình vi phân ngẫu nhiên được gọi là

phương trình khuếch tán.

1.1.5.1. Định nghĩa

Một họ các quá trình Markov (X,,P,) trên khơng gian ( "B ) được gọi là

q trình khuêch tán trên ”, nêu:

a. Toán tử sinh cực vi A của quá trình Markov X xác định trên mọi ham

hữu hạn khả vi liên tục hai lần và tồn tại hàm vectơ liên tục b’ (x) va ma trận vectơ

liên tục (a’ (x)) đôi xứng và xác định không âm với moi x sao cho

a. Toán tử sinh cực vi (infinitesimal generator) của một quá trình Markov:

Một quá trình Markov X tương ứng với một bán nhóm (P) xác định trêncác hàm thuộc lớp C” bởi

(P.)(*)=[P(x4)ƒ(y) với P(x,A) là xác suất chun.

h HT

h0 fh

Khi đó tốn tử sinh cực vi tương ứng A được xác định bởi A=,

trong đó 7 là tốn tử đồng nhất.

b. Một q trình khuếch tán X trên ” là một quá trình với quỹ đạo liên tục

X =(X',X’,...,X") sao cho với Vr>0, >0 thì

E[X;„— Xj|X,:s <t |=b'(X,)h+o()

11

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

và E|[X¿„—X/—b(X,)h Xj, —X/ -b/ (X, )h]}

t+h t+h

=a" (X, )h+a(n)

với những hàm b'(1<i<n) nào đó trên ” mà ta gọi là hệ số dich chuyển và những

hàm a’ (1<i,j< n) nao đó trên mà ta gọi là các hệ số khuếch tán.

c. Nếu dịch chuyên b và khuếch tan a là những hàm trơn đến một cấp nàođấy thì hàm mật độ chuyển p,(x,y) của quá trình khuếch tán X sẽ thoả mãn hai

phương trình đạo hàm riêng sau đây:

(1) <p, (x.y)= Lp, (x3) với y cố định

(2) " p,(x.y)=L,p, (x.y) với x cố định

trong đó, — (L i bi ( 0)rong đó, (L.p,)(3. y) =2“ Tàn FP) Sp

va (Z, P,) (x )=22'0) _ na) n >)

Phương trình (1) được gọi là phương trình Kolmogorov lùi,

Phương trình (2) được gọi là phương trình Kolmogorov tiến.

1.1.6. Quá trình Ornstein-Uhlenbeck

Quá trình Ornstein-Uhlenbeck X =(X,u! C *) với tham số y>0 và giá trị

ban đầu X >» €N(0,1) là một quá trình Gauss với

trung bình EX,=0, Vte ”

hàm tương quan £(X,X,)=exp(-z|:—s|) Vs,re

Đó là một quá trình dừng theo nghĩa rộng.

Xét quá trình dừng theo nghĩa hẹp, ta xét trên mật độ xác suất chuyền của

một quá trình Ornstein-Uhlenbeck với z =1

1 y — xe s9)

P($,x:f,y)=—=——————€xp 21-2

\2za—-e”®) - 2q-e ®)

12

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

mật độ này chỉ phụ thuộc vào z— s„ do đó phân bố của X cũng chỉ phụ thuộc vào /— s.

1.1.7. Quá trình Wiener (Chuyển động Brown)

1.1.7.1. Một quá trình X =(X,,>0) được xác định trên một không gian xác suất đủ(Q,F,P) được gọi là một quá trình Wiener với tham số phương sai ơ” nếu nó làmột q trình Gauss với các tính chất sau:

(iv) Với hầu hết øœ, các quỹ đạo t > X,(ø) là liên tục.

1.1.7.2. X =(X,) là một quá trình Wiener với tham số phương sai ø? nếu X là một

quá trình Gauss với E(X,)=0 Vt và hàm tương quan cho bởi:

Rí,s)= E(X,X,)= ø”.min (r,s)

1.1.7.3. Một quá trình Wiener X =(X,) với tham số phương sai o* =1 được gọi làquá trình Wiener tiêu chuẩn (hay chuyền động Brown tiêu chuẩn).

1.1.7.4. Các tính chất quan trọng của một quá trình Wiener

Cho W =(W,) là một quá trình Wiener

a. W, là một martingale đối với F” (z—trường nhỏ nhất sinh bởi VW,,s <¿,còn gọi là lich sử của W, tính cho đến thời điểm 1).

b. (i) P{ø: quỹ đạo ;—>W,(ø) là khả vi }= 0.

(ii) P{@:quy đạo t>W,(@)co biến phân bi chặn trên một khoảng hữu

hạn bất kỳ}= 0.

13

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

9° 2tloglogt

d. Cho B là họ tất cả các hàm thực Borel xác định trên . Với mỗi z>0 va

c. W tuân theo luật lôga lặp như sau: Po limsup_-.69) — = 7 =1

f¢B ,tadinhnghiaham Pf trên xác định bởi

(/)6)=—" J rojo] Pp_ (2z) 2i

Khi đó: (i) Pf eB

(ii) Với O<s<tva feB ,thi (P_,f)(x)=E| f(W,)|W, =x]

hầu khắp nơi đối với độ do Lesbesgue trên

ii) E[7(W,)FY |=E[7(W,)W, ]=(Pf)(W,) »

Vay W là một q trình Markov.

