Truyền nhiệt CII Dẫn nhiệt ổn định một chiều

Nguyễn toàn phong 1 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
Chương II
Friday, September 17, 2010
DẪN NHIỆT
ỔN ĐỊNH MỘT CHIỀU

A. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT
Ta lần lượt khảo sát trong ba hệ tọa độ tương ứng với
các trường hợp trong vách phẳng, trong vật hình trụ và vật
hình cầu.
I. TRONG HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC
Xét trường hợp dẫn nhiệt qua vách phẳng rộng so với
chiều dày, mật độ dòng nhiệt đồng đều
→ Nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương vuông góc vách
→ Mặt đẳng nhiệt song song bề mặt vách
Xét phần tử vách như sau
→ Chọn trục tọa độ vuông góc mặt đẳng nhiệt
→ Phương trình bảo toàn năng lượng cho phần tử khảo
sát như sau








∆
=









∆
+








∆+
−








Vtronglượngnăng
thiênbiến
Vtrongsinhphát

lượngnhiệt
xxtạiradẫn
lượngnhiệt
xtạivàodẫn
lượngnhiệt


Nguyễn toàn phong 2 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều


τ∆
∆
=+
−
∆
∆∆+
V
Vxx
x
E
QQ
Q
(2-1)
Với
( ) ( )








∆⋅⋅=
∆⋅=
−⋅∆⋅⋅⋅ρ=−
⋅⋅∆=
−=∆
∆
τ
τ∆+τττ∆+τ
ττ∆+τ∆
xFqVqQ
ttxFCttCm
EEE
vvV
V

Thế vào phương trình 2-1, ta có:

τ∆
−
⋅∆
⋅⋅⋅ρ=∆⋅⋅+−
ττ∆+τ
∆+
tt
xFCxFqQ
Q
vxxx

Nguyễn toàn phong 3 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
Chia phương trình trên cho
xF ∆⋅
, ta được

τ∆
−
⋅⋅ρ=+
∆
−
⋅−
ττ∆+τ
∆+
tt
Cq
x
QQ
F
1
v
xxx
(2-2)
Lấy giới hạn



→τ∆
→∆

0
0x


τ∂
∂
⋅⋅ρ=+






∂
∂
⋅⋅λ
∂
∂
⋅
t
Cq
x
t
F
xF
1
v
(2-3)
Trong đó







∂
∂
⋅⋅λ−
∂
∂
=
∂
∂
=
∆
−
∆+
→∆
x
t
F
xx
Q
x
QQ
lim
xxxx
0x

Với diện tích
constF =
, phương trình 2-3 được viết lại

τ∂
∂
⋅⋅ρ=+






∂
∂
⋅λ
∂
∂ t
C
q
x
t
x
v
(2-4)

Nguyễn toàn phong 4 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
II. TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRỤ
Xét trường hợp dẫn nhiệt qua vách trụ có chiều dài lớn

so với bán kính, mật độ dòng nhiệt đồng đều
→ Nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương bán kính
→ Mặt đẳng nhiệt là những mặt trụ đồng tâm
Xét phần tử vách như sau


→ Chọn trục tọa độ trùng với trục ống
→ Phương trình bảo toàn năng lượng cho phần tử khảo
sát như sau
Nguyễn toàn phong 5 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều








∆
=








∆

+








∆+
−








Vtronglượngnăng
thiênbiến
Vtrongsinhphát
lượngnhiệt
rrtạiradẫn
lượngnhiệt
rtạivàodẫn
lượngnhiệt


τ∆

∆
=+−
∆
∆∆+
V
Vrrr
E
QQQ
(2-5)
Với
( ) ( )







∆⋅⋅=∆⋅=
−⋅∆⋅⋅⋅ρ=−⋅⋅∆=
−=∆
∆
ττ∆+τττ∆+τ
ττ∆+τ∆
rFqVqQ
ttrFCttCm
EEE
vvV
V

Thế vào phương trình 2-5, ta có:

