Chuyên đề TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường docx

Chun đề

TÍCH PHÂN
CƠNG THỨC

Bảng ngun hàm
Ngun hàm của những hàm số
thường gặp

Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường
gặp

∫ dx = x + C
∫

x α dx =

∫ d ( ax + b) = a ( ax + b) + C
∫

dx

∫ x = ln x + C ( x ≠ 0)
∫ e dx = e + C

∫

ax
+ C ( 0 < a ≠ 1)
ln a

cos xdx = sin x + C

∫
∫
∫ sin xdx = − cos x + C
1
∫ cos x dx = tan x + C
a x dx =

∫
∫
∫

2

1
2

x

∫

∫

x

∫ sin

∫ du = u + C

1

x α +1
+ C ( α ≠ 1)
α +1

x

Nguyên hàm của những
hàm số hợp

∫

dx = − cot x + C

α +1
( ax + b ) α dx = 1 ( ax + b ) + C (α ≠ 1)
a α +1
dx
1
= ln ax + b + C ( x ≠ 0 )
ax + b a
1
e ax + b dx = e ax +b + C
a
1
cos( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C
a
1
sin ( ax + b ) dx = − cos( ax + b ) + C

a
1
1
dx = tan ( ax + b ) + C
2
a
cos ( ax + b )
1
1
dx = − cot ( ax + b ) + C
2
a
sin ( ax + b )

u α du =

u α +1
+ C ( α ≠ 1)
α +1

du

∫ u = ln u + C ( u ≠ 0)
∫ e du = e + C
u

u

au
+ C ( 0 < a ≠ 1)

ln a
cos udu = sin u + C

∫
∫
∫ sin udu = − cos u + C
1
∫ cos u du = tan u + C
a u dx =

2

1

∫ sin

2

u

du = − cot u + C

I. ĐỔI BIẾN SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Đổi biến số dạng 2
b

Để tính tích phân

u( u

ị f[ x)] (x)dx ta thực hiện các bước sau:
/

a

x)
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính dt = u/( dx .
a)
x
b)
Bước 2. Đổi cận: x = a Þ t = u( = a,  = b Þ t = u( = b .
b

b

Bước 3.

u( u
ò f[ x)] (x)dx = ị f(t)dt.
/

a

a

2

e

Ví dụ 7. Tính tích phân I =

dx

ị xl x .
n
e

Giải

dx
x
2
x = e Þ t= 1 x = e Þ t= 2
, 
n
Đặt t = l x Þ dt =
2

Þ I=

ị
1

Ví dụ 8. Tính tích phân I =

p
4

dt
= l t 1 = l 2.

n 2
n
t

Vậy I = l 2 .
n
cosx
dx .
3
cosx)

ò (si x +
n
0

1


Hướng dẫn:
p
4

I=

cosx
dx =
3
cosx)

ò (si x +

n
0

ĐS: I =

p
4

1

dx

ò (tan x + 1) .cos x . Đặt t = tan x + 1
3

2

0

3
.
8
3

Ví dụ 9. Tính tích phân I =

ị (1 +
1
2

dx
x) 2x + 3 .

Hướng dẫn:
Đặt t = 2x + 3
3
n
ĐS: I = l .
2
1

Ví dụ 10. Tính tích phân I =

ò
0

3- x
dx .
1+ x

Hướng dẫn:
3

Đặ t t =
ĐS: I =
Chú ý:

2
3- x
t dt

an
; đặt t = t u L
Þ L 8ị 2
2
1+ x
( + 1)
t
1

p
3

3 + 2.
1

Phân tích I =

ò
0

3- x
dx , rồi đặt t =
1+ x

1 + x sẽ tính nhanh hơn.

2. Đổi biến số dạng 1
b

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính

∫ f ( x)dx

ta thực hiện các bước sau:

a

Bước 1. Đặt x = u(t) và tính dx = u / (t )dt .
Bước 2. Đổi cận: x = a ⇒ t = α , x = b ⇒ t = β .
b

Bước 3.

β

β

∫ f ( x)dx = ∫ f [u(t )]u (t )dt = ∫ g (t )dt .
/

a

α

α

Ví dụ 1. Tính tích phân I =

1
2

ị
0

1
dx .
1 - x2

Giải
p pù
i ,  é
dt
Đặt x = s n t t ẻ ờ ; ỳị dx = cost
ë 2 2û
1
p
x = 0 Þ t = 0,  = Þ t =
x
2
6
p
6

Þ I=

ị
0

cost
dt =

1 - s n2 t
i

p
6

cost
ị cost dt=
0
p
Vậy I = .
6

2

Ví dụ 2. Tính tích phân I =

ò

4 - x2 dx .

0

2

p
6

p

6
ò dt = t 0 =
0

p
p
- 0= .
6
6


Hướng dẫn:
Đặt x = 2s n t
i
ĐS: I = p .
1

Ví dụ 3. Tính tích phân I =

dx
.
x2

ị1+
0

Giải
ỉ p pư
an , ỗ
t 2

dt
ữ
t x = t t t ẻ ỗ- ; ữị dx = ( an x + 1)
ỗ 2 2ữ
ố
ứ
p
x = 0 ị t = 0, = 1 ị t =
x
4
p
4

Þ I=

t t+ 1
an
dt =
t 2t
an
p
Vậy I = .
4

ị1+
0

3- 1

ị

Ví dụ 4. Tính tích phân I =

0

2

p
4

0

dx
.
x + 2x + 2
2

Hướng dẫn:
3- 1

I=

ò
0

dx
=
2
x + 2x + 2

3- 1

dx

ò 1 + (x + 1) .
2

0

an
Đặ t x + 1 = t t
p
ĐS: I =
.
12
2

Ví dụ 5. Tính tích phân I =
p
ĐS: I = .
2

ị
0

3- 1

Ví dụ 6. Tính tích phân I =
p
ĐS: I =

.
12
3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giác

ị
0

dx
.
4 - x2

dx
.
x + 2x + 2
2

Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I =

p
2

n
ị cos x si
2

3

xdx .