1.2. Tích phân ngẫu nhiên và Bài tốn lọc

1.2.1. Tích phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô

Một số nội dung của luận văn này phải đưa về bài tốn tính tích phân có dạng:

=| ƒ(t,ø)4W, với ƒ (r,ø) là một hàm ngẫu nhiên, W, là một q trình Wiener.

1.2.1.1. Tích phân ngẫu nhiên Itơ

Tích phân Itơ của một hàm ngẫu nhiên đo được dần f (t,@) có thé được định

nghĩa như một giới hạn theo xác suât như sau:

!(7)=]Zts)4 =P-limS`/(r,ø)|W,,—W, |

trong đó |A|= max[i,,, —¡, | với mọi phân hoạch 1, =0<1, <...<t, =7.

1.2.1.2. Các tính chất quan trọng của tích phân Itô

a. E[ƒ(s.ø)4W,=0

14

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

1.2.1.3. Vi phân ngẫu nhiên Itơ

Cho f(t,@)la một hàm ngẫu nhiên khả đốn, W, là một quá trình Wiener

một chiều, giả sử X =(X,) là một quá trình ngau nhiên đo được bat ky lấy giá tritrong (_,B ). Ta nói q trình ngẫu nhiên nay có vi phân ngẫu nhiên It6 dX, nếu

a. Hầu hết các quỹ đạo của X, (ø) là liên tục

b. Ton tại f(t,@), h(t,@) là những hàm ngẫu nhiên đo được dan, f khảđốn, khả tích theo mọi đoạn hữu hạn với hầu hết o.

c. H.c.c ta có X,=X, +f f(s,o)aW, +[h(s,c)ds

0 0

khi đó ta viết dX, = f (t,@)dW, +h(t,@)dt

1.2.1.4. Cơng thức Itơ

Cho X = X,là một q trình ngẫu nhiên có vi phân ngẫu nhiên Itơ (có dạng

dX, =adt +bdW, ). Giả sử g(t,x): ”—> 1a một hàm một lần khả vi liên tục theo

biến thứ nhất :, hai lần khả vi liên tục theo biến thứ hai x.

Khi đó q trình ngẫu nhiên Y, = g(t,X,) có vi phân Itơ tính bởi cơng thức Itơ như

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

at’ ax’ ax’

trong đó, (t, ) là phân hoạch của [0,:], được tính tại các điểm (:,. X, )

At, =f,„¡—f,, AX; =X,¡—X,,Ag(r,X,)=#(1,X,„¡)}—#(t:X,).

jt+l

2 2

R,=o |A¿,j +|Ax, |i> MJ

Néu At, +0 thi

Từ (*) ta thấy khi Ar, 0 thì 2 biểu thức đầu tiên đều tiến dần đến 0, thật vậy

FDS Fp, (a, aw | XI a0) le r,) 0;

7 Ox

16

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

vì E(AW,} =E(W,—W, ) =,

ju TÍ, =AI,.

Nếu i<j thì 4A, ((Aw,} -Ar,} và ((aw,) Ar] là độc lập, do đó các biểu thức

tương ứng bị triệt tiêu, vì E(AW,) =Ar,; E(AW, Ỷ =Ar, tương tự nếu ¡> j ta cũng

có kết luận như trên. Vì thế chỉ cịn lại trường hop i= j, khi đó nếu Ar, +0 thì

>r|(s(aw,} ar) | >> (aw) ~2(AW,) Ar, +(Ar,} |

=3 E[4j]|3(a,} -2(Ar,} +(At, l = DEL Ai] (41) 0,

Hoặc, ta có > 4, (aw, ) > [ A(s}ds trong L,(Q) khi Ar, +0 hay (dW,) =dr.

Các lập luận trên cũng cho thấy khi Ar, > 0 thi 3° R, > 0. Công thức ltô được chứng minh.

1.2.1.5. Công thức Itô tông quát (trường hợp nhiều chiều)

Cho B(t,@)= (5, (t,@),...,B (t,@)) là chuyển động Brown m-chiéu, X05X,

là các vi phân ngẫu nhiên Itơ có dạng: dX =hdt+ ƒ4B

Với f(t,@), h(¡,@) là những hàm ngẫu nhiên đo được dần, f khả đốn, khả tíchtheo mọi đoạn hữu hạn với hầu hết ø.

Gia sử là các ánh xạ hai lần khả vi liên tục *x "-> *. Khi đó q trình

Y (t,@)= ø(¡.X,) là một vi phân ngẫu nhiên p-chiéu mà thành phan thứ k là Y, được

cho bởi dY, - B(x) y(t, x)ax, 42D -

Ot — Ox, 21 OX;OX, (:.X)dX,4X,

17

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

với các biểu thức dX,dX, thì dB.dB,=6,dt, dB,dt =dtdB, =0.

Dé chứng minh cho trường hợp tong quát ta tiễn hành bằng cách xấp xỉ hàm

ns ae yy 6g, Og, O &- A QUA

g bởi dãy hàm g, sao cho g,, Sn ; Sn Bn là các ham bị chặn và hội tu déu trên

Cho (O,F,P) là một không gian xác suất đủ trang bị bởi một họ tăng liên

tục phải các ơ -trường con F, CF , re[0,7]. Cho X,, [0,7] là một họ các quá

trình ngẫu nhiên F, -thích nghi (được gọi là các q trình tín hiệu hay q trình hệ

thơng). Giả sử ta khơng thê quan sát X, một cách trực tiếp nhưng muốn biết về X,và ta có thê thực hiện quan sát X, thơng qua một q trình ngẫu nhiên (được gọi là

một quá trinh quan sat) có dạng:

18

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Y= [as +Z,

trong đó Z, là một q trình F, -Wiener n-chiều sao cho với mỗi ¢ thì ø -trường

tương lai ø(Z„—Z,)(u >r) độc lập với ơ -trường quá khứ o(Y,,h,,v <r).