τ∆
−
⋅∆⋅⋅⋅ρ=∆⋅⋅+−
ττ∆+τ
∆+
tt
rFCrFqQQ
vrrr

Chia phương trình trên cho
rF ∆⋅
, lấy giới hạn và sử
dụng đònh luật Fourier

τ∆
−
⋅⋅ρ=+
∆
−
⋅−
ττ∆+τ
∆+
tt
Cq
r
QQ
F
1

v
rrr
(2-6)

τ∂
∂
⋅⋅
ρ
=+






∂
∂
⋅⋅
λ
∂
∂
⋅
t
Cq
r
t
F
rF
1
v

(2-7)
Với diện tích
Lr2F ⋅⋅π=
, phương trình 2-7 được viết lại

τ∂
∂
⋅⋅ρ=+






∂
∂
⋅λ⋅
∂
∂
⋅
t
Cq
r
t
r
rr
1
v
(2-8)

Nguyễn toàn phong 6 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
III. TRONG HỆ TỌA ĐỘ CẦU
Xét trường hợp dẫn nhiệt qua vách cầu, mật độ dòng
nhiệt đồng đều trên bề mặt
→ Nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương bán kính
→ Mặt đẳng nhiệt là những mặt cầu đồng tâm
Xét phần tử vách như sau

Thực hiện tương tự như phần vách trụ, với lưu ý diện tích
2
r4F ⋅π=
thế vào 2-7, phương trình dẫn nhiệt

τ∂
∂
⋅⋅ρ
=+






∂
∂
⋅λ⋅
∂
∂
⋅

t
Cq
r
t
r
r
r
1
v
2
2
(2-9)
Nguyễn toàn phong 7 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều

IV. TRƯỜNG HP TỔNG QUÁT
CHO TRƯỜNG MỘT CHIỀU
Từ các phương trình 2-4, 2-8 và 2-9, ta có dạng tổng quát
cho trường một chiều như sau:

τ∂
∂
⋅⋅ρ
=+







∂
∂
⋅λ⋅
∂
∂
⋅
t
Cq
r
t
r
r
r
1
v
n
n
(2-10)
i. Tọa độ vuông góc

⇒




≡
=
rx
0n

ii. Tọa độ trụ

⇒

1n =

iii. Tọa độ cầu

⇒

2n =


Nguyễn toàn phong 8 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
Trường hợp hệ số dẫn nhiệt
const=λ


τ∂
∂
⋅
=
λ
+







∂
∂
⋅
∂
∂
⋅
t
a
1
q
r
t
r
r
r
1
v
n
n
(2-11)
i. Trường hợp dẫn nhiệt ổn đònh

0
q
dr
dt
r
dr
d

r
1
0
t
v
n
n
=
λ
+






⋅⋅→=
τ∂
∂
(2-12)
ii. Trường hợp không có nguồn nhiệt bên trong

τ∂
∂
⋅=







∂
∂
⋅
∂
∂
⋅→=
t
a
1
r
t
r
rr
1
0q
n
n
v
(2-13)
iii. Trường hợp dẫn nhiệt ổn đònh
không có nguồn nhiệt bên trong


0
dr
dt
r
dr
d

0q
0
t
n
v
=






⋅→





=
=
τ∂
∂
(2-14)


Nguyễn toàn phong 9 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
B. ĐIỀU KIỆN BIÊN - ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU
Giải phương trình vi phân ta được nghiệm tổng quát, đối
với từng trường hợp cụ thể sẽ có tương ứng điều kiện biên,

kết hợp lại sẽ xác đònh được phương trình riêng tương ứng.
I. ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU
Là hàm phân bố nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu khảo sát,
tổng quát

( ) ( )
z,y,xt0,z,y,xt =
(2-15)
II. ĐIỀU KIỆN BIÊN THEO NHIỆT ĐỘ
Nhiệt độ bề mặt rất dễ xác đònh, do vậy điều kiện biên
nhiệt có thể cho theo nhiệt độ bề mặt
Ví dụ cho trường hợp vách phẳng có chiều dày δ

( )
( )