0

Hướng dẫn:
Đặt t = cosx
2
ĐS: I =
.
15
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I =

p
2

ị cos xdx .
5

0

Hướng dẫn:
Đặ t t = s n x
i
8
ĐS: I =
.
15
3

p

ò dt = 4 .

Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I =

p
2

ò cos

4

x s n2 xdx .
i

0

Giải
p
2

I=

ò cos

4

0

p
2

x s n2 xdx =
i

p
2

p
2

p
2

1
1
1
n
n
ò cos2 x si 2 2xdx = 16 ò (1 - cos4x)dx + 4 ò cos2x si 2 2xdx
4 0
0
0
p
2

p

ỉ
x
1

s n3 2x ư 2
i
1
1
÷ = p.
s n 4x +
i
=
( - cos4x) + ò s n2 2xd( i 2x)= ç 1
dx
i
sn
÷
ç16 64
÷
ị
è
24 ø0
32
16 0
8 0
p
Vậy I =
.
32
Ví dụ 14. Tính tích phân I =

p
2

ị cosx +
0

dx
.
sn x + 1
i

Hướng dẫn:
x
Đặ t t = t
an .
2
ĐS: I = l 2 .
n
Biểu diễn các hàm số LG theo t = tan

3.2. Dạng liên kết

p

Ví dụ 15. Tính tích phân I =

a
:
2

sin a =

2t

1 +t

2

; cos a =

1 −t 2
1 +t 2

; tan a =

2t
1 −t 2

xdx

ò si x + 1 .
n
0

Giải
Đặt x = p - t Þ dx = - dt
x = 0 Þ t = p,  = p Þ t = 0
x
0

( - t dt
p
)
Þ I= - ị

=
s n( - t + 1
i p
)
p

p

p

ò ( si t + 1 n
0

p

t
dt
sn t+ 1
i

)

p

dt
p
dt
= pị
- IÞ I= ị
s n t+ 1

i
2 0 sn t+ 1
i
0
p

p
= ũ
2 0

dt

(

t
t2
s n + cos
i
2
2

)

ổ pử
t
p
dỗ - ữ
ữ
p
p

ỗ
p
dt
ữ
ỗ2 4 ứ
ổ pử
ố
p
p
= ũ
ỗt - ữ = p .
= t ỗ
an
ữ
4 0 cos2 t - p = ũ
ữ
ỗ2 4 ứ
ổ pử 2
ố
2 0
2 ỗt
0
ữ
2 4
cos ỗ - ữ
ữ
ỗ2 4 ø
è
Vậy I= p .

(

Tổng quát:

)

p

p

p
n
n
ò xf(si x)dx = 2 ò f(si x)dx .
0
0
Ví dụ 16. Tính tích phân I =

p
2

s n2007 x
i
ò si 2007 x + cos2007 x dx .
n
0
Giải
p
Đặt x = - t Þ dx = - dt
2

4

.


x = 0 Þ t=
s n2007
i

0

Þ I= -

ị si
n

2007

p
2

Mặt khác I + J =

p
2

dx =

( p - t) + cos ( p - t)
2

2
2007

ò dx =
0

Tổng quát:

( p - t)
2

p
p
,  = Þ t = 0
x
2
2
p
2

2007
cos t
ị si 2007 t + cos2007 tdx = J (1).
n
0

p (2). Từ (1) và (2) suy ra I = p .
4
2

p
2

s nn x
i
ò si n x + cosn x dx =
n
0
p
6

p
2

cosn x
p
ò si n x + cosn x dx = 4 ,n Ỵ Z+ .
n
0

2

sn x
i
ị si x + 3 cosx dx và J =
n
0

Ví dụ 17. Tính tích phân I =

p
6

2
cos x
ị si x + 3 cosx dx .
n
0

Giải
I- 3J = 1 p
6

3 (1).

p
6

1
dx
ò si x + p
2 0 n
3 cosx
0
3
p
1
Đặt t = x + Þ dt = dx ⇒I + J = l 3 (2).
n
3

4
3
1- 3
1
1- 3
l 3+
n
,  =
J
l 3n
Từ (1) và (2)⇒I =
.
16
4
16
4
1
l 1 + x)
n(
dx .
Ví dụ 18. Tính tích phân I = ò
1 + x2
0
I+ J =

ò si x +
n

dx

dx =

(

)

Giải
Đặt x = t t Þ dx = ( + t 2 t dt
an
1
an )
p
x = 0 Þ t = 0,  = 1 Þ t =
x
4
p
4

