Bài tập cơ bản về phép biến hình trong mặt phẳng doc

I. PHÉP TỊNH TIẾN
1. Chứng minh rằng:
v v
M' T (M) M T (M')
−
= ⇔ =
r r
.
2. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam
giac ABC qua phép tịnh tiến theo véctơ
AG
uuur
. Xác định điểm D
sao cho phép tịnh tiến theo véctơ
AG
uuur
biến D thành A.
3. Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua
phép tịnh tiến theo véctơ
AD
uuur
.
4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
( )
2;3v = −
r
và đường thẳng d
có phương trình
3 5 3 0x y− + =
. Viết phương trình của đường
thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến

v
T
r
.
5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho véctơ
( )
v 1;2= −
r
, hai điểm
( ) ( )
A 3;5 ,B 1;1−
và đường thẳng d có phương trình
x 2y 3 0− + =
.
a.
Tìm tọa độ các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B
qua phép tịnh tiến theo
v
r
b.
Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép
tịnh tiến theo
v
r
.
c.
Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua
phép tịnh tiến theo
v
r

.
6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm
( )
1; 1A − −
,
( )
3;1B
,
( )
2;3C
. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình
hành.
7. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Hãy chỉ ra một
phép tịnh tiến biến a thành b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến như
thế?
8. Trong mặt phẳng Oxy cho
( )
2;1v = −
r
, đường thẳng d có
phương trình
2 3 3 0x y− + =
, đường thẳng
1
d
có phương trình
2 3 5 0x y− − =
.
a.
Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng

d qua
v
T
r
.
b.
Tìm tọa độ véctơ
w
uur
có giá vuông góc với đường thẳng d
để
1
d
là ảnh của d qua
w
T
ur
.
9. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
2 2
2 4 4 0x y x y+ − + − =
. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến
theo véctơ
( )
2;5v = −
r
.
II. PHÉP QUAY
1. Cho hình vuông ABCD tâm O (có hình vẽ kèm theo)
a.

Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc 90
0
.
b.
Tìm ảnh của đương thẳng BC qua phép quay tâm O goc
90
0
.
2. Cho hình vuông ABCD tâm O. M là trung điểm của AB, N là
trung điểm của OA. Tìm ảnh của tam giác AMN qua phép quay
tâm O góc 90
0
.
3. Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đối xứng của nó, I là
trung điểm của AB.
a.
Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 120
0
b.
Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm E góc 60
0
4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3;4). Hãy tìm tọa độ
điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc 90
0
.
5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm và đường thẳng d có
phương trình
x y 2 0+ − =
. Tìm ảnh của A và d qua phép quay
tâm O góc 90

0
.
6. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(3;3), B(0;5), C(1;1) và
đường thẳng d có phương trình
5 3 15 0x y− + =
. Hãy xác định
tọa độ các đỉnh của tam giác A’B’C’ và phương trình của
đường thẳng d’ theo thứ tự là ảnh của tam giác ABC và đường
thẳng d qua phép quay tam O góc 90
0
.
7. Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C, điểm B nằm giữa hai điểm A
và C. Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều
ABE và BCF.
a.
Chứng minh rằng AF = EC và góc giữa đường thẳng AF
và EC bằng 60
0
.
b.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và EC, chứng
minh tam giác BMN đều.
8. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác các hình
vuông BCIJ, ACMN và gọi O, P, Q lần lượt là tâm đuối xứng
của chúng.
a.
Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh DOP là tam
giác vuông cân đỉnh D.
b.
Chứng minh AO vuông góc với PQ và AO = PQ.