=τδ
=τ
2
1
t,t
t,0t
(2-16)
Nguyễn toàn phong 10 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
III. ĐIỀU KIỆN BIÊN MẬT ĐỘ DÒNG NHIỆT
Khi biết đầy đủ thông tin về tương tác năng lượng ở bề
mặt → xác đònh được mật độ dòng nhiệt → được sử dụng

làm điều kiện biên









=
∂
∂
⋅λ−=
xtrívòmặtbềtại
đổitraonhiệtdòng
x
t
q
(2-17)
Lưu ý: Chiều hướng dòng nhiệt dẫn trong vách và dòng
nhiệt trên bề mặt
Điều kiện biên:
( )
0
q
x
,0t
=
∂

τ∂
⋅λ−

và
( )
δ
=
∂
τδ∂
⋅λ− q
x
,t



Nguyễn toàn phong 11 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
Trường hợp bề mặt được cách nhiệt tốt
( )
0
x
,0t
=
∂
τ∂
⋅λ−
hoặc
( )
0
x

,t
=
∂
τδ∂
⋅λ−
(2-18)

( )
0
x
,0t
=
∂
τ∂
và
( )
C60,t
o
=τδ


Trường hợp đối xứng nhiệt

( )
0
x
,2t
=
∂
τδ∂

(2-19)



Nguyễn toàn phong 12 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
IV. ĐIỀU KIỆN BIÊN ĐỐI LƯU









=








mặtbềtrên
lưốilượngnhiệt
mặtbềđến
dẫnlượngnhiệt

( )
( )
[ ]
τ−⋅α=
∂
τ∂
⋅λ− ,0tt
x
,0t
1f1
(2-20.a)
và

( )
( )
[ ]
2f2
t,t
x
,t
−τδ⋅α=
∂
τδ∂
⋅λ−
(2-20.b)
Ví dụ

Nguyễn toàn phong 13 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều

V. ĐIỀU KIỆN BIÊN BỨC XẠ









=








mặtbềtrên
xạbứclượngnhiệt
mặtbềđến
dẫnlượngnhiệt


( )
( )
[ ]
τ−⋅σ⋅ε=
∂

τ∂
⋅λ− ,0TT
x
,0t
44
1,surr1
(2-21.a)
và

( )
( )
[ ]
4
2,surr
4
2
T,T
x
,0t
−τδ⋅σ⋅ε=
∂
τ∂
⋅λ−
(2-21.b)
Ví dụ

Nguyễn toàn phong 14 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
VI. ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC
Trường hợp tiếp xúc lý tưởng giữa hai vách

( ) ( )
τ=τ ,xt,xt
oBoA
(2-22.a)
và

( )
( )
x
,xt
x
,xt
oB
B
oA
A
∂
τ∂
⋅λ−=
∂
τ∂
⋅λ−
(2-22.b)

Nguyễn toàn phong 15 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
VII. ĐIỀU KIỆN BIÊN SUY RỘNG









=








mặtbềtrêncáchcáccảtấtbằng
đổitraolượngnhiệttổng
mặtbềđến
dẫnlượngnhiệt


C. MỘT SỐ VÍ DỤ
Nguyễn toàn phong 16 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
D. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH MỘT CHIỀU
KHÔNG CÓ NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG
I. PHƯƠNG TRÌNH DẪN NHIỆT
Từ phương trình 2-10

τ∂

∂
⋅⋅ρ
=+






∂
∂
⋅λ⋅
∂
∂
⋅
t
Cq
r
t
r
r
r
1
v
n
n

Với điều kiện






=
τ∂
∂
=
0
t
0q
v

Ta được

0
r
t
r
r
n
=






∂
∂
⋅λ⋅

∂
∂
(2-23)
Trường hợp hệ số dẫn nhiệt
const
=λ


0
r
t
r
r
n
=






∂
∂
⋅
∂
∂
(2-24)
i. Tọa độ vuông góc

⇒




≡
=
rx
0n

ii. Tọa độ trụ

⇒

1n =

iii. Tọa độ cầu

⇒

2n =

II. DẪN NHIỆT QUA VÁCH PHẲNG
Nguyễn toàn phong 17 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
1. Vách Phẳng Một Lớp
Xét vách phẳng đồng chất, đẳng hướng, mật độ dòng
nhiệt đồng đều trên bề mặt
Chiều dày δ, m
Hệ số dẫn nhiệt λ, W/(m.K)
Nhiệt độ bề mặt hai bên vách

