TẠO HỨNG THÚ HỌC TẬP QUA CÁC BÀI TOÁN

Trường THPT Phù Lưu
TẠO HỨNG THÚ HỌC TẬP QUA CÁC BÀI TOÁN
Đổi mới phương pháp dạy học là một nhu cầu tất yếu đối với nền giáo
dục hiện nay. Tuy nhiên phải làm gì, và làm như thế nào thì đây là một vấn đề
vô cùng phức tạp đặc biệt đối với 1 trường vùng cao như trường THPT Phù
Lưu. Qua thực tiễn giảng dạy chúng tôi thấy đa số các em học sinh có thói
quen học tập thụ động, lười tư duy đặc biệt là các môn tự nhiên. Một số em có
ý thức học tập nhưng lại không biết phải học như thế nào cho hiệu quả. Chính
vì vậy việc hướng dẫn các em cách học và tạo hứng thú học tập là việc làm
cần thiết. Trong bộ môn toán giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài toán
vui, câu đố, nghịch lý toán học, ảo thuật toán học…sẽ giúp các em có thêm
hứng thú, niềm vui trong học tập. Chúng tôi xin trình bày 1 nghịch lí toán học
có thể đem lại hứng thú học tập cho học sinh:
Tam giác nào cũng cân
Cho tam giác CAB bất kỳ đáy AB. Ta hãy kẻ đường phân giác góc và
đường trung trực của cạnh đáy AB (vuông góc tại trung điểm M của AB). Khi
đó sẽ có các trường hợp sau đây xảy ra:
Trường hợp 1: Đường phân giác và đường trung trực đó trùng nhau. Như
vậy tam giác có đường phân giác của góc đỉnh đồng thời là đường trung trực
của cạnh đáy nên tam giác đó cân.
Trường hợp 2: Đường phân giác và đường trung trực nói trên song song
nhau. Vậy đường phân giác đồng thời là đường cao nên tam giác đó cân.
Trường hợp 3: Hai đường nói trên cắt nhau tại N nằm phía trong tam giác
(hình)

N

Nối N với A, B và hạ đường vuông góc NP và NQ xuống hai cạnh bên.
Xét hai tam giác CQN và CPN ta thấy: hai tam giác này đều vuông, có cạnh
huyền CN chung và 2 góc nhọn QCN = PCN (do CN là phân giác) vậy
QC N CPN

∆ =∆
suy ra: NP = NQ
Ta cũng chứng minh được
∆ ∆QNA = PBN
vì 2 tam giác này đều vuông; có NP
= NQ và NA = NB (vì NM là trung trực của AB) vậy hai tam giác vuông
bằng nhau, ta suy ra: (1)
∆
NAB cân (vì có NM là trung trực của AB) nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra tức là
∆
CAB cân.
Trường hợp 4: Giao điểm N của hai đường kể trên nằm trên đáy AB. Khi đó
tam giác CAB có đường phân giác đồng thời cũng là trung tuyến. Vậy
∆
CAB
cân.
Trường hợp 5a: Đường phân giác và đường trung trực ở trên cắt nhau tại N
ngoài tam giác nhưng chân hai đường vuông góc. NQ và NP vẫn nằm trong
cạnh CA và CB (hình)

Ta có
∆
CQN =
∆
CPN (hai tam giác vuông có chung cạnh huyền và hai góc
nhọn bằng nhau)
Từ đó suy ra NP = NQ
Tam giác NAB cân (vì MN là đường trung trực) nên NB = NA và
(1)

Ta có
∆
NPB =
∆
NQA (hai tam giác vuông có hai cạnh huyền bằng nhau:
NA = NB và hai cạnh góc vuông bằng nhau: NP = NQ).
Từ đó ta suy ra: (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
Tức là tam giác CAB cân.
Trường hợp 5b: Giao tuyến N nằm ngoài tam giác CAB và chân đường
vuông góc P, Q nằm ngoài cạnh CA và CB (hình)
Tam giác NAB cân (vì MN là trung trực) vậy:
NA = NB và (1)
∆
CNQ =
∆
CNP (vì có cạnh huyền chung và hai góc nhọn ở C bằng nhau)
Từ đó suy ra NP = NQ
Ta có
∆
NPB =
∆
NQA (hai tam giác vuông có cạnh huyền và một cạnh góc
vuông bằng nhau). Từ đó suy ra: (2)
Vậy từ (1) và (2) suy ra tức tam giác CAB cân.
Như vậy ta có thể kết luận tất cả các tam giác đều cân! Đây rõ ràng là một
kết quả không đúng, vậy trong phép chứng minh sai lầm ở đâu?
Hệ quả: Tam giác nào cũng đều!

Phân tích sai lầm của nghịch lý

Trong chứng minh ta đã chứng minh rất nhiều trường hợp cho có vẻ chặt chẽ.
Thực ra ta đã bỏ qua một trường hợp quan trọng là điểm N ở ngoài tam giác
và hai đường vuông góc hạ từ N là NQ và NP thì Q nằm trong CA còn P lại
nằm ngoài CB. Khi đó, ta không còn chứng minh được bằng cách trừ hai đẳng
thức hay công hai đẳng thức để được nữa. Ta có thể chứng minh
được rằng nếu tam giác CAB không cân thì trường hợp ta “bỏ qua” này luôn
luôn xảy ra.


Thật vậy:
Ta vẽ đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Ta chứng minh giao điểm N
của đường phân giác góc C và đường trung trực cạnh AB nằm trên đường
tròn. Gọi N là giao điểm của đường trung trực và đường tròn ngoại tiếp thì
NA = NB. Vậy hai cung NA = NB. Suy ra tức N cũng nằm trên
đường phân giác của C. Vậy N là giao điểm của hai đường ta quan tâm. N
nằm trên đường tròn ngoại tiếp vậy N nằm ngoài
CAB
∆
Hơn nữa do
CBCA >
(
CAB∆
không cân nên
CACB <
vì cung nên
cung từ đó suy ra góc nhọn và góc tù, khi đó chân
đường vuông góc P phải nằm ngoài CB và Q phải nằm trong CA.
Kết luận Thông qua tìm hiểu và giải một số bài toán vui, câu đố, nghịch lí
toán học sẽ giúp học sinh thêm hứng thú, say mê học tập, từ đó góp phần
nâng cao chất lượng bộ môn.

Trường THPT Phù Lưu
Tổ: toán – Lí - KTCN
A
M
Q
N
P
B
C