III. PHÉP DỜI HÌNH
1. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm
( ) ( )
A 3;2 ,B 4;5− −
và
( )
C 1;3−
.
a.
Chứng minh rằng các điểm
( ) ( )
A' 2;3 ,B' 5;4
và
( )
C' 3;1
theo thứ tự là ảnh của A, B và C qua phép quay
tâm O góc
0
90−
.
b.
Gọi tam giác
1 1 1
A B C
là ảnh cua tam giác ABC qua phép
dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay
tâm O góc
0
90−
và tịnh tiến theo véctơ

( )
v 1;2=
r
. Tìm
tọa độ các đỉnh của tam giác
1 1 1
A B C
.
2. Trong mặt phẳng Oxy, cho véctơ
( )
3;1v =
r
và đường thẳng d có
phương trình
2 0x y− =
. Tìm ảnh của d qua phép dời hình có
được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90
0
và
phép tịnh tiên theo véctơ
v
r
.
3. Cho hình vuông ABCD tâm I. Trên tia BC lấy điểm E sao cho
BE AI=
.
a.
Xác định một phép dời hình biến A thành B và I thành E.
b.
Dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình đó.

IV. PHÉP VỊ TỰ
1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm. Tìm ảnh
của tam giá ABC qua phép vị tự tâm H, tỉ số
1
2
.
2. Chứng minh rằng khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm O sẽ
được một phép vị tự tâm O.
3. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình
3 2 6 0x y+ − =
. Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh
của d qua phép vị tự tâm O tỉ số
2k
= −
.
4. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phuonwg trình
2 4 0x y+ − =
.
a.
Hãy viết phương trình của đường thẳng d
1
là ảnh của d
qua phép vị tự tâm O tỉ số
3k =
.
b.
Hãy viết phương trình của đường thẳng d
2
là ảnh của d
qua phép vị tự tâm

( )
1;2I −
tỉ số
2k = −
.
5. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
( ) ( )
2 2
3 1 9x y− + + =
. Hãy viết phương trình đường tròn (C’) là
ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm
( )
1;2I
tỉ số
2k = −
.
V. PHÉP ĐỒNG DẠNG
1. Cho tam giác ABC. Xác định ảnh của nó qua phép đồng dạng
có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm B tỉ số
1
2
và phép tịnh tiến theo véctơ
BC
uuur
.
2. Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K,
L và J lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC và IC. Chứng
minh hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau.
3. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình
2 0x y+ − =

. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d
qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp
phép vị tự tâm
( )
1; 1I − −
tỉ số
1
2
k =
và phép quay tâm O góc
-45
0
.
4. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(1;1) và đường tròn tâm I bán
kính bằng 2. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường
tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên
tiếp phép quay tâm O, góc 45
0
và phép vị tự tâm O, tỉ số
2
.
5. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A. Tìm
một phép đồng dạng biến tam giác HBA thành tam giác ABC.
VI. ÔN TẬP CHƯƠNG
1. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác AOF
a.
Qua phép tịnh tiến theo véctơ
AB
uuur
.

b.
Qua phép quay tâm O góc 120
0
.
2. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm
( )
A 1;2−
và đường thẳng d có
phương trình
3x y 1 0+ + =
. Tìm ảnh của A và d
a.
Qua phép tịnh tiến theo véctơ
( )
v 2;1=
r
.
b.
Qua phép quay tâm O góc 90
0
.
3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm
( )
I 3; 2−
,
bán kính bằng 3
a.
Viết phương trình của đường tròn đó.
b.
Viết phương trình ảnh của đường tròn (I,3) qua phép tịnh

tiến theo véctơ
( )
v 2;1= −
r
.
4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm
( )
I 1; 3−
, bán
kính bằng 2. Viết phương trình ảnh của đường tròn (I,2) qua
phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép vị tự
tâm O tỉ số 3 và phép tình tiên theo véctơ
( )
v 1;2=
r
.
5. Cho hai điểm A, B và đường tròn tâm O không có điểm chung
với đường thẳng AB. Qua mỗi điểm M chạy trên đường tròn
(O) dựng hình bình hành MABN. Chứng minh rằng điểm N
thuộc một đường tròn xác định.