Thơng tin về X, được giả thiết là có trong quá trình ngẫu nhiên n-chiéu h, sao cho

E[ |

hỈ ds ]<s. Vt [0.7].

Các số liệu quan sát được cho bởi ơ-trường G_ sinh bởi các Y,,s<t là một

o-trường con cua F,, tức G=o(Y,,s <f).

(i) Nếu M, là một (B,,P)-martingale địa phương thi

M,=M,-< [(s..2W,).M >, là một (B,,Q)-martingale địa phương (3)

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

(ii) Moi (B,,Q)-martingale bình phương khả tích M, đều được biểu diễn dưới dang

M —w, =Í( ƒ„dW,) với ƒ,=(J}..f") là một q tình B, khả đốn và

phải bang 0 vì nó là một q trình với biến phân bị chặn (martingale liên tục với

biến phân bị chặn là bằng 0). Vậy ta có M.—Mo = [Œ..4W.) (đpcm)

1.2.2.3. Bài tốn lọc tuyến tính (Loc Kalman-Bucy 1-chiều)

Xét bài tốn lọc tuyến tính, trong đó q trình hệ thống và quá trình quan sát

đều được cho bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính sau:

+ Q trình hệ thống: dX, = F(t)X,dt+C()dU,; F0),Cữ)e

+ Quá trình quan sat: dY, =G(t)X,dt+D(dV,; GŒ),D() e

20

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

trong đó F,G,C,D là các hàm giới nội trên những khoảng giới nội Dit) 0, U,V là

các chuyền động Brown.

Ta có thể tìm được ước lượng X, =E|X, ig | của X, tốt nhất (theo nghĩa

bình phương tối thiểu) dựa trên các quan sát này theo phương trình sau:

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Phần 2. Martingale với thời gian rời rạc

Martingale bắt nguồn từ trò chơi và ngày nay đã trở thành mơ hình tốnquan trọng trong lĩnh vực thị trường chứng khoán. Khi bắt đầu chơi, người chơi cóvốn là X,, thơng tin ban đầu mà người chơi biết được là Ap. Sau khi chơi van thứnhất vốn của người chơi sẽ là biến ngẫu nhiên X, và thông tin sau khi choi 1 ván sẽtăng lên Ap CA). Tiếp tục chơi ván thứ hai, vốn sau khi chơi ván thứ hai sẽ là biếnngẫu nhiên X, và thông tin bây giờ lại tăng lên Ay cA¡c Az. Bằng cách đó tiền vốnsau ván thứ ø sẽ có là biến ngẫu nhiên X, và thông tin sau khi chơi ø ván là Ag.

Như vậy vốn của người chơi và thông tin thu được lập thành dãy { X,„, Aj}, ta cóthé xem {A„ } là day øơ— trường không giảm và biến ngẫu nhiên X, phụ thuộc vào

A, - đo được.

Trò chơi được xem là khơng thiệt hại hoặc cơng bằng, nếu trung bình có điều

kiện vốn của ván sau bằng vốn của ván trước, có nghĩa là E(X „u| An) = X, va {X,,

An} được gọi la martingale.

Trò chơi được xem là thiệt hại, nếu trung bình có điều kiện vốn của ván saubé hơn hay bằng von của ván trước, có nghĩa là E(X,,,| An) <X, và {X,, Ay} được

ván thứ nhât, người chơi đặt cược V, cho ván chơi thứ hai....; căn cứ vào thông tin

22

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

A, thu được sau ø ván, người choi đặt cược V,,, cho ván chơi thứ n+1. Tức là V, làAa-i-đo được và gọi {V,, A-.¡} là dãy dự báo được.

1.3. Khái niệm tương thích và dự báo được

Giả sử (O,F,P) là một không gian xác suất, F CA là z- trường con của A

và X là biến ngẫu nhiên nào đó. Ta nói rằng X tương thích với F (X eF) nếu

X là F -đo được. Đặt o(X) =X '(B) trong đó B là ơ- trường Borel của .. Khi đó

X eF khi và chỉ khi o(X)cF.

Cho trước dãy ngẫu nhiên X ={X,,ne }; ký hiệu ø({X,me }) là

ø - trường con bé nhất của A chứa tất cả các ø- trường ơ(X,),ne_.. Khi đó ta gọi

ơ({X ne }) là o-truong sinh ra từ X={X,,ne }.

Cho dãy øơ- trường con {A,,ne } của A, dãy này được gọi là không giảmnêu A, cAn? msn, Vmne

Dinh nghia

Quá trình ngẫu nhiên X ={X,A,ne \la dãy tương thích nếun2

X,€A,, Vne

V={V,,A,,.n€ ,A.,= A,}là day dự báo được nếu V,€A,,,Vnen1?

