Chuyên đề: Phương trình và bất phương trình logarit pptx

Hướng dẫn ôn thi Tốt nghiệp – Đại học môn Toán Mũ và lôgarit
Chuyên đề: Phương trình và bất phương trình logarit.
“Theo hướng dẫn mới nhất của Bộ giáo dục và đào tạo trong kỳ thi tốt
nghiệp THPT năm 2009, thì đối với dạng bài tập về PT, BPT mũ và logarit
sẽ không xét các PT, BPT chứa tham số; cũng như các PT, BPT chứa ẩn
đồng thời ở cơ số và số mũ, hay chứa ẩn đồng thời ở cơ số và biểu thức dưới
dấu logarit.”
A. Kiến thức cơ bản:
1. Hàm số y = log
a
x xác định khi x > 0
+ Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến.
+ Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến.
2. Một số tính chất đối với hàm số logarit.
+)
yxxy
aaa
loglog)(log +=
,
+)
yx
y
x
aaa
logloglog −=









+)
xxx
a
a
aa
log
1
log,log.log
α
α
α
α
==
,
+)
a
xxbx
x
abaa
log
1
log,log.loglog ==
B. Một số phương pháp cơ bản giải PT – BPT logarit.
1. Phương pháp 1:
Đưa 2 vế của phương trình và bất phương trình về cùng 1 cơ số.
Kết quả:
1.
)(log)(log xgxf

aa
=

⇔
f(x) = g(x) 2.
bxf
a
=)(log

⇔
f(x) = a
b
3.
)(log)(log xgxf
aa
>
, xảy ra 2 khả
năng.
+ Nếu a > 1 thì bpt
⇔
f(x) > g(x).
+ Nếu 0 < a < 1 thì bpt
⇔
f(x) <
g(x).
4.
bxf
a
>)(log
, xảy ra 2 khả năng.

+ Nếu a > 1 thì bpt
⇔
f(x) > a
b
.
+ Nếu 0 < a < 1 thì bpt
⇔
f(x) <
a
b
.
Lưu ý rằng với các PT, BPT logarit ta cần phải đặt điều kiện để các biểu
thức log
a
f(x) có nghĩa là f(x)
≥
0.
Một số ví dụ minh họa
1). log
2
(x
2
– 4x – 7) = 2 2).
9logloglog2
2
1
2
2
=++ xxx
3).

6logloglog
2
1
3
3
=++ xxx
4).
012log)2(log
3
13
=−+− xx
4). log
3
(x + 2) + log
3
(x - 2) = 5 6).
0
4
loglog
2
67,0
<









+
+
x
xx
7).
( )
)12(log12log41444log
2
555
++<−+
−xx
8).
0
23
log
2
2
1
≥
+−
x
xx
Nguyễn Thế Cường Email: Trang 1
Hướng dẫn ôn thi Tốt nghiệp – Đại học môn Toán Mũ và lôgarit
9).
( )
0
32.4
1
log2272.154log

22
=






−
+++
x
xx
10).
2)32(log)34(log2
3
13
≤++− xx
2. Phương pháp 2: Dùng ẩn phụ
Với các PT, BPT mà có thể biểu diễn theo biểu thức log
a
f(x) thì ta có thể sử
dụng phép đặt ẩn phụ t = log
a
f(x). Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức
log
a
f(x) có nghĩa là f(x) > 0, chúng ta cần phải chú ý đến đặc điểm của PT,
BPT đang xét ( chứa căn, có ẩn ở mẫu) khi đó ta phải đặt điều kiện cho các
PT, BPT có nghĩa.
Một số ví dụ minh họa

1).
xx
33
log3log4 =−
2).
2loglog3log
2
12
2
2
=++ xxx
3).
1
1log
2loglog
2
2
2
2
=
+
−−
x
xx
4).
3
log
2
1log
6

22
=+
+ xx
5).
42log4log1
42
=−++ xx
6).
2
)1log(1
2
)1(log1
)1log(1
2
=
−+
+
−+
−+
x
x
x
7).
x
x
x
x
8log
4log
2log

log
16
8
4
2
=
8).
051loglog
2
3
2
3
=−++ xx
3. Phương pháp 3: Phương pháp mũ hóa
Đôi khi ta không thể giải một PT, BPT logarit bằng cách đưa về cùng một
cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể đặt x = a
t

⇒
PT, BPT cơ bản
(phương pháp này gọi là mũ hóa)
Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường chứa nhiều cơ số khác nhau
Một số ví dụ minh họa
1).
1loglog
32
=+ xx
2).
15lgloglog
53

=+ xx
3).
2)12(log)1(log
53
=+++ xx
4). log
2
x = log
5
(x + 3)
4. Phương pháp 4: Phương pháp đánh giá (hàm số).
Cơ sở của phương pháp như sau:
Ta xét pt: f(x) = g(x) (1)
+ Nếu trên điều kiện xác định của pt ta có : f(x)
≥
m và g(x)
≤
m thì khi đó
pt (1) xẩy ra khi và chỉ khi