Þ I=

p
4

l 1+ t t
n(
an )
n(
ò 1 + tan2 t ( 1 + tan2 t) dt = ò l 1 + tan t)dt.
0
0

p
Đặt t = - u Þ dt = - du
4
p
p
t = 0 Þ u = ,  = Þ u = 0
t
4
4
p
4

Þ I=

0

n(
ị l 1 + tan t)dt = 0

ộ
ổ
ửự
p
ỳ
l ờ + t ỗ - u ữ du
n 1
an ỗ
ữ
ũ ờ
ữ

ỗ4
ố
ứỳ
ở
ỷ
p
4

p
4

=

ổ

nỗ
ũ l ỗ1 +
ỗ
ố
0

1- t u ÷
an ư
du
÷ =
1+ t
an ø

p
4

=

p
4

0

0

n
n
ị l 2du - ũ l ( 1 +
5

p
4

ổ

nỗ
ũ l ỗ1 +
ỗ
ố
0

t u ) du =
an

ư

2
÷
du
÷
t ù
an ÷

p
l 2 - I.
n
4


Vậy I =
p
4

Ví dụ 19. Tính tích phân I =

p
l 2.
n
8

cosx
dx .
x
+ 1

ò 2007

-

p
4

Hướng dẫn:
Đặ t x = - t
2
ĐS: I =
.
2
Tổng quát:

(
a
> 0
Với a    , a > 0 , hàm số f x) chẵn và liên tục trên đoạn [ - a;  ] thì
a
a
f x)
(
ị ax + 1 dx = ị f(x)dx .
- a
0

(
(
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên ¡ và thỏa f - x)+ 2f x) = cosx .
p

2

Tính tích phân I =

ị f(x)dx .
-

p
2

Đặt J =

Giải

ò f(- x)dx , x = - t Þ
-

dx = - dt

p
2

p
p
p
p
Þ t = ,  = Þ t = x
2
2
2

2

x=p
2

Þ I=

p
2

ị f(- t)dt = J Þ

p
2

3I = J + 2I =

p
2

ò[ f(- x)+ 2f(x)] dx
-

p
2

=

p
2

p
2

ò cosxdx = 2ò cosxdx = 2 .
-

p
2

0

Vậy I =

2
.
3

3.3. Các kết quả cần nhớ
a

(
> 0
i/ Với a    , hàm số f x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì

ị f(x)dx = 0 .
- a

a

(
> 0
ii/ Với a    , hàm số f x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì

a

ị f(x)dx = 2ị f(x)dx .
- a

0

iii/ Cơng thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)
ì ( - 1)!
!
ï n
ï
,  un lẻ
nế
ï
n!
!
cosn xdx = ị s nn xdx = ï
i
.
í
ị
ï ( - 1)! p
!
ï n
0

0
. ,nế n chẵ
u
n
ï
ï
ï
ỵ
n!
! 2
p
2

Trong đó

p
2

n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn:
6


0! = 1 1! = 1 2! = 2;  != 1. 4! = 2. 5! = 1. 5;
! ;  ! ;  !
3!
3;  !
4;  !
3.
6! = 2. 6;  != 1. 5. 8! = 2. 6. 9! = 1. 5. 9;  != 2. 6. 10 .
!

4. 7!
3. 7;  !
4. 8;  !
3. 7. 10!
4. 8.
Ví dụ 21.

Ví dụ 22.

p
2

ị cos

11

xdx =

10!
!
2. 6. 10
4. 8.
256 .
=
=
11! 1. 5. 9.
!
3. 7. 11 693

n

ò si

10

xdx =

9! p
!
1. 5. 9 p 63p .
3. 7.
. =
. =
10! 2 2. 6. 10 2
!
4. 8.
512

0
p
2

0

II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Cơng thức
x) v(
Cho hai hàm số u( ,  x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có
/
/
/

/
( uv ) / = u v + uv Þ ( uv ) / dx = u vdx + uv dx
b

b

ò d(uv) =

Þ d ( uv ) = vdu + udv Þ

a

b

Þ uv

b
a

=

b

b

ò vdu +
a

b

ò vdu + ò udv Þ ò udv = uv
a

a

a

b
a

-

ị udv
a
b

ị vdu .
a

Cơng thức:
b

b

ị udv = uv

b
a

-

a

ị vdu (1).
a

Cơng thức (1) cịn được viết dưới dạng:
b

b

ị f(x)g (x)dx = f(x)g(x)
/

b
a

a

-

ị f (x)g(x)dx (2).
/

a

2. Phương pháp giải tốn
b

Giả sử cần tính tích phân

ị f(x)g(x)dx ta thực hiện
a

Cách 1.
( , 
x)
x)
Bước 1. Đặt u = f x) dv = g( dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v( và vi
b
/

x)
phân du = u ( dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân

ị vdu phải tính được.
a

Bước 2. Thay vào cơng thức (1) để tính kết quả.
Đặc biệt:
b

i/ Nếu gặp

b

n
ò P(x)si axdx, ò P(x)cosaxdx, ò e

ax

a
b

ii/ Nếu gặp

b

a

x)
. x) với P(x) là đa thức thì đặt u = P( .
P( dx

a

n
n
ị P(x)l xdx thì đặt u = l x .
a

Cách 2.
b

Viết lại tích phân

b

ị f(x)g(x)dx = ị f(x)G
a

/

( dx và sử dụng trực tiếp cơng thức (2).
x)

a

1

Ví dụ 1. Tính tích phân I =

ị xe dx .
x

0

Giải
7


ỡu=x
ù
t ù dv = ex dx ị
ớ
ù
ù
ợ
1

ị

ỡ du = dx
ù
ù
(chn C = 0 )
í
x
ï
ïv=e
ỵ
1

ị xe dx = xe

x 1
0

x

0

-

ị e dx = (x x

1) x
e

1

0

= 1.

