Chuyên đề: Phương trình lượng giác luyện thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (291.44 KB, 17 trang )
Mục lục
Chuyên đề 8. Phương Trình Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§1. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§2. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§3. Phương Trình Lượng Giác Khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1
Nguyễn Minh Hiếu
2
Chuyên đề 8
Phương Trình Lượng Giác
§1. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Bài tập 8.1. Giải các phương trình sau:
a) sin x =
4
3
. b) sin x =
1
4
.
c) cot x = −2.
d) sin
x −
π
3
=
√
2
2
.
e) cos
π
6
− x
= −1.
f) tan
45
0
− 3x
= −
√
3.
Lời giải.
a) Phương trình vô nghiệm.
b) sin x =
1
4
⇔
x = arcsin
1
4
+ k2π
x = π −arcsin
1
4
+ k2π
(k ∈ Z).
c) cot x = −2 ⇔ x = arc cot(−2) + kπ (k ∈ Z).
d) sin
x −
π
3
=
√
2
2
⇔
x −
π
3
=
π
4
+ k2π
x −
π
3
=
3π
4
+ k2π
⇔
x =
7π
12
+ k2π
x =
13π
12
+ k2π
(k ∈ Z).
e) cos
π
6
− x
= −1 ⇔
π
6
− x = π + k2π ⇔ x = −
5π
6
− k2π (k ∈ Z).
f) tan
45
0
− 3x
= −
√
3 ⇔ 45
0
−3x = −60
0
+ k180
0
⇔ 3x = 105
0
−k180
0
⇔ x = 45
0
−k60
0
(k ∈ Z).
Bài tập 8.2. Giải các phương trình sau:
a) cos
5x +
π
4
= cos 2x. b) sin
π
3
− x
= sin
3x +
π
6
. c) sin
30
0
− x
= cos 2x.
d) cos
x +
π
3
+ sin 5x = 0. e) tan
5x +
π
4
= tan 2x. f) cot
3x −
π
4
= tan x.
g) tan x = 3 cot x. h) tan
x +
π
6
. tan
x +
π
3
= 1.
i)
cos 2x
sin x+cos x
= cos x −
√
3
2
.
Lời giải.
a) cos
5x +
π
4
= cos 2x ⇔
5x +
π
4
= 2x + k2π
5x +
π
4
= −2x + k2π
⇔
x = −
π
12
+ k
2π
3
x = −
π
28
+ k
2π
7
(k ∈ Z).
b) sin
π
3
− x
= sin
3x +
π
6
⇔
π
3
− x = 3x +
π
6
+ k2π
π
3
− x = π −3x −
π
6
+ k2π
⇔
x =
π
24
− k
π
2
x =
π
4
+ kπ
(k ∈ Z).
c) sin
30
0
− x
= cos 2x ⇔ sin
30
0
− x
= sin
90
0
− 2x
⇔
x = 60
0
+ k360
0
x = −20
0
− k120
0
(k ∈ Z).
d) PT⇔ cos
x +
π
3
= −sin 5x ⇔ cos
x +
π
3
= sin (−5x)
⇔ cos
x +
π
3
= cos
π
2
+ 5x
⇔
x +
π
3
=
π
2
+ 5x + k2π
x +
π
3
= −
π
2
− 5x + k2π
⇔
x = −
π
24
− k
π
2
x = −
5π
36
+ k
π
3
(k ∈ Z).
e) tan
5x +
π
4
= tan 2x ⇔
2x =
π
2
+ kπ
5x +
π
4
= 2x + kπ
⇔
x =
π
4
+ k
π
2
x = −
π
12
+ k
π
3
⇔ x = −
π
12
+ k
π
3
(k ∈ Z).
f) PT⇔ cot
3x −
π
4
= cot
π
2
− x
⇔
π
2
− x = kπ
3x −
π
4
=
π
2
− x + kπ
⇔ x =
3π
8
+ k
π
2
(k ∈ Z).
g) tan x = 3 cot x ⇔ tan x =
3
tan x
⇔ tan x = ±
√
3 ⇔ x = ±
π
3
+ kπ (k ∈ Z).
h) PT⇔ tan
x +
π
6
= cot
x +
π
3
⇔ tan
x +
π
6
= tan
π
3
− x
⇔
x +
π
6
=
π
2
+ kπ
x +
π
6
=
π
3
− x + kπ
⇔
x =
π
3
+ kπ
x =
π
12
+ k
π
2
(k ∈ Z).
i) Điều kiện x = −
π
4
+ kπ.
PT⇔ cos x − sin x = cos x −
√
3
2
⇔ sin x =
√
3
2
⇔
x =
π
3
+ k2π
x =
2π
3
+ k2π
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
3
Nguyễn Minh Hiếu
Bài tập 8.3. Giải các phương trình sau:
a) 3 sin 4x + 4 = 0. b) 3 cos 3x − 1 = 0.
c)
√
3 tan(
π
4
− 2x) + 3 = 0.
d) 3 cot
x − 60
0
−
√
3 = 0.
e) sin
2
x − 3 sin x + 2 = 0.
f) 2cos
2
2x − 3 cos 2x + 1 = 0.
g) tan
2
x − 5 tan x + 6 = 0. h) cot
2
x + 3 cot x − 4 = 0. i) cos
3
x − 3 cos x + 2 = 0.
Lời giải.
a) 3 sin 4x + 4 = 0 ⇔ sin 4x = −
4
3
(phương trình vô nghiệm).
b) 3 cos 3x − 1 = 0 ⇔ cos 3x =
1
3
⇔ 3x = ±arccos
1
3
+ k2π ⇔ x = ±
1
3
arccos
1
3
+ k
2π
3
(k ∈ Z).
c)
√
3 tan
π
4
− 2x
+ 3 = 0 ⇔ tan
π
4
− 2x
= −
√
3 ⇔
π
4
− 2x = −
π
3
+ kπ ⇔ x =
7π
24
− k
π
2
(k ∈ Z).
d) 3 cot
x − 60
0
−
√
3 = 0 ⇔ cot
x − 60
0
=
√
3
3
⇔ x−60
0
= 60
0
+ k180
0
⇔ x = 120
0
+ k180
0
(k ∈ Z).
e) sin
2
x − 3 sin x + 2 = 0 ⇔
sin x = 1
sin x = 2 (vô nghiệm)
⇔ x =
π
2
+ k2π (k ∈ Z).
f) 2cos
2
2x − 3 cos 2x + 1 = 0 ⇔
cos 2x = 1
cos 2x =
1
2
⇔
x =
π
2
+ kπ
x = ±
π
6
+ kπ
(k ∈ Z).
g) tan
2
x − 5 tan x + 6 = 0 ⇔
tan x = 2
tan x = 3
⇔
x = arctan 2 + kπ
x = arctan 3 + kπ
(k ∈ Z).
h) cot
2
x + 3 cot x − 4 = 0 ⇔
cot x = 1
cot x = −4
⇔
x =
π
4
+ kπ
x = arc cot(−4) + kπ
(k ∈ Z).
i) cos
3
x − 3 cos x + 2 = 0 ⇔
cos x = −2 (vô nghiệm)
cos x = 1
⇔ x = k2π (k ∈ Z)
Bài tập 8.4. Giải các phương trình sau:
a) cos
2
x − 5 sin x + 5 = 0.
b) sin
2
x + 3 cos x − 3 = 0.
c) cos
2
2x − 6 sin x cos x − 3 = 0.
d) cos 2x + 5 sin x + 2 = 0. e) cos 4x − 3 cos 2x + 2 = 0.
f) cos
2
2x + 2(sin x + cos x)
2
= 0.
