Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình

Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
I. Phần Mở đầu
I.1 Lí do chọn đề tài
I.1.1.Cơ sở lý luận:
Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục trong giai đoạn hiện nay ( thế kỷ 21) là phải
đào tạo ra con ngời có trí tuệ phát triển, giầu tính sáng tạo và có tính nhân văn cao.
Để đào tạo ra lớp ngời nh vậy thì từ nghị quyết TW 4 khoá 7 năm 1993 đã xác định
''Phải áp dụng phơng pháp dạy học hiện đại để bồi dỡng cho học sinh năng lực t
duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề". Nghị quyết TW 2 khoá 8 tiếp tục khẳng
định "Phải đổi mới giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện
thành nề nếp t duy sáng tạo của ngời học, từng bớc áp dụng các phơng pháp tiên
tiến, phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên
cứu cho học sinh''.
Định hớng này đã đợc pháp chế hoá trong luật giáo dục điều 24 mục II đã
nêu ''Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động
sáng tạo của học sinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng môn học, rèn luyện kỹ
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui
hứng thú học tập cho học sinh"
I.1.2. Cơ sở thực tiễn:
Trong chơng trình Giáo dục phổ thông của nớc ta hiện nay nhìn chung tất cả
các môn học đều cho chúng ta tiếp cận với khoa học hiện đại và khoa học ứng dụng.
Đặc biệt bộ môn toán, các em đợc tiếp thu kiến thức xây dựng trên tinh thần toán
học hiện đại. Trong đó có nội dung xuyên suốt quá trình học tập của các em đó là
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
1
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
phơng trình. Ngay từ khi cắp sách đến trờng các em đã đợc làm quen với phơng
trình dới dạng đơn giản đó là điền số thích hợp vào ô trống và dần dần cao hơn là
tìm số cha biết trong một đẳng thức và cao hơn nữa ở lớp 8, lớp 9 các em phải làm
một số bài toán phức tạp.

Cụ thể:
* ở lớp 1 các em đã đợc làm quen với phơng trình ở dạng tìm số thích hợp
vào ô trống:
9 - = 4
* Tới lớp 2, lớp 3 các em đã đợc làm quen với dạng phức tạp hơn:
x + 1 + 5 = 8
* Lên lớp 4, 5, 6, 7 các em bớc đầu làm quen với dạng tìm x biết:
x : 4 = 8 : 2
x . 3 - 4 = 12
3x + 58 = 25
x -
4 11
5 7
=
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
2
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Các dạng toán nh trên mối quan hệ giữa các đại lợng là mối quan hệ toán
học, các đại lợng ở đây là những con số bất kỳ trong tập hợp các em đã đợc học.
Hàm ý phơng trình ở đây đợc viết sẵn, học sinh chỉ cần giải tìm đợc ẩn số là hoàn
thành nhiệm vụ.
* Lên đến lớp 8, lớp 9, các đề toán trong chơng trình đại số về phơng trình
không đơn giản nh vậy nữa, mà có hẳn một loại bài toán có lời. Các em căn cứ vào
lời bài toán đã cho phải tự mình thành lập lấy phơng trình và giải phơng trình. Kết
quả tìm đợc không chỉ phụ thuộc vào kỹ năng giải phơng trình mà còn phụ thuộc rất
nhiều vào việc thành lập phơng trình.
Việc giải bài toán bằng cách lập phơng trình ở bậc THCS là một việc làm mới
mẻ, đề bài toán là một đoạn văn trong đó mô tả mối quan hệ giữa các đại lợng mà
có một đại lợng cha biết, cần tìm. yêu cầu học sinh phải có kiến thức phân tích, khái

quát, tổng hợp, liên kết các đại lợng với nhau, chuyển đổi các mối quan hệ toán
học. Từ đề bài toán cho học sinh phải tự mình thành lập lấy phơng trình để giải.
Những bài toán dạng này nội dung của nó hầu hết gắn liền với các hoạt động thực
tiễn của con ngời, của tự nhiên, xã hội. Nên trong quá trình giải học sinh phải quan
tâm đến ý nghĩa thực tế của nó.
Khó khăn của học sinh khi giải bài toán này là kỹ năng của các em còn hạn
chế, khả năng phân tích khái quát hoá, tổng hợp của các em rất chậm, các em
không quan tâm đến ý nghĩa thực tế của bài toán.
Trong quá trình giảng dạy toán tại trờng THCS tôi thấy dạng toán giải bài
toán bằng cách lập phơng trình luôn luôn là một trong những dạng toán cơ bản.
Dạng toán này không thể thiếu đợc trong các bài kiểm tra học kỳ môn toán lớp 8,
lớp 9, cũng nh trong các bài thi tốt nghiệp trớc đây, nó chiếm từ 2, 5 điểm đến 3
điểm nhng đại đa số học sinh bị mất điểm ở bài này do không nắm chắc cách giải
chúng, cũng có những học sinh biết cách làm nhng không đạt điểm tối đa vì:
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
3
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
- Thiếu điều kiện hoặc đặt điều kiện không chính xác.
- Không biết dựa vào mối liên hệ giữa cac đại lợng để thiết lập phơng trình.
- Lời giải thiếu chặt chẽ.
- Giải phơng trình cha đúng.
- Quên đối chiếu điều kiện .
- Thiếu đơn vị
Vì vậy, nhiệm vụ của ngời giáo viên phải rèn cho học sinh kỹ năng giải các
loại bài tập này tránh những sai lầm của học sinh hay mắc phải. Do đó, khi hớng
dẫn học sinh giải loại toán này phải dựa trên quy tắc chung là: Yêu cầu về giải bài
toán, quy tắc giải bài toán bằng cách lập phơng trình, phân loại các bài toán dựa vào
quá trình tham gia của các đại lợng làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lợng, từ
đó học sinh tìm ra lời giải cho bài toán đó.

Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trờng phổ thông
tôi đã mạnh dạn viết đề tài ''Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình''
cho học sinh lớp 8, lớp 9 trờng THCS.
I.2 Mục đích nghiên cứu:
Để giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về dạng toán giải bài toán bằng
cách lập phơng trình, để mỗi học sinh sau khi học song chơng trình toán THCS đều
phải nắm chắc loại toán này và biết cách giải chúng.
Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dới dạng đặc
thù riêng lẻ. Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh
phát huy đợc khả năng t duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo đợc
lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với việc
giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
4
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Học sinh thấy đợc môn toán rất gần gũi với các môn học khác và thực tiễn
cuộc sống.
Giúp giáo viên tìm ra phơng pháp dạy phù hợp với mọi đối tợng học sinh, làm
cho học sinh có thêm hứng thú khi học môn toán
I.3. Đóng góp mới về mặt lý luận , về mặt thực tiễn:
- Giải bài toán bằng cách lập phơng trình là một hình thức rất tốt để dẫn dắt
học sinh tự mình đi đến kiến thức mới.
- Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn đề cụ
thể, vào thực tiễn.
- Đó là một hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự
kiểm tra mình về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học.
Giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho học sinh, phát triển trí tuệ
và giáo dục, rèn luyện cho học sinh về nhiều mặt.
Trong giảng dạy một số giáo viên cha chú ý phát huy tác dụng giáo dục, tác

dụng phát triển của bài toán, mà chỉ chú trọng đến việc học sinh làm đợc nhiều bài,
đôi lúc biến việc làm thành gánh nặng, một công việc buồn tẻ đối với học sinh.
Xuất phát từ đặc điểm tâm lý của học sinh giáo viên cần dạy và rèn cho học sinh
các phơng pháp tìm lời giải các bài toán.
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
5
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
II. phần Nội dung
II.1. Chơng 1: TổNG QUAN
Một số vấn đề lý luận về rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
cho học sinh lớp 8, 9 trờng THCS.
II.1.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu
- Học sinh đã biết cách giải dạng bài toán có lời văn ở tiểu học, các bài toán
số học ở lớp 6, lớp 7.
- Học sinh đã biết cách giải các dạng phơng trình ở thể đơn giản nh tìm x,
điền vào ô trống ở tiểu học đến lớp 7 và phơng trình bậc nhất 1 ẩn, phơng trình bậc
hai một ẩn.
- Thực tế đã có rất nhiều giáo viên nghiên cứu về phơng pháp giải các dạng
phơng trình và giải bài toán bằng cách lập phơng trình song mới chỉ dừng lại ở việc
vận dụng các bớc giải một cách nhuần nhuyễn chứ cha chú ý đến việc phân loại
dạng toán - kỹ năng giải từng loại và những điều cần chú ý khi giải từng loại đó
- Thực trạng kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình của học sinh tr-
ờng THCS Hoà Bìn là rất yếu. Trong quá trình giảng dạy nhiều giáo viên trăn trở là
làm thế nào để học sinh phân biệt đợc từng dạng và cách giải từng dạng đó, cần rút
kinh nghiệm những gì để học sinh làm bài đợc điểm tối đa.
II.1.2. Cơ sở lý luận .
Rèn là: luyện với lửa cho thành khí cụ.
Kĩ năng là: là năng lực khéo léo khi làm việc nào đó.
Rèn kĩ năng là rèn và luyện trong công việc để trở thành khéo léo, chính xác khi

thực hiện công việc ấy.
Rèn kĩ năng giải toán là rèn và luyện trong việc giải các bài toán để trở thành
khéo léo, chính xác khi tìm ra kết quả bài toán.
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
6
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Giải toán bằng cách lập phơng trình là Phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ thông th-
ờng sang ngôn ngữ đại số rồi dùng các phép biến đổi đại số để tìm ra đại lợng cha
biết thoả mãn điều kiện bài cho.
- Để giải bài toán bằng cách lập phơng trình phải dựa vào quy tắc chung gồm
các bớc nh sau:
* Bớc 1: Lập phơng trình (gồm các công việc sau):
- Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn
- Biểu thị các đại lợng cha biết qua ẩn và các dại lợng đã biết
- Lập phơng trình diễn đạt quan hệ giữa các đại lợng trong bài toán
* Bớc 2: Giải phơng trình:
Tuỳ từng phơng trình mà chọn cách giải cho ngắn gọn và
phù hợp
* Bớc 3: Nhận định kết quả rồi trả lời:
(Chú ý đối chiếu nghiệm tìm đợc với điều kiện đặt ra; thử lại vào đề
toán)
Kết luận: đối với học sinh giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán
học. Giải toán giúp cho học sinh củng cố và nắm vững chi thức, phát triển t duy và
hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào trong thực tiễn cuộc sống. Vì
vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài toán góp phần thực hiện tốt các mục đích
dạy học toán trong nhà trờng, đồng thời quyết định đối với chất lợng dạy học.
II.2. Chơng 2: nội dung vấn đề nghiên cứu
II.2.1. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu tài liệu về đổi mới phơng pháp dạy học ở trờng trung học cơ sở.

Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
7
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
- Nhiệm vụ năm học 2008 - 2009 của Bộ giáo dục & đào tạo, của sở, của
phòng Giáo dục & đào tạo.
- Quyển bồi dỡng thờng xuyên chu kỳ 3.
- Sách giáo khoa, sách giáo viên lớp 8, lớp 9.
- Tìm hiểu thực trạng học sinh lớp 8, lớp 9.
- Đa ra những yêu cầu của một lời giải, chỉ ra đợc sai lầm học sinh thờng mắc
phải.
- Phân loại đợc các dạng toán và đa ra một vài gợi ý để giải từng dạng qua
các ví dụ đồng thời rèn cho học sinh định hớng tìm tòi lời giải.
- Đề xuất một vài biện pháp và khảo nghiệm tính khả thi sau khi đã vận dụng.
II.2.2. Các nội dung cụ thể trong đề tài:
II.2.2.1. Yêu cầu về giải một bài toán:
1. Yêu cầu 1: Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.
Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho học sinh
hiểu đề toán và trong quá trình giải không có sai sót về kiến thức, phơng pháp suy
luận, kỹ năng tính toán, ký hiệu, điều kiện của ẩn phải rèn cho học sinh có thói
quen đặt điều kiện của ẩn và xem xét đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn xem đã
hợp lý cha.
Ví dụ: (Sách giáo khoa đại số 8)
Mẫu số của một phân số gấp bốn lần tử số của nó. Nếu tăng cả tử lẫn mẫu lên
2 đơn vị thì đợc phân số
1
2
. Tìm phân số đã cho?
Hớng dẫn
Nếu gọi tử số của phân số đã cho là x ( điều kiện x > 0, x

N)
Thì mẫu số của phân số đã cho là 4x.
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
8
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Theo bài ra ta có phơng trình:

2 1
4 2 2
x
x
+
=
+


2. (x+2) = 4x +2


2x +4 = 4x +2


2x = 2


x = 1
x = 1 thoả mãn điều kiện bài toán.
Vậy tử số là 1, mẫu số là 4.1 = 4

Phân số đã cho là:
1
4
2. Yêu cầu 2: Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác.
Đó là trong quá trình thực hiện từng bớc có lô gíc chặt chẽ với nhau, có cơ sở
lý luận chặt chẽ. Đặc biệt phải chú ý dến việc thoả mãn điều kiện nêu trong giả
thiết. Xác định ẩn khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho làm nổi bật
đợc ý phải tìm. Nhờ mối tơng quan giữa các đại lợng trong bài toán thiết lập đợc ph-
ơng trình từ đó tìm đợc giá trị của ẩn. Muốn vậy giáo viên cần làm cho học sinh
hiểu đợc đâu là ẩn, đâu là dữ kiện ? đâu là điều kiện ? có thể thoả mãn đợc điều
kiện hay không? điều kiện có đủ để xác định đợc ẩn không? từ đó mà xác định h-
ớng đi , xây dựng đợc cách giải.
Ví dụ: Sách giáo khoa đại số lớp 9
Hai cạnh của một khu đát hình chữ nhật hơn kém nhau 4m. Tính chu vi của
khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1200m
2
Hớng dẫn: ở đây bài toán hỏi chu vi của hình chữ nhật. Học sinh thờng có xu
thế bài toán hỏi gì thì gọi đó là ẩn. Nếu gọi chu vi của hình chữ nhật là ẩn thì bài
toán đi vào bế tắc khó có lời giải. Giáo viên cần hớng dẫn học sinh phát triển sâu
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
9
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
trong khả năng suy diễn để từ đó đặt vấn đề: Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần
biết những yếu tố nào ? ( cạnh hình chữ nhật )
Từ đó gọi chiều rộng hình chữ nhật là x (m) ( điều kiện x > 0 )
Thì chiều dài hình chữ nhật là: x+4 (m)
Theo bài ra ta có phơng trình: x. (x + 4) = 1200

x
2
+ 4x - 1200 = 0
Giải phơng trình trên ta đợc x
1
= 30; x
2
= -34
Giáo viên hớng dẫn học sinh dựa vào điều kiện để loại nghiệm x
2
,
chỉ lấy nghiệm x
1
= 30
Vậy chiều rộng là:30 (m)
Chiều dài là: 30 + 4 (m)
Chu vi là: 2.(30 + 34) = 128 (m)
ở bài toán này nghiệm x
2
= -34 có giá trị tuyệt đối bằng chiều dài hình chữ
nhật, nên học sinh dễ mắc sai sót coi đó cũng là kết quả của bài toán.
3, Yêu cầu 3: Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện
Giáo viên hớng dẫn học sinh không đợc bỏ sót khả năng chi tiết nào. Không
đợc thừa nhng cũng không đợc thiếu, rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem
đã đầy đủ cha? Kết quả của bài toán đã là đại diện phù hợp cha? Nếu thay đổi điều
kiện bài toán rơi vào trờng hợp dặc biẹt thì kết quả vẫn luôn luôn đúng.
Ví dụ : Sách giáo khoa toán 9
Một tam giác có chiều cao bằng
3
4

cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm
và cạnh đáy giảm đi 2dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm
2
. Tính chiều cao và
cạnh đáy?
Hớng dẫn: Giáo viên cần lu ý cho học sinh dù có thay đổi chiều cao, cạnh
đáy của tam giác thì diện tích của nó luôn đợc tính theo công thức:
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
10
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
S =
1
2
a.h (Trong đó a là cạnh đáy, h là chiều cao tơng ứng)
Gọi chiều dài cạnh đáy lúc đầu là x (dm) , điều kiện x > 0.
Thì chiều cao lúc đầu sẽ là:
3
4
x (dm)
Diện tích lúc đầu là:
1 3
. .
2 4
x x
(dm
2
)
Diện tích lúc sau là:
1 3

( 2).( 3)
2 4
x x +
(dm
2
)
Theo bài ra ta có phơng trình:
1 3 1 3
( 2).( 3) . 12
2 4 2 4
x x x x + =
Giải phơng trình ta đợc x = 20 thoả mãn điều kiện
Vậy chiều dài cạnh đáy là 20 (dm)
Chiều cao là:
3
.20 15( )
4
dm=
4, Yêu cầu 4: Lời giải bài toán phải đơn giản.
Bài giải phải đảm bảo đợc 3 yêu cầu trên không sai sót . Có lập luận, mang
tính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số học sinh hiẻu
và làm đợc
Ví dụ: (Bài toán cổ )
'' Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mơi sáu con
Một trăm chân chẵn
Hỏi có mấy gà, mấy chó? ''.
Hớng dẫn
Với bài toán này nếu giải nh sau:

Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
11
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Gọi số gà là x (x > 0, x

N)
Thì số chó sẽ là: 36 -x (con)
Gà có 2 chân nên số chân gà là: 2x chân .
Chó có 4 chân nên số chân chó là: 4. (36 -x) chân.
Theo bài ra ta có phơng trình: 2x + 4. (36 -x ) = 100
Giải phơng trình ta đợc: x =22 thoả mãn điều kiện.
Vậy có 22 con gà
Số chó là: 36 - 22 = 14 (con)
Thì bài toán sẽ ngắn gọn, rễ hiểu. Nhng có học sinh giải theo cách :
Gọi số chân gà là x, suy ra số chân chó là 100 - x
Theo bài ra ta có phơng trình:
100
36
2 4
x x
+ =
Giải phơng trình cũng đợc kết quả là 22 con gà và 14 con chó.
Nhng đã vô hình biến thành bài giải khó hiểu hoặc không phù hợp với trình độ của
học sinh.
5, Yêu cầu 5
Lời giải phải trình bày khoa học. Đó là lu ý đến mối liên hệ giữa các bớc giải
trong bài toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau. Các bớc sau đợc suy ra từ các bớc trớc
nó đã đợc kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc những điều đã biết từ trớc.
Ví dụ: (Toán phát triển đại số lớp 9)

Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6 m và chia cạnh huyền thành hai
đoạn hơn kém nhau 5,6 m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác?
Hớng dẫn giải:
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
12
RÌn kü n¨ng gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh

H
C
B
A
Theo h×nh vÏ trªn bµi to¸n yªu cÇu t×m ®o¹n nµo, ®· cho biÕt ®o¹n nµo?
Tríc khi gi¶i cÇn kiĨm tra kiÕn thøc häc sinh ®Ĩ cđng cè kiÕn thøc.
C¹nh hun cđa tam gi¸c vu«ng ®ỵc tÝnh nh thÕ nµo?
h
2
= c
'
. b
'

⇔
AH
2
= BH. CH
Tõ ®ã gäi ®é dµi cđa BH lµ x (x > 0)
Suy ra HC cã ®é dµi lµ: x + 5,6
Theo c«ng thøc ®· biÕt ë trªn ta cã ph¬ng tr×nh:
x(x + 5,6) = (9,6)

2
Gi¶i ph¬ng tr×nh ta ®ỵc: x = 7,2 tho¶ m·n ®iỊu kiƯn
VËy ®é dµi c¹nh hun lµ: (7,2 + 5,6) + 7,2 = 20 (m)
6, Yªu cÇu 6: Lêi gi¶i bµi to¸n ph¶i râ rµng , ®Çy ®đ, cã thĨ lªn kiĨm tra l¹i.
Lu ý ®Õn viƯc gi¶i c¸c bíc lËp ln, tiÕn hµnh kh«ng chång chÐo nhau, phđ
®Þnh lÉn nhau, kÕt qu¶ ph¶i ®óng. Mn vËy cÇn rÌn cho häc sinh cã thãi quen sau
khi gi¶i xong cÇn thư l¹i kÕt qu¶ vµ t×m hÕt c¸c nghiƯm cđa bµi to¸n, tr¸nh bá sãt
nhÊt lµ ®èi víi ph¬ng tr×nh bËc hai.
VÝ dơ: (Gióp häc tèt ®¹i sè 9)
Mét tÇu thủ ch¹y trªn mét khóc s«ng dµi 80 km. C¶ ®i vµ vỊ mÊt 8 giê 20
phót. TÝnh vËn tèc cđa tÇu thủ khi níc yªn lỈng. BiÕt vËn tèc cđa dßng níc lµ
4km/h.
Híng dÉn gi¶i
Gäi vËn tèc cđa tÇu thủ khi níc yªn lỈng lµ x km/h (x > 0).
Trường THCS Hoà Bình
Tở Toán – Lý - Tin
13
RÌn kü n¨ng gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh
VËn tèc cđa tÇu thủ khi xu«i dßng lµ: x + 4 ( km/h).
VËn tèc cđa tÇu thủ khi ngỵc dßng lµ: x - 4 (km/h).
Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh:

80 80 25
4 4 3x x
+ =
+ −

⇔
5x
2

- 96x - 80 = 0
Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m ®ỵc :
x
1
=
8
10
−
; x
2
= 20
§Õn ®©y häc sinh dƠ bÞ hoang mang v× ra hai kÕt qu¶ kh«ng biÕt lÊy kÕt qu¶ nµo. V×
vËy, gi¸o viªn cÇn x©y dùng cho c¸c em cã thãi quen ®èi chiÕu kÕt qu¶ víi ®iỊu
kiƯn cđa ®Ị bµi. NÕu ®¶m b¶o víi ®iỊu kiƯn cđa ®Ị bµi th× c¸c nghiƯm ®Ịu hỵp lý,
nÕu kh«ng ®¶m b¶o víi ®iỊu kiƯn th× nghiƯm ®ã lo¹i (ch¼ng h¹n ë vÝ dơ trªn víi x
1

=
8
10
−
< 0 lµ kh«ng ®¶m b¶o víi ®iỊu kiƯn nªn lo¹i). Mét bµi to¸n kh«ng nhÊt thiÕt
duy nhÊt mét kÕt qđa vµ ®ỵc kiĨm chøng l¹i b»ng viƯc thư l¹i tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ ®ã
víi yªu cÇu cđa bµi to¸n.
II.2.2.2. Ph©n lo¹i d¹ng to¸n gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh vµ c¸c giai
®o¹n gi¶i mét bµi to¸n:
* Ph©n lo¹i bµi to¸n gi¶i b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh:
Trong sè c¸c bµi tËp vỊ gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh ta cã thĨ ph©n
lo¹i thµnh c¸c d¹ng nh sau:
1/ D¹ng bµi to¸n vỊ chun ®éng.

2/ D¹ng to¸n liªn quan ®Õn sè häc.
3/ D¹ng to¸n vỊ n¨ng st lao ®éng.
4/ D¹ng to¸n vỊ c«ng viƯc lµm chung, lµm riªng.
Trường THCS Hoà Bình
Tở Toán – Lý - Tin
14
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
5/ Dạng toán về tỉ lệ chia phần.
6/ Dạng toán có liên quan đến hình học.
7/ Dạng toán có liên quan đến vật lí, hoá học.
8/ Dạng toán có chứa tham số.
Các giai đoạn giải một bài toán
* Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài rồi ghi giả thiết, kết luận của bài toán
* Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phơng trình. Tức là chọn
ẩn nh thế nào cho phù hợp, điều kiện của ẩn thế nào cho thoả mãn.
* Giai đoạn 3: Lập phơng trình.
Dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và các đại lợng đã biết, dựa vào các công thức, tính
chất để xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng để đa phơng trình đã xây dựng về
phơng trình ở dạng đã biết, đã giải đợc.
* Giai đoạn 4: Giải phơng trình. Vận dụng các kỹ năng giải phơng trình đã
biết để tìm nghiệm của phơng trình.
* Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phơng trình để xác định lời giải của
bài toán. Tức là xét nghiệm của phơng trình với điều kiện đặt ra của bài toán, với
thực tiễn xem có phù hợp không? Sau đó trả lời bài toán.
* Giai đoạn 6: Phân tích biện luận cách giải. Phần này thờng để mở rộng cho
học sinh tơng đối khá, giỏi sau khi đã giải xong có thể gợi ý học sinh biến đổi bài
toán đã cho thành bài toán khác bằng cách:
- Giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác.
- Giữ nguyên các dữ kiện thay đổi các yếu tố khác.
- Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất.

Ví dụ: (SGK đại số 8)
Nhà bác Điền thu hoạch đợc 480kg cà chua và khoai tây. Khối lợng khoai
gấp ba lần khối lợng cà chua. Tính khối lợng mỗi loại ?
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
15
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Hớng dẫn giải
* Giai đoạn 1:
Giả thiết
Khoai + cà chua = 480kg.
Khoai = 3 lần cà chua.
Kết luận
Tìm khối lợng khoai ? Khối lợng cà chua ?
* Giai đoạn 2: Thờng là điều cha biết gọi là ẩn. Nhng ở bài này cả khối lợng
cà chua và khối lợng khoai tây đều cha biết nên có thể gọi ẩn là một trong hai loại
đó.
Cụ thể: Gọi khối lợng khoai là x (kg), điều kiện x > 0.
Thì khối lợng cà chua sẽ là: 480 - x (kg).
* Giai đoạn 3:
Vì khối lợng khoai gấp 3 lần khối lợng cà nên ta có phơng trình:
x = 3.(480 - x)
* Giai đoạn 4:
Giải phơng trình bậc nhất trên đợc x = 360 (kg)
* Giai đoạn 5:
Đối chiếu nghiệm đã giải với điều kiện đề ra xem mức độ thoả mãn hay không thoả
mãn. ở đây x = 360 > 0 nên thoả mãn:
Từ đó kết luận: Khối lợng khoai đã thu hoach đợc là 360 (kg)
Khối lợng cà chua đã thu đợc là 480 - 360 = 120 (kg)
* Giai đoạn 6:

Nên cho học sinh nhiều cách giải khác nhau do việc chọn ẩn khác nhau dẫn đến lập
các phơng trình khác nhau từ đó tìm cách giải hay nhất, ngắn gọn nhất nh đã trình
bày ở trên
Có thể từ bài toán này xây dựng thành các bài toán tơng tự nh sau:
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
16
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
- Thay lời văn và tình tiết bài toán giữ nguyên số liệu ta dợc bài toán sau
"Một phân số có tổng tử và mẫu là 480. Biết rằng mẫu gấp ba lần tử số. Tìm phân số
đó".
- Thay số liệu giữ nguyên lời văn.
- Thay kết luận thành giả thiết và ngợc lại ta có bài toán sau "Tuổi của cha
gấp ba lần tuổi của con, biết rằng tuổi của con bằng 12. Tìm tổng số tuổi của cả cha
và con" Bằng cách đó có thể xây dựng cho học sinh có thói quen tập hợp các dạng
bài toán tơng tự và cách giải tơng tự đến khi gặp bài toán học sinh sẽ nhanh chóng
tìm ra cách giải.

II.2.2.3 Hớng dẫn học sinh giải các dạng toán
Dạng toán chuyển động
* Bài toán: (SGK đại số 9)
Quãng đờng AB dài 270 km, hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến b, ô
tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 42 phút .
Tính vận tốc mỗi xe.
* Hớng dẫn giải:
- Trong bài này cần hớng dẫn học sinh xác định đợc vận tốc của mỗi xe. Từ
đó xác định thời gian đi hết quãng đờng của mỗi xe.
- Thời gian đi hết quãng đờng của mỗi xe bằng quãng đờng AB chia cho vận
tốc của mỗi xe tơng ứng.
- Xe thứ nhất chạy nhanh hơn nên thời gian đi của xe thứ hai trừ đi thời gian

đi của xe thứ nhất bằng thời gian xe thứ nhất về sớm hơn xe thứ hai (42 phút =
7
10

giờ)
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
17
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
* Lời giải:
Gọi vân tốc của xe thứ nhất là x (km/h, x > 12).
Thì vận tốc của xe thứ hai là; x - 12 (km/h).
Thời gian đi hết quãng đờng AB của xe thứ nhất là
270
x
(giờ).
Của xe thứ hai là
270
12x
(giờ).
Theo bài ra ta có phơng trình:

270 270 7
12 10x x
=



2700x - 2700.(x -12) = 7x.(x - 12)

7x
2
- 84x - 32400 = 0
Giải phơng trình ta đợc x
1

74,3; x
2

- 62,3 (loại)
Vậy, vận tốc của xe thứ nhất là 74,3km/h.
Vận tốc của xe thứ hai là 62,3km/h.
* Chú ý:
- Trong dạng toán chuyển động cần cho học sinh nhớ và nắm chắc mối quan hệ
giữa các đại lợng: Quãng đờng, vận tốc, thời gian (S = v.t). Do đó, khi giải nên chọn
một trong ba đại lợng làm ẩn và điều kiện luôn dơng. Xây dựng chơng trình dựa vào
bài toán cho.
- Cần lu ý trong dạng toán chuyển động cũng có thể chia ra nhiều dạng và lu
ý:
+ Nếu chuyển động trên cùng một quãng đờng thì vận tốc và thời gian tỉ lệ
nghịch với nhau
+ Nếu thời gian của chuyển động đến chậm hơn dự định thì cách lập phơng
trình nh sau: Thời gian dự định đi với vận tốc ban đầu cộng thời gian đến chậm
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
18
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
bằng thời gian thực đi trên đờng. Nếu thời gian của dự định đến nhanh hơn dự định
thì cách lập phơng trình làm ngợc lại phần trên.

- Nếu chuyển động trên một đoạn đờng không đổi từ A đến B rồi từ B về A
thì thời gian cả đi lẫn về bằng thời gian thực tế chuyển động.
- Nếu hai chuyển động ngợc chiều nhau, sau một thời gian hai chuyển động
gặp nhau thì có thể lập phơng trình: S
1
+ S
2
= S.
Dạng toán liên quan đến số học:
* Bài toán: (SGK đại số 8)
Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng . Nếu thêm chữ số 0 vào
giữa hai chữ số thì đợc số lớn hơn số đã cho là 180. Tìm số đã cho.
* Hớng dẫn giải:
- Để tìm số đã cho tức là ta phải tìm đợc những thành phần nào
(chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị ). Số đó có dạng nh thế nào?
- Nếu biết đợc chữ số hàng chục thì có tìm đợc chữ số hàng đơn vị
không? Dựa trên cơ sở nào?
- Sau khi viết chữ số 0 vào giữa hai số ta đợc một số tự nhiên nh thế nào ? lớn
hơn số cũ là bao nhiêu?
* Lời giải
Gọi chữ số hàng chục của chữ số đã cho là x , điều kiện 0 < x

7 và x

N.
Thì chữ số hàng đơn vị của số đã cho là: 7 - x
Số đã cho có dạng:
.(7 )x x
= 10x + 7 - x = 9x + 7
Viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta đợc số

mới có dạng :

0(7 )x x
= 100x + 7 - x = 99x + 7
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
19
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Theo bài ra ta có phơng trình:
(99x + 7) - (9x + 7) = 180


90x = 180


x = 2 Thoả mãn điều kiện.
Vậy: chữ số hàng chục là 2
chữ số hàng đơn vị là 7 - 2 = 5
số phải tìm là 25
* Chú ý:
- Với dạng toán liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu đợc mối liên hệ
giữa các đại lợng đặc biệt hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm
Biểu diễn dới dạng chính tắc của nó:
ab
= 10a + b.

abc
= 100a + 10b + c.

- Khi đổi chỗ các chữ số hàng trăm, chục, đơn vị ta cũng biểu diễn tơng tự

nh vậy. Dựa vào đó ta đặt điều kiện ẩn số sao cho phù hợp.
Dạng toán về năng suất lao động:
* Bài toán: (SGK đại số 9)
Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng hai tổ
một vợt mức 15%, tổ hai vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy, tính xem
trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy?
* Hớng dẫn giải:
- Biết số chi tiết máy cả hai tổ trong tháng đầu là 720. Nếu biết đợc một trong
hai tổ sẽ tính đợc tổ kia.
- Đã biết đợc số chi tiết máy của tháng đầu, sẽ tính đợc số chi tiết máy sản
xuất đợc của tháng kia.
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
20
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
- Tính số chi tiết máy sản xuất vợt mức trong tháng sau từ đó xây dựng phơng
trình.
* Lời giải:
Gọi số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng đầu là x (chi tiết)
Điều kiện x nguyên dơng, x < 720
Khi đó tháng đầu tổ 2 sản xuất đợc: 720 - x (chi tiết).
Tháng 2 tổ một sản xuất vợt mức
15
.
100
x
(chi tiết).
Tháng 2 tổ hai sản xuất vợt mức
12
.(720 )

100
x
( chi tiết).
Số chi tiết máy tháng 2 cả hai tổ vợt mức:
819 - 720 = 99 (chi tiết)
Theo bài ra ta có phơng trình:

15 12
. .(720 )
100 100
x x+
= 99


15x + 8640 - 12x = 9900


3x = 9900 - 8640


3x = 1260


x = 420 (thoả mãn).
Vậy, trong tháng giêng tổ một sản xuất đợc 420 chi tiết máy, Tổ hai sản xuất
đợc 720 - 420 = 300 chi tiết máy.
* Chú ý:
Loại toán này tơng đối khó giáo viên cần gợi mở dần dần để học sinh hiểu rõ
bản chất nội dung của bài toán để dẫn tới mối liên quan xây dựng phơng trình và
giải phơng trình nh các loại toán khác.

Khi gọi ẩn, điều kiện của ẩn cần lu ý bám sát ý nghĩa thực tế của bài toán.
Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng:
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
21
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
* Bài toán ( SGK đại số 8).
Hai đội công nhân cùng sửa một con mơng hết 24 ngày. Mỗi ngày phần việc
làm đợc của đội 1 bằng 1
1
2
phần việc của đội 2 làm đợc. Nếu làm một mình, mỗi
đội sẽ sửa xong con mơng trong bao nhiêu ngày?
* Hớng dẫn giải:
- Trong bài này ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị công việc và biểu thị
bằng số 1.
- Số phần công việc trong một ngày nhân với số ngày làm đợc là 1.
* Lời giải:
Gọi số ngày một mình đội 2 phải làm để sửa xog con mơng là x (ngày)
Điều kiện x > 0 .
Trong một ngày đội 2 làm đợc
1
2
công việc.
Trong một ngày đội 1 làm đợc 1
1 1 3
.
2 2x x
=
(công việc).

Trong một ngày cả hai đội làm đợc
1
24
công việc.
Theo bài ra ta có phơng trình:

1 3 1
2 24x x
+ =


24 + 36 = x


x = 60 thoả mãn điều kiện
Vậy, thời gian đội 2 làm một mình sửa xong con mơng là 60 ngày.
Mỗi ngày đội 1 làm đợc
3 1
2.60 40
=
công việc.
Để sửa xong con mơng đội 1 làm một mình trong 40 ngày.
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
22
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
* Chú ý:
ở loại toán này , học sinh cần hiểu rõ đề bài, đặt đúng ẩn, biểu thị qua đơn vị
quy ớc. Từ đó lập phơng trình và giải phơng trình.
Dạng toán về tỉ lệ chia phần:

* Bài toán: (SGK đại số 8).
Hợp tác xã Hồng Châu có hai kho thóc, kho thứ nhất hơn kho thứ hai 100 tấn.
Nếu chuyển từ kho thứ nhất sang kho thứ hai 60 tấn thì lúc đó số thóc ở kho thứ
nhất bằng
12
13
số thóc ở kho thứ hai. Tính số thóc ở mỗi kho lúc đầu.
* Hớng dẫn giải:
Quá trình Kho I Kho II
Trớc khi chuyển
x + 100 (tấn) x (tấn), x > 0
Sau khi chuyển
x +100 - 60 (tấn) x + 60 (tấn)
Phơng trình: x + 100 - 60 =
12
13
. (x + 60)
* Lời giải:
Gọi số thóc ở kho thứ hai lúc đầu là x (tấn), x > 0.
Thì số thóc ở kho thứ nhất lúc đầu là x + 100 (tấn).
Số thóc ở kho thứ nhất sau khi chuyển là x +100 -60 (tấn).
Số thóc ở kho thứ hai sau khi chuyển là x + 60 (tấn).
Theo bài ra ta có phơng : x + 100 - 60 =
12
.( 60)
13
x +
Giải phơng trình tìm đợc: x = 200 thoả mãn điều kiện.
Vậy, kho thóc thứ hai lúc đầu có 200 tấn thóc
Kho thóc thứ nhất lúc đầu có 200 + 100 = 300 tấn thóc.

Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
23
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Dạng toán có liên quan đến hình học:
* Bài toán: (SGK đại số lớp 9).
Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Ngời ta làm một lối đi xung
quanh vờn (thuộc đất của vờn) rộng 2m, diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256
m
2
. Tính kích thớc của vờn.
* Hớng dẫn giải:
- Nhắc lại công thức tính chu vi và diện tích của hình chữ nhật.
- Vẽ hình minh hoạ để tìm lời giải.
* Lời giải:
Gọi độ dài một cạnh hình chữ nhật là x (m), điều kiện 4 < x < 140
Độ dài cạnh còn lại là: 140 - x (m).
Khi làm lối đi xung quanh, độ dài các cạnh của phần đất trồng trọt là x - 4(m)
và 140 - x - 4 = 136 - x (m).
Theo bài ra ta có phơng trình:
(x - 4).(136 - x) = 4256


140x - x
2
- 544 = 4256


x
2

- 140x - 4800 = 0
Giải phơng trình tìm đợc x
1
= 80; x
2
= 60 (thoả mãn).
Vậy kích thớc của mảnh vờn hình chữ nhật là 60m và 80m.
Toán có nội dung vật lý, hoá học:
* Bài toán: ( tài liệu ôn thi tốt nghiệp bậc THCS )
Ngời ta hoà lẫn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lợng nhỏ hơn
nó 200kg/m
3
để đợc một hỗn hợp có khối lợng riêng là 700kg/m
3
. Tìm khối lợng
riêng của mỗi chất lỏng?
* Hớng dẫn giải:
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
24
Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phơng trình
- Để giải bài toán ta cần chú ý khối lợng riêng của mỗi chất đợc tính theo
công thức: D =
V
m


V =
D
m

Trong đó: m là khối lợng tính bằng kg
V là thể tích của vật tính bằng m
3
D là khối lợng riêng tính bằng kg/m
3
* Lời giải:
Gọi khối lợng riêng của chất thứ nhất là x (kg/m
3
), điều kiện x > 200
Thì khối lợng riêng của chất thứ hai là: x 200 (kg/m
3
)
Thể tích của chất thứ nhất là:
0,008
x
(m
3
)
Thể tích của chất thứ hai là:
0,006
200x
(m
3
).
Thể tích của khối chất lỏng hỗn hợp là:
0,008 0,006
700
+
(m
3

).
Trớc và sau khi trộn thì tổng thể tích của hai chất lỏng không đổi, nên ta có
phơng trình:

0,008 0,006 0,008 0,006
200 700x x
+
+ =

Giải phơng trình ta đợc: x
1
= 800 thoả mãn điều kiện
x
2
= 100 ( loại ).
Vậy khối lợng riêng của chất thứ nhất là 800 kg/m
3
Khối lợng riêng của chất thứ hai là 600 kg/m
3
.
Dạng toán có chứa tham số.
* Bài toán: (SGK đại số lớp 8).
Thả một vật rơi tự do, từ một tháp xuống đất. Ngời ta ghi đợc quãng đờng rơi
S (m) theo thời gian t (s) nh sau:
Trửụứng THCS Hoaứ Bỡnh
Tụỷ Toaựn Lyự - Tin
25