SKKN – Rèn luyện kỹ năng tính tích phân cho học sinh khối 12 THPT A NGHĨA HƯNG

Rèn luyện kỹ năng trính tích phân
MỤC LỤC
Trang
Mục lục 1
A. PHẦN MỞ ĐẦU 2
I. Lí do chọn đề tài 2
II. Ý nghĩa của việc thực hiện đề tài 2
B. PHẦN NỘI DUNG: 2
I. Học sinh cần nắm vững các công thức tính nguyên hàm 2
II. Các dạng tích phân thường gặp và ví dụ: 3
1) Tích phân dạng: I =
( )
( 0) ≠
+
∫
b
a
p x
dx c
cx d
(P(x) là một đa thức) 3
2) Tích phân dạng: I
2
( )
b
a
P x
dx
x px q
=
+ +

∫
( P(x) là một đa thức) 3
3) Tích phân dạng: I =
(sin ,cos )
b
a
R x x dx
∫
6
4) Tích phân dạng: I =
( , ) (ce 0)
+
≠
+
∫
b
n
a
cx d
R x dx
ex f
9
5) Tích phân dạng:  I =
2
( ,
b
a
R x m x dx−
∫
( m > 0) 9

 I =
2
( , )
b
a
R x x m dx±
∫
(m > 0) 10
6) Tích phân dạng: I =
(ln )

b
a
f x
dx
x
∫
11
III/ Tích phân từng phần: 11
 I =
( )ln
b
a
p x xdx
∫

 I =
( )
( ) ;sin ;cos
b

x
a
P x e x x dx
∫

C.KẾT QUẢ VẬN DỤNG ĐỀ TÀI 13
D.KHẢ NĂNG NHÂN RỘNG 13
E.KẾT LUẬN 13
TÀI LIỆU THAM KHẢO 14
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 1 -

Rèn luyện kỹ năng trính tích phân
1.Đề tài: Rèn luyện kỹ năng tính tích phân cho học sinh khối 12
2.Người thực hiện: NGUYỄN BÁ TƯỜNG
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
Khi học đến chương nguyên hàm và tích phân học sinh thường gặp khó khăn và thường
nhầm lẫn các công thức giữa “đạo hàm” và “nguyên hàm” và dạng toán của nguyên hàm
và tích phân có nhiều dạng, công thức nhiều. Để giúp học sinh có thể giải tốt các bài tập về
tích phân thường gặp trong chương trình lớp 12 nên tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng
tính tích phân”
II. Ý nghĩa của việc thực hiện đề tài :
Do đặc điểm lớp 12 là năm học sinh phải thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, Đại học và
Cao đẳng nên phần lớn học sinh có ý thức trong học tập và trang bị những kiến thức cần
thiết cho các kỳ thi vào cuối năm học. Nhằm giúp các em giải tốt các dạng bài tập về tích
phân trong chương trình học lớp 12.
Qua quá trình giảng dạy lớp 12 nhiều năm tôi thấy học sinh thường lúng túng trước một
bài toán tích phân, không định được hướng giải quyết phải thử nhiều cách giải, công thức thì
nhiều có thể nhầm lẫn, vì thế tôi đã hệ thống một số công thức cơ bản yêu cầu học sinh phải
nắm vững và từ đó có thể mở rộng một số công thức khác không cần phải thuộc công thức

và đưa một số dạng tích phân cơ bản thường gặp. hoctoancapba.com
TrườngTHPT Lưu Văn Liệt có học sinh điểm tuyển đầu vào khá cao so với các trường
trong tỉnh nhưng chất lượng lại không đều, số lượng học sinh yếu hằng năm còn chiếm tỉ lệ
trên dưới 5%. Với đề tài “Rèn luyện kỹ năng tính tích phân”sẽ giúp không sinh không bị
lúng túng trước một bài toán tích phân trong chương trình.
B. PHẦN NỘI DUNG
Trước tiên học sinh phải nắm thật kĩ nhóm công thức cơ bản sau:
I/ Học sinh cần nắm vững các công thức tính nguyên hàm sau:
1
1
1. 2. +C ( -1)
1
1 1 1
3. dx=ln +C 4. dx= +C ( 1)
( 1)
5. 6.
ln
7. sin
x
x x x
x
dx x C x dx
x
x x x
a
e dx e C a dx C
a
xdx
α
α