được duy trì không đổi t
1
, t
2

Vách có chiều rộng rất lớn so
với chiều dày, như vậy nhiệt độ
chỉ biến thiên theo phương
vuông gốc với mặt phẳng
→ dẫn nhiệt ổn đònh một chiều

Phương trình 2-24 được viết lại như sau:

0
dx
td
2
2
=
(2-25)
Điều kiện biên



=
=
δ=
=
2
x

1
0x
tt
tt
(2-26)
Tích phân phương trình 2-25 ta được nghiệm:

21
CxCt +⋅=

x
t
λ
Q

1
t

2
t

F
R
⋅λ
δ
=
λ

dx
dt

0

δ

Q
1
t

2
t

t(x)
Nguyễn toàn phong 18 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
Thế điều kiện biên 2-26, hằng số C
1
, C
2
tìm từ hệ sau




+δ×=
+×=
212
211
CCt
C0Ct
⇒






=
δ
−
=
12
12
1
tC
tt
C

Thế vào phương trình trường nhiệt độ

x
tt
tt
21
1
⋅
δ
−
−=
(2-27)
Theo đònh luật Fourier:

dx
dt
q
F
⋅λ−=

Vậy mật độ dòng nhiệt truyền qua vách phẳng:

( )
21F
ttq −⋅
δ
λ
=

2
mW
(2-28)
Nhiệt lượng dẫn qua vách có diện tích F

( )
21F
ttFqFQ −⋅⋅
δ
λ
=⋅=
W (2-29)
Phương trình trên được thể hiện lại đồng dạng đònh luật
Ohm:

λ
−
=
⋅λδ
−
=
R
tt
)F(
tt
Q
2121
W (2-30)
F
R
⋅λ
δ
=
λ
Nhiệt trở dẫn nhiệt qua1 lớp vách phẳng,
WK

Nguyễn toàn phong 19 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
Hình dưới cho ta thấy sự tương đương của các đại lượng
trong hai công thức:

Phương trình 2-27 cũng có thể viết lại:

x

q
tt
F
1
⋅
λ
−=
(2-31)
Nhận xét: Khi hệ số dẫn nhiệt là hằng số, phân bố nhiệt
độ trong vách là hàm tuyến tính
Do diện tích các mặt đều giống nhau, nhiệt
trở R
λ
có thể tính tương ứng cho
2
m1F =
và
công thức 2-30 chính là mật độ dòng nhiệt q
F

Nguyễn toàn phong 20 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
2. Dẫn Nhiệt Qua Vách Phẳng Nhiều Lớp
Giả sử ta có vách phẳng gồm 3 lớp như hình bên dưới
Ta tính cho một đơn vò diện tích, các vách tiếp xúc lý tưởng

Mật độ dòng nhiệt dẫn qua các lớp:











−
=
−
=
−
=
3
43
3
2
32
2
1
21
1
R
tt
q
R
tt
q
R
tt

q


Ở chế độ dẫn nhiệt ổn đònh, dòng nhiệt qua các bề mặt
đẳng nhiệt bất kỳ của các vách phẳng phải bằng nhau:
λ
q

1
δ

Lớp VL 1
λ
1

VL 2
λ
2

VL 3
λ
3

3
δ

2
δ

λ

q

λ
q

λ
q

2
2
2
R
λ
δ
=

3
3
3
R
λ
δ
=

1
1
1
R
λ
δ

=

3
t

1
t

2
t

4
t

Nguyễn toàn phong 21 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều

F321
qqqqhay0
x
q
====
∂
∂
(2-32)
Từ sơ đồ mạng nhiệt ta có

321
41
3

43
2
3
2
1
21
32
42
21
31
1
21
RRR
tt
R
t
t
R
tt
R
tt
RR
tt
R
R
tt
R
tt
q
++

−
=
−
=
−
=
−
=
+
−
=
+
−
=
−
=
λ
(2-33)
Mật độ dòng nhiệt:

3
3
2
2
1
1
41
321
41
F

tt
R
RR
tt
q
λ
δ
+
λ
δ
+
λ
δ
−
=
++
−
=

2
mW
(2-34)
Tương tự, trường hợp vách có n lớp:

