Hệ phương trình bậc hai

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai
Cách giải: Rút x theo y (hoặc y theo x) từ phương trình bậc nhất, thay vào phương trình bậc
hai, ta được phương trình ẩn y (hoặc x). Từ đây tìm được y (hoặc x) và suy ra nghiệm của hệ
phương trình.
VD1. Giải hệ phương trình:
2 2
2 1
19
x y
x xy y
− =


− + =

VD2. Giải hệ phương trình:
2 2
3 6
2 3 18 0
x y
x xy y
+ =


+ − + =

VD3. Giải hệ phương trình:
( ) ( )
2 2
2 2 2 1 0

3 32 5 0
x y x y
x y
 + + + − =


− + =


Bài tập
Giải các hệ phương trình:
1.
2 2
2 7 0
2 2 4 0
x y
y x x y
− − =


− + + + =

2.
2
4 9 6
3 6 3 0
x y
x xy x y
+ =



+ − + =

3.
2
2
2 1 0
12 2 10 0
x x y
x x y

+ + + =


+ + + =


4.
( ) ( )
2
2 1 2 2 0
3 1 0
x y x y
xy y y
 + + + + =


+ + + =



II. Hệ đối xứng loại 1
Hệ đối xứng hai ẩn x, y loại 1 là hệ phương trình mà mỗi phương trình của hệ không thay đổi
khi ta thay x bởi y và y bởi x.
Cách giải:
• Đặt
S x y= +
,
P xy=
. Đưa hệ đã cho về hệ hai ẩn S, P. Giải hệ này tìm được S, P.
• Nghiệm x, y của hệ ban đầu là nghiệm của phương trình:
2
0t St P− + =
.
• Điều kiện để có nghiệm x, y là:
2
4 0S P− ≥
.
VD1. Giải hệ phương trình:
3 3
2
26
x y
x y
+ =


+ =

VD2. Giải hệ phương trình:
2 2

4
2
x xy y
x xy y

+ + =

+ + =

VD3. Giải hệ phương trình:
( )
7
2
5
2
x y xy
xy x y

+ + =




+ =


VD4. Giải hệ phương trình:
30
35
x y y x

x x y y

+ =


+ =


VD5. Cho hệ phương trình:
2 2
1x xy y m
x y xy m
+ + = +


+ =

1. Giải hệ với m = 2.
2. Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm
( )
;x y
thỏa mãn
0x >
và
0y >
.
VD6. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
2 2 2
6
x y m

x y m
+ =


+ = − +

Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
( )
2F xy x y= + +
.
VD7. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
( )
( )
2 2
2 1
2 2 2
x y xy m
xy x y m

+ = +


+ + = +


Bài tập
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
1.
2 2
5

7
x y
x xy y
+ =


− + =

2.
2 2
5
42
xy
x y x y
=


+ + + =

3.
2 2
5
5
x y xy
x y
+ + =


+ =


4.
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1 3
1 1 6
x x y y
x y

+ + + + =


− − =


5.
( ) ( )
3 3
19
8 2
x y
xy x y

+ =


+ + =


Bài 2. Tìm m để hệ

2 2
3 8
x xy y m
x y xy m
+ + =


+ = −

có nghiệm.
Bài 3. Gọi
( )
;x y
là nghiệm của hệ phương trình:
2 2 2
2 1
2 3
x y a
x y a a
+ = −


+ = + −

Xác định a để xy nhỏ nhất.
Bài 4. Cho hệ phương trình
( )
( )
2 2
2

2 1
4
x y a
x y

+ = +


+ =


1. Giải hệ phương trình với a = 2.
2. Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.
III. Hệ đối xứng loại 2
Hệ phương trình hai ẩn x, y là đối xứng loại 2 khi ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình
này trở thành phương trình kia và ngược lại.
Cách giải:
• Trừ từng vế hai phương trình cho nhau.
• Đưa phương trình kết quả về dạng tích, trong đó có một thừa số là
x y−
, tức là có
nghiệm
x y=
. Từ đó tìm được các nghiệm còn lại của hệ (nếu có).
VD1. Giải hệ phương trình:
2
2
2 4 5
2 4 5
x y y

y x x

= − +


= − +


VD2. Giải hệ phương trình:
2
2
13 4
13 4
y x y
x y x

= +


= +


VD3. Giải hệ phương trình:
( )
( )
2
2 2
2 2
19
7

x xy y x y
x xy y x y

+ + = −


− + = −


Bài tập
Bài 1. Giải các hệ phương trình:
1.
2
2
2
2
x y
y x

= −


= −


2.
3
3
5
5

x x y
y y x

= +


= +


3.
2 4
4 2
20
20
x y
x y

+ =


+ =


Bài 2. Tìm m để hệ
2
2
2 0
2 0
x y m
y x m


− + =


− + =


có nghiệm.
Bài 3. Tìm các giá trị của m để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
1.
2 3 2
2 3 2
4
4
y x x mx
x y y my

= − +


= − +


2.
( ) ( )
1
2 3
x y xy
y m x m y m
− = +




− + − =


IV. Hệ phương trình đẳng cấp
Dạng
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d

+ + =


+ + =


Có thể giải hệ theo hai cách sau:
Cách 1.
• Giải hệ (I) với
0x
=
• Xét
0x
≠
. Đặt

y tx
=
và đưa hệ (I) về hệ ẩn x, t. Khử x trong hệ này được phương trình
bậc hai theo t.
Cách 2.
• Khử x
2
(hoặc y
2
) ta tính được y theo x (hoặc x theo y). Thay vào một trong hai phương
trình của hệ được phương trình trùng phươpng theo x (hoặc theo y).
VD1. Cho hệ phương trình:
2 2
2
4
3 4
x xy y k
y xy

− + =


− =


1. Giải hệ với k = 1.
2. Chứng minh rằng hệ có nghiệm với mọi k.
VD2. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2

3 5 4 3
9 11 8 6
x xy y
y xy x

− − = −


+ − =


VD3. Giải hệ phương trình:
2 2
2 3 0
2
x xy y
x x y y

+ − =


+ = −


Bài tập
Bài 1. Giải các hệ phương trình:
1.
2 2
2 2
3 0

2 3 1
x xy y
x xy y

+ − =


− + = −


2.
2 2
2 2
3 2 11
2 3 17
x xy y
x xy y

+ + =


+ + =


3.
2 2
2 2
3 5 4 38
5 9 3 15
x xy y

x xy y

+ − =


− − =


4.
2 2
2 2
3 8 4 0
5 7 6 0
x xy y
x xy y

− + =


− − =


5.
2
2 2
3 2 160
3 2 8
x xy
x xy y


− =


− − =


6.
3 2
3 2
10
5
x xy
y x y

+ =


+ =


Bài 2. Chứng tỏ rằng với mọi
m
∈
¡
, phương trình sau luông có nghiệm:
2 2
2
3
2 4
x xy y m

xy y

− + =


− + =