Lời giải.
a) PT⇔ −sin
2
x − 5 sin x + 6 = 0 ⇔
sin x = 1
sin x = −6 (vô nghiệm)
⇔ x =
π
2
+ k2π (k ∈ Z).
b) PT⇔ −cos
2
x + 3 cos x − 2 = 0 ⇔
cos x = 1
cos x = 2 (vô nghiệm)
⇔ x = k2π (k ∈ Z).
c) PT⇔ −sin
2
2x − 3 sin 2x − 2 = 0 ⇔
sin 2x = −1
sin 2x = −2 (vô nghiệm)
⇔ x = −
π
4
+ kπ (k ∈ Z).
d) PT⇔ −2sin
2
x + 5 sin x + 3 = 0 ⇔
sin x = 3 (vô nghiệm)
sin x = −
1
2
⇔
x = −
π
6
+ k2π
x =
7π
6
+ k2π
(k ∈ Z).
e) PT⇔ 2cos
2
2x − 3 cos 2x + 1 = 0 ⇔
cos 2x = 1
cos 2x =
1
2
⇔
x = kπ
x = ±
π
6
+ kπ
(k ∈ Z).
f) PT⇔ −sin
2
2x + 2 sin 2x + 3 = 0 ⇔
sin 2x = −1
sin 2x = 3 (vô nghiệm)
⇔ x = −
π
4
+ kπ (k ∈ Z).
Bài tập 8.5. Giải các phương trình sau:
a) 5 tan x + 2 cot x = 7. b) 2 tan x + 2 cot x = 5. c) 4 tan 2x − cot 2x + 3 = 0.
d) (CĐ-09) (1 + 2 sin x)
2
cos x = 1 + sin x + cos x. e) sin x(1 − cos x) = (1 − cos x)
2
(1 + cos x).
Lời giải.
a) 5 tan x + 2 cot x = 7 ⇔ 5tan
2
x − 7 tan x + 2 = 0 ⇔
tan x = 1
tan x =
2
5
⇔
x =
π
4
+ kπ
x = arctan
2
5
+ kπ
(k ∈ Z).
b) 2 tan x + 2 cot x = 5 ⇔ 2tan
2
x − 5 tan x + 2 = 0 ⇔
tan x = 2
tan x =
1
2
⇔
x = arctan 2 + kπ
x = arctan
1
2
+ kπ
(k ∈ Z).
c) 4 tan 2x−cot 2x+3 = 0 ⇔ 4tan
2
x+3 tan x−1 = 0 ⇔
tan x = −1
tan x =
1
4
⇔
x = −
π
4
+ kπ
x = arctan
1
4
+ kπ
(k ∈ Z).
d) PT⇔ 4 (1 + sin x) cos x = 1 + sin x ⇔ (1 + sin x) (4 cos x −1) = 0 ⇔
x = −
π
2
+ k2π
x = arccos
1
4
+ k2π
(k ∈ Z).
e) PT⇔ sin x(1−cos x) = (1−cos x)sin
2
x ⇔ sin x(1−cos x) (1 − sin x) = 0 ⇔
x = kπ
x =
π
2
+ k2π
(k ∈ Z).
4
Chuyên đề 8. Phương Trình Lượng Giác
§2. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp
Bài tập 8.6. Giải các phương trình sau:
a) 2 sin x + cos x =
√
5.
b) 3 sin 2x − 4 cos 2x − 5 = 0.
c) sin 3x −
√
3 cos 3x = 2. d)
√
2 (sin 3x + cos 3x) = 2.
e) cos x +
√
3 sin x = 1.
f) 2 sin x − 3 cos x = 2.
Lời giải.
a) PT⇔
2
√
5
sin x +
1
√
5
cos x = 1. Đặt
2
√
5
= cos α,
1
√
5
= sin α, phương trình trở thành
cos α sin x + sin α cos x = 1 ⇔ sin (x + α) = 1 ⇔ x = −α +
π
2
+ k2π
Vậy phương trình có nghiệm x = −α +
π
2
+ k2π (k ∈ Z), trong đó cos α =
2
√
5
, sin α =
1
√
5
.
b) PT⇔
3
5
sin 2x −
4
5
cos 2x = 1. Đặt
3
5
= cos α,
4
5
= sin α, phương trình trở thành
cos α sin 2x − sin α cos 2x = 1 ⇔ sin (2x − α) = 1 ⇔ x =
α
2
+
π
4
+ kπ
Vậy phương trình có nghiệm x =
α
2
+
π
4
+ kπ (k ∈ Z), trong đó cos α =
3
5
, sin α =
4
5
.
c) PT⇔
1
2
sin 3x −
√
3
2
cos 3x = 1 ⇔ sin
3x −
π
3
= 1 ⇔ x =
5π
18
+ k
2π
3
(k ∈ Z).
d) PT⇔ sin
3x +
π
4
= 1 ⇔ x =
π
12
+ k
2π
3
(k ∈ Z).
e) PT⇔
1
2
cos x +
√
3
2
sin x =
1
2
⇔ sin
π
6
+ x
=
1
2
⇔
x = k2π
x =
2π
3
+ k2π
(k ∈ Z).
f) PT⇔
2
√
13
sin x −
3
√
13
cos x =
2
√
13
. Đặt
2
√
13
= cos α,
3
√
13
= sin α, phương trình trở thành
cos α sin x − sin α cos x = cos α ⇔ sin (x − α) = sin
π
2
− α
⇔
x =
π
2
+ k2π
x =
π
2
+ 2α + k2π
Vậy phương trình có nghiệm
x =
π
2
+ k2π
x =
π
2
+ 2α + k2π
(k ∈ Z), trong đó cos α =
2
√
13
, sin α =
3
√
13
.
Bài tập 8.7. Giải các phương trình sau:
a)
√
3 sin x + cos x = 2 sin 4x. b) cos 2x − 2
√
3 sin x cos x = 2 sin x.
c)
√
2 (sin 4x + cos 4x) = 2 cos
x +
π
2
. d)
√
3 sin x + cos x + 2 cos
x −
π
3
= 2.
Lời giải.
a)
√
3 sin x + cos x = 2 sin 4x ⇔ sin
x +
π
6
= sin 4x ⇔
x =
π
18
− k
2π
3
x =
π
6
+ k
2π
5
(k ∈ Z).
b) cos 2x − 2
√
3 sin x cos x = 2 sin x ⇔ sin
π
6
− 2x
= sin x ⇔
x =
π
18
− k
2π
3
x = −
π
3
− kπ
(k ∈ Z).
c)
√
2 (sin 4x + cos 4x) = 2 cos
x +
π
2
⇔ cos
4x −
π
4
= cos
x +
π
2
⇔
x =
π
4
+ k
2π
3
x = −
π
20
+ k
2π
5
(k ∈ Z).
d)
√
3 sin x + cos x + 2 cos
x −
π
3
= 2 ⇔ cos
x −
π
3
=
1
2
⇔
x = k2π
x =
2π
3
+ k2π
(k ∈ Z).
Bài tập 8.8. Giải các phương trình sau:
a) (D-07)
sin
x
2
+ cos
x
2
2
+
√
3 cos x = 2.
b) 4
sin
4
x
2
+ cos
4
x
2
+
√
3 sin 2x = 2.
c) 3 sin 3x −
√
3 cos 9x = 1 + 4sin
3
3x. d) 2
√
2 (sin x + cos x) cos x = 3 + cos 2x.
Lời giải.
a) PT⇔ sin
2
x
2
+ 2 sin
x
2
cos
x
2
+ cos
2
x
2
+
√
3 cos x ⇔ sin x +
√
3 cos x = 1 ⇔
x = −
π
6
+ k2π
x =
π
2
+ k2π
(k ∈ Z).
b) PT⇔ 4
1 −
1
2
sin
2
x
+
√
3 sin 2x = 2 ⇔
√
3 sin 2x + cos 2x = −1 ⇔
x = −
π
6
+ kπ
x =
π
2
+ kπ
(k ∈ Z).
c) PT⇔ sin 9x −
√
3 cos 9x = 1 ⇔ sin
9x −
π
3
=
1
2
⇔
x =
π
18
+ k
2π
9
x =
7π
54
+ k
2π
9
(k ∈ Z).
d) PT⇔
√
2 sin 2x +
√
2 (1 + cos 2x) = 3 + cos 2x ⇔
√
2 sin 2x +
√
2 − 1
cos 2x = 3 −
√
2 (vô nghiệm).