α α
α
α
α
α
+
−
= + = ≠
+
−
≠
−
= + = +
=−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2 2
cos 8. cos sin
1 1
9. dx = tanx+C 10. dx= - cotx+C
cos sin
x C xdx x C
x x
+ = +
∫ ∫
∫ ∫
Các công thức: 1-2-3-4 thuộc nhóm hàm số lũy thừa; 5-6 thuộc nhóm hàm số mũ; 7-8-9-
19 thuộc nhóm hàm số lượng giác.
Chú ý:

+ Công thức nguyên hàm không có mhóm hàm số logarit như trong công thức đạo hàm.
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 2 -

Rèn luyện kỹ năng trính tích phân
+ Trong các công thức nguyên hàm không mở rộng từ x sang hàm số u(x) như trong
công thức đạo hàm.
+ Trong các công thức nguyên hàm chỉ được mở rông từ x sang ax + b như sau:
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( 0)f x dx F x C f ax b dx F ax b C a
a
= + ⇒ + = + + ≠
∫ ∫
Ví dụ:
1.
1 1
x 1 (ax b)
x dx C (ax b) dx C
1 a 1
α+ α+
α α
+
= + ⇒ + = +
α + α+
∫ ∫
(a
0)≠
2.
1
sin xdx cos x C sin(ax+b)dx cos(ax b) C (a 0)
a

= − + ⇒ = − + + ≠
∫ ∫
II/ Các dạng tích phân thường gặp:
1) Tích phân dạng: I =
( )
( 0) ≠
+
∫
b
a
p x
dx c
cx d
(P(x) là một đa thức).
Nếu bậc P(x) lớn hơn hoặc bằng 1 ta chia tử cho mẩu ta được các tích phân có dạng:
+
( -1)
b
a
x dx
α
α
≠
∫
=
1
1
b
a
x

α
α
+
 
 
+
 
+
1
ln
b
b
a
a
dx
cx d
cx d c
 
= +
 
+
∫
Ví dụ: Tính


1
2
1
3 4 5
2 3

x x
I dx
x
−
+ −
=
−
∫
Giải

1
1
2
1
1
31
3 17 3 17 31 17 31
4
ln 2 3 = ln5
2 4 2 3 4 4 8 2 8

I x dx x x x
x
−
−
 
 ÷
 
= + + = + + − −
 ÷

 
−
 
 ÷
 
∫

2) Tích phân dạng: I
2
( )
b
a
P x
dx
x px q
=
+ +
∫
( P(x) là một đa thức)
Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng 2 ta chia tử cho mẩu ta được các tích phân có
dạng:
+
( -1)
b
a
x dx
α
α
≠
∫

=
1
1 1
1
1 1
+
+ +
 
 
= −
 
 
+ +
 
b
a
x
b a
α
α α
α α
+ I
1

2
b
a
Ax B
dx
x px q

+
=
+ +
∫
Cách tính I
1
:

2
0 x px q+ + =
vô nghiệm (
0
∆ <
)
Ta biến đổi: Ax+B =
[ ]
(2 ) (2 ) ( )
2 2 2
A A Ap
x p p B x p B+ − + = + + −

1
2 2
2
( )
2 2
b b
a a
A x p Ap dx
I dx B

x p q x px q
+
= + −
+ + + +
∫ ∫

Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 3 -

Rèn luyện kỹ năng trính tích phân
* I
2
=
2
2
b
a
x p
dx
x p q
+
+ +
∫
Đặt t = x
2
+px+q
(2 )dt x p dx⇒ = +
Đổi cận:
;x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =

2
ln ln= =   =
 
∫
dt
I t
t
β
β
α
α
β
α
* I
3 =
2
2
2
2
2
( 0)
4
( )
( )
2
2 4
= = = − >
+ +
+ +

+ + −
∫ ∫ ∫
b b b
a a a
dx dx dx p
m q
p
p p
x px q
x m
x q

Đặt
tan
2
p
x m t+ =
2
(1 tan )dx m t dt⇒ = +
Đổi cận:
;x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =

[ ]
2
3
2
(1 tan ) 1 1 1
[ ]

tan
+
= = = = −
+
∫ ∫
m t dt
I dt t
m t m
m m m
β β
β
α
α α
β α
Ví dụ:
Tính
3
2
2
3 2
7 13
x
I dx
x x
+
=
− +
∫
hoctoancapba.com
Giải

( ) ( )
( )
( )
3 3
2 2
2 2
3
3
2
1
2
2
2
3 3
2
2
2
2 2
3 3 25
3 2 2 7 7 2 2 7
2 2 2
2 7
3 25
2 7 13 2 7 13
2 7
I = ln 7 13 = - ln3
7 13
+ I =
7 13
7 3

2 4
x x x
x
dx
I dx
x x x x
x
dx x x
x x
dx dx
x x
x
 
+ = − + + = − +
 
−
= +
− + − +
−
 
+ = − +
 
− +
=
− +
 
− +
 ÷
 
∫ ∫

∫
∫ ∫

( )
2
7 3
tan t ;
2 2 2 2
3
1 tan
2
   
− = ∈ −
 ÷  ÷
   
⇒ = +
π π
Ñaët x t
dx t dt
Đổi cận
2
3
3
6

= ⇒ = −





= ⇒ = −


x t
x t
π
π
6
2
3
2 3 3
3 9
3 25 3
ln3
2 18
I dx
I
π
π
π
π
−
−
= =
−
= +
∫

2
0 x px q+ + =

có nghiệm kép
2
p
x =
(
0∆ =
)
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 4 -

Rèn luyện kỹ năng trính tích phân

2
2 2 2
( )
2
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
p
M A
M x N
M
Ax B Ax B M N
Mp
p p p p
N
x px q
N B
x x x x
=


+ +

+ +

= = + = ⇒ ⇒
 
+ +
+ =


+ + + +

I
1
=
2
( )
( )
2 2
b
a
M N
dx
p p
x x
+
+ +
∫
ln

2
2
b
a
p N
M x
p
x
 
 
= + −
 
 
+
 
Ví dụ:
Tính
1
2
1
2 5
2 1
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
Giải

Ta có:
( ) ( )
2 2
2
2
2
2
1
1
2 5 2 5
2 1 1
1 1
2 5 ( 1)
2 2
5 3
2 3 3 3 1
2ln 1 2ln
1 ( 1) 1 2 2
x x A B
x x x
x x
x A x B
A A
A B B
I dx x
x x x
+ +
= = +
+ + +
+ +

⇒ + = + +
= =
 
⇒ ⇒
 
+ = =
 
 
 
= + = + − = +
 ÷
 
+ + +
 
 
∫

2
0 x px q+ + =
có 2 nghiệm x
1,
x
2
(
0)∆ >

2 1
2
1 2 1 2 1 2
2 1

( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
M x x N x xAx B Ax B M N
x px q x x x x x x x x x x x x
M N A
M
Mx Nx B
N
− + −+ +
= = + =
+ + − − − + − −
+ =


⇒ ⇒
 
− + =


I
1
=
1 2
1 2
ln ln
( ) ( )
b
b
a
a

M N
dx M x x N x x
x x x x
 
 
+ = − + −
 ÷
 
− −
 
∫
Ví dụ:
Tính
3
2
2
4 5
4 5
x
I dx
x x
−
=
− −
∫
Giải
2
4 5 4 5
4 5 ( 5) ( 1)
4 5 ( 1)( 5) 1 5

3
4
2
4 5 ( ) 5
5 5 5
2
− −
= = + ⇒ − = − + +
− − + − + −

=

+ =


⇒ − = + − + ⇒ ⇒
 
− + =−


=


x x A B
x A x B x
x x x x x x
A
A B
x A B x A B
A B

B
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 5 -

Rèn luyện kỹ năng trính tích phân
3
3
2
2
3 5
3 5 3 4 5 2
2 2
ln 1 ln 5 ln ln
1 5 2 2 2 3 2 3
I dx x x
x x
 
