Bai tap ve vecto trong khong gian

VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I. Một số kiến thức đã học (trong mặt phẳng):
1/ Quy tắc 3 điểm
2/ Hiệu hai véc tơ
3/ Quy tắc hình bình hành
4/ Quy tắc trung điểm
5/ Trọng tâm tam giác
6/ Điều kiện để hai véc tơ cùng phương
7/ Hai véc tơ bằng nhau
8/ Tích vô hướng của hai véc tơ
9/ Góc giữa hai véc tơ
10/ Điều kiện hai véc tơ vuông góc
Mọi kiến thức về véc tơ trong mặt phẳng đều đúng trong không gian
II. Các kiến thức mới (trong không gian):
1/ Quy tắc hình hộp
2/ Sự đồng phẳng của ba véc tơ
a/ Định nghĩa
b/ Điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng:
DẠNG 1: CÁC PHÉP TOÁN, ĐẲNG THỨC VỀ VÉC TƠ
Bài 1. Chứng minh rằng G là trọng tâm tứ diện ABCD
⇔
Nó thỏa mãn một trong hai điều
kiện sau:
1/
GA
+
GB
+
GC
+
GD

=
0
2/
OA
+
OB
+
OC
+
OD
= 4
OG
( O là điểm tùy ý)
Bài 2. Trong không gian cho 4 điểm tùy ý A, B, C, D. Chứng minh rằng:
. . . 0AB DC BC DA CA DB+ + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
Bài 3. Chứng minh rằng nếu một tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc thì cặp cạnh đối còn
lại cũng vuông góc
Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi P, R thứ tự là trung điểm AB, A’D’. Gọi P’, Q,
Q’, R’ thứ tự là giao điểm của các đường chéo trong các mặt ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’,
ADD’A’. Chứng minh rằng:
1/
0'''
=++
RRQQPP
2/ Hai tam giác PQR, P’Q’R’ có cùng trọng tâm
DẠNG 2. CHỨNG MINH BA ĐIỂM PHÂN BIỆT THẲNG HÀNG
Phương pháp: Để CM ba điểm A, B, C thẳng hàng ta có thể chứng minh:
Cách 1. A, B, C phân biệt thẳng hàng
⇔

CDkAB
=
Cách 2. A, B, C phân biệt thẳng hàng, O là điểm tùy ý
⇔
OBnOAmOC +=
, với m + n =1
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọ G, G’ lần lượt là trộng tâm tứ diện ABCD và tam giác BCD.
Chứng minh rằng: A, G, G’ thẳng hàng
Bài 2. Chứng minh lý thuyết (cách 2)

DẠNG 3. CHỨNG MINH BA VÉC TƠ (HAY BỐN ĐIỂM) ĐỒNG PHẲNG
Phương pháp: Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ta có thể CM:
Cách 1. A, B, C, D đồng phẳng
ADACAB ,,
⇔
đồng phẳng
⇔
nm,∃
sao cho
ADnACmAB +=
Cách 2. A, B, C, D đồng phẳng (O là điểm tùy ý)
ODpOCnOBmOA
++=⇔
,
với m+n+p=1
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Ba điểm M, N, P trong không gian thỏa mãn:
OCOBtOAOM 2. −+=
OCOBOAtON
+++=
2)1(

OCOAtOP 2)2(
+−=
1/ Xác định t để ba véc tơ
OM
,
ON
,
OP
đồng phẳng
2/ Khi t=0, hãy biểu diễn véc tơ
OCOBOAv 15.105 −+=
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là bốn điểm lấy trên AB, BC, CD, DA.
Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng MN, PQ, AC đôi một song song thì bốn điểm P, Q,
M, N đồng phẳng
Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm BB’, A’C’. K
là điểm trên B’C’ sao cho
KBKC 2'
−=
. Chứng minh bốn điểm A, I, J, K thẳng hàng
DẠNG 3. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG, ĐƯỜNG THẲNG //MP
Phương pháp:
1/Để CM hai đường thẳng AB, CD song song với nhau ta chứng minh đồng thời:
+) Hai véctơ
AB
uuur
và
CD
uuur
cùng phương
+) Hai đường thẳng AB, CD //

2/CM đường thẳng AB//mp(P) ta làm như sau:
+)Trong mp(P) lấy hai véctơ
,a b
r r
không cùng phương
+)CM các véctơ
AB
uuur
,
,a b
r r
không đồng phẳng và AB không có điểm chung với mp(P)
Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có
, ' ,BA a BB b BC c= = =
uuur r uuur r uuur r
. M, N lần lượt là hai điểm
nằm trên AC, DC’ sao cho
. , ' 'MC n AC C N mC D= =
uuuur uuur uuuur uuuur
1/ Hãy phân tích
'BD
uuuur
theo các véctơ
, ,a b c
r r r
2/ Chứng minh rẳng:
( ) (1 )MN m n a m b nc= − + − +
uuuur r r r
3/ Tìm m, n để MN//BD’
Bài 2. Cho hai hình vuông ABCD và ADD’A’ cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc.

M, N là hai điểm nằm trên hai đường chéo BD và AD’ sao cho DM=AN=x (0<x<a
a
).
Chứng minh rằng: MN//(BCD’A’)
DẠNG 4. QUỸ TÍCH ĐIỂM: Các bài toán quỹ tích cần nhớ
A, B, C là các điểm cố định;
v
r
là một véctơ không đổi cho trước
Bài toán 1: Tìm các điểm M thoả mãn
AM v=
uuuur r
Bài toán 2: Tìm các điểm M thoả mãn
MA MB=
uuur uuur
Đáp án: M thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
Bài toán 3: Tìm các điểm M thoả mãn
MA k AB=
uuur uuur
, k
R∈

Đáp án: M thuộc mặt cầu tâm C và bán kính
k AB
Bài toán 4: Tìm các điểm M thoả mãn
MA kBC=
uuur uuur
Đáp án:
+)Nếu
k R

∈
, M thuộc đường thẳng qua A và //BC
+)Nếu
k R
+
∈
, M thuộc nửa đường thẳng qua A, //BC và cùng hướng véctơ
BC
uuur
+)Nếu
k R
−
∈
, M thuộc nửa đường thẳng qua A, //BC và ngược hướng véctơ
BC
uuur
Bài 1. Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng. Tìm tập hợp các
điểm M, M thoả mãn:
1/
2MA MB MC MA MB MC+ + = − −
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
2/
2NA NB NC NB BA+ − = −
uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 2. Cho tứ diện ABCD, hai điểm M, N thoả mãn:
. 0MA t MC+ =
uuur uuuur r
,
. 0NB t ND+ =
uuur uuur r

Chứng minh khi t thay đổi thì trung điểm I của MN di chuyển trên một đường thẳng cố định
Bài 3. Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng; M là một điểm di
động
1/ Chứng minh rằng véctơ
2 3v MA MB MC= + −
r uuur uuur uuuur
là một véctơ không phụ thuộc vào M
2/ D là điểm thoả mãn
AD v=
uuur r
và giả sử đường thẳng AD cắt BC tại N. Chứng minh:
3NB NC=
uuur uuur