5
Nguyễn Minh Hiếu
Bài tập 8.9. Giải các phương trình sau:
a) (D-09)
√
3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0.
b) 2 sin 4x + 3 cos 2x + 16sin
3
x cos x − 5 = 0.
c) 4sin
3
x cos 3x + 4cos
3
x sin 3x + 3
√
3 cos 4x = 3.
d) (B-2012) 2
cos x +
√
3 sin x
cos x = cos x −
√
3 sin x + 1.
e) 1 + 2 (cos 2x tan x − sin 2x) cos
2
x = cos 2x.
f) (B-09) sin x + cos x sin 2x +
√
3 cos 3x = 2
cos 4x + sin
3
x
.
Lời giải.
a) PT⇔
√
3 cos 5x−(sin x + sin 5x)−sin x = 0 ⇔
√
3 cos 5x−sin 5x = 2 sin x ⇔
x =
π
18
− k
π
3
x = −
π
6
− k
π
2
(k ∈ Z).
b) PT⇔ 2 sin 4x + 3 cos 2x + 4 sin 2x (1 − cos 2x) − 5 = 0 ⇔
4
5
sin 2x +
3
5
cos 2x = 1.
Đặt
4
5
= cos α;
3
5
= sin α, phương trình trở thành sin (2x + α) = 1 ⇔ x = −
α
2
+ kπ (k ∈ Z).
c) PT⇔ (3 sin x − sin 3x) cos 3x + (3 cos x + cos 3x) sin 3x + 3
√
3 cos 4x = 3
⇔ sin x cos 3x+cos x sin 3x+
√
3 cos 4x = 1 ⇔ sin 4x+
√
3 cos 4x = 1 ⇔
x = −
π
24
+ k
π
2
x =
π
8
+ k
π
4
(k ∈ Z).
d) PT⇔ 2cos
2
x +
√
3 sin 2x = cos x −
√
3 sin x + 1 ⇔ cos 2x +
√
3 sin 2x = cos x −
√
3 sin x
⇔ cos
2x −
π
3
= cos
x +
π
3
⇔
x =
2π
3
+ k2π
x = k
2π
3
(k ∈ Z).
e) Điều kiện: cos x = 0. PT⇔ 1+2 (cos 2x sin x − sin 2x cos x) cos x = cos 2x ⇔ 1−2 sin x cos x = cos 2x
⇔ sin 2x + cos 2x = 1 ⇔ sin
2x +
π
4
=
1
√
2
⇔
x = kπ
x =
π
4
+ kπ
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
f) PT⇔ sin x
1 − 2sin
2
x
+ cos x sin 2x +
√
3 cos 3x = 2 cos 4x
⇔ sin x cos 2x + cos x sin 2x +
√
3 cos 3x = 2 cos 4x
⇔ sin 3x +
√
3 cos 3x = 2 cos 4x ⇔ cos
3x −
π
6
= cos 4x ⇔
x = −
π
6
− k2π
x =
π
42
+ k
2π
7
(k ∈ Z).
Bài tập 8.10. Giải các phương trình sau:
a) 3sin
2
x − 4 sin x cos x + cos
2
x = 0. b) 3sin
2
x + 2 sin 2x − 5cos
2
x = 1.
c) 2sin
2
x − 3cos
2
x + 5 sin x cos x − 2 = 0. d) sin 2x − 2sin
2
x − 2 cos 2x = 0.
e) 4sin
3
x + 3cos
3
x − 3 sin x − sin
2
x cos x = 0.
f) (B-08) sin
3
x −
√
3cos
3
x = sin xcos
2
x −
√
3sin
2
x cos x.
Lời giải.
a) Nhận thấy cos x = 0 không phải nghiệm phương trình.
Với cos x = 0, chia hai vế phương trình cho cos
2
x ta có:
3tan
2
x − 4 tan x + 1 = 0 ⇔
tan x = 1
tan x =
1
3
⇔
x =
π
4
+ kπ
x = arctan
1
3
+ kπ
(k ∈ Z)
b) Nhận thấy cos x = 0 không phải nghiệm phương trình.
Với cos x = 0, chia hai vế phương trình cho cos
2
x ta có:
3tan
2
x + 4 tan x − 5 = 1 + tan
2
x ⇔
tan x = 1
tan x = −3
⇔
x =
π
4
+ kπ
x = arctan(−3) + kπ
(k ∈ Z)
c) Nhận thấy cos x = 0 ⇔ x =
π
2
+ kπ là nghiệm phương trình.
Với cos x = 0, chia hai vế phương trình cho cos
2
x ta có:
2tan
2
x − 3 + 5 tan x − 2
1 + tan
2
x
= 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x =
π
4
+ kπ (k ∈ Z)
d) sin 2x − 2sin
2
x − 2 cos 2x = 0 ⇔ 2 sin x cos x − 2sin
2
x − 2
cos
2
x − sin
2
x
= 0
⇔ 2 cos x (sin x − cos x) = 0 ⇔
cos x = 0
tan x = 1
⇔
x =
π
2
+ kπ
x =
π
4
+ kπ
(k ∈ Z).
e) Nhận thấy cos x = 0 không phải nghiệm phương trình.
Với cos x = 0, chia hai vế phương trình cho cos
3
x ta có:
4tan
3
x + 3 − 3 tan x
1 + tan
2
x
− tan
2
x = 0 ⇔
tan x = 1
tan x = ±
√
3
⇔
x =
π
4
+ kπ
x = ±
π
3
+ kπ
(k ∈ Z)
f) Nhận thấy cos x = 0 không phải nghiệm phương trình.
6
Chuyên đề 8. Phương Trình Lượng Giác
Với cos x = 0, chia hai vế phương trình cho cos
3
x ta có:
tan
3
x −
√
3 = tan x −
√
3tan
2
x ⇔
tan x = ±1
tan x = −
√
3
⇔
x = ±
π
4
+ kπ
x = −
π
3
+ kπ
(k ∈ Z)
Bài tập 8.11. Giải các phương trình sau:
a) 2 cos x + 4 sin x =
3
cos x
.
b) 2 sin x + 2
√
3 cos x =
√
3
cos x
+
1
sin x
.
c) sin x cos 2x = 6 cos x (1 + 2 cos 2x).
d) sin x sin 2x + sin 3x = 6cos
3
x.
e) sin
3
x +
π
4
=
√
2 sin x.
f) sin
2
2x cos
3π
2
− 2x
+ 3 sin 2xsin
2
3π
2
+ 2x
+ 2cos
3
2x = 0.
Lời giải.
a) Điều kiện cos x = 0. PT⇔ 2+4 tan x = 3
1 + tan
2
x
⇔
tan x = 1
tan x =
1
3
⇔
x =
π
4
+ kπ
x = arctan
1
3
+ kπ
(k ∈ Z).
b) Điều kiện sin x = 0; cos x = 0.
PT⇔ 2tan
2
x+2
√
3 tan x =
√
3 tan x
1 + tan
2
x
+1+tan
2
x ⇔
tan x = ±1
tan x =
√
3
3
⇔
x = ±
π
4
+ kπ
x =
π
6
+ kπ
(k ∈ Z).
c) PT⇔ sin x
cos
2
x − sin
2
x
= 6 cos x + 12 cos x
cos
2
x − sin
2
x
⇔ sin
3
x − 12sin
2
x cos x − sin xcos
2
x + 12cos
3
x + 6 cos x = 0
⇔ tan
3
x − 12tan
2
x − tan x + 12 + 6
1 + tan
2
x
= 0
⇔
tan x = 2
tan x = 2 ±
√
3
⇔
x = arctan 2 + kπ
x = arctan
2 ±
√
3
+ kπ
(k ∈ Z).
d) PT⇔ 2sin
2
x cos x + 3 sin x − 4sin
3
x = 6cos
3
x
⇔ 4tan
3
x − 2tan
2
x + 6 − 3 tan x
1 + tan
2
x
= 0
⇔
tan x = 2
tan x = ±
√
3
⇔
x = arctan 2 + kπ
x = ±
π
3
+ kπ
(k ∈ Z).
e) Đặt x +
π
4
= t, phương trình trở thành sin
3
t =
√
2 sin
t −
π
4
⇔ sin
3
t = sin t − cos t.