0

e

Ví dụ 2. Tính tích phân I =

n
ị x l xdx .
1

Giải
ì
ï du = dx
ï
ï
x
ï
í
2
ï
x
ï
ïv=
ï
ỵ
2

e
e
e
2
x
1
e2 + 1
Þ ị x l xdx =
n
l x - ị xdx =
n
.
2
2 1
4
1
1
n
ỡu=l x
ù
ị
t ù
ớ
ù dv = xdx
ù
ợ

Vớ d 3. Tính tích phân I =

p

2

ịe

x

s n xdx .
i

0

Giải
i
ì u = sn x
ù
ị
t ù
ớ
ù dv = ex dx
ù
ợ

p
2

ị I=

ỡ du = cosxdx
ï
ï

í
ï v = ex
ï
ỵ
p
2
0

n
n
ị ex si xdx = ex si x

p
2

-

0

ì u = cosx
ï
Đặt ï dv = ex dx Þ
í
ï
ï
ỵ
p
2

Þ J=

ịe

x

0

i
ì du = - s n xdx
ï
ï
í
x
ï
ïv=e
ỵ

cosxdx = ex cosx

0

p

ò ex cosxdx = e2 - J .

p
2
0

p

2

+

òe

x

s n xdx = - 1 + I
i

0

p

p
2

e2 + 1 .
Þ I= e - ( 1 + I Þ I=
)
2

Chú ý:
Đơi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
Ví dụ 7. Tính tích phân I =

p2
4

ị cos

xdx .

0

Hướng dẫn:
Đặ t t =

p
2

x L Þ I = 2ị tcost = L = p - 2 .
dt
0

e

Ví dụ 8. Tính tích phân I =

n( n
ị si l x)dx .
1

ĐS: I =

( i - cos1) + 1
s n1
e
.

2

III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
8


Phương pháp giải tốn
1. Dạng 1
b

ị f(x) dx , ta thực hiện các bước sau

Giả sử cần tính tích phân I =

a

Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
x a
+
f x)
(
b

Bước 2. Tính I =

x1

x1
0

x2
0

-

+

x2

b

b

ị f(x) dx = ò f(x)dx - ò f(x)dx + ò f(x)dx .
a

a

x1

x2

2

òx

2

Ví dụ 9. Tính tích phân I =

- 3x + 2 dx .

- 3

Giải

Bảng xét dấu

x
x - 3x + 2
2

- 3
+

1
0

1

I=

-

2
0

2

ò( x

2

ò( x

2

- 3x + 2) dx -

- 3

1

p
2

59
.
2

59
.
2

Vậy I =
Ví dụ 10. Tính tích phân I =

- 3x + 2) dx =

2

5 - 4cos x - 4s n xdx .
i

ò
0

p
ĐS: I = 2 3 - 2 .
6
2. Dạng 2

b

ò[

Giả sử cần tính tích phân I =

f x) ± g( ] dx , ta thực hiện
(
x)

a

Cách 1.
b

Tách I =

ò[

b

f x) ± g( ] dx =
(
x)

a

b

ò f(x) dx ± ò g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
a

a

Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
2

Ví dụ 11. Tính tích phân I =

ị(

x - x - 1 ) dx .

- 1

Giải
Cách 1.

2

I=

ò(
- 1
0

=-

2

x - x - 1 ) dx =

ò x dx - ò x - 1

2

0

- 1

9

1 dx

- 1
2

1

ò xdx + ò xdx + ò (x - 1

2

1) dx

ò (x 1

1)
dx


0

x2
2

=-

+
- 1

2

x2
2

0

1

2

ổ2
ử
ổ2
ử
x
x
+ ỗ - xữ - ỗ - xữ = 0 .
ữ
ữ
ỗ2
ỗ2
ữ
ữ
ố
ứ- 1 ố
ứ1

Cỏch 2.
Bng xột du
x
x
x1

1

0

0






0

I=

1

0

+

2
+
+

1

ũ( - x +

2

ũ( x +

x - 1) dx +

- 1

0

=- x

0
- 1

3. Dạng 3

x + 1) dx

1

1

2

+ ( x - x) 0 + x = 0.
Vậy I = 0 .

b

Để tính các tích phân I =

ò( x -

x - 1) dx +

2
1

b

n
ò m ax { f(x), g(x)} dx và J = ò m i { f(x), g(x)} dx , ta thực hiện các
a

a

bước sau:
x)
(
x)
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h( = f x)- g( trên đoạn [a; b].
Bước 2.
x)
( ,  x)
(
n ( ,  x)
x)
+ Nếu h( > 0 thì m ax { f x) g( } = f x) và m i { f x) g( } = g( .
x)
( ,  x)
x)
n ( ,  x)
(
+ Nếu h( < 0 thì m ax { f x) g( } = g( và m i { f x) g( } = f x).
4

Ví dụ 12. Tính tích phân I =

ị m ax { x

2

+ 1 4x - 2} dx .
, 

0

Giải
2
2
x)
Đặt h( = ( x + 1) - ( 4x - 2) = x - 4x + 3 .
Bảng xét dấu
x
h(x)

0

1
0

+

1

I=

3
0

–

4
+

3

ò( x

2

4

ò ( 4x -

+ 1) dx +

0

2) dx +

1

ị( x

2

+ 1) dx =

3

80
.
3

80
Vậy I =
.
3
2

Ví dụ 13. Tính tích phân I =

n
ị m i { 3 , 4 x

x } dx .