=
=
mxg
mxf
)(
)(

⇒

giải hệ thu được nghiệm của PT
+ Trong một số trường hợp ta có thể tìm được giá trị x = a sao cho f(a) =
g(a), còn với mọi x
≠
a thì f(a)
≠
g(a)
⇒
tức là PT chỉ có duy nhất nghiệm x
= a.
Một số ví dụ minh họa
1). log
2
x = 3 - x 2). log
3
(x
2
+ x + 1) – log
3
x = 2x - x
2
3). log(x
2
– x – 12) + x = log(x + 3)
+ 5
4).
23
542
3
log

2
2
2
3
++=
++
++
xx
xx
xx
Nguyễn Thế Cường Email: Trang 2
Hướng dẫn ôn thi Tốt nghiệp – Đại học môn Toán Mũ và lôgarit
BÀI TẬP
Giải phương trình mũ
1)
2 4 3 8
6 3 .2
x x x+ +
=
2)
1
3 4 9
.
4 3 16
x
x
−
 
=
 ÷

 
3)
( )
2 5 24 5 7 5 7
x x x
+ − − = +
4)
1
4 10.2 24 0
x x
−
− − =
5)
2 2
2 3.2 32 0
x x
+
− + =
6)
1 4 2
4 2 2 16
x x x
+ + +
+ = +
7)
3 1
125 50 2
x x x
+
+ =

8)
8 18 2.27
x x x
+ =
9)
2 2 2
2 1 2 1 2
25 9 34.15
x x x x x x− + − + −
+ =
10)
2 1 2 2 2
3 3 1 6.3 3
x x x x
+ + +
= + − +
11)
2 2
4 16 10.2
x x
− −
+ =
12)
2
4.3 9.2 5.6
x
x x
− =
13)
( ) ( )

2 3 2 3 14
x x
− + + =
14)
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
− + + =
15)
( ) ( )
4 15 4 15 62
x x
− + + =
16)
( ) ( )
3
5 21 7 5 21 2
x x
x+
− + + =
17)
( ) ( )
3
7 3 5 12 7 3 5 2
x x
x
+

+ + − =
18)
1 2
2 .3 .5 12
x x x
− −
=
19)
4
4
x x
x x
=
20)
2 1
3 9 4
x x
+ +
+ =
21)
( )
2 2
3.25 3 10 5 3 0
x x
x x
− −
+ − + − =
22)
( )
2

2 2
1
1
4 2 2 1
x
x x x
+
+ −
+ = +
23)
64.9 84.12 27.16 0
x x x
− + =
24)
2 2
sin cos
4 2 2 2
x x
+ = +
25)
2
3 cos
x
x
=
26)
2
2 1 3
x
x

= +
27)
1
2 4 1
x x
x
+
− = −
28)
2 3 5
x x x
+ =
29)
( ) ( )
2 3 2 3 4
x x
x
− + + =
30)
( ) ( ) ( )
3 2 3 2 5
x x x
− + + =
Giải phương trình và bất phương trình logarit
1)
( ) ( )
2 2
log 3 log 1 3x x
− + − =
2)

( )
2 1
8
log 2 2 6log 3 5x x
− − = −
3)
2 3
lg lg 2 0x x− + =
4)
( )
2 1
1 log 1 log 4
x
x
−
+ − =
5)
( ) ( )
2 2
3 7 2 3
log 4 12 9 log 6 23 21 4
x x
x x x x
+ +
+ + + + + =

6)
( )
( )
2 2

lg 6 3 lg 3 3x x x x x x+ − + + − = + +
7)
( )
log 6 3
x
x
+ =
8)
(
)
2
3
1
log 3 1 2
2
x
x x
+
− − + =
9)
( ) ( )
3
2 2
log 4 1 log 2 6
x x
x
+
+ = − +
10)
( )

2
3
lg 2 3 lg 0
1
x
x x
x
+
+ − + =
−
Nguyễn Thế Cường Email: Trang 3
Hướng dẫn ôn thi Tốt nghiệp – Đại học môn Toán Mũ và lôgarit
11)
3 9
1
log log 9 2
2
x
x x
 
+ + =
 ÷
 
12)
( )
( )
2
lg 6 lg 2 4x x x x
+ − − = + +
13)

9
4log log 3 3
x
x + =
14)
( )
( )
2
2 1
2
log 1 log 1x x
− = −
15)
( ) ( )
2 3
4 2
lg 1 lg 1 25x x
− + − =
16)
2
2 2 2
log 2 log 6 log 4
4 2.3
x x
x− =
Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và logarit
1
2.
3.
4.

