bai tap vecto trong khong gian

Gia
́
o a
́
n da
̣
y phu
̣
đa
̣
o – chuyên đề vec tơ trong không gian
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I-MỤC TIÊU:
1. Về kiến thức:
Giúp học sinh củng cố lại:
Quy tắc hình hộp để cộng vectơ trong không gian;
Khái niệm và điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong không gian
2.Về kĩ năng:
- Xác định được góc giữa hai vectơ trong không gian
- Thực hiện được phép, cộng, trừ vectơ, nhân vectơ với một số. Xác định được tích vô hướng của hai
vectơ, sự bằng nhau của hai vectơ trong không gian
- Biết xét sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ trong không gian
3.Về t duy thái độ:
- Thấy được sự phát triển toán học, thấy được tính chặt chẽ của toán học khi phát triển mở rộng kiến thức
II- TO
́
M TĂ
́
T KIÊ
́
N THƯ

́
C:
• Qui tắc ba điểm:
,AB BC AC OA OB BA+ = − =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
• Qui tắc hình bình hành ABCD: AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
.
• I là trung điểm AB: 0IA IB+ =
uur uur r
• AM là trung tuyến của tam giác ABC:
( )
1
2
AM AB AC= +
uuuur uuur uuur

• G là trọng tâm tam giác ABC: 0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
• G là trọng tâm tứ diện ABCD: 0GA GB GC GD+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
• Cho
, ,a b c
r r r
trong đó
,a b
r r
không cùng phương.
, ,a b c
r r r

đồng phẳng
⇔
có bộ số (m,n) duy nhất sao cho:
c ma nb= +
r r r
.
• Nếu
, ,a b c
r r r
không đồng phẳng thì với mỗi vec tơ d
ur
ta tìm được bộ số (m,n,p) duy nhất sao cho :
d ma nb pc= + +
ur r r r
III – NÔ
̣
I DUNG BA
̀
I DA
̣
Y
Bài 1: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ . Chứng minh rằng:
a.
' ' ' 'AB B C DD AC+ + =
uuur uuuuur uuuur uuuur
;
b.
' ' ' 'BD D D B D BB− − =
uuur uuuur uuuuur uuur
c.

' ' 0AC BA DB C D+ + + =
uuur uuur uuur uuuur r
Bài giải:
a.
' ' ' ' 'AB B C DD AB BC CC AC+ + = + + =
uuur uuuuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur
b.
' ' ' ' ' ' 'BD D D B D BD DD D B BB− − = + + =
uuur uuuur uuuuur uuur uuuur uuuuur uuur
c.
' ' ' ' ' 'AC BA DB C D AC CD D B B A+ + + = + + +
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuuur uuuur
0AA= =
uuur r
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a.
( )
1
2
MN AD BC= +
uuuur uuur uuur
b.
( )
1
2
MN AC BD= +
uuuur uuur uuur
Bài giải:
a.
MN MA AD DN= + +

uuuur uuur uuur uuur

MN MB BC CN= + +
uuuur uuur uuur uuur
Gv: Vu
̃
Hoa
̀
ng Anh
Gia
́
o a
́
n da
̣
y phu
̣
đa
̣
o – chuyên đề vec tơ trong không gian
2MN AD BC⇒ = +
uuuur uuur uuur
1
( )
2
MN AD BC⇒ = +
uuuur uuur uuur
Bài 3: Cho hình tứ diện ABCD.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng
3DA DB DC DG+ + =
uuur uuur uuur uuur

Bài giải:
Ta có:
3
DA DG GA
DB DG GB DA DB DC DG
DC DG GC

= +


= + ⇒ + + =


= +


uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
vì
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng:
2 2 2 2
)
)
a SA SC SB SD
b SA SC SB SD
+ = +
+ = +

uur uur uur uuur
uur uur uur uuur
a)
SA SC SB BA SD DC+ = + + +
uur uuur uur uuur uuur uuur
=
SB SD DC BA+ + +
uur uuur uuur uuur

=
SB SD+
uur uuur
+
0
r
(vì
DC
uuur
và
BA
uuur
là hai vectơ đối nhau)
=
SB SD+
uur uuur
b)
2 2
2 2
( ) ( )SA SC SO OA SO OC+ = + + +
uur uuur uuur uuur uuur uuur

=2
2
OS
uuur
+
2
OA
uuur
+
2
OC
uuur
+2
OS
uuur
.(
OA OC+
uuur uuur
)
=2
2
OS
uuur
+
2
OA
uuur
+
2
OC

uuur
(vì
OA OC+
uuur uuur
=
0
r
)
Tương tự ta có:
2 2
SB SD+
uur uuur
=2
2
OS
uuur
+
2
OB
uuur
+
2
OD
uuur
Từ đó suy ra:
2 2 2 2
SA SC SB SD+ = +
uur uuur uur uuur
Bài tập 5:
Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện AB và CD, AC và DB vuông góc với nhau. Chứng minh rằng

cặp cạnh đối diện còn lại là AD và BC cũng vuông góc với nhau.
Gv: Vu
̃
Hoa
̀
ng Anh
Gia
́
o a
́
n da
̣
y phu
̣
đa
̣
o – chuyên đề vec tơ trong không gian
Ta có:
.BC AD
uuur uuur
=
( ).( )BA AC AB BD+ +
uuur uuur uuur uuur
=
. . . .BA AB BA BD AC AB AC BD+ + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur
=
. . .BA AB BA BD AC AB+ +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(vì AC

⊥
BD)
=
( ) .BA AB BD AC AB+ +
uuur uuur uuur uuur uuur
=
( )BA AD AC−
uuur uuur uuur
=
.BACD
uuur uuur
= –
.AB CD
uuur uuur
=
0
r
(Vì AB
⊥
CD)
Suy ra BC
⊥
AD
Gv: Vu
̃
Hoa
̀
ng Anh