1.4. Thời điểm Markov và thời điểm dừng1.4.1. Thời điểm dừng

Cho F, là bộ lọc tự nhiên của quá trình ngẫu nhiên X , thời điểm dừng 7 cónghĩa là với Vr >0 tập hợp {7 <r} có thể biểu diễn dưới dạng

{T < t} = {o: (xX, (a), X,, (ø)....) c Bh,

trong đó 5,,5,,... là một dãy các phan tử của [0,t] và B 14 một ham Borel trên

23

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

Tổng quát: Cho F, là một bộ lọc tùy ý và giả sử T là một thời điểm dừng vàY là một quá trình liên tục thích nghỉ cho trước. Khi đó ta có thê định nghĩa một quátrình mới bằng cách đặt:

Y(t,a) t<T(o)

Y(T(@),0) ,t>T(o) hoặc Z(,)=Y(T(øœ)At.,®)

q trình Z là liên tục và thích nghi. Ta nhận được Z bằng cách dừng quá trình

Y tại thời điểm ngẫu nhiên 7. Ký hiệu: Y”:Z=y".

1.4.2. Quá trình dừng

Cho X =(X,,e7). Q trình đó sẽ là

* Dừng theo nghĩa hẹp, nếu phân bố của (X,.„....X,.„) và của (X,....X, ) là như

nhau, với moi í,,...,f, 6T".

* Dừng theo nghĩa rộng hay dừng tương quan, nếu £X?<œ,EX, là hằng số,

Vậy (X,)=(X,,...X,„....) là một quá trình dừng theo nghĩa rộng.

1.4.3. Thời điểm Markov

Giả sử t:Q— fool là biến ngẫu nhiên (có thé lấy giá trị œ). Ta nói rằngr là thời điểm Markov đối với {A,,ne } nếu

{@:z(œ)=n]}<A„ Vne

24

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Nếu thêm vào đó P(t <©) =1, thi r được gọi là thời điểm dừng.

1.4.4. Quá trình Markov

Một quá trình (X,,teT) được gọi là một quá trình Markov nếu với một họ

tăng t,<...<t, trong T taco:

P(X, <x,/X, =x....X,.=x,¡)=P(X, <x,/X,=x„.).

1.4.5. Hai điều kiện tương thích của q trình Markov

(i) Nếu ký hiệu P(x,)= P(X,<x,=<X,<œ) và P(x,

,x)=P(X,<x|X, =) thì

ta co )= [P( P(x s) dP(é, 3)

(ii) P(x,t/x,,t,)

Ƒ(

0° t)<s<t

(Phương trình Chapman - Kolmogorov đối với quá trình Markov X, )1.4.6. Các tinh chất của thời điểm Markov và thời điểm dừng

Tính chat 1. Giả sử 7 là thời điểm Markov đối với {A,u„e }. Khi đó {z<n}eA,.n

Tinh chat 2. Nêu 7,,7, là các thời diém Markov đôi với {A,,ne } thi

7¡ AT, =min(z,,7,),7, v z¿ =max(z,,7,) va 7¡ +7; là các thời điểm Markov đối

với {A,,ne }.

Tính chat 3. Nếu 7,,7,,... là dãy các thời điểm Markov đối với {A, me }thì

„ =sup, z„ cũng là các thời điểm Markov đối với {A,ne_ }.n

A,,T, =inf, TV, 7,

Tính chất 4. Nếu 7 là các thời điểm Markov đối với {A,,ne }thi reA,. Nếu 7

và Ø là các thời điểm Markov đối với {A,,n€ }saocho P£<ø)=l thì A,cA,.Tính chất 5. Nếu Nếu 7,,7,,... là dãy các thời điểm Markov đối với {A,,ne }và

z=inf, 7, thi A, =()A,,

25

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

Tính chat 6. Nếu 7, Ø là các thời điểm Markov đối với {A,,ne } thì các biến có

{r<o}, {r=ơ}, {r<ơ}eA,fA„,

Tính chất 7. Giả sử {K,,A,„me_ } là dãy tương thích và 7 là thời điểm Markov đốin?~ “n?

với {A,,ne }thi

là đo được đối với A,..

Tính chất 8. Giả sử ƒ:O-> là biến ngẫu nhiên A, - do được và z là thời điểmMarkov đối với {A,,ne }. Khi đó, f là A,- đo được nếu va chỉ nếu với Vne

(ii) X, là khả tích với Vt, tức là E|X,|<œ, Vt,

(iii) Voi mọi 0< s <t, số gia X,—X, có tích phân (lấy đối với xác suất P)bằng 0 trên mọi tập thuộc F.:

[(X.-X,)4P=0, VAeF,.

Hoặc (iii) trong đương (iii’) Với mọi O< s St, E|X, F.|=X, h.c.c.

26

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

Ngoài ra ta có thể định nghĩa martingale theo các khái niệm martingale trên và

martingale dưới như sau:

Định nghĩa 2.

Giả sử (Q,A,P) là không gian xác suất. Day X = {X,,A,,ne } được gọi là:

Martingale trên (đối với {A,„ne_ }) nếu:

(i) {X,,A,,.n€ } là dãy tương thích;

(ii) E|X,

<œ, Vne>

(iii) với msn, mne thi E(X,|A„)<X„, P-h.c.c.m2

Martingale dưới (đối với {A,„ne_ }) nếu các điều kiện (i), (ii) được thực hiện,và thoả mãn diéu kiện

(Hi) với mSn, m,nc thi E(X,

A„) >X„, P-h.c.c.m2

Martingale (đổi với {A,,ne }) nếu các diéu kiện (i), (ii) được thực hiện, và

thoả mãn điều kiện

(1l) với msn, mane thi E(X, |A„) =X,,, P-h.c.c.

1.5.1.2. Martingale suy rộng

Diy X={X,A,ne } được gọi là martingale suy rộng (đối với{A,.ne }), nếu:

(i) {X,,A,,n€ } là dãy tương thích;

(ii) X, có kỳ vọng có điều kiện đối với A,, Vne ;

(iii) với m<n, mane thi E(x, |A„) =X„, P-h.c.c.