0

Giải
x
x
x)
Đặt h( = 3 - ( 4 - x ) = 3 + x - 4 .

Bng xột du
x
h(x)
1

I=



1
0

2

ũ 3 dx + ũ
x

0

0

2
+
2

ử
3x 1 ổ
x2 ữ
2
5

ỗ4x + ỗ
+ .
ữ =
ữ
l 30 ố
n
2 ứ1
l 3 2
n

( 4 - x ) dx =

1

Vậy I =

2
5
+ .
l 3 2
n

IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Phương pháp giải tốn
1. Dạng 1
10


b

Để chứng minh

b

ò f(x)dx ³

ò f(x)dx £

0 (hoặc

a

(
(
0 ) ta chứng minh f x) ³ 0 (hoặc f x) £ 0 ) với

a

" x Ỵ [ a;  ] .
b
1

Ví dụ 14. Chứng minh

ò

3

1 - x6 dx ³ 0 .

0

Giải
1

1
Với " x ẻ [ 0; ] :x Ê 1 ị

3

6

ũ

1- x ³ 0 Þ
6

3

1 - x6 dx ³ 0 .

0

2. Dạng 2
b

Để chứng minh

b

ò f(x)dx ³ ò g(x)dx ta chứng minh f(x) ³
a

g( với " x Ỵ [ a;  ] .
x)
b

a

Ví dụ 15. Chứng minh

p
2

ò1+
0

dx
£
s n10 x
i

p
2

ò1+
0

dx
.

s n11 x
i

Giải
pù
é
0;  :0 £ s n x £ 1 Þ 0 £ s n11 x Ê s n10 x
i
i
i
Vi " x ẻ ờ
ở 2ỳ
ỷ
1
1
ị 1 + s n10 x ³ 1 + s n11 x > 0 Þ
i
i
£
.
10
1 + s n x 1 + s n11 x
i
i
Vậy

p
2

dx

£
s n10 x
i

ò1+
0

p
2

ò1+
0

dx
.
s n11 x
i

3. Dạng 3
b

Để chứng minh A £

ò f(x)dx £

B ta thực hiện các bước sau

a

(

Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m £ f x) £ M .
b

b
Bước 2. Lấy tích phân A = m ( - a) £

ò f(x)dx £

M ( - a) = B .
b

a

1

Ví dụ 16. Chứng minh 2 £

ị

4 + x2 dx £

5.

0

Giải
Với " x Ỵ [ 0;  ] :4 £ 4 + x2 £ 5 Þ 2 £
1

4 + x2 £

5.

1

Vậy 2 £

ị

4 + x2 dx £

5.

0

Ví dụ 17. Chứng minh

p
£
4

3p
4

ò3p
4

dx
p
£ .

2
2s n x 2
i
Giải

p 3p ù 2
é
£ sn x Ê 1 ị
i
Vi " x ẻ ờ ; ú:
4 4û 2
ë
1
Þ 1 £ 3 - 2s n2 x £ 2 Þ
i
£
2 3-

11

1
£ s n2 x £ 1
i
2
1
£1
2s n2 x
i

Þ

1 3p p
£
2 4
4

)

ò3-

dx
3p p
£1
.
2
4
4
2s n x
i

p
£
4

ò3-

dx
p
£ .

2
2s n x 2
i

(

Vậy

Ví dụ 18. Chứng minh

3p
4

3
£
12

p
3

ị
p
4

(

p
4
3p
4

p
4

)

cot
x
1
dx £ .
x
3

Giải
cot
x
(
,  Ỵ
x
Xét hàm số f x) =
x

é
p pù
ê ;  ú ta có
ê
4 3ú
ë
û

- x

- cot
x
é
p pù
s n2 x
i
/
f( =
x)
< 0  " x Ỵ ê ;  ú
 
2
ê
4 3ú
x
ë
û
p
p
p pù
Þ f
£ f x) £ f
(
  " x ẻ ộ ; ỳ

ờ
3
4
ở
4 3ỷ

ộ
3 cot
x 4
p pự
ị
Ê
Ê " x ẻ ờ ; ỳ

ờ
p
x
p
4 3ỳ
ở
ỷ

( )

ị

( )

ử
3ổ
ỗp - p ữÊ
ữ
ỗ
ố
ứ
p ỗ3 4 ữ

p
3

cot
x
4ổ
p pử
dx Ê ỗ - ữ
ữ
.
ỗ
ũ x
ữ
ố
p ỗ3 4 ứ
p
4

Vy

3
Ê
12

p
3

ũ
p

4

cot
x
1
dx Ê .
x
3

4. Dng 4 (tham kho)
b

chứng minh A £

ị f(x)dx £

B (mà dạng 3 khơng làm được) ta thực hiện

a

ì f x)£ g(   x Ỵ [ a;  ]
x) "
b
ï (
ï
b
ï b
ï
Þ ị f x) £ B .
( dx

Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho í
ï g( dx = B
ï ị x)
a
ï a
ï
ỵ
ì x) (  
b
ï h( £ f x) " x Ỵ [ a;  ]
ï
b
ï b
ï
Þ A £ ị f x) .
( dx
Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho í
ï h( dx = A
ï ị x)
a
ï a
ï
ỵ
Ví dụ 19. Chứng minh