Nhận thấy cos t = 0 ⇔ t =
π
2
+ kπ ⇒ x =
π
4
+ kπ là nghiệm của phương trình.
Với cos t = 0, chia hai vế phương trình cho cos
3
t ta có:
tan
3
t = tan t
1 + tan
2
t
−
1 + tan
2
t
⇔ tan
2
t − tan t + 1 = 0 (vô nghiệm)
Vậy phương trình có nghiệm x =
π
4
+ kπ (k ∈ Z).
f) PT⇔ −sin
3
2x + 3 sin 2xcos
2
2x + 2cos
3
2x = 0 ⇔ −tan
3
2x + 3 tan 2x + 2 = 0
⇔
tan 2x = 2
tan 2x = −1
⇔
x =
1
2
arctan 2 + k
π
2
x = −
π
4
+ k
π
2
(k ∈ Z).
Bài tập 8.12. Giải các phương trình sau:
a) 3 (sin x + cos x) + 2 sin x cos x + 3 = 0.
b) sin x − cos x + 7 sin 2x = 1.
c) 2 sin x + sin 2x −2 cos x + 2 = 0. d) 3 cos 2x + sin 4x + 6 sin x cos x = 3.
Lời giải.
a) Đặt sin x + cos x = t, |t| ≤
√
2 ⇒ sin x cos x =
t
2
−1
2
, thay vào phương trình ta có:
3t + t
2
− 1 + 3 = 0 ⇔
t = −1
t = −2 (loại)
Với t = −1 ⇒ sin x + cos x = −1 ⇔ sin
x +
π
4
= −
1
√
2
⇔
x = −
π
2
+ k2π
x = π + k2π
(k ∈ Z).
b) Đặt sin x − cos x = t, |t| ≤
√
2 ⇒ sin 2x = 1 − t
2
, thay vào phương trình ta có:
t + 7
1 − t
2
= 1 ⇔ 7t
2
− t − 6 = 0 ⇔
t = 1
t = −
6
7
Với t = 1 ⇒ sin x − cos x = 1 ⇔ sin
x −
π
4
=
1
√
2
⇔
x =
π
2
+ k2π
x = π + k2π
(k ∈ Z).
7
Nguyễn Minh Hiếu
Với t = −
6
7
⇒ sin x −cos x = −
6
7
⇔ sin
x −
π
4
= −
6
7
√
2
⇔
x =
π
4
+ arcsin
−
6
7
√
2
+ k2π
x =
5π
4
− arcsin
−
6
7
√
2
+ k2π
(k ∈ Z).
c) PT⇔ 2(sin x − cos x) + sin 2x + 2 = 0.
Đặt sin x − cos x = t, |t| ≤
√
2 ⇒ sin 2x = 1 − t
2
, thay vào phương trình ta có:
2t + 1 − t
2
+ 2 = 0 ⇔ t
2
− 2t − 3 = 0 ⇔
t = −1
t = 3 (loại)
Với t = −1 ⇒ sin x − cos x = −1 ⇔ sin
x −
π
4
= −
1
√
2
⇔
x = k2π
x =
3π
2
+ k2π
(k ∈ Z).
d) PT⇔ 3(sin 2x + cos 2x) + sin 4x = 3.
Đặt sin 2x + cos 2x = t, |t| ≤
√
2 ⇒ sin 4x = t
2
− 1, thay vào phương trình ta có:
3t + t
2
− 1 = 3 ⇔ t
2
+ 3t − 4 = 0 ⇔
t = 1
t = −4 (loại)
Với t = 1 ⇒ sin 2x + cos 2x = 1 ⇔ sin
2x +
π
4
=
1
√
2
⇔
x = kπ
x =
π
4
+ kπ
(k ∈ Z).
Bài tập 8.13. Giải các phương trình sau:
a) |sin x − cos x| + 4 sin 2x = 1.
b) sin 2x +
√
2 sin
x −
π
4
= 1.
c) 1 + sin
3
x + cos
3
x =
3
2
sin 2x. d) sin
3
2x + cos
3
2x +
1
2
sin 4x = 1.
Lời giải.
a) Đặt |sin x − cos x| = t, 0 ≤ t ≤
√
2 ⇒ sin 2x = 1 − t
2
, thay vào phương trình ta có:
t + 4(1 − t
2
) = 1 ⇔ 4t
2
− t − 3 = 0 ⇔
t = 1
t =
3
4
(loại)
Với t = 1 ⇒ |sin x − cos x| = 1 ⇔ sin
x −
π
4
= ±
1
√
2
⇔
x =
π
2
+ k2π
x = π + k2π
x = k2π
x =
3π
2
+ k2π
(k ∈ Z).
b) PT⇔ sin 2x + sin x − cos x = 1.
Đặt sin x − cos x = t, |t| ≤
√
2 ⇒ sin 2x = 1 − t
2
, thay vào phương trình ta có:
1 − t
2
+ t = 1 ⇔ t
2
− t = 0 ⇔
t = 1
t = 0
Với t = 1 ⇒ sin x − cos x = 1 ⇔ sin
x −
π
4
=
1
√
2
⇔
x = π + k2π
x =
π
2
+ k2π
(k ∈ Z).
Với t = 0 ⇒ sin x − cos x = 0 ⇔ sin
x −
π
4
= 0 ⇔ x =
π
4
+ k2π (k ∈ Z).
c) PT⇔ 1 + (sin x + cos x)
3
− 3 sin x cos x (sin x + cos x) = 3 sin x cos x.
Đặt sin x + cos x = t, |t| ≤
√
2 ⇒ sin x cos x =
t
2
−1
2
, thay vào phương trình ta có:
1 + t
3
− 3t
t
2
− 1
2
= 3
t
2
− 1
2
⇔ t
3
+ 3t
2
− 3t − 5 = 0 ⇔
t = −1
t = −1 ±
√
6 (loại)
Với t = −1 ⇒ sin x + cos x = −1 ⇔ sin
x +
π
4
= −
1
√
2
⇔
x = π + k2π
x = −
π
2
+ k2π
(k ∈ Z).
d) PT⇔ (sin 2x + cos 2x)
3
− 3 sin 2x cos 2x (sin 2x + cos 2x) + sin 2x cos 2x = 1.
Đặt sin 2x + cos 2x = t, |t| ≤
√
2 ⇒ sin 2x cos 2x =
t
2
−1
2
, thay vào phương trình ta có:
t
3
− 3t
t
2
− 1
2
+
t
2
− 1
2
= 1 ⇔ t
3
− t
2
+ 3t − 3 = 0 ⇔ t = 1
Với t = 1 ⇒ sin 2x + cos 2x = 1 ⇔ sin
2x +
π
4
=
1
√
2
⇔
x = kπ
x =
π
4
+ kπ
(k ∈ Z).
8
Chuyên đề 8. Phương Trình Lượng Giác
§3. Phương Trình Lượng Giác Khác
Bài tập 8.14. Giải các phương trình sau:
a) (D-2013) sin 3x + cos 2x − sin x = 0. b) (CĐ-2012) 2 cos 2x + sin x = sin 3x.
c) sin 3x + sin 2x = 5 sin x. d) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.
e) sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x. f) sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x.
Lời giải.
a) PT⇔ 2 cos 2x sin x+cos 2x = 0 ⇔ cos 2x (2 sin x + 1) = 0 ⇔
cos 2x = 0
sin x = −
1
2
⇔
x =
π
4
+ k
π
2
x = −
π
6
+ k2π
x =
7π
6
+ k2π
(k ∈ Z).
b) PT⇔ 2 cos 2x = 2 cos 2x sin x ⇔ 2 cos 2x (1 − sin x) = 0 ⇔
cos 2x = 0
sin x = 1
⇔
x =
π
4
+ k
π
2
x =
π
2
+ k2π
(k ∈ Z).
c) PT⇔ sin 3x − sin x + sin 2x = 4 sin x ⇔ 2 cos 2x sin x + 2 sin x cos x − 4 sin x = 0
⇔ 2 sin x (cos 2x + cos x −2) = 0 ⇔
sin x = 0
2cos
2
x + cos x − 3 = 0
⇔
sin x = 0
cos x = 1
cos x = −
3
2
(vô nghiệm)
⇔ x = kπ (k ∈ Z).
d) PT⇔ 2 cos 2x cos x + 2 cos 3x cos x = 0 ⇔ 2 cos x (cos 3x + cos 2x) = 0
⇔ 4 cos x cos
5x
2
cos
x
2
= 0 ⇔
cos x = 0
cos
5x
2
= 0
cos
x
2
= 0
⇔
x =
π
2
+ kπ
x =
π
5
+ k
2π
5
x = π + k2π
(k ∈ Z).
e) PT⇔ 2 sin 2x cos x + sin 2x = cos x + 2cos
2
x ⇔ sin 2x (2 cos x + 1) = cos x (1 + 2 cos x) = 0
⇔ (2 cos x + 1) (sin 2x − cos x) = 0 ⇔ (2 cos x + 1) (2 sin x cos x − cos x) = 0
⇔ (2 cos x + 1) cos x (2 sin x − 1) = 0 ⇔
cos x = −
1
2
cos x = 0
sin x =
1
2
⇔
x = ±
2π
3
+ k2π
x =
π
2
+ kπ
x =
π
6
+ k2π
x =
5π
6
+ k2π
(k ∈ Z).
f) PT⇔ 2 sin 2x cos x + sin 2x = 2 cos 2x cos x + cos 2x ⇔ sin 2x (2 cos x + 1) = cos 2x (2 cos x + 1)
⇔ (2 cos x + 1) (sin 2x − cos 2x) = 0 ⇔
cos x = −
1
2
tan 2x = 1
⇔
x = ±
2π
3
+ k2π
x =
π
8
+ k
π
2
(k ∈ Z).
Bài tập 8.15. Giải các phương trình sau:
a) (B-07) 2sin
2
2x + sin 7x − 1 = sin x. b) sin 5x + sin 9x + 2sin
2
x − 1 = 0.
c) (D-2012) sin 3x + cos 3x − sin x + cos x =
√
2 cos 2x.
d) cos x + sin
2x +
π
6
−sin
2x −
π
6
+ 1 =
√
3 (1 + 2 cos x).
Lời giải.
a) PT⇔ 2 cos 4x sin 3x − cos 4x = 0 ⇔ cos 4x (2 sin 3x − 1) = 0
⇔
cos 4x = 0
sin 3x =
1
2
⇔
x =
π
8
+ k
π
4
x =
π
18
+ k
2π
3
x =
5π
18
+ k
2π
3
(k ∈ Z).
b) PT⇔ 2 sin 7x cos 2x − cos 2x = 0 ⇔ cos 2x (2 sin 7x − 1) = 0
⇔
cos 2x = 0
sin 7x = 1
⇔
x =
π
4
+ k
π
2
x =
π
14
+ k
2π
7
(k ∈ Z).
c) PT⇔ 2 cos 2x sin x + 2 cos 2x cos x =
√
2 cos 2x ⇔
√
2 cos 2x
√
2 sin x +
√
2 cos x − 1
= 0
⇔
cos 2x = 0
√
2 (sin x + cos x) = 1
⇔
cos 2x = 0
sin
x +
π
4
=
1
2
⇔
x =
π
4
+ k
π
2
x = −
π
12
+ k2π
x =
7π
12
+ k2π
(k ∈ Z).
d) PT⇔ cos x + 2 cos 2x sin
π
6
+ 1 =
√
3 (1 + 2 cos x) ⇔ cos x + 2cos
2
x =
√
3 (1 + 2 cos x)
⇔ cos x (1 + 2 cos x) =
√
3 (1 + 2 cos x) ⇔ (1 + 2 cos x)
cos x −
√
3
= 0
⇔
cos x = −
1
2
cos x =
√
3
⇔
x = ±
2π
3
+ k2π
x = ±
π
6
+ k2π
(k ∈ Z).
9
Nguyễn Minh Hiếu
Bài tập 8.16. Giải các phương trình sau:
a) cos 5x cos x = cos 4x. b) sin x sin 7x = sin 3x sin 5x.
c) cos x cos 3x −sin 2x sin 6x − sin 4x sin 6x = 0.
d) (D-09)
√
3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0.
e) 4 cos
5x
2
cos
3x
2
+ 2 (8 sin x −1) cos x = 5. f) cos x cos
x
2
cos
3x
2
− sin x sin
x
2
sin
3x
2
=
1
2
.
Lời giải.
a) PT⇔
1
2
(cos 4x + cos 6x) = cos 4x ⇔ cos 6x−cos 4x = 0 ⇔ −2 sin 5x sin x = 0 ⇔
x = k
π
5
x = kπ
(k ∈ Z).
b) PT⇔
1
2
(cos 6x − cos 8x) =
1
2
(cos 2x − cos 8x) ⇔ cos 6x − cos 2x = 0
⇔ −2 sin 4x sin 2x = 0 ⇔
x = k
π
4
x = k
π
2
(k ∈ Z).
c) PT⇔
1
2
(cos 2x + cos 4x) −
1
2
(cos 4x − cos 8x) −
1
2
(cos 2x − cos 10) = 0
⇔ cos 10x + cos 8x = 0 ⇔ 2 cos 9x cos x = 0 ⇔
x =
π
18
+ k
π
9
x =
π
2
+ kπ
(k ∈ Z).
d) PT⇔
√
3 cos 5x − (sin x + sin 5x) − sin x = 0 ⇔
√
3
2
cos 5x −
1
2
sin 5x = sin x
⇔ sin
π
3
− 5x
= sin x ⇔
x =
π
18
− k
π
3
x = −
π
6
− k
π
2
(k ∈ Z).
e) PT⇔ 2 (cos x + cos 4x) + 8 sin 2x − 2 cos x = 5 ⇔ 2
1 − 2sin
2
2x
+ 8 sin 2x = 5
⇔
sin 2x =
3
2
(vô nghiệm)
sin 2x =
1
2
⇔
x =
π
12
+ kπ
x =
5π
12
+ kπ
(k ∈ Z).
f) PT⇔
1
2
cos x (cos x + cos 2x) −
1
2
sin x (cos x −cos 2x) =
1
2
⇔ cos
2
x + cos x cos 2x −sin x cos x + sin x cos 2x = 1
⇔ cos 2x (sin x + cos x) = sin x (sin x + cos x) ⇔ (sin x + cos x) (cos 2x − sin x) = 0
⇔ (sin x + cos x)
1 − 2sin
2
x − sin x
= 0 ⇔
tan x = −1
sin x = −1
sin x =
1
2
⇔
x = −
π
4
+ kπ
x = −
π
2
+ k2π
x =
π
6
+ k2π
x =
5π
6
+ k2π
(k ∈ Z).
Bài tập 8.17. Giải các phương trình sau:
a) (B-2013) sin 5x + 2 cos
2
x = 1.
b) sin
2
x + sin
2
3x = 2sin
2
2x.
c) cos
2
2x − sin
2
8x = sin
17π
2
+ 10x
.
d) (B-02) sin
2
3x − cos
2
4x = sin
2
5x − cos
2
6x.
Lời giải.
a) PT⇔ sin 5x + cos 2x = 0 ⇔ cos
π
2
+ 5x
= cos 2x ⇔
x = −
π
6
+ k
2π
3
x = −
π
14
+ k
2π
7
(k ∈ Z).
b) PT⇔
1−cos 2x
2
+
1−cos 6x
2
=
2(1−cos 4x)
2
⇔ cos 2x + cos 6x = cos 4x
⇔ 2 cos 4x cos 2x = cos 4x ⇔ cos 4x (2 cos 2x − 1) = 0 ⇔
cos 4x = 0
cos 2x =
1
2
⇔
x =
π
8
+ k
2π
4
x = ±
π
6
+ kπ
(k ∈ Z).
c) PT⇔
1+cos 4x
2
−
1−cos 16x
2
= cos 10x ⇔ cos 16x + cos 4x = 2 cos 10x
⇔ 2 cos 10x cos 6x = 2 cos 10x ⇔ 2 cos 10x (cos 6x − 1) = 0 ⇔
x =
π
20
+ k
π
10
x = k
π
3
(k ∈ Z).
d) PT⇔ cos 6x + cos 8x = cos 10x + cos 12x ⇔ 2 cos 7x cos x = 2 cos 11x cos x
⇔ 2 cos x (cos 7x − cos 11x) = 2 cos x sin 2x sin 9x = 0 ⇔
cos x = 0
sin 2x = 0
sin 9x = 0
⇔
x = k
π
2
x = k
π
9
(k ∈ Z).
Bài tập 8.18. Giải các phương trình sau:
a) cos
2
x = cos
4x
3
. b) 1 + 2cos
2
3x
5
= 3 cos
4x
5
.
c) 1 + sin
x
2
sin x − cos
x
2
sin
2
x = 2cos
2
π
4
−
x
2
. d) 4
sin xcos
5
x + cos xsin
5
x
+ sin
3
2x = 1.
e) sin
4
x
2
+ cos
4
x
2
= 1 − 2 sin x.
f) (D-05) cos
4
x + sin
4
x + cos
x −
π
4
sin
3x −
π
4
−
3
2
= 0.
Lời giải.
a) PT⇔
1+cos 2x
2
= cos
4x
3
⇔ 1 + 4cos
3
2x
3
− 3 cos
2x
3
= 2
2cos
2
2x
3
− 1
⇔
cos
2x
3
= 1
cos
2x
3
= ±
√
3
2
⇔
x = k3π
x = ±
π
4
+ k3π
(k ∈ Z).
10
Chuyên đề 8. Phương Trình Lượng Giác
b) PT⇔ 2 + cos
6x
5
= 3
2cos
2
2x
5
− 1
⇔ 4cos
3
2x
5
− 3 cos
2x
5
= 6cos
2
2x
5
− 5
⇔
cos
2x
5
= 1
cos
2x
5
=
1−
√
21
4
cos
2x
5
=
1+
√
21
4
(vô nghiệm)
⇔
x = k5π
x = ±
5
2
arccos
1−
√
21
4
+ k5π
(k ∈ Z).
c) PT⇔ sin
x
2
sin x − cos
x
2
sin
2
x = cos
π
2
− x
⇔ sin x
sin
x
2
− cos
x
2
sin x − 1
= 0
⇔
sin x = 0
sin
x
2
− 2 sin
x
2
1 − sin
2
x
2
− 1 = 0
⇔
sin x = 0
sin
x
2
= 1
⇔
x = kπ
x = π + k4π
⇔ x = kπ (k ∈ Z).
d) PT⇔ 2 sin 2x
1 −
1
2
sin
2
2x
+ sin
3
2x = 1 ⇔ sin 2x =
1
2
⇔
x =
π
12
+ kπ
x =
5π
12
+ kπ
(k ∈ Z).
e) PT⇔ 1 −
1
2
sin
2
x = 1 −2 sin x ⇔
sin x = 0
sin x = 4 (vô nghiệm)
⇔ x = kπ (k ∈ Z).
f) PT⇔ 1 −
1
2
sin
2
2x +
1
2
sin 2x + sin
4x −
π
2
−
3
2
= 0 ⇔ 2 − sin
2
2x + sin 2x −
1 − 2sin
2
2x
− 3 = 0
⇔ sin
2
2x + sin 2x − 2 = 0 ⇔
sin 2x = 1
sin 2x = −2 (vô nghiệm)
⇔ x =
π
4
+ kπ (k ∈ Z).
Bài tập 8.19. Giải các phương trình sau:
a) (D-04) (2 cos x − 1) (2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x.
b) cos 2x + (1 + 2 cos x) (sin x − cos x) = 0.
c) (B-05) 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0. d) (D-08) 2 sin x (1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x.
e) (A-2012)
√
3 sin 2x + cos 2x = 2 cos x − 1.
f) 4 sin 2x − 3 cos 2x = 3 (4 sin x −1).
g) 2cos
3
x + cos 2x + sin x = 0.
h) (A-07)
1 + sin
2
x
cos x +
1 + cos
2
x
sin x = 1 + sin 2x.
Lời giải.
a) PT⇔ (2 cos x − 1) (2 sin x + cos x) = 2 sin x cos x − sin x
⇔ (2 cos x − 1) (2 sin x + cos x) = sin x (2 cos x − 1)
⇔ (2 cos x − 1) (sin x + cos x) = 0 ⇔
cos x =
1
2
tan x = −1
⇔
x = ±
π
3
+ k2π
x = −
π
4
+ kπ
(k ∈ Z).
b) PT⇔ cos
2
x − sin
2
x + (1 + 2 cos x) (sin x − cos x) = 0 ⇔ (cos x − sin x) (sin x −cos x − 1) = 0
⇔
tan x = 1
sin
x −
π
4
=
1
√
2
⇔
x =
π
4
+ kπ
x =
π
2
+ k2π
x = π + k2π
(k ∈ Z).
c) PT⇔ sin x + cos x + 2 sin x cos x + 2cos
2
x = 0 ⇔ sin x + cos x + 2 cos x (sin x + cos x) = 0
⇔ (sin x + cos x) (1 + 2 cos x) = 0 ⇔
tan x = −1
cos x = −
1
2
⇔
x = −
π
4
+ kπ
x = ±
2π
3
+ k2π
(k ∈ Z).
d) PT⇔ 4 sin xcos
2
x + sin 2x = 1 + 2 cos x ⇔ sin 2x (2 cos x + 1) = 1 + 2 cos x
⇔ (2 cos x + 1) (sin 2x − 1) = 0 ⇔
cos x = −
1
2
sin 2x = 1
⇔
x = ±
2π
3
+ k2π
x =
π
4
+ kπ
(k ∈ Z).
e) PT⇔ 2
√
3 sin x cos x + 2cos
2
x − 2 cos x = 0 ⇔ 2 cos x
√
3 sin x + cos x −2
= 0
⇔
cos x = 0
sin
x +
π
6
= 1
⇔
x =
π
2
+ kπ
x =
π
3
+ k2π
(k ∈ Z).
f) PT⇔ 8 sin x cos x − 3
1 − 2sin
2
x
= 12 sin x − 3 ⇔ 2 sin x (4 cos x + 3 sin x − 6) = 0
⇔
sin x = 0
3 sin x + 4 cos x = 6
⇔ x = kπ (k ∈ Z).
g) PT⇔ 2cos
3
x + 2cos
2
x − 1 + sin x = 0 ⇔ 2
1 − sin
2
x
(cos x + 1) − (1 − sin x) = 0
⇔ (1 − sin x) [2 (1 + sin x) (cos x + 1) − 1] = 0 ⇔
sin x = 1
2 (sin x + cos x) + 2 sin x cos x + 1 = 0
⇔
sin x = 1
sin x + cos x = 0
⇔
sin x = 1
tan x = −1
⇔
x =
π
2
+ k2π
x = −
π
4
+ kπ
(k ∈ Z).
h) PT⇔ cos x + sin
2
x cos x + sin x + sin xcos
2
x = (sin x + cos x)
2
⇔ (sin x + cos x) (sin x + cos x −sin x cos x − 1) = 0
⇔
sin x + cos x = 0
sin x + cos x = 1
⇔
tan x = −1
sin
x +
π
4
=
1
√
2
⇔
x = −
π
4
+ kπ
x = k2π
x = π + k2π
(k ∈ Z).
11
Nguyễn Minh Hiếu
Bài tập 8.20. Giải các phương trình sau:
a) cos 2x + 5 = 2 (2 − cos x) (sin x − cos x). b) 2 cos x (1 −cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 sin x.
c) (D-2010) sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0. d) (B-2010) (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x −sin x = 0.
e) 9 sin x + 6 cos x − 3 sin 2x + cos 2x = 8. f) sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x.
Lời giải.
a) PT⇔ 2cos
2
x + 4 = 4 (sin x − cos x) − sin 2x + 2cos
2
x ⇔ 4 (sin x − cos x) − sin 2x − 4 = 0
⇔
sin x − cos x = 1
sin x − cos x = −5 (vô nghiệm)
⇔ sin
x −
π
4
=
1
√
2
⇔
x =
π
2
+ k2π
x = π + k2π
(k ∈ Z).
b) PT⇔ 4 cos xsin
2
x + sin 2x = 1 + 2 sin x ⇔ sin 2x (2 sin x + 1) = 1 + 2 sin x
⇔ (2 sin x + 1) (sin 2x − 1) = 0 ⇔
sin x = −
1
2
sin 2x = 1
⇔
x = −
π
6
+ k2π
x =
7π
6
+ k2π
x =
π
4
+ kπ
(k ∈ Z).
c) PT⇔ 2 sin x cos x −
1 − 2sin
2
x
+ 3 sin x − cos x −1 = 0
⇔ cos x (2 sin x − 1) + (sin x + 2) (2 sin x − 1) = 0 ⇔ (2 sin x − 1) (sin x + cos x + 2) = 0
⇔
sin x =
1
2
sin x + cos x = −2 (vô nghiệm)
⇔
x =
π
6
+ k2π
x =
5π
6
+ k2π
(k ∈ Z).
d) PT⇔ 2 sin xcos
2
x + cos 2x cos x + 2 cos 2x − sin x = 0 ⇔ sin x cos 2x + cos 2x cos x + 2 cos 2x = 0
⇔ cos 2x (sin x + cos x + 2) = 0 ⇔
cos 2x = 0
sin x + cos x = −2
⇔ x =
π
4
+ k
π
2
(k ∈ Z).
e) PT⇔ 9 sin x + 6 cos x − 6 sin x cos x + 2cos
2
x − 9 = 0
⇔ 9 (sin x − 1) + 6 cos x (1 −sin x) + 2
1 − sin
2
x
= 0
⇔ (1 − sin x) [−9 + 6 cos x + 2 (1 + sin x)] = 0
⇔
sin x = 1
2 sin x + 6 cos x = 7 (vô nghiệm)
⇔ x =
π
2
+ k2π (k ∈ Z).
f) PT⇔ sin x (1 + cos 2x) + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x ⇔ sin x (cos 2x + cos x) = cos 2x + cos x
⇔ (cos 2x + cos x) (sin x − 1) = 0 ⇔
sin x = 1
cos x = −1
cos x =
1
2
⇔
x =
π
2
+ k2π
x = π + k2π
x = ±
π
3
+ k2π
(k ∈ Z).
Bài tập 8.21. Giải các phương trình sau:
a) 4 cos x − 2 cos 2x − cos 4x = 1. b) (D-06) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0.
c) (A-05) cos
2
3x cos 2x − cos
2
x = 0. d) 4cos
2
x − cos 3x = 6 cos x + 2 (1 + cos 2x).
e) 32cos
6
x − cos 6x = 1.
f) sin 4x − cos 4x = 1 + 4 (sin x − cos x).
Lời giải.
a) PT⇔ 4 cos x − 2
2cos
2
x − 1
−
1 − 2sin
2
2x
= 1 ⇔ 4 cos x −4cos
2
x + 8sin
2
xcos
2
x = 0
⇔ 4 cos x
1 − cos x + 2
1 − cos
2
x
cos x
= 0 ⇔
cos x = 0
cos x = 1
⇔
x =
π
2
+ kπ
x = k2π
(k ∈ Z).
b) PT⇔ 4cos
3
x − 3 cos x + 2cos
2
x − 1 −cos x − 1 = 0 ⇔
cos x = ±1
cos x = −
1
2
⇔
x = kπ
x = ±
2π
3
+ k2π
(k ∈ Z).
c) PT⇔ (1 + cos 6x) cos 2x − (1 + cos 2x) = 0 ⇔ cos 6x cos 2x − 1 = 0 ⇔ cos 4x + cos 8x − 2 = 0
⇔ cos 4x + 2cos
2
4x − 3 = 0 ⇔
cos 4x = 1
cos 4x = −
3
2
⇔ x = k
π
2
(k ∈ Z).
d) PT⇔ 4cos
2
x −
4cos
3
x − 3 cos x
= 6 cos x + 4cos
2
x ⇔ cos x = 0 ⇔ x =
π
2
+ kπ (k ∈ Z).
e) PT⇔ 4(1 + cos 2x)
3
−
4cos
3
2x − 3 cos 2x
= 1 ⇔
cos 2x = −1
cos 2x = −
1
4
⇔
x =
π
2
+ kπ
x = ±
1
2
arccos
−
1
4
+ kπ
(k ∈ Z).
f) PT⇔ 2 sin 2x cos 2x − 2cos
2
2x = 4 (sin x − cos x) ⇔ cos 2x (sin 2x − cos 2x) = 2 (sin x − cos x)
⇔ (cos x − sin x) [(sin x + cos x) (sin 2x − cos 2x) + 2] = 0
⇔ (cos x − sin x)
2 sin
x +
π
4
sin
2x −
π
4
+ 2
= 0 ⇔
cos x − sin x = 0
sin
x +
π
4
sin
2x −
π
4
+ 1 = 0
⇔
tan x = 1
sin
x +
π
4
= 1
sin
2x −
π
4
= −1
sin
x +
π
4
= −1
sin
2x −
π
4
= 1
⇔
x =
π
4
+ kπ
x =
π
4
+ k2π
x = −
π
8
+ kπ
x = −
π
2
+ k2π
x =
3π
8
+ kπ
⇔ x =
π
4
+ kπ (k ∈ Z).
12
Chuyên đề 8. Phương Trình Lượng Giác
Bài tập 8.22. Giải các phương trình sau:
a) 1 + 3 sin 2x = 2 tan x.
b) 1 + tan x = 2
√
2 sin x.
c) (A-2013) 1 + tan x = 2
√
2 sin
x +
π
4
.
d) 4sin
2
x + 3tan
2
x = 1.
e) 2 sin x + cot x = 2 sin 2x + 1.
f) 2 + cos x + 2 tan
x
2
= 0.
g) 3 + sin 2x = tan x + cot x.
h) (B-04) 5 sin x − 2 = 3 (1 − sin x) tan
2
x.
Lời giải.
a) PT⇔ 1+tan
2
x+6 tan x = 2 tan x
1 + tan
2
x
⇔
tan x = −1
tan x =
3±
√
17
4
⇔
x = −
π
4
+ kπ
x = arctan
3±
√
17
4
+ kπ
(k ∈ Z).
b) Điều kiện: cos x = 0.
PT⇔ cos x + sin x =
√
2 sin 2x ⇔ sin
x +
π
4
= sin 2x ⇔
x = −
π
4
− k2π
x =
π
4
+ k
2π
3
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
c) Điều kiện: cos x = 0.
PT⇔ cos x + sin x = 2 (sin x + cos x) cos x ⇔ (sin x + cos x) (1 − 2 cos x) = 0
⇔
tan x = −1
cos x =
1
2
⇔
x = −
π
4
+ kπ
x = ±
π
3
+ k2π
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
d) PT⇔ 4tan
2
x + 3tan
2
x
1 + tan
2
x
= 1 + tan
2
x ⇔ tan
2
x =
−3±2
√
3
3
⇔ tan x = ±
−3+2
√
3
3
⇔ x = arctan
±
−3+2
√
3
3
+ kπ (k ∈ Z).
e) Điều kiện: sin x = 0.
PT⇔ 2sin
2
x + cos x = 4sin
2
x cos x + sin x ⇔ sin x (2 sin x −1) = cos x
4sin
2
x − 1
⇔ (2 sin x − 1) [sin x + cos x (2 sin x + 1)] = 0 ⇔
2 sin x − 1 = 0
sin x + cos x + 2 sin x cos x = 0
⇔
sin x =
1
2
sin x + cos x =
−1+
√
5
2
sin x =
−1−
√
5
2
⇔
x =
π
6
+ k2π
x =
5π
6
+ k2π
x = −
π
4
+ arcsin
−1+
√
5
2
√
2
+ k2π
x =
3π
4
− arcsin
−1+
√
5
2
√
2
+ k2π
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
f) PT⇔ 1 + tan
2
x
2
+ 2 + 2 tan
x
2
1 + tan
2
x
2
= 0 ⇔ tan
x
2
= −1 ⇔ x = −
π
2
+ k2π (k ∈ Z).
g) Điều kiện: sin x = 0, cos x = 0.