1.5.1.3. Martingale địa phương

Day ngẫu nhiên tương thích X = {X,,A,,n€ } được gọi la martingale địa phươngnếu tôn tại day thời điểm Markov (r,.k =1, 2,...) sao cho 1, $t,,, (P - h.c.c), t, †œ(P - h.c.c) khi k > và mỗi day bị ngắt

27

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

x" = Xu.{x >0} A, NE la martingale.

1.5.2. Cac tinh chat

Tinh chat 1. Nếu X ={X,,A,,me } là martingale thi hàm trung bình EX, khơng

phụ thuộc ne

Tính chất 2. Giả sử X ={X,,A,,n=0,1,2,...,N} là martingale và Z, Ø là các thời

điểm Markov đối với {A,,2=0,1,2,...,.N} sao cho P{r<N}=P{ø<N} =1. Khi đó

X, =E(X,

A.) trên tập {z>ø}, P-h.c.c

do đó X,,, =E(X

A„„) , P-h.c.c.

Đặc biệt, nếu P{ơ<z< N}=l thì EX, =EX, =EX, =EX,.

Tính chat 3. Giả sử X ={X,,A,,me } là martingale và 7 là các thời điểm Markov

đối với {A,,ne }. Khi đó dãy ngắt tại thời điểm Z

X'={X,,,,A,,ne } cũng là martingale.

1.5.3. Phép biến đối Martingale

Giả sử Y={¥,A,ne } là day ngdu nhiên tương thích van?ˆn?

V={V,,A,,ne_ } là dãy ngẫu nhiên dự báo được (tức là, V.eA,„ne ,A,=A,)n-1?

Dat (VeY) =V,Y, + VAY, , trong đó AY, =Y,—Y,

Day (VeY)={(VeY) ,A,,ne } được gọi là biến đổi của Y theo V. Nếu thêm

vào đó, Y là martingale thì ta nói (V ®Y) ={(V*Y), A, ne \ la bién doi

Dinh lý. Gia sử X ={X,,A,,ne }là dãy tương thích sao cho X, =0 (P-h.c.c). Các

điều sau là tương đương:

() X là martingale địa phương;

28

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

(ii) X là martingale suy rộng;

(iii) X là biến đối martingale, tức là tồn tại martingale Y={Y,,A,,ne } và

dãy ngẫu nhiên dự báo được V = {V,A,,ne } saocho X= (V ° Y) .

1.5.4. Ví dụ

Giả sử é, là dãy các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập, cùng phân phối:

P(E, = 1) =p, P(é, =-1)=q, p+ q=1. Trong đó, ý, = 1 là biến cố thắng cuộc tạiván thứ n; ý, = -1 là biến cố thua cuộc tại ván thứ n. Gia sử tiền đặt cược chơi taiván n là V,. Khi đó, sau n ván chơi tiền được (hoặc mất) tổng cộng là:

x, = 5 Vệ = X,¡+Vuốu, Xo =0

Ta có thé giả thiết V, phụ thuộc vào các kết quả của các ván trước n, tức là phụ

thuộc vào V,, ..., và é,.... ¿„¡. Như vậy, nếu A, ={@,Q}; A,=ơ(á....é,) thìn-Ì

V,cAn,, nghĩa là dãy V ={V,,A,„,}, chiến lược của người chơi, là đãy dự báo được.

Nếu đặt Y,.=é +...+ế, thì X,=)°V,AY,, tức là day X={X,,A,,ne } với X, =0 là

biến đổi của Y theo V.

Như vậy, trò chơi là

*) Công bằng, nếu p = q = 1⁄2 và E(X,. A,)=X„.ne , nghia là,

Ta xét các chiến lược đặc biệt (ngay cả đối với trị chơi cơng bằng) của người

chơi dé trong một thời gian hữu hạn (với xác suất 1) người chơi sẽ kết thúc một cách“thành cơng” vì thu được I đơn vi (lúc đầu có X ạ=0).

29

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

Chiến lược đặc biệt V ={V,,A„,} với V, =1 và với ø>1 thì

Theo chiến lược này, van đầu người chơi đặt cược V, =l, nếu thua thì tăng tiền đặt

cược lên gấp đơi, nêu thắng thì khơng chơi nữa và cứ tiếp tục như thế.

1.6. Một số bất đẳng thức và định lý cơ bản1.6.1. Bat dang thức Kolmogorov

Nếu {Xn?»ˆn2A,.1=0,...,N} là martingale với

E|X, |’ <0o,n=0,..,N, 1S p<, thì với VA>0, Ä*P(max|X,|>)<E|X,|”

1.6.2. Dinh ly Kolmogorov

Cho một độ do (P,.. (í,...f„ € T)) thoả mãn hai điều kiện sau:

(i) P

!⁄a)e@)(B,x...xB,)=P., (Boi, XB...) trong đó v=(v(1)....v(n)) làv ld) ve (

một hoán vi bat kỳ cua (,....n) và v" là hoán vị ngược của v, con B, là các tậpBorel trong

(ii) Pr, (Bx BT) = Bo, la XX BX x..x

độ do trong ( """,B „„).

Khi đó, tơn tại một quá trình ngẫu nhiên (X,,t€T) sao cho P..„ là phan

phối hữu hạn chiều của X, tức là P|X, €B,...X, € B, | =P, „(ŒB,x..xB,).