2
2

dx
p

£ .
4
1 - x2007
0
Giải
é
2ù
1
0;  ú:0 £ x2007 £ x2 £
Với " x Î ê
2 ú
2
ê
ë
û

2
£
2

ò

12


Þ

1
£ 1 - x2 £ 1 - x2007 £ 1 Þ 1 £
2

2
2

Þ

2
2

1
1 - x2

2
2

dx
dx .
£ ò
2007
1- x
1 - x2
0
0
0
i
dt
Đặt x = s n t Þ dx = cost
2
p
x = 0 Þ t = 0,  =
x

Þ t=
2
4

ị dx £ ị

2
2

ị

Þ

0

Vậy
Ví dụ 20. Chứng minh

1
£
1 - x2007

3+ 1
£
4

p
4

dx

=
1 - x2
2
£
2

2
2

ò
0

cost
dt p .
=
cost
4

dx
p
£ .
4
1 - x2007

ò
0

1

xdx

2+ 1
£
.
2
x + 2- 1
0
Giải
Với " x Î [ 0;  ] : 2 - 1 £ x2 + 2 - 1 £ 3 - 1
1
x
x
x
Þ
£
£
3- 1
2- 1
x2 + 2 - 1
1

Þ

ị
0

Vậy

ị

2

xdx
£
3- 1
3+ 1
£
4

1

xdx
£
2
x + 2- 1

ị
0

1

1

ị
0

xdx
£
x2 + 2 - 1

ị

0

xdx
.
2- 1
2+ 1
.
2

V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong
(
Cho hàm số f x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường
b

y = f x) x = a,  = b và trục hồnh là S =
( , 
x

ị f(x) dx .
a

Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
b

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

ị f(x) dx .

a

n x
, 
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = l x,  = 1 x = e và Ox.
Giải
n
"
; 
Do l x ³ 0  x Ỵ [ 1 e] nên
e

S=

e

n
n
n
ị l x dx = ò l xdx = x ( l x 1

1)

e
1

= 1.

1

Vậy S = 1 (đvdt).
x
x
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = - x2 + 4x - 3,  = 0,  = 3 và Ox.
Giải
Bảng xét dấu
13


x 0
y

1
0

–

1

3

ò( - x

2

S=-

3
0

+

ò( - x

2

+ 4x - 3) dx +

0

+ 4x - 3) dx

1

1

3

ổ x
ử
ổ x3
ử
8
2
2
ữ
ỗ
= - ỗữ
ữ
ỗ 3 + 2x + 3x ø + è- 3 + 2x + 3x ữ = 3 .

ỗ
ữ
ữ
ố
ứ1
0
8
Vy S = (vdt).
3
2. Din tích hình phẳng
2.1. Trường hợp 1.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
3

b

y = f x) y = g( ,  = a,  = b là S =
( , 
x) x
x

ị f(x)-

g( dx .
x)

a

Phương pháp giải tốn
(

x)
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f x)- g( trên đoạn [a; b].
b

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

ị f(x)-

g( dx .
x)

a

2.2. Trường hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
b

y = f x) y = g( là S =
( , 
x)

ò f(x)-

b
g( dx . Trong đó a,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất
x)

a

(

x)
của phương trình f x) = g( ( a £ a < b £ b ) .
Phương pháp giải tốn
(
x)
Bước 1. Giải phương trình f x) = g( .
(
x)
b
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f x)- g( trên đoạn [ a;  ] .
b

Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

ị f(x)-

g( dx .
x)

a

y
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 + 11x - 6,  = 6x2 ,
x = 0,  = 2 .
x
Giải
3
x)
x
Đặt h( = ( + 11x - 6)- 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - 6

h( = 0 Û x = 1 Ú x = 2 Ú x = 3 (loại).
x)
Bảng xét dấu
x 0
1
2
h(x)
–
0
+ 0
1

S=-

2

ò( x

3

ò( x

2

3

- 6x + 11x - 6) dx +

0

- 6x2 + 11x - 6) dx

1

1

2

ổ
ử
ổ
ử
x
11x
x
11x2
5
= - ỗ - 2x3 +
- 6x ữ + ỗ - 2x3 +
- 6x ữ = .
ữ
ữ
ỗ4
ỗ4
ữ
ữ
ố
ứ0 ố
ứ1
2

2
2
5
Vy S = (vdt).
2
y
Vớ d 4. Tớnh din tớch hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 + 11x - 6,  = 6x2 .
4

2

4

14


Giải
x)
x
Đặt h( = ( + 11x - 6)- 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - 6
h( = 0 Û x = 1 Ú x = 2 Ú x = 3 .
x)
3

Bảng xét dấu
x 1
h(x) 0

2
0

+

–

2

S=

3
0

3

ò( x

3

ò( x

- 6x2 + 11x - 6) dx -

3

1

- 6x2 + 11x - 6) dx

2

2

3

ổ
ử
ổ
ử
x
11x
x
11x2
1
= ỗ - 2x3 +
- 6x ữ - ỗ - 2x3 +
- 6x ữ = .
ữ ỗ
ữ
ỗ4
ữ ố4
ữ
ố
ứ1
ứ2
2
2
2
1
Vy S = (đvdt).
2

4

2

4

Chú ý:
b
(
x)
Nếu trong đoạn [ a;  ] phương trình f x) = g( khơng cịn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng
b

cơng thức

ị f(x)-

b

ị [ f(x)-

g( dx =
x)

a

g( ] dx .
x)

a

y
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x3,  = 4x .
Giải
Ta có x3 = 4x Û x = - 2 Ú x = 0 Ú x = 2
0