PT⇔ 3 sin x cos x + 2(sin x cos x)
2
= 1 ⇔
sin x cos x =
−3+
√
17
4
sin x cos x =
−3−
√
17
4
(vô nghiệm)
⇔ sin 2x =
−3+
√
17
2
⇔
x =
1
2
arcsin
−3+
√
17
2
+ kπ
x =
π
2
−
1
2
arcsin
−3+
√
17
2
+ kπ
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
h) Điều kiện: cos x = 0.
PT⇔ 5 sin x − 2 =
3sin
2
x
1+sin x
⇔ (5 sin x − 2) (1 + sin x) = 3sin
2
x
⇔
sin x = −2 (vô nghiệm)
sin x =
1
2
⇔
x =
π
6
+ k2π
x =
5π
6
+ k2π
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
Bài tập 8.23. Giải các phương trình sau:
a) (sin x − cos x)
2
+ tan x = 2sin
2
x.
b) (1 − tan x) (1 + sin 2x) = 1 + tan x.
c) sin
2
x (tan x + 1) = 3 sin x (cos x − sin x) + 3.
d) (D-03) sin
2
x
2
−
π
4
tan
2
x − cos
2
x
2
= 0.
e) (B-06) cot x + sin x
1 + tan x tan
x
2
= 4.
f) tan xsin
2
x − 2sin
2
x = 3 (cos 2x + sin x cos x).
g) 3 (cot x − cos x) −5 (tan x − sin x) = 2. h) 2 (tan x − sin x) + 3 (cot x − cos x) + 5 = 0.
Lời giải.
a) PT⇔ 1 − 2 sin x cos x + tan x = 2sin
2
x ⇔ 1 + tan
2
x − 2 tan x + tan x
1 + tan
2
x
= 2tan
2
x
⇔ tan
3
x − tan
2
x − tan x + 1 = 0 ⇔
tan x = 1
tan x = −1
⇔
x =
π
4
+ kπ
x = −
π
4
+ kπ
(k ∈ Z).
b) PT⇔ (1 − tan x)
1 + tan
2
x + 2 tan x
= (1 + tan x)
1 + tan
2
x
⇔
tan x = 0
tan x = −1
⇔
x = kπ
x =
π
4
+ kπ
(k ∈ Z).
c) PT⇔ tan
2
x (tan x + 1) = 3 tan x − 3tan
2
x + 3
1 + tan
2
x
= 0 ⇔
13
Nguyễn Minh Hiếu
tan x = −1
tan x = ±
√
3
⇔
x =
π
4
+ kπ
x = ±
π
3
+ kπ
(k ∈ Z).
d) Điều kiện: cos x = 0.
PT⇔
1 − cos
x −
π
2
sin
2
x
cos
2
x
− (1 + cos x) = 0 ⇔
1 − cos
2
x
− (1 + cos x) (1 + sin x) = 0
⇔ (1 + cos x) (1 − cos x − 1 − sin x) = 0 ⇔
cos x = −1
tan x = −1
⇔
x = π + k2π
x = −
π
4
+ kπ
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
e) Điều kiện: sin x = 0, cos x = 0, cos
x
2
= 0.
PT⇔
cos x
sin x
+ sin x
cos x cos
x
2
+sin x sin
x
2
cos x cos
x
2
= 4 ⇔
cos x
sin x
+
sin x
cos x
= 4
⇔
1
sin x cos x
= 4 ⇔ sin 2x =
1
2
⇔
x =
π
12
+ kπ
x =
5π
12
+ kπ
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
f) PT⇔ tan
3
x − 2tan
2
x = 3
2 −
1 + tan
2
x
+ tan x
= 0
⇔
tan x = 1
tan x = ±
√
3
⇔
x =
π
4
+ kπ
x = ±
π
3
+ kπ
(k ∈ Z).
g) Điều kiện: sin x = 0, cos x = 0.
PT⇔ 3cos
2
x (1 − sin x) − 5sin
2
x (1 − cos x) = 5 sin x cos x − 3 sin x cos x
⇔ 3 cos x (cos x − sin x cos x + sin x) = 5 sin x (sin x − sin x cos x + cos x) = 0
⇔ (cos x − sin x cos x + sin x) (3 cos x − 5 sin x) = 0
⇔
sin x + cos x − sin x cos x = 0
5 sin x − 3 cos x = 0
⇔
sin x + cos x = 1 +
√
2 (vô nghiệm)
sin x + cos x = 1 −
√
2
5 sin x − 3 cos x = 0
⇔
sin
x +
π
4
=
1−
√
2
√
2
tan x =
3
5
⇔
x = −
π
4
+ arcsin
1−
√
2
√
2
+ k2π
x =
3π
4
− arcsin
1−
√
2
√
2
+ k2π
x = arctan
3
5
+ kπ
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
h) Điều kiện: sin x = 0, cos x = 0.
PT⇔ 2sin
2
x (1 − cos x) + 3cos
2
x (1 − sin x) + 2 sin x cos x + 3 sin x cos x = 0
⇔ 2 sin x (sin x − sin x cos x + sin x) + 3 cos x (cos x − sin x cos x + sin x) = 0
⇔ (sin x − sin x cos x + cos x) (2 sin x + 3 cos x) = 0
⇔⇔
sin x + cos x − sin x cos x = 0
2 sin x + 3 cos x = 0
sin x + cos x = 1 +
√
2 (vô nghiệm)
sin x + cos x = 1 −
√
2
2 sin x + 3 cos x = 0
⇔⇔
sin
x +
π
4
=
1−
√
2
√
2
tan x = −
3
2
⇔
x = −
π
4
+ arcsin
1−
√
2
√
2
+ k2π
x =
3π
4
− arcsin
1−
√
2
√
2
+ k2π
x = arctan
−
3
2
+ kπ
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
Bài tập 8.24. Giải các phương trình sau:
a)
sin x + sin 2x + sin 3x
cos x + cos 2x + cos 3x
=
√
3.
b)
3sin
2
2x + 8sin
2
x − 11 − 3 cos 2x
1 + cos 4x
= 0.
c)
cos x
2 sin x + 3
√
2
− 2cos
2
x − 1
1 + sin 2x
= 1.
d) (D-2011)
sin 2x + 2 cos x − sin x − 1
tan x +
√
3
= 0.
e)
2
cos
3
x + 2sin
3
x
2 sin x + 3 cos x
= sin 2x.
f)
2sin
2
x + cos 4x − cos 2x
(sin x − cos x) sin 2x
= 0.
Lời giải.
a) PT⇔
sin x + sin 2x + sin 3x
cos x + cos 2x + cos 3x
=
√
3 ⇔
2 sin 2x cos x + sin 2x
2 cos 2x cos x + cos 2x
=
√
3 ⇔
sin 2x (2 cos x + 1)
cos 2x (2 cos x + 1)
=
√
3
Điều kiện: cos 2x = 0, cos x = −
1
2
.
PT⇔ tan 2x =
√
3 ⇔ x =
π
6
+ k
π
2
.
Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x =
π
6
+ kπ, x = −
π
3
+ k2π (k ∈ Z).
b) Điều kiện: cos 4x = −1.
PT⇔ 3
1 − cos
2
2x
+ 4 (1 − cos 2x) − 11 − 3 cos 2x = 0 ⇔
cos 2x = −1
cos 2x = −
4
3
(vô nghiệm)
⇔ x =
π
2
+ kπ (k ∈ Z).
Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x =
π
2
+ kπ (k ∈ Z).
14
Chuyên đề 8. Phương Trình Lượng Giác
c) Điều kiện: sin 2x = −1.
PT⇔ sin 2x + 3
√
2 cos x − 2cos
2
x − 1 = 1 + sin 2x ⇔
cos x =
√
2
cos x =
√
2
2
⇔ x = ±
π
4
+ k2π
Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x =
π
4
+ k2π (k ∈ Z).
d) Điều kiện: cos x = 0, tan x = −
√
3.
PT⇔ 2 cos x