Nếu cho trước X với các phân phối hữu han chiều P „ thì mọi quá trình YI==Ín

có cùng phân phơi hữu hạn chiêu ? ,„ là một bản sao của X.vty

1.6.3. Bat dang thire Doob

Nếu {X,,A,,2=0,....N} là martingale dưới khơng âm voi

E|X,” <œ,n=0,..,N, 1<p<øœ, thi |x.Í, < max |X,|

0<n<N

_<a|X,|,

30

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

trong đó |X

, =(ElxI”}”. 12+ Ma!

Truong hợp p = 1, thi |X ||, < max |X, ——5 {I+|x,m' x,||}

1.6.4. Bất đẳng thức cắt ngang

Với các số thực a, b sao cho ~o<a<b<o, ký hiệu v=v(a,b,N) là số lầndãy {X,,n=0,...,N} chuyển từ giá trị <a tới giá trị >b. v được gọi là số lần cắt

ngang từ dưới lên trên đoạn [a,b] của day {X,,n=0,...,N}.

Nếu {X,,A,,.2=0,...,N} là martingale dưới, thì

(b-a)Ev <E(X, —a) —E(X,—a)`

1.6.5. Dinh lý hội tụ Doob

Néu {X,A,ne } là martingale dưới và L - bi chặn, tức là

supE|X,|<œthì day {X,} hội tụ h.c.c tới biến ngẫu nhiên X„ nào đó với

Suy ra, Va,b / / P{liminf X„<ø<b< limsupX,} =0

Mặt khác ta có, {liminf X„ <limsup X„} =LJ{liminf X„ <a<b<limsup X,}

trong đó hợp lấy theo tất cả các số hữu tỷ a,b. Do đó

P{liminf X„ < limsup X„} =0

nên day {X,} hội tụ h.c.c tới biến ngẫu nhiên X„ nào đó.

Theo bé dé Fatou ta có E|X,,| =E(lim|x, |) < supE|x, | <0.

no

31

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

1.6.6. Định lý về tồn tại và duy nhất lời giải

T>0, b]07]x "> "ơ:|0T]x "> ””

Cho là các ham do duoc và thoả mãn các

điểu kiện sau:

(i) |b(.x)|+|(.x)|<€(I+|x ,: e[0,7] và C là hằng số, trong đó), voi xe€

|b| là độ dai véc tơ cịn |ø|= 3` Jo,

-(ii) |b(z.x)—b(t. y)|+|ø(r.x)—ø. y)| < D|x—y

, x%&ye ", re|0,T] và D là

hằng số.

Cho Z là một biến ngẫu nhiên độc lập với øơ- trường F„ =ơ(B,;0<t<œ)

sao cho F||zl) <œ. Khi đó phương trình vi phân ngẫu nhiên

dX, = b(t, X,)dt+o(t, X,)dBt

Koz (*)

có một lời giải duy nhất, liên tục theo t, mỗi thành phân của X, là một qua trình

thuộc về lớp NỊ0,7]={ƒ :[0,00)xQ—> ,BxF-do được , F,-thích nghỉ và

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

Theo phương pháp quy nạp ta định nghĩa

uy nạp theo k ta có Ely“*? —y ”«< :k>0,e[0,T (3)

y nap t t

Ta xét, với mỗi w€Q cơ định, ta có

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

Xét giới han trong không gian đủ L’(P):

Cho mne va m>n>0 theo (3) ta có

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

Ta phải chứng minh Y, thoả mãn phương trình vi phân đã cho

Thật vậy, với mọi n, ta có. Y,"”” =X, +[d(s,¥\")ds + [ø(s,Y,")dB, (4)

0 0

Mặt khác, y,“*°—"2_› X, là hội tụ đều theo z e[0,7] với hau hết ø.

Theo chứng minh trên và Bồ đề Fatou ta có

theo phép dang cự Hơ: E

[7(s.ø)4B,

= E[|7 (s.5) ds

mà ta lại có Y!") hội tu đều tới X, h.c.c. do đó về trái của đăng thức > 0.

t 2 t

Ap dụng BĐT Holder ([⁄) < [7° ”. trường hợp §=I: i <iff?

0 02

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

1.6.7. Lời giải yếu và lời giải mạnh

+ Lời giải X, tìm được trong định lý tồn tại duy nhất trên được gọi là một lời

giải mạnh vi B, trong phương trình (*) là cho trước và lời giải X, xây dựng từ B, là

F;- ảo được, trong đó # = ơ(B,:s <?).

+ Nếu trong phương trình (*) người ta chỉ cho trước hàm b(t,x) và o(t,x)

và đòi hỏi tìm một cặp các quá trình (x Br) trên một khơng gian xác suất nào đó

(Q,H,P) và H,-đo được sao cho (*) được thoả mãn, tức là

dX, =bự, X.)di + ơ(, X:)d Bt

thì lời giải (x „,) được gọi là một lời giải yêu. Trong đó H, là một họ tăng các

ơ~ đại số con của H sao cho X; là H,-thích nghi và B, là một H, -chuyén động

Brown, tức là B. là một chuyên động Brown và B; là một martingale đối với H, và

do đó E[ Bus — B,|H, |=0, Vi,h>0.

Sự duy nhất yếu và sự duy nhất mạnh của lời giải

+ Sự duy nhất mạnh hay là sự duy nhất theo quỹ đạo: Nếu X 1 (t,@) va

X,(t,@) là hai quá trình liên tục theo rt trong N[0,7] va thoả mãn phương trình (*)

thì X,(t,@)=X,(t,@) h.c.c. Ví <7.

+ Nếu b và o thoả mãn hai điều kiện trong định lý tồn tại và duy nhất lời giải

thì một lời giải (dù yếu hay mạnh) của phương trình (*) là duy nhất yếu.

37

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

CHƯƠNG 2. TÍNH TỐN NGAU NHIÊN VÀ MOT SO UNG DỤNG VÀO

LĨNH VỰC TÀI CHÍNH

2.1. Thị trường, danh mục đầu tư và thị trường có độ chênh lệch thị giá

Phần này chúng ta đưa ra một số định nghĩa toán học của các khái niệm tài

chính cơ bản. Chúng ta có thê chỉ ra các mơ hình tốn đáng tin cậy và được nghiêncứu rất nhiều trong thực tế và áp dụng có hiệu quả trong ngành tài chính. Các mơ

hình được nghiên cứu là các mơ hình chung (có thé khơng liên tục) như mơ hình

nửa martingale và thậm chí là những mơ hình làm cơ sở cho các q trình ngẫu

nhiên mà khơng cần nửa martingale, như chuyền động Brownian.

b) Thị trường {X @)} được gọi là tiêu chuẩn (chuẩn hoá) nếu X,() =1.te[0,7]

c) Một danh mục dau tư trong thị trường {Xứ)}

tel 0,7] la mot (t,@) do duoc (n

+ 1) -chiéu và quá trình ngẫu nhiên FE," - thích nghỉ

Ot, ø)=(,(, ), Ø (f, @),...9, (t, @)); O<t<T (1.3)

38

</div>Trang 39<div class="page_container" data-page="39">

đ) Số tiên tại thời điển t của danh mục dau tu Ø(@) được định nghĩa bởi:

Dé các định nghĩa được dễ hiểu ta có thé dẫn giải như sau:

a) Chúng ta coi X,(f)= X,(f,ø) như là giá trị của cổ phiếu hay giá trị tài

sản thứ i tại thời điểm r. Các tài sản thứ 1,2,...,n được gọi là có rủi ro vi có sự xuất

hiện của các yếu tố nhiễu (hệ số khuyéch tán) dB,(t), ví dụ sự rủi ro của các nhà

đầu tư trong việc đầu tư chứng khoán. Tài sản thứ 0 được gọi là an tồn vì khơng cósự xuất hiện của yếu tố nhiễu (mặc dù P(t,@) phụ thuộc vào @), ví dụ các nhà đầu

tư gửi tiền vào ngân hàng. Dé đơn giản chúng ta giả sử p(t,@) là bị chặn.

b) Chú ý rằng chúng ta ln có thể làm cho thị trường trở thành chuẩn hoá

bằng việc định nghĩa X;()=X,Œ)'X,Œ); 1<i<n. (1.8)

Thị trường Xứ) = (1,X,0),..„X,„()) được gọi là chuẩn hoá của X(t).

Như vậy, thị trường chuẩn hoá xem số tiền X,(t) của sự đầu tư an tồn

X„() như là đơn vi tinh của giá các cơ phiếu trên thị trường (số tiền pháp định củatiền tệ) và giá các loại cô phiếu khác trong hệ thống đầu tư (trong tài khoản của nhà

đầu tư) được định giá thông qua X,(?) .

39

</div>Trang 40<div class="page_container" data-page="40">

e) Phan nay của định nghĩa 2.1.1 thể hiện điểm tinh tế của mơ hình tốn. Dựa

theo cơng thức Itơ và nếu O(¢) cũng là một q trình Itơ thì phương trình (1.4) sẽdẫn đến kết quả

dV (t)=O(t).dX (t)+ X (t).dO(t) + dO(t).dX (r)

Tuy nhiên, điều kiện (1.6) xuất phat từ mô hình thời gian rời rac tương ứng: nếu

hạng mục đầu tư Ø (1, ) có được tại các thời điểm gián đoạn t =í, thì tài sản sẽ tăng

số tiền là AV(t,)=V(t,,,)-V(t,) được cho bởi

AV (t, )=O(t, )-AX (1, ) (1.12)

ở đó AX(t,)=X(t,,,)—X(t,) là sự thay đổi giá các cổ phiếu, với điều kiện

khơng có thêm tiền được đưa vào hoặc tiền được lấy ra từ tài khoản của nhà đầu tưvà danh mục đầu tư là tự tải chính.

f) Chú ý rằng nếu Ø là tự tài chính đối với thị trường X (¿) và

V(t) =O(1)-X (1) = EV? (0) (1.13)

40

</div>

Luận văn thạc sĩ khoa học: Tính toán ngẫu nhiên và một số ứng dụng vào lĩnh vực tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN THỊ PHƯƠNG THUY

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN THỊ PHƯƠNG THUY

Chuyên ngành: Ly thuyết Xác suất và Thống kê toán họcMã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HOCTS. NGUYEN THINH

BANG KÝ HIỆU

{veX:xeP}={xeX|xe P} Tập các phan tử xe X có tính chất P

|x| Chuan của x

E"(X)=E(X|F) . 6 th Lian của X Ác vét

doanh và các dịch vụ khác. Trong các dịch vụ ay, có nhiều cơng đoạn hoạt động với

X ={X,,t20} được gọi là đo được nếu nó đo được đối với Ø —truong tích

{(t,@): X (t,@) eB} thuộc về Ø— trường tích B , @F . Đó là o—trudng nhỏ

X:[0.]|xQ—>_.. Trên tích [0,r]xQ, ta xét z— trường tích B, xF.. Néu X do duoc

(ii) Họ đó là liên tục phải, tức là F, ={ ,..

{F,* te 0} được gọi là bộ lọc tự nhiên của quá trình X , hay lịch sử của X .

1.1.4.3. Cho một bộ lọc bất kỳ {Ft = | trén (WF ). Một quá trình Y được gọi

Mọi q trình X ={X,,t¢ '} là thích nghỉ với lịch sử của nó {F,*,te '}.

1.1.4.4. Cho một q trình X với lịch sử của nó là {F, c *}. Một qua trình

!, (ø) — ⁄, (X, (ø)sX, (ø)›--.)

trong đó s,„.s„„... là một dãy các phần tử của [0, rÌ và ƒ, là một hàm Borel thực trên

liên tục (a’ (x)) đôi xứng và xác định không âm với moi x sao cho

(P.)(*)=[P(x4)ƒ(y) với P(x,A) là xác suất chun.

và E|[X¿„—X/—b(X,)h Xj, —X/ -b/ (X, )h]}

=a" (X, )h+a(n)

(1) <p, (x.y)= Lp, (x3) với y cố định

(2) " p,(x.y)=L,p, (x.y) với x cố định

trong đó, — (L i bi ( 0)rong đó, (L.p,)(3. y) =2“ Tàn FP) Sp

va (Z, P,) (x )=22'0) _ na) n >)

Quá trình Ornstein-Uhlenbeck X =(X,u! C *) với tham số y>0 và giá trị

\2za—-e”®) - 2q-e ®)

c. W tuân theo luật lôga lặp như sau: Po limsup_-.69) — = 7 =1

(/)6)=—" J rojo] Pp<sub>_ (2z) 2i</sub>

ii) E[7(W,)FY |=E[7(W,)W, ]=(Pf)(W,) »

=| ƒ(t,ø)4W, với ƒ (r,ø) là một hàm ngẫu nhiên, W, là một q trình Wiener.

!(7)=]Zts)4 =P-limS`/(r,ø)|W,,—W, |

a. E[ƒ(s.ø)4W,=0

c. H.c.c ta có X,=X, +f f(s,o)aW, +[h(s,c)ds

trong đó, (t, ) là phân hoạch của [0,:], được tính tại các điểm (:,. X, )

At, =f,„¡—f,, AX; =X,¡—X,,Ag(r,X,)=#(1,X,„¡)}—#(t:X,).

R,=o |A¿,j +|Ax, |<sub>i> </sub><sub>MJ</sub>

FDS Fp, (a, aw | XI a0) le r,) 0;

vì E(AW,} =E(W,—W, ) =,

Nếu i<j thì 4A, ((Aw,} -Ar,} và ((aw,) Ar] là độc lập, do đó các biểu thức

tương ứng bị triệt tiêu, vì E(AW,) =Ar,; E(AW, Ỷ =Ar, tương tự nếu ¡> j ta cũng

>r|(s(aw,} ar) | >> (aw) ~2(AW,) Ar, +(Ar,} |

=3 E[4j]|3(a,} -2(Ar,} +(At, l = DEL Ai] (41) 0,

Hoặc, ta có > 4, (aw, ) > [ A(s}ds trong L,(Q) khi Ar, +0 hay (dW,) =dr.

Cho B(t,@)= (5, (t,@),...,B (t,@)) là chuyển động Brown m-chiéu, X05X,

cho bởi dY, - B(x) y(t, x)ax, 42D -

g bởi dãy hàm g, sao cho g,, Sn ; Sn Bn là các ham bị chặn và hội tu déu trên

Y= [as +Z,

hỈ ds ]<s. Vt [0.7].

M,=M,-< [(s..2W,).M >, là một (B,,Q)-martingale địa phương (3)

M —w, =Í( ƒ„dW,) với ƒ,=(J}..f") là một q tình B, khả đốn và

biến phân bị chặn là bằng 0). Vậy ta có M.—Mo = [Œ..4W.) (đpcm)

Ta có thể tìm được ước lượng X, =E|X, ig | của X, tốt nhất (theo nghĩa

{T < t} = {o: (xX, (a), X,, (ø)....) c Bh,

Y(T(@),0) ,t>T(o) hoặc Z(,)=Y(T(øœ)At.,®)

Y tại thời điểm ngẫu nhiên 7. Ký hiệu: Y”:Z=y".

,x)=P(X,<x|X, =) thì

ta co )= [P( P(x s) dP(é, 3)

Ƒ(

[(X.-X,)4P=0, VAeF,.

Hoặc (iii) trong đương (iii’) Với mọi O< s St, E|X, F.|=X, h.c.c.

(ii) E|X,

(Hi) với mSn, m,nc thi E(X,

(1l) với msn, mane thi E(X, |A„) =X,,, P-h.c.c.

(iii) với m<n, mane thi E(x, |A„) =X„, P-h.c.c.

x" = Xu.{x >0} A, NE la martingale.

A.) trên tập {z>ø}, P-h.c.c

do đó X,,, =E(X

Dat (VeY) =V,Y, + VAY, , trong đó AY, =Y,—Y,

Day (VeY)={(VeY) ,A,,ne } được gọi là biến đổi của Y theo V. Nếu thêm

vào đó, Y là martingale thì ta nói (V ®Y) ={(V*Y), A, ne \ la bién doi