Þ S=

2

ị( x

3

ị( x

3

- 4x ) dx +

- 2

- 4x ) dx

0

0

2

ổ4
ử
ổ4
ử
x
x
= ỗ - 2x2 ữ + ỗ - 2x2 ữ = 8 .
ữ
ữ
ỗ4
ỗ4
ữ
ữ
ố
ứ- 2
ố
ứ0
Vy S = 8 (đvdt).
Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2 - 4 x + 3 và trục hồnh.
Giải
2
2
t
Ta có x - 4 x + 3 = 0 Û t - 4t + 3 = 0,  = x ³ 0
t
x
é =1
éx = 1
é = ±1

Û ê
Û ê
Û ê
ê =3
êx = 3
ê = ±3
t
x
ë
ë
ë
3

Þ S=

3

ịx

2

- 3

- 4 x + 3 dx = 2ò x2 - 4x + 3 dx
0

é
ù
= 2 êò ( x2 - 4x + 3) dx + ò ( x2 - 4x + 3) dx ỳ
ờ

ỳ
ờ0
ỳ
1
ở
ỷ
1
3
3
3
ộổ
ử
ổ
ử ự 16
x
x
= 2 ờỗ - 2x2 + 3x ữ + ỗ - 2x2 + 3x ữ ỳ=
.
ữ
ữ
ỗ3
ỗ3
ữ
ữ
ờố
ứ0
ố
ứ1 ỳ 3
ë
û

16
Vậy S =
(đvdt).
3
2
Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x - 4x + 3 và y = x + 3 .
Giải
Phương trình hồnh độ giao điểm
x2 - 4x + 3 = x + 3
1

3

15


ì
ï
ï
ï
Û ï
í
ï
ï
ï
ï
ỵ

Bảng xét dấu

x+ 3³ 0

x
é =0
é 2 - 4x + 3 = x + 3 Û ê
x
ê
ê = 5.
x
ë
ê 2 - 4x + 3 = - x - 3
x
ê
ë

x
x - 4x + 3

0

1

Þ S=

1
0

+

2

3
0

–

5
+

3

ị( x

2

- 5x ) dx +

0

5

ị( - x

2

+ 3x - 6) dx +

1

ò( x

2

- 5x ) dx

3

1

3

5

2
2
ỉ 3 5x2 ư
x
- 3
x3
÷ + ỉ x + 3x - 6x ư + ỉ - 5x ư = 109 .
ữ
ữ
ỗ
ỗ
= ỗ ữ
ữ
ữ
ỗ3
ỗ 3
ỗ3

ữ
ữ
ữ
ố
ứ1 ố
2 ứ0 ố
2
2 ứ3
6
109
Vy S =
(vdt).
6
2

Vớ dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x - 1 ,  y = x + 5 .
Giải
Phương trình hồnh độ giao điểm
2
x2 - 1 = x + 5 Û t - 1 = t + 5,  = x ³ 0
t
ì t= x ³ 0
ï
ï
ì t= x ³ 0
ï 2
ï
t
Û ï é - 1 = t+ 5 Û ï
Û x = ±3

íê
í
ï
ï t= 3
ï ê2
ï
ỵ
ï ê - 1 = - t- 5
t
ùở
ợ
3

ị S=

ũ

3
2

x - 1-

x + 5) dx = 2ò x2 - 1 -

(

- 3

(

x + 5) dx

0

Bảng xét dấu
x
x - 1
2

0

1
0

–

3
+

1

Þ S=2

ị( - x

2

3

- x - 4) dx +

0

ị( x

2

- x - 6) dx

1

1

3

2
ỉ x3 x2
ư
x3
÷ + ỉ - x - 6x ư = 73 .
ữ
ỗ
ỗ
=2ỗ
- 4x ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ố 3

ứ0 ố 3
ứ1
2
2
3
73
Vy S =
(vdt).
3

Chỳ ý:
Nu hỡnh phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì khơng có).
B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY
1. Trường hợp 1.
(
b
Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f x) ³ 0" x Ỵ [ a; ] , y = 0 ,
b
2
x = a và x = b  a < b) quay quanh trục Ox là V = pò f ( dx .
(
x)
a

2

C):x + y = R 2 quay quanh Ox.
Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình trịn (
Giải
Hồnh độ giao điểm của (C) và Ox là x2 = R 2 Û x = ±R .

C):x2 + y2 = R 2 Û y2 = R 2 - x2
Phương trình (
16

2


R

R

Þ V = pị ( R - x ) dx = 2pị ( R 2 - x2 ) dx
2

2

- R

0

R

3
ỉ
x ử
ữ = 4pR .
= 2p ỗR 2x ữ
ỗ
ố
ứ

3 ữ0
3
3
4pR
Vy V =
(đvtt).
3
3

2. Trường hợp 2.
y)
;
Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g( ³ 0" y Ỵ [ c d ] , x = 0 ,
d

y = c và y = d  c < d) quay quanh trục Oy là V = p g2( dy .
(
ò y)
c

x2
y2
E): 2 + 2 = 1 quay quanh Oy.
Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse (
a
b
Giải
y2
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là 2 = 1 Û y = ±b .
b

2
2
x
y
a2y2
2
2
E): 2 + 2 = 1 Û x = a Phương trình (
a
b
b2
b
b
2 2
ỉ 2 a2y2 ư
÷ = 2p ỉ 2 - a y ửdy
ữ
ỗa
ị V = pũ ỗa dy
ữ
ữ
ỗ
ũỗ
ố
ứ
ố
ứ
b2 ữ
b2 ữ
- b

0
R

2
ổ
a2y3 ử
ữ = 4pa b .
= 2p ỗa2y ữ
ỗ
ữ
ố
3
3b2 ứ0
2
4pa b
Vy V =
(đvtt).
3

3. Trường hợp 3.
( , 
x)
Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f x) y = g( , x = a và
x = b  a < b,  ( ³ 0, x) ³ 0  x Ỵ [ a;  ]) quay quanh trục Ox là
(
f x)
g(
"
b
b

V = pị f2( - g2( dx .
x)
x)
a

Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 , y2 = x quay
quanh Ox.
Giải
x
ìx³ 0
é =0
ï
ï
Û ê
Hồnh độ giao điểm í 4
ê = 1.
ùx =x
x
ù
ở
ợ
1

1

ị V = pũ x - x dx = p
4

0

ò( x

4

- x ) dx

0

1 2
3p
x
=
.
2
10
0
3p
Vậy V =
(đvtt).
10

=p

( 1x
5

5

)

-

1

4. Trường hợp 4.
( , 
y)
Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f y) x = g( , y = c và
[ c d ]) quay quanh trục Oy là
y = d  c < d,  ( ³ 0, y) ³ 0  y Ỵ ; 
(
f y)
g(
"
d

V = pò f2( - g2( dy .
y)
y)
c

17


Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = - y2 + 5 , x = 3 - y
quay quanh Oy.
Giải
y
é =- 1

2
Tung độ giao điểm - y + 5 = 3 - y Û ê
ê =2 .
y
ë
2

Þ V = pị ( - y2 + 5) - ( 3 - y ) 2 dy
2

- 1

2

=p

ò( y

4

- 11y2 + 6y + 16) dy

- 1

2

ổ 5 11y3
ử
y
153p

=pỗ + 3y2 + 16y ữ =
ữ
.
ỗ
ữ
ỗ5
ố
ứ- 1
3
5
Vậy V =
VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP

153p
(đvtt).
5

1

10
1 1 1 2
1 10
1. Tính I= ∫ ( 1 − x ) dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: S = 1 − C10 + C10 − ... + C10
2
3
11
0
1

2. Tính: I = x ( 1 − x )

∫

19

dx . Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:

0

S=
1
2

1 0 1 1 1 2
1 18 1 19
C19 − C19 + C19 − ... +
C19 − C19 .
2
3
4
20
21

1
3

1
2
3. Chứng minh rằng: 1 + Cn + Cn + ... +

1
2n +1 − 1
n
Cn =
n +1
n +1

BÀI TẬP TỰ GIẢI
1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=

sin x + cos x
 π
, biết rằng F  −  = ln 2
sin x − cos x
 4

2. Tính các tích phân sau:
e2

A= ∫
1

2

2 x + 5 - 7x
dx
x

2

B= ∫ x 2 -1 dx

x
C= ∫ 2 ln 2dx
0

-2

3. Tính các tích phân sau:
π
3

A= ∫ e

e

3 cos x

sin xdx

0

2 3

ln 4 x
dx
B= ∫
x
1

*

C=

∫

5

dx
x x +4
2

2

x
dx
x -1
1 1+

D =∫
*

4. Tính các tích phân sau:
e

sin(ln x)
dx
I= ∫
x
1

ln 5

dx
L= ∫ x
−x
−3
ln 3 e + 2e

C=

π
2

π
4

J= ∫
π
6

dx
2
sin x cot x
π
2

M= ∫
0

sin 2 xdx

cos 2 x + 4 sin 2 x

10

K= ∫ lg xdx
1

2

N= ∫
1

dx
x -9
2

sin 2 x
dx
2
x)2

∫ (1 + cos
0

5. Tính các tích phân sau:
1
dx
A= ∫
4 - x2
0

3

B= ∫

3

dx
x2 + 3

18

4

2
C= ∫ 16 - x dx
0


ln 2

∫

D=

0

3

1- e x

dx
1 + ex

E= ∫
2

6. Tính các tích phân sau:
e
ln x
dx
A= ∫
x
1

2
dx
x −1
2

π

2

2

x sin x
dx
B =∫
1 + cos2 x
0

eπ

*

1

2

3x 4 − 2 x
dx
E= ∫
x3
1

D = ∫ cos(ln x)dx
*

1

ln x
dx
2
1 x

C =∫

*

F* =

x2 − 1
∫1 1 + x 4 dx
−

7. Tính:
π

4

π

A= ∫ cos xdx
2

0

e

F= ∫
1

ln x + 1
dx
x

1

2

x
C= ∫ xe dx

B= ∫ cos3 xdx

0

0

2

4

2
G= ∫ x 1 + 2 x dx

H= ∫ x 1 + 2 xdx

0

0

4

D= ∫

e

1

2

I= ∫
1

2

x

x

dx

x
dx
x +1

E= ∫ x ln xdx
1

1

x
dx
2
0 1+ x

J= ∫

8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a. x=1; x=e; y=0 và y=

1 + ln x
x

b. y=2x; y=3− và x=0
x
π
3

c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x= .
9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x3− 2+4x− (C) và tiếp tuyến với
2x
3
đường cong (C) tại điểm có hồnh độ bằng 2.
10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=π/3, y=0.
a. Tính diện tích hình phẳng D.
b. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.
11. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0,
x=1 khi nó quay quanh:
a)Trục Ox.
b) Trục Oy.

− ết −
H

19