He phuong trình bậc hai

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (120.6 KB, 9 trang )

Kiến thức cơ bản đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình
Một số hệ phương trình bậc hai , hai ẩn số đặc biệt
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Hệ hai phương trình, một phương trình bậc nhất, một phương trình bậc hai.
Cách giải : Từ phương trình bậc nhất, biểu diễn một ẩn qua ẩn còn lại. Đem thế vào phương trình bậc hai rồi
giải phương trình nhận được.
Ví dụ : Giải hệ phương trình :



=++
=+
3
32
22
yxyx
yx

2. Hệ phương trình đối xứng của hai ẩn
a) Hệ đối xứng loại I : có dạng



=
=
0),(
0),(
yxg
yxf
trong đó f(x , y) , g(x , y) là các hàm hai biến x, y mà
nếu ta đổi x thành y và y thành x thì chúng không thay đổi. Tức là:

f(x , y) = f(y, x) và g(x , y) = g(y , x).
Cách giải : Đặt ẩn phụ S = x + y , P = x.y. Giải hệ phương trình với các ẩn phụ, sau đó tìm các
nghiệm với ẩn số x, y. Hệ đã cho có nghiệm theo x, y với điều kiện là
S
2
– 4P
≥
0
Ví dụ : Giải hệ phương trình :



=−−
=++
12
113
22
yxxy
yxyx
b) Hệ đối xứng loại II : có dạng



=
=
)2(0),(
)1(0),(
yxg
yxf
nếu đổi x thành y và đổi y thành x thì phương

trình này của hệ trở thành phương trình kia của hệ và ngược lại. Tức là:
f(y , x) = g(x, y) và g(y , x) = f(x , y).
Cách giải : Trừ từng vế hai phương trình (1) và (2) của hệ ta thu được phương trình mới biến đổi về
dạng : (x - y).h(x, y) = 0 (3)
Phương trình (3)



=
=
⇔
0),( yxh
yx
+ Với x = y thay vào (1) hoặc (2) thì được phương trình một ẩn x (hoặc y).
+ Với h(x , y) = 0 ta giải tìm x theo y hoặc tìm y theo x rồi thay vào (1) hoặc (2) thì thu được phương
trình một ẩn, giải tìm ẩn đó rồi tính ẩn còn lại.
Ví dụ : Giải hệ phương trình :
a)





+=
+=
xyy
yxx
83
83
3

3
; b)





+=+
=+
2255
33
1
yxyx
yx
c) Hệ đẳng cấp bậc hai theo hai ẩn
Hệ có dạng :



=
=
)2(),(
)1(),(
nyxg
myxf
,trong đó m, n là số đã biết và các biểu thức
f(x , y) và g(x , y) có tất cả các số hạng đều là bậc hai theo hai ẩn x , y
Cách giải:
+ kiểm tra x = 0 hoặc y = 0 có thoả mãn là nghiệm của hệ hay không.
+Xét trường hợp x

≠
0 (hoặc y
≠
0). Ta đặt y = kx (hoặc x = ty) sẽ đưa đến việc xác đònh k
(hoặc t) và giải tiếp một phương trình theo ẩn x (hoặc ẩn y)
Ví dụ : Giải hệ phương trình





=++
=++
1732
1123
22
22
yxyx
yxyx
GV: An Văn Long 1 Chúc Các Em Ôân Tập Tốt
Kiến thức cơ bản đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình
B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN
Bài 1 Cho hệ phương trình : (I)



−=+
=+
222
6 myx

myx
với m là tham số.
a) Giải hệ (I) với m = 1. Kq: (-1;2), (2;-1)
b) Với giá trò nào của m thì hệ có nghiệm. Kq:
[ ]
2;2−
Bài 2 Xác đònh giá trò của m để hệ phương trình sau đây có nghiệm duy nhất :




=+
=++
1
22
yx
mxyyx
Kq :
2 4
2 2
m
±
=
Bài 3 Giải hệ phương trình :
a)






+=−
+=−
xyxy
yxyx
22
22
22
22
; b)





=+−
−=+−
1333
13
22
22
yxyx
yxyx
Kq: (0;0) v (-3;-3) Kq: (1;2), (2;1), (-1;-2), (-2;-1)
Bài 4 Giải hệ phương trình :
a)



−=++
=++

322
3
22
yxyx
yxyx
; b)





=+−+
=+−−+
0363
02242
2
2
yxxyx
yxxyx

: ( 3; 3), ( 3; 3), ( 1; 1)Kq − − − −
Kq: (-2;14/9), (-3;2)
Bài 6 Giải hệ phương trình :
a)





=−+

=+−
3
13
22
xyyx
yxyx
; b)



+=+
=+
2233
1
yxyx
yx

: (4;1),(1; 4), (2 3; 2 3), (2 3; 2 3)Kq + − − +
Kq: (0;1), (1;0)
Bài 7 Giải hệ phương trình :
a)



=+
=++
30)(
11
yxxy
yxyx

; b)





=−−−
=+−+
38923
143
22
22
yxyx
yxyx
; c)



=+
=+
12
4
22
xyyx
yx
KQ: (5;1), (1;5), (2;3), (3;2)
3 13 3 13
: (0; ),( 4; )
2 2
Kq

± ±
−
Kq: (3;1), (1;3)
Bài 8 Giải hệ phương trình :
a)





−+=
−+=
yyxy
xxyx
167
167
223
223
; b)
( )( )



=−−
=++++
6)1).(1(
311
22
yx
yyxx

; c)



−=−
=+
yyxx
yx
33
1
Kq: (0;0), (4;4) Kq: (-1;-2); (-2;-1) Kq: (1/2;1/2), (0;1), (1;0)
Bài 9 Giải hệ phương trình :
a)







=+
=++
6
5
2
x
y
x
y
x

yx
; b)





=+
+=+
78
1
7
xyyxyx
xy
x
y
y
x
(quy đồng); c)
( )







=









++
=








++
49
1
1
5
1
1).(
22
22
yx
yx
xy
yx
(nhân ra-đặt a âp)

Kq: (2,;1), (3/2;1/2) Kq: (4;9), (9;4) Kq:
7 3 5 7 3 5
: ( 1; ),( ; 1)
2 2
Kq
± ±
− −
GV: An Văn Long 2 Chúc Các Em Ôân Tập Tốt
Kiến thức cơ bản đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình
Bài 10 Giải hệ phương trình :
a)





−=−








−=−
11
11
4
33

yx
yx
yx
; b)





+
=
+−+=+−+
y
x
x
xyyyxx
5
4
)2)(142()2)(142(
2
22
Kq: (1;1), (2;2 ) Kq: (1;1), (4;4) * Chia hai vế pt (1) cho (x+1).(y+2)
C. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 11 Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình :



=+
=+
myx

yx
22
3
1353
Bài 12 Chứng minh rằng hệ phương trình :



+=+
+=++
mmxyyx
myxyx
222
12
luôn luôn có nghiệm với
mọi giá trò của tham số m
Bài 13 Giải hệ phương trình :
a)



=++
=+++
08
026
22
yx
yxyx
; b)




=−−
=+
18)1)(1(
65
22
yx
yx
; c)





=+++
=+++
013
0322
2
22
yyxy
xyxyx
Kq: (-6;-2), (-4;-4) Kq: (7;4), (4;7), (-1;-8), ( 8;-1) Hd: pt(2) nhân 2ø cộng pt(1) đưa ra (x+2y)
Bài 14 Giải hệ phương trình :
a)



+=+

=+
2233
1
yxyx
yx
; b)





=−+
=−+
3
13
22
xyyx
xyyx
; c)





=+−
−=+−
1333
13
22
22

yxyx
yxyx
Bài 15 Giải hệ phương trình :
a)





=+
=−+−
13
414
yx
yx
; b)





=−++
=−++
321
321
xy
yx
; c)




=−
=−
26
2
33
yx
yx

Bài 16 Giải hệ phương trình :
a)





=−++++−+++
=+++++++++
211
1811
22
22
yyxyxyxx
yyxyxyxx
; b)






=−
=−
28
12
2
2
xyx
yxy

Bài17 Giải hệ phương trình :
a)





=+
−=−
2
22
33
22
yx
yyxx
; b)








=+
=+
6
9
1
2
2
3
3
x
y
x
y
y
x
; c)







+
=
+
=
y

x
x
x
y
y
4
4

Bài 18 Giải hệ phương trình :
a)
( )





−=−+
−=++
)2(724
21924
22
2
22
yxxyyx
yxxyyx
; b)






=+
=+
333
22
351
30
xyx
xxyy

GV: An Văn Long 3 Chúc Các Em Ôân Tập Tốt
Kiến thức cơ bản đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình
Bài 19 Giải hệ phương trình :
a)



=+++
=++
13)1()1(
24)2)(2(
22
yx
yxxy
; b)






=+
=+
xy
yx
21
21
3
3
; c)



=+
=+
97
5
44
yx
yx
Bài 20 Giải hệ phương trình :
a)







−=
+

−=
+
++
3
2
5
2
142
2
yx
x
yx
xyx
; b)







=+
=+
yx
y
xy
x
31
2
31

2
; c)







=+++
=+++
4
11
4
11
22
22
yx
yx
yx
yx
Bài 21 Giải hệ phương trình :
a)





−=
+

−=
+
−
6
1
1
1
1
3
xy
y
y
x
x
; b)





=+
−=−
1
33
44
33
yx
yyxx
; c)






+−=−
+=−
2
3
22
yxyx
yxyx
Bài 1: Giải và biện luận các hệ phương trình sau (ẩn số là x và y)
1a)



+=++
−=−
12)62(
44
myxm
mmyx
; 1b)



−=+−
=+
2
12

myx
ymx
2a)



=+−
=+−
2)2(
32)1(3
2
myxm
ymxm
; 2b)



=+
=+−
12
)1(
myx
myxm
3a)





=−

−=−
mymmx
mnmynx
4
2
2
; 3b)





=−
=−
2
2
nynx
mmyx
4a)



=++−
=++−
mynmxnm
nynmxnm
)()(
)2()2(
; 4b)




=+
+=+
mnmynx
nmnym x
2
22
Bài 2: 1) Cho hệ phương trình :



=+−−
=+−−
02)1(
036)2(
ymmx
myxm
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m .
b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m .
2) Cho hệ phương trình :



=−−
=−+
2)1(
9)2(6
myxm
ymmx

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m .
b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m .
Bài 3: Tìm m là số nguyên để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) với x, y đều là các số
nguyên. Lúc đó tìm (x;y) :
GV: An Văn Long 4 Chúc Các Em Ôân Tập Tốt
HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ Hệ phương trình dạng



=+
=+
''' cybxa
cbyax
Kiến thức cơ bản đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình
1a)



=−++
=−++++
04)2(2
02)13()1(
ymx
mymxm
; 1b)



=−−+
=−+

012
03
mm yx
mymx
2a)



−=+
+=+
122
12
mmyx
mymx
; 2b)



+=+
=+
1
32
myx
mymx
Bài 4: Tìm m và n để hai hệ phương trình sau tương đương với nhau :




=+

+=+
3
12
yx
nymx
và



=+
+=+
33
22
2
yx
myx

Bài 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất :





=−+
=−+
=−+
0
01
01
myx

myx
ymx
Bài 1)Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số m
1) (m+1)x
2
-(2m+1)x+(m-2)=0 ; 2) mx
2
+2x+1=0
3) (m
2
-5m-36)x
2
-2(m+4)x+1=0 ; 4) 2x
2
-6x+3m-5=0
Bài 2)Giả sử x
1
,x
2
là hai nghiệm của phương trình 2x
2
-11x+13=0. Không giải phương trình , hãy tính
giá trò các biểu thức sau :
1) A =
3
2
3
1
xx +
; 2) B =

4
2
4
1
xx +
3) C =
4
2
4
1
xx −
; 4) D =
( ) ( )
2
1
1
2
2
2
2
1
11 x
x
x
x
x
x
−+−
Bài 3)Chứng tỏ rằng kb
2

= (k+1)
2
.ac là điều kiện cần và đủ để phương trình ax
2
+bx+c=0 (a
≠
0) có hai
nghiệm thoả mãn nghiệm này bằng k lần nghiệm kia.
Bài 4)Tìm m và n để hai số m ,n là nghiệm của phương trình x
2
+mx+n=0.
Bài 5)Cho a,b là nghiệm của phương trình x
2
+px+1=0 và b,c là nghiệm của phương trình
x
2
+qx+2=0 .Chứng minh rằng : (b-a)(b-c)=pq-6.
Bài 6)Cho hai phương trình x
2
+p
1
x+q
1
=0 (1) và x
2
+p
2
x+q
2
=0 (2) biết p

1
p
2
=2(q
1
+q
2
) .
Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm .
Bài 7)Cho hai số
βα
;
là các nghiệm của phương rình x
2
+px+q=0 .Hãy lập phương trình bậc hai có các
nghiệm số là
22
)(&)(
βαβα
−+
.
Bài 8)Cho phương trình x
2
+4x+m+1=0 (1)
GV: An Văn Long 5 Chúc Các Em Ôân Tập Tốt
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI-TAM THỨC BẬC HAI-BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Kiến thức cơ bản đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình
1.Đònh m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
,x

2
thoả mãn hệ thức
7
2
1
2
2
2
2
2
1
≥+
x
x
x
x
2.Đònh m để phương trình (1) có đúng một nghiệm âm.
3.Chứng tỏ rằng nếu phương trình (1) có một nghiệm dương x
1
thì phương trình :
(m+1)x
2
+4x+1=0 cũng có một nghiệm dương
1
1
x
.
Bài 9)Cho phương trình 2x
2
+2(m+1)x+m

2
+4m+3=0.
1.Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1.
2.Gọi x
1
,x
2
là hai nghiệm của phương trình .Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức :
A =
)(2
2121
xxxx +−
.
Bài10)Cho hai phương trình x
2
+3x+2a=0 (1) và x
2
+6x+5a=0 (2).Tìm tất cả các giá trò của
a để mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt và giữa hai nghiệm của phương trình này có
đúng một nghiệm của phương trình kia .
Bài11)Tìm các giá trò nguyên của a,b để phương trình : x
2
+ax+b=0 có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả
mãn điều kiện :




<<
−<<−
21
12
2
1
x
x
Bài12)Xác đònh m để phương trình mx
2
+(2m+1)x-1=0 có ít nhất một nghiệm dương .
Bài13)Giả sử x
1
,x
2
là các nghiệm của phương trình x
2
+2mx+4=0 .Hãy tìm các giá trò của m để
xảy ra đẳng thức :
3
2
1
2
2
2
1
=









+








x
x
x
x
.
Bài14)Tìm các giá trò của a để hiệu hai nghiệm của phương trình : 2x
2
-(a+1)x+a+3=0 bằng 1.
Bài15)Hãy tìm các giá trò của k để các nghiệm của phương trình :2x
2
-(k+2)x+7=k
2
trái dấu
nhau và là nghòch đảo của nhau về giá trò tuyệt đối.
Bài16)Giả sử a,b là hai số thoả mãn a>b>0 .Không giải phương trình abx

2
-(a+b)x+1=0 .Hãy
tính tỉ số giữa tổng hai nghiệm và hiệu hai nghiệm của phương trình.
Bài17)Tìm các giá trò của m để phương trình :
1.
059)1(2
2
=−+++ mxmx
có cả hai nghiệm đều âm.
2.
032)2(
2
=++−− mmxxm
có cả hai nghiệm đều dương.
Bài18)Giải và biện luận phương trình :
08)12(2)1(
24
=+−−− xmxm
Bài19)Cho phương trình
02)1(2)2(
2
=−+−−+ mxmxm
.
1.Xác đònh m để phương trình có một nghiêïm x=-1 và tìm nghiệm còn lại.
2.Xác đònh m để phương trình có đúng một nghiệm dương.
Bài20)Xác đònh m để phương trình (x-2)[x
2
-2(m+1)x+m
2
+5]=0 có ba nghiệm phân biệt .

GV: An Văn Long 6 Chúc Các Em Ôân Tập Tốt
Kiến thức cơ bản đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình
Bài22)Tìm các giá trò của m để mỗi phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt :
1.(m+3)x
4
-3(m-1)x
2
+4m=0 ; 2. (m-1)x
4
+(2m-3)x
2
+m-1=0
Bài23)Cho phương trình : x
2
-2(m-1)x+m
2
-3m+4=0.
1.Xác đònh m để ptrình có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
2.Xác đònh m để
20
2
2
2
1
=+ xx
.

3.Xác đònh m để biểu thức
2
2
2
1
xx +
đạt giá trò nhỏ nhất .
Bài24)Cho phương trình
01)2(2)4(
22
=+++− xmxm
.Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm
Bài25)Cho phương trình
0)5(
2
=++− mxmx
. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức A =
21
xx −

trong đó x
1
,x
2
là hai nghiệm của phương trình .
Bài26)Tìm m để phương trình
02)1()12(
22
=++−+− mxmxm
có hai nghiệm x

1
,x
2
sao cho :
x
1
< 1 < x
2
Bài27)Tìm m để phương trình
02)()4(
22
=+−++ mxmmxm
có hai nghiệm x
1
,x
2
sao cho :

21
1 xx ≤−<
.
Bài28)Tìm m để phương trình
0)12()1(
2
=+−−+ mxmxm
có nghiệm thoả điều kiện
1
2 x≤−
<x
2

Bài29)Tìm m để phương trình
02)13(4
2
=−−+− mxmx
có hai nghiệm thuộc khoảng (-1;2).
Bài30)Tìm các giá trò của m để phương trình (m+1)x
2
-3mx+4m=0 :
1. Có một nghiệm thuộc (-1;1), còn nghiệm kia nhỏ hơn -1.
2. Có nghiệm lớn hơn 1.
Bài31) Tìm m để phương trình
04)3(2)2(
2
=++−− xmxm
có hai nghiệm ,trong đó có một
nghiệm lớn hơn 3 còn nghiệm kia nhỏ hơn 2.
Bài32)Tìm các giá trò của m để số -4 nằm giữa hai nghiệm của phương trình :
(m+3)x
2
-2(m-1)x+4m =0 .
Bài33)Tìm các giá trò của m để phương trình (m-5)x
2
-(m-9)x+m-5=0 có:
1. Hai nghiệm lớn hơn -3 .
2. Hai nghiệm nằm giữa -2 và 3 .
Bài34)Cho phương trình (3m-5)x
2
-2(3m+2)x+4m-1=0 .Xác đònh m để phương trình có :
1. Hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn -1.
2. Một nghiệm thuộc khoảng (-1;0) và nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;0]

GV: An Văn Long 7 Chúc Các Em Ôân Tập Tốt
Kiến thức cơ bản đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình
Bài35)Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x :
1.
2
1
2
3
2
2
≤
+−
−+
≤−
xx
mxx
; 2.
4
1
42
6
2
2
<
+−
−+
≤−
xx
mxx
Giải các hệ phương trình sau :

1)



=+
=++
30)(
11
yxxy
yxyx
; 2)





=−−−
=+−+
38923
143
22
22
yxyx
yxyx
; 3)



=+
=+

12
4
22
xyyx
yx
4)





−+=
−+=
yyxy
xxyx
167
167
223
223
; 5)
( )( )



=−−
=++++
6)1).(1(
311
22
yx

yyxx
; 6)



−=−
=+
yyxx
yx
33
1
7)







=+
=++
6
5
2
x
y
x
y
x
yx

; 8)





=+
+=+
78
1
7
xyyxyx
xy
x
y
y
x
với x,y>0 ; 9)
( )







=









++
=








++
49
1
1
5
1
1).(
22
22
yx
yx
xy
yx
10)








−=
+
−=
+
++
3
2
5
2
142
2
yx
x
yx
xyx
; 11)







=+

=+
yx
y
xy
x
31
2
31
2
; 12)







=+++
=+++
4
11
4
11
22
22
yx
yx
yx
yx
13)






=+
=−+−
13
414
yx
yx
; 14)





=−++
=−++
321
321
xy
yx
; 15)



=−
=−
26

2
33
yx
yx
16)





=−++++−+++
=+++++++++
211
1811
22
22
yyxyxyxx
yyxyxyxx
; 17)





=−
=−
28
12
2
2

xyx
yxy

18)





=+
−=−
2
22
33
22
yx
yyxx
; 19)







=+
=+
6
9
1

2
2
3
3
x
y
x
y
y
x
; 20)
( )





−=−+
−=++
)2(724
21924
22
2
22
yxxyyx
yxxyyx
GV: An Văn Long 8 Chúc Các Em Ôân Tập Tốt
HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ (ÔN CHUNG CHO LTĐH)
Kiến thức cơ bản đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình
21)