5) 6) 7)
8) 9) 10) 11)
12) 13)
15) 16) ) 17)
18) 19) 20)
21) 22) 23)
24.
( )
xlogxlog
x
2
2
2
2 +
≤ 4 25.
( ) ( )
114
2
5
2
5
<+−++ xlogmxxlog
26.
( ) ( )
1
3
3
1
310310
−

−
+
+
+−−
x
x
x
x
≥ 0 27.
( )
01641
3
2
3
=−++ xlogxxlogx

28). log
x
(log
3
(9
x
- 72)) ≤ 1 29).
322
22
2
=−
−+− xxxx
30).
163322 −>+

xxx

31).





=
+
+
−=
+
y
yy
x
xx
x
22
24
452
1
23
32).
( )
01
2
1
2
>+−−

+
xxln
x
ln
:33) 16
x
– 3
x

≤
4
x
+ 9
x
.
34).
( )
yyxxlog
y
3732
2
8
2
2
2
+−≤++
+
35). 8
x
+ 4.12

x
- 18
x
- 2.27
x
= 0
36).
( ) ( )
2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
x x−
+ − < + +
37)
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x+ −
− − + =
38).
( ) ( ) ( )
xxx 4log1log
4
1
3log
2
1
2
8
4

2
=−++
Nguyễn Thế Cường Email: Trang 4
Hướng dẫn ôn thi Tốt nghiệp – Đại học môn Toán Mũ và lôgarit
39).
11252
5
<−
x
logxlog
40).
11
21212.15
++
+−≥+
xxx

41).
( ) ( )
06140252
1
<+−
+
,,,
xx
42.
( )
xlogxlog
x
2

2
2
2 +
≤ 4
43).
12822324
222
212
++>++
+
x.x xx
xxx
44).
( )
3
8
2
4
1−+ xlogxlog
≤ 1
45).
093283
22
122
=+−
+++ xxxx
.
46).
( ) ( )
11

1
1
2
+>+
−
−
xlogxlog
x
x
47).
( )



=+
=
−
5
115223
22
logyxlog
yx
48)





=+
++=+

1
2
22
2
yx
axyx
x
49)
12
3
1
3
3
1
1
12
>






+







+
xx
50).
( )
2
2
2
22
2
22
2
22
=






+++ xl og
x
log
x
logxlogxlogxlog
xx
51).
( )
2
1
122

2
−=−
−−
x
xxx
52)
1444
7325623
222
+=+
+++++− xxxxxx
53)





+=++
=+
+−+
113
2322
2
3213
xxyx
.
xyyx
54)
( )
( )

( ) ( )





=+++
=−
111
239
22
3
2
2
yx
xy
log
xylog
55)
.)1(log
2
1
7
1
log1
2
66
−=
+
−

+ x
x
x
56)
( )
32log2loglog
12
3
1
3
3
3
1
++




−






x
x
≥
1.
57)

)3x(log
xlog
2
6
+
=
xlog
6
58)
( ) ( )





+−=−
=
+
yxlogyxlog
x
y
y
x
33
1
324
59
( )
( ) ( )
( )

( )





−=+−+−+
+=+−+
142241
312
4
2
44
44
22
4
y
x
logxyylogxylog
yxlogxlogyxlog
60)x
n
+ (a - x)
n
≥ 2
n
a







2
61) 3x- log
6
8
x
= log
6
(3
3x
+ x
2
– 9).
Sau khi làm các bài trên làm các bài sau
Bài 1
( )
2
2sin
3
4
1 1
os2 log cos 2 os6 1
2 2
c x x c x+ = + − −
Bài 2
( )
2
3

34 93 2 2 2
2
2 34 376 34 376 3log ( 34 376) 35
x x
x x x x x
− +
 
− + − + + − + =
 
Bài 3 :
2 2
1
2
log 11 log ax 2 3 log ( ax 2 1 1) 0
a a
x x
 
+ − + − + + ≤
 
 
Bài 4 :
2 2 2 2 2 2
2cos 2cos 2cos 2sinx 2sinx 2sinx
21 4 (21 4) (21 4) 21 4
x x x
+ − + = + − −
Bài 5 :
1 1
64 3.343 8 12.4 .7
x x x x

− −
− = +
Nguyễn Thế Cường Email: Trang 5
Hướng dẫn ôn thi Tốt nghiệp – Đại học môn Toán Mũ và lôgarit
Bài 6 giải và biện luận PT
2
2
2
3 2
log 3 2
x x
x m x x
x m
− +
= − − − +
−
Bài 7
( ) ( )
2 2
sinx sinx
sinx cos 2sinx 2cos 3x x+ + − =
Bài 8 :
20.11 .1999 11 1
x x
x
+ =
Bài9 :
3
3 1 log (1 2 )
x

x x
= + + +
Bài 10 :
( )
1 3sinx
2
2 1 3sinx log 1 9sinx
−
+ + = −
Bài 11
( )
2
2cos 6 4 2
5
8sinx 12sinx 10sinx
2
x
e e− + = +
12 :
1 t anx
sinx 2cos
3 t anx 1. 2
sinx 3cos
x
x
−
+
+ ≤
+
Bài13