( )
∑
=
+
λ
δ

−
=
n
1i
i
i
1n1
F
tt
q

2
mW
(2-35)
Nhiệt độ tại vò trí tiếp xúc (lý tưởng) giữa các lớp:

( )
∑
=
+
λ
δ
⋅−=
k
1i
i
i
F11k
qtt
(2-36)

Nguyễn toàn phong 22 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
3. Trao Đổi Nhiệt Giữa Hai Lưu Chất
Qua Vách Phẳng
Trường hợp này có trao đổi nhiệt đối lưu của lưu chất
Ta viết phương trình tính nhiệt lượng trao đổi đối lưu
theo Newton đồng dạng đònh luật Ohm như sau:

( )
α
α
−
=
⋅α
−
=
−⋅⋅α=
R
tt
)F(1
tt
W,ttFQ
fwfw
fw
(2-37)
F
1
R
⋅α
=

α
Nhiệt trở đối lưu của vách phẳng,
WK

Xét hai lưu chất trao đổi nhiệt qua vách phẳng 2 lớp như
hình sau:

Nguyễn toàn phong 23 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
Hệ phương trình trao đổi nhiệt

( )
( )
( )
( )













−
=

⋅α
−
=−⋅⋅α=
−
=
⋅λδ
−
=−⋅⋅
δ
λ
=
−
=
⋅λδ
−
=−⋅⋅
δ
λ
=
−
=
⋅α
−
=−⋅⋅α=
α
α
λ
λ
λ
λ

α
α
2
2f3
2
2f3
2f322
2
32
22
32
32
2
2
2
1
21
11
21
21
1
1
1
1
11f
1
11f
11f11
R
tt

)F(1
tt
ttFQ
R
tt
)F(
tt
ttFQ
R
tt
)F(
tt
ttFQ
R
tt
)F(1
tt
ttFQ
(2-38)
Trong trường hợp dẫn nhiệt ổn đònh, ta có

QQQQQ
2111
====
αλλα
(2-39)
Từ sơ đồ mạng nhiệt ta có:

2211
2f1f

2
2f3
2
32
1
21
1
11f
2
2f3
22
2f2
221
2f1
211
31f
11
21f
1
11f
RRRR
tt
R
tt
R
tt
R
tt
R
tt

R
tt
RR
tt
RRR
tt
RRR
tt
RR
tt
R
tt
Q
αλλα
αλλα
ααλαλλ
λλαλαα
+++
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=

+
−
=
++
−
=
++
−
=
+
−
=
−
=
(2-40)

F
1
FFF
1
tt
Q
22
2
1
1
1
2
f1f
⋅α

+
⋅λ
δ
+
⋅λ
δ
+
⋅α
−
=
W (2-41)
Nguyễn toàn phong 24 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
Khi tính mật độ dòng nhiệt, có khái niệm hệ số truyền
nhiệt như sau:

( )
2f1fF
2
22
2
1
1
1
2f1
f
F
ttk
mW,
11

tt
F
Q
q
−⋅
=
α
+
λ
δ
+
λ
δ
+
α
−
==
(2-42)
với
22
2
1
1
1
F
11
1
k
α
+

λ
δ
+
λ
δ
+
α
=

)K.m(W
2
(2-43)
gọi là hệ số truyền nhiệt qua vách phẳng
Trường hợp vách n lớp


2i
i
1
F
11
1
k
α
+
λ
δ
+
α
=

∑

)K.m(W
2
(2-44)
nhiệt độ
( )
∑
=
+
λ
δ
⋅−=
α
−=
k
1i
i
i
F11k
1
F
1f1
qtt
q
tt
(2-45)
Nguyễn toàn phong 25 of 48 Chương II – Dẫn Nhiệt n ĐònhMột
Chiều
4. Dẫn Nhiệt Qua Vách Phức Hợp

Trường hợp này vách gồm tổ hợp nhiều vật liệu khác nhau.
Nhiệt lượng truyền qua các lớp vách:

∑
λ
∆
=
R
t
Q
(2-46)
với tổng nhiệt trở
∑
λ
R
tính tương ứng như mạch điện trở.
Ví dụ tính tổng nhiệt trở cho lớp vách phức hợp sau: