Chủ Đề 04 bí quyết tìm tiếp tuyến của Đồ thị hàm số

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>CHỦ ĐỀ 4: BÍ QUYẾT TÌM TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐA. KIẾN THỨC NỀN TẢNG</b>

Để tiếp tuyến // với đường thẳng Δ thì điều kiện là k=k<small>Δ</small>

Để tiếp tuyếnvới đường thẳng Δ thì điều kiện là k.k<small>Δ</small> = -1

<b>3. Tính hệ số góc bằng máy tính Casio Vinacal</b>

Để tính hệ số góc bằng máy tính Casio Vinacal ta sử dụng chức năng

<b>B. VÍ DỤ MINH HỌA</b>

<b>Ví dụ 1 (THPT Lục Ngạn): Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số</b>y = - - lnx¹

x ^{tại điểm có}hồnh độ bằng 2.

<b>A. </b>¹ - ln2

<b>D. </b>¹

Ta hiểu : hệ số góc của tiếp tuyến tại x, có giá trị đúng bằng giá trị đạo hàm tại x<small>0</small>

Để tính đạo hàm tại x, ta dùng máy tính Casio với chức năng

Vậy hệ số góc của tiếp tuyếnk = -0,25 = -¹4

<b>=> Chọn BMở rộng </b>

Hệ số góc cịn có giá trị k = tan α với α là góc tạo bởi tiếp tuyến và chiều dương của Ox . Ví dụ đề bài hỏitìm tiếp tuyến sao cho tiếp tuyến song song với phân giác của góc phần tư thứ nhất thì khi đó tiếp tuyếntạo với chiều dương của Ox một góc 45<small>0</small> => k = tan 45<small>0</small> =1

<b>Ví dụ 2 (Báo Toán Tuổi Trẻ): Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số</b>

11y = x+

1y = x+

<b>Ta hiểu : Điểm uốn của đồ thị hàm bậc 3 thường được kí hiệu là I(x</b><small>0</small>; y<small>0</small>) với x<small>0</small> là nghiệm của phương

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

trình y’=0

Tính y’=x<small>2</small>-4x+3 và y’’=2x-4 . Giải phương trình2x – 4 = 0 => x<small>0</small> = 2

=> hệ số góc k = y’(2) = -1 và y<small>0</small> = ⁵3

Thế vào phương trình tiếp tuyến y=f’(x<small>0</small>)(x-x<small>0</small>) + y<small>0</small>, ta được :

y = -1(x-2)+ y = -x+

<b>=> Chọn AMở rộng </b>

Điểm uốn của đồ thị hàm bậc 3 cũng là tâm đối xứng. Cho nên khi đề bài hỏi viết phương trình tiếp tuyếntại tâm đối xứng của đồ thị thì ta vẫn viết phương trình tiếp tuyến tại I(x<small>0</small>; y<small>0</small>)

<b>Ví dụ 3 (THPT Chuyên Bắc Ninh): Cho hai hàm số f(x)= </b> ¹

<b>Giải Tự luận kết hợp Casio Vinacal</b>

Giải phương trình hồnh độ giao điểm

Sử dụng máy tính Casio với chức năng qy tính hệ số góc của tiếp tuyến 1 và lưu vào A

Ta được k<small>1</small> = A từ đó ta tìm được góc tạo bởi tiếp tuyến 1 và chiều dương trục hoành là ≈ -35<small>0</small>

Tương tự như vậy ta tính được góc tạo bởi tiếp tuyến 2 và chiều dương trục hoành là ≈ 55<small>0</small>

Vậy ta thấy góc giữa 2 tiếp tuyến là 55-(-35)=90<small>0</small>

<b>=> Chọn DBình luận</b>

Qua ví dụ trên ta thấy cách kết hợp tự luận và Casio Vinacal tỏ ra có ưu thế vượt trội so với cách thuần tựluận. Nếu làm theo cách thuần tự luận ta phải viết 2 phương trình tiếp tuyến ra và tìm 2 vecto pháp tuyếnlà n ₁

và n^₂ từ đó phát hiện tính chất n .n ₁ ₂

= 0 n ₁  n₂ 

hai tiếp tuyến vng góc với nhau.

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<b>Ví dụ 4 (Chuyên Quốc Học Huế): Cho hàm số y = x</b><small>3</small> –3x<small>2</small>+2x. Có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thịhàm số đi qua điểm A(-1;0) ?

Tính f’(x)=3x<small>0</small> -6x<small>0</small> +2 và y<small>0</small> = x<small>0</small> - 3x<small>0</small> + 2x<small>0</small> thế vào phương trình tiếp tuyến ta được: y = (3x<small>0</small> -6x<small>0</small> +2)(x - x<small>0</small>) + x<small>0</small> - 3x<small>0</small> +2x<small>0</small> (1). Để tiếp tuyến (1) đi qua A(-1;0) thì tọa độ A phải thỏa mãn phương trình tiếptuyến  0=(3x<small>0</small> -6x<small>0</small> +2)(-1-x<small>0</small>)+x<small>0</small> -3x<small>0</small> +2x<small>0</small>.