2 2
1
2 os os 3sinx 1
7 7 7
2 os
7
x
c c
c
π π π
π
 
 ÷
 
− − − ≤
 ÷
 ÷
 
 ÷
 
Bài 14 cho
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
chứng minh rằng

os2
1
cotx
sin2
c x
x
≥
Bài15 cho
0;
2
n N
x
π
∈



 
∈
 ÷

 

Chứng minh rằng
2 2
t anx cotx 2 os 2
n n
n c x
+ ≥ +
Bài 16 cho

( )
0 1
2
n x
π
< + <
CMR
( ) ( )
1 cos 1 cos nx.sinx
n n
x x tg
− + <
Bài 17 cho
( ) ( )
3 2 2 2 1 3
x x
+ = − +
CMR
( )
2 1 2 os
9
x
c
π
+ =
Bài 18 cho pt
lg sinxx
=
Chứng minh rằng phương trình có nghiệm trong
khoảng

3 5
;
2 2
π π
 
 
 
Bài 19
( )
2sinx
2 sinx cos cos 5
2007
2007
log 2007 4 4 200 4 1
x x
−
+ − = + −
Bài 20 trong các nghiệm của bất phương trình sau
( )
2 2
log 1
x y
x y
+
+ ≥
Tìm nghiệm sao cho x+2y lớn nhất Bài 23 .
2 2
3 3 2 4
x x x x
+ = +

Bài 21
(
)
(
)
2 2
2 2
2 7 12 1 14 2 24 2 log
x
x x x x
x x
 
+ − + − ≤ − − +
 ÷
 
Nguyễn Thế Cường Email: Trang 6
Hướng dẫn ôn thi Tốt nghiệp – Đại học môn Toán Mũ và lôgarit
Bài 22 giải hệ phương trình
4
cos
4
1 5 os 3
log 2
2
1 sinx
sin 2
c x
m
x
π


−
≤



+

≤


24.
sinx cos
5 5
cos sinx
2 2
x
x
   
=
 ÷  ÷
   
25.a)
2 2 1
2 3 3 2 1
x x
x x
x
+
+ = + + +

25b) .
( )
( )
1 2 4 3.4
x x
x
+ + =
26.cho
, , 0a b c
>
CMR
1
b c a c a b
a b c
+ + +
+ + ≥
27.tìm a để pt sau có 3 nghiệm
( )
( )
2
4
2 sin 1
2
1
3 log 4 6 3 log
2 sin 1 1
x x
x a
x x
x a

π π
− −
− − +
+ + +
− + +
28. tìm a để phương trình có it nhất 1 nghiệm
( )
(
)
( )
( )
2
2
4 4
1
4 2 2 2 4
log 5 10 34 2
a
x x a x a
x a x a
π
π π
π
π π π
+ +
− − − − +
− − + − − − + +
29.
3
2 log

6
1 2 1
x
x x
+
<
− −
30.cho
2
0
π
<≤ x
a.CMR
1
2
3
tansin.2
222
+
>+
x
xx
b.CMR
xx tansin
22
+

≥

1

2
+
x

31. .CMR
a
ab
a
b
b
ab
−
<<
−
ln
với 0<a<b
32.
b
ab
TanaTanb
a
ab
22
coscos
−
<−<
−
với 0<a<b<
2
π

33.
xx
xx






+
+>






+
+
+
1
1
1
1
1
1
1
với x>0
34.
( )

nn
babna <−
−1
-
( )
abnba
nn
−<
−1
với 0<a<b ,n>1
35.
2
2 2
3
9 4
cos sinx
3 2 2 2
x
x
x
π
π
 
−
−
 ÷
 
+ = +
36.
37.

38. Biện luận theo m số nghiệm của PT
39. 40.
41.
42. 43.
Nguyễn Thế Cường Email: Trang 7
Hướng dẫn ôn thi Tốt nghiệp – Đại học môn Toán Mũ và lôgarit
44. Tìm các giá trị của tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm:
( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 1
y y y
12 os 5 12 os 7 24 os 13 11 sin
2 2 2 3
3
2 1 2
4
x y
c c c
x y a x y a
π
π π π

− −
 − − − + + = −



 

+ − − = + − −

 

45. ):Cho bất phương trình:
222
2222 xxaaxxxxx
xx
−+−<−
1.Giải bpt khi a=-1.2.Tìm a để bpt có nghiệm x>1.
- Hết -
Nguyễn Thế Cường Email: Trang 8