 ÷
 
= + = + + − = +
 ÷
 
+ −
 
 ÷
 
∫

3) Tích phân dạng: I =
(sin ,cos )
b

a
R x x dx
∫

( sin ,cos ) (sin ,cos )R x x R x x− = −
( lẻ đối với sinx ) hoctoancapba.com
I =
(sin ,cos )sin
b
a
R x x xdx
∫
Đặt t = cosx
sindt xdx⇒ − =
Đổi cận:
;x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )= = = −
∫
I g t dt G t G G
β
β
α
α
β α
Ví dụ:
Tính

2
3 2
0
sin cosI x xdx
π
=
∫
Giải:

2
2 2
0
(1 cos )cos sin
π
= −
∫
I x x xdx

Đặt
cos sint x dt xdx
= ⇒ = −

: 0 1; 0
2
= ⇒ = = ⇒ =
π
Ñoåi c aän x t x t


1

0 1
3 5
2 2 2 4
1 0
0
2
(1 ) ( ) ( )
3 5 15
t t
I t t dt t t dt
 
= − − = − = − =
 
 
∫ ∫

(sin , cos ) (sin ,cos )R x x R x x− = −
( lẻ đối với cosx )
I =
(sin ,cos )cos
b
a
R x x xdx
∫
Đặt t = sinx
cosdt xdx⇒ =
Đổi cận:
;x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )= = = −
∫
I g t dt G t G G
β
β
α
α
β α
Ví dụ :
Tính
2
2
0
cos
(1 sin )
x
I dx
x
π
=
+
∫
Giải :
Đặt t = sinx
⇒
dt = cosxdx
Đổi cận : x = 0
⇒

t = 0 ; x =
2
π
⇒
t = 1
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 6 -

Rèn luyện kỹ năng trính tích phân

1
1
2
0
0
1 1
(1 ) 1 2
dx
I
t t
−
 
= = =
 
+ +
 
∫

( sin , cos ) (sin ,cos )R x x R x x− − =
( chẵn đối với sinx và cosx )
Đặt t = tanx

2
(1 tan )dt x dx⇒ = +
Đổi cận:
;x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =

[ ]
( ) ( )I g t dt G t
β
β
α
α
= =
∫
Ta có:
sin
2
x =
2
2
2 2
1
; cos x=
1 1+t
t
t+

Ví dụ:
Tính

4
4
0
cos
dx
I
x
π
=
∫

Giải:

4
4
0
cos
dx
I
x
π
=
∫
4 4
2
2 2 2
0 0
1 1 1
(1 tan )
cos cos cos

dx x dx
x x x
π π
= = +
∫ ∫
Đặt t = tanx
⇒
dt =
2
1
cos
dx
x

Đổi cận: x = 0
⇒
t = 0 ; x =
4
π
⇒
t = 1

1
1
3
2
0
0
4
(1 )

3 3
t
I t dt t
 
= + = + =
 
 
∫
Hoặc dùng công thức hạ bậc: hoctoancapba.com

sin
2
x =
1 cos2
2
x−
; cos
2
x =
1 cos2
2
x+
Ví dụ:
Tính
2
4
0
sinI xdx
π
=

∫
Giải:

4
sin x
=
2
2
1 cos 2 1
(1 2cos 2 cos 2 )
2 4
−
 
= − +
 ÷
 
x
x x
( )
1 1 cos 4 1
1 2cos2 3 4cos2 cos4
4 2 8
+
 
= − + = − +
 ÷
 
x
x x x

( )
2
2
0
0
1 1 1 3
3 4cos2 cos 4 3 2sin 2 sin 4
8 8 4 16
I x x dx x x x
π
π
π
 
= − + = − + =
 
 
∫
Ngoài 3 trường hợp trên
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 7 -

Rốn luyn k nng trớnh tớch phõn
t: t = tan
2
x


dt =
2
2
1 2

(1 tan )
2 2 1
x dt
dx dx
t
+ =
+
i cn:
;x a t x b t

= = = =

[ ]
( ) ( )I g t dt G t




= =

Ta cú:
sinx =
2
2 2
2 1-t
; cosx=
1 1+t
t
t+
Vớ d:

Tớnh
2
0
1 sin
1 cos
x
I dx
x

+
=
+

Gii:
t
2
2
1 2
tan (1 tan )
2 2 2 1
x x dt
t dt dx dx
t
= = + =
+
;
i cn: x = 0

t = 0 ; x =
2

t = 1
2
2
2
2
1 1
1
2 2
2 2
0
0 0
2
1
1 sin 2 1
1
1
1 cos 2
1
1
1 2 2
( 2 1) (1 ) ln 1 (1 ln 2)
2 1 1
t
x t t
t
t
x
t

dt t
I t t dt t t
t t
+
+ + +
+
= =

+
+
+

= + + = + = + + = +

+ +

Cú dng: cosax.cosbx =
[ ]
1
cos( ) cos( )
2
a b x a b x + +
sinax.sinbx =
[ ]
1
cos( ) cos( )
2
a b x a b x +

sinax. cosbx =

[ ]
1
sin( ) sin( )
2
a b x a b x + +
Vớ d:
Tớnh
2
0
sin cos3I x xdx

=

Gii:

2
0
sin cos3I x xdx

=

2
2
0
0
1 1 1 1 1
(sin 4 sin 2 ) cos4 cos2
2 2 4 2 4
x x dx x x

= = + =




Chỳ ý:
2 2
* 1+cosx=2cos * 1-cosx=2sin
1 cos 2 2
* 1 sin 1 cos( ) aựp duùng nhử trửụứng hụùp treõn
1 sin 2
b
a
b
a
dx x x
x
dx
x x
x


+ =

Ngi thc hin:NGUYN B TNG - Trang 8 -

Rèn luyện kỹ năng trính tích phân
4) Tích phân dạng: I =
( , ) (ce 0)
+
≠
+
∫
b
n
a
cx d
R x dx
ex f

Đặt t =
n
cx d
ex f
+
+

⇒
x =
( ) '( )t dx t dt
ϕ ϕ
⇒ =
Đổi cận :
;x a t x b t

α β
= ⇒ = = ⇒ =

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )= = = −
∫
I g t dt G t G G
β
β
α
α
β α
Ví dụ:
Tính
7
3
3
0
( 1)
3 1
x
I dx
x
+
=
+
∫
Giải:
Đặt
3

3 2
3
1
3 1 3 1
3
t
t x t x x dx t dt
−
= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
Đổi cận:
7
0 1; 2
3
x t x t= ⇒ = = ⇒ =

3
2
2 2 2
5
2 3 4 2
1 1 1
1
1
1
1 1 1 46
3
( 2) ( 2 )
3 3 3 5 15
t
t

I t dt t tdt t t dt t
t
−
+
 
= = + = + = + =
 
 
∫ ∫ ∫
5) Tích phân dạng:
 I =
2
( ,
b
a
R x m x dx−
∫
( m > 0)
Đặt
sinx m t=

;
2 2
t
π π
 
 
∈ −
 ÷
 

 
 
( hoặc
os=x mc t

[ ]
( )
0;∈t
π
)

cosdx m tdt⇒ =
(-
sin=dx m tdt
)
Đổi cận:
;x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )= = = −
∫
I g t dt G t G G
β
β
α
α
β α
Ví dụ:

Tính
2
2 2
0
4I x x dx= −
∫
Giải
: 2sin t ; 2cos
2 2
 
−
= ∈ ⇒ =
 
 
π π
Ñaët x t dt tdt
;
Đổi cận:
0 0; 2
2
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =

2 2 2
2
2 2 2 2
0
0 0 0
1

4sin 4 4sin .2cos 8 sin cos (1 cos 4 ) sin4
4 2
I t t tdt t tdt t dt t t
π π π
π
π
 
= − = = + = + =
 
 
∫ ∫ ∫
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 9 -

Rèn luyện kỹ năng trính tích phân
 I =
2
( , )
b
a
R x x m dx±
∫
(m > 0)
Cách 1:
Đặt:
2
( ) '( )t x x m x t dx t dt
ϕ ϕ
= + ± ⇒ = ⇒ =
Đổi cận:
;x a t x b t

α β
= ⇒ = = ⇒ =

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )= = = −
∫
I g t dt G t G G
β
β
α
α
β α
Cách 2: *
2
−x m
Đặt
ost
m
x
c
=
*
2
+x m
Đặt
tan=x m t


Ví dụ:
Tính

1
2
0
1 I x dx= +
∫
Giải:
Đặt
2 2
2 2 2 2 2
2
1 1
1 1 2 1
2 2
t t
t x x t x x t xt x x x dx dt
t t
− +
= + + ⇒ − = + ⇒ − + = + ⇒ = ⇒ =

2 2
2
1 1
1 ;
2 2
t t
x t
t t
− +
+ = − =

Đổi cận:
0 1; 1 1 2x t x t= ⇒ = = ⇒ = +

1 2 1 2 1 2
2 2 4 2
2 3 3
1 1 1
1 2
2
2
1
1 1 1 2 1 1 2 1
( )( )
2 2 4 4
1 1 1 3 2 2 1
2ln ln(1 2)
4 2 2 4 2
2(3 2 2)
t t t t
I dt dt t dt
t t t t t
t
t
t
+ + +
+
+ + + +
 
= = = + +
 ÷

 
 
 
+
= + − = + + −
 ÷
 
 ÷
+
 
 
∫ ∫ ∫
 Đặc biệt: các dạng tích phân sau

(
)
(
)
b b
2 2
2 n 2
a a
; ; x ;
b b
n
n n
a a
m x x m
x m x dx dx x m dx dx
x x

   
− ±
− ±
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫ ∫
( với n là số nguyên
dương lẽ)
Đặt
2 2 2 2 2
2
*
* ( )
= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −
= ±
t m x t m x x m t xdx tdt
t x m

Đổi cận:
;x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =

[ ]
( ) ( )I g t dt G t
β
β
α
α

= =
∫
Ví dụ:
Tính
1
3 2
0
1I x x dx= +
∫
Giải:
1 1
3 2 2 2
0 0
1 1 .I x x dx x x xdx= + = +
∫ ∫

Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 10 -

Rèn luyện kỹ năng trính tích phân
Đặt:
2 2 2 2 2
1 1 1t x t x x t xdx tdt= + ⇒ = + ⇒ = − ⇒ =
Đổi cận:
0 1; x= 2= ⇒ =x t

2
2 2
5 3
2 4 2
1 1

1
2 2 2
( 1) . ( )
5 3 15
t t
I t t tdt t t dt
 
+
= − = − = − =
 
 
∫ ∫
6) Tích phân dạng: I =
(ln )

b
a
f x
dx
x
∫
Đặt
t = lnx dt=
dx
x
⇒
Đổi cận:
;x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =

( )I f t dt
β
α
=
∫
Ví dụ:
Tính
3
2
1
ln
(1 ln )
x
I dx
x x
=
+
∫
Giải:
Đặt
ln
dx
t x dt
x
= ⇒ =
;
Đổi cận:
1 0; 3 ln3x t x t= ⇒ = = ⇒ =

ln3
ln3
2 3
2
0
0
1 1
ln 1 ln(1 ln 3)
1 2 2
tdt
I t
t
 
= = + = +
 
+
∫
III/ Tích phân từng phần:
 I =
( )ln
b
a
p x xdx
∫

Dùng phương pháp tích phân từng phần đặt
1
'
ln

' ( )
( )
u
u x
x
v P x
v p x dx

=
=


⇒
 
=


=

∫

⇒
[ ]
'
b
b
a
a
I uv u vdx= −
∫

 I =
( )
( ) ;sin ;cos
b
x
a
P x e x x dx
∫

Dùng phương pháp tích phân từng phần đặt

' '( )
( )
(sin ;cos )
' (sin ;cos )
x
x
u p x
u p x
v e x x dx
v e x x
=

=


⇒
 
=
=




∫
⇒
[ ]
'
b
b
a
a
I uv u vdx= −
∫
Ví dụ:
1)Tính
3
2
1
ln( 3)= +
∫
I x x dx
Giải:
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 11 -

Rèn luyện kỹ năng trính tích phân
Đặt:
2
2
2
2

'
ln( 3)
3
'
3
2

=


= +

+
⇒
 
=
+


=


x
u
u x
x
v x
x
v

3
3
2
2
1
1
3
ln( 3) 6ln12 2ln 4 4
2
 
+
= + − = − −
 
 
∫
x
I x xdx
2)Tính
2
0
cosI x xdx
π
=
∫
Giải:


2
2 2
0 0

0
' 1

' cos sin
sin sinx ox 1
2 2
 
= =
⇒
 
= =
 
   
= − = + = −
   
∫
π
π π
π π
u x u
Ñaët
v x v x
I x x dx c
3) Tính
2
0
(3 2)
−
= +
∫

x
I x e dx
Giải:
2
2 2
2 2
0 0
0
3 2 ' 3

'
8 11
(3 2) 3 2 3 5
− −
− − −
 
= + =
⇒
 
= = −
 
− −
   
= − + + = + − = +
   
∫
x x
x x x
u x u
Ñaët

v e v e
I x e e dx e
e e
Chú ý: I =
(ln )
∫
b
a
f x
dx
x

t= lnx dt=
caän: x=a t= ; x=b t=
( ) ( ) ( ) ( )
⇒
⇒ ⇒
 
= = = −
 
∫
β
β
α
α
α β
β α
dx
Ñaët
x

Ñoåi
I g t dt G t G G
Ví dụ:
Tính
3
2
1
ln 2 ln+
=
∫
e
x x
I dx
x
Giải:
Cách 1:
t=lnx dt= ⇒
dx
Ñaët
x
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 12 -

Rốn luyn k nng trớnh tớch phõn
3
3
3
3
1
3
2

0
3
2 3 2 2
3
3
3
3
2
3
2
2
1 0
caọn:
1
2
3
u= 2 2
2
0 2
caọn:
1 3
3 3 3
( 9
2 4 4

= =

= =

= +

+ = + =

= =


= =



= = =



x t
ẹoồi
x e t
I t t dt
ẹaởt t u t u du tdt
t u
ẹoồi
t u
I udu u
3
4)
Cỏch 2:
3
2 3 2 2
3
t= 2 ln 2 ln ln
2

+ = + =
dx
ẹaởt x t x t dt x
x
3
3
1 2
ẹoồi caọn:
3

= =


= =


x t
x e t
3
3
3
3
3
3
2
33
2
2
3 3 3
( 9 4)

2 4 4

= = =


I tdt t
Nu t bin mi phự hp thỡ bi toỏn gn hn qua vớ d trờn
C. KT QU SAU KIM TRA SAU KHI THC HIN CHUYấN :
Lp S s
im TB
(5 n 6,4)
im khỏ
(6,5 n 7,9)
im gii
(t 8 tr lờn)
t yờu cu
SL % SL % SL % SL %
12A
8
38 5 13,2 4 10,5 29 76,3 38 100,00
D. KH NNG NHN RNG:
Phng phỏp trờn cú th vn dng rng rói trong chng trỡnh lp 12 khi dy chng
Nguyờn hm tớch phõn v ng dng cho c hai ban Khoa hc t nhiờn v ban C bn
E. KT LUN:
Cỏc bi tp v tớnh tớch phõn, thng l tng i khú i vi hc sinh, nhng khi
ging dy xong ti hc sinh khụng b lỳng tỳng v nh hng c cỏch gii cỏc bi
toỏn tớch phõn cú th gii c rt nhiu bi toỏn v tớch phõn thuc cỏc dng ó nờu. ng
thi ng trc bi toỏn khú cho dự dng tớch phõn no hc sinh cng cú hng suy ngh
v tp tớnh toỏn, cỏc em s cú t tin hn khi gii cỏc bi toỏn v tớch phõn. Tớch phõn l mt
ch khụng khú, giỳp hc sinh phỏt trin t duy sỏng to ti cũn cú th tip tc phỏt

trin sang vic tỡm li gii cỏc bi toỏn tớch phõn nh nhng dng toỏn c bn trờn.
Ngi thc hin:NGUYN B TNG - Trang 13 -

Rèn luyện kỹ năng trính tích phân
E.TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1. Sách giáo khoa lớp 12 THPT
2. Giải tích toán học nhà xuất bản ĐH&THCN
3. Hướng dẫn giải các bài toàn giải tích nhà xuất bản ĐH&THCN
Người thực hiện:NGUYỄN BÁ TƯỜNG - Trang 14 -