 -2x<small>3</small> + 6x<small>0</small> – 2 =0

Giải phương trình bậc 3 trên bằng máy tính Casio với chức năng MODE 5 4

Ta thấy phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt x<small>0</small>

=> Có 3 tiếp tuyến thỏa mãn

<b>=> Chọn CBình luận</b>

Với mỗi x<small>0</small> phân biệt khi thay vào phương trình (1) sẽ thu được 1 tiếp tuyến. Vậy có bao nhiêu x<small>0</small> thì sẽbấy nhiêu tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;0).

<b>Ví dụ 5 (THPT Đống Đa): Cho hàm số y=x</b><small>3</small>−3x<small>2</small>+2x–5 có đồ thị (C). Có bao nhiêu cặp điểm thuộc đồthị mà tiếp tuyến của đồ thị tại chúng là hai đường thẳng song song với nhau?

<b>=> Chọn D</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<b>Ví dụ 6 (Chun KHTN HN): Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số </b>y= ^x+2

2x+3^{biết tiếp tuyến cắt}trục tung và trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân là:

<b>=> Chọn A</b>

<b>Ví dụ 7 (THPT Chun Thái Bình): Cho hàm số</b>y=^2x+1

x+1 ^{(C). Tìm M trên đồ thị (C) sao cho khoảng}cách từ hai điểm A(2;4) và B(-4;-2) đến tiếp tuyến của (C) tại M là bằng nhau.

  <b>D. </b>M(0;1),M(-2,3),M 1;³2

<b>Câu 3 (PTDTNT THCS&THPT An Lão - 2018). Gọi M ∈ (C): </b>y=^2x+1

x-1 ^{có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến}của (C) tại M cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A và B. Hãy tính diện tích tam giác OAB.

<b>Câu 4 (Chuyên Hạ Long - 2018). Cho hàm số y= -x</b><small>3</small>+3x-2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyếncủa (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

y= +3x -23

biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -9.

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<b>Câu 8 (Chuyên Thái Bình - 2018). Cho hàm số</b>y= ^x-1

x+2^{có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm}của (C) và trục hồnh có phương trình là

  cóphương trình là

<b>Câu 17 (Chuyên Quốc học Huế - 2018). Gọi (C) là đồ thị của hàm số</b>y= ^x-2

2x+1^{. Tìm mệnh đề sai trong}các mệnh đề sau.

<b>A. (C) có các tiệm cận là các đường thẳng có phương trình là</b>x=-¹2^và

<b>B. Tồn tại 2 điểm M,N thuộc (C) và tiếp tuyến của (C) tại M và N xong xong với nhau.</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<b>C. Tồn tại tiếp tuyến của (C) đi qua điểm</b> - ;^{1 1}2 2

 .

<b>D. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞).</b>

<b>Câu 18 (Sở GD&ĐT Bắc Ninh - 2018). Cho hàm số y = x</b><small>3</small> – m<small>2</small>x<small>2 </small>– m có đồ thị (C). Tìm tất cả các giátrị thực của tham số m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ x<small>0</small> =1 song song với đường thẳngd : y = -5x.

<b>C.</b> ^{m = 2}

m = -2

<b>Câu 19 (Sở GD&ĐT Bình Phước - 2018). Đồ thị của hàm số f(x) = x</b><small>3</small> + ax<small>2</small> + bx + c tiếp xúc với trụchoành tại gốc tọa độ và cắt đường thẳng x=1 tại điểm có tung độ bằng 3 khi

<b>C. </b>y = x - ⁷

7y = -x -

<b>Câu 22 (TT Diệu Hiền - 2018). Cho hàm số</b>y = ^2x+3

x-1 ^{có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm có}hồnh độ bằng 2 cắt các trục Ox, Oy tại điểm thuộc tại các điểm A(a;0), B(0;b). Khi đó, giá trị của 5a+bbằng

<b>Câu 23 (Sở GD-ĐT Tp HCM - 2018). Biết d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số</b>

y = +3x -2

3 ^{và d có hệ số}góc k = -9, phương trình của d là

m = 1

<b>C. </b> ^{m = 3}

m = -1

m = -1

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<b>Câu 25 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - 2018). Cho hàm số</b>y = ^2x+1

x-1 ^{có đồ thị (C). Tiếp tuyến với đồ}thị (C) tại M (2;5) cắt hai đường tiệm cận tại E và F. Khi đó độ dài EF bằng

<b>Câu 28 (Chuyên Amsterdam HN - 2018). Cho hàm số </b>y = ^2x-1

x-1 ^{(C). Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ}thị (C) sao cho tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thoả mãn OA = 4OB là

<b>Câu 30 (THPT Yên Lạc - 2018). Tập tất cả các giá trị của tham số m để qua điểm M (2; m) kẻ được ba</b>

tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị hàm y = x<small>3</small> – 3x<small>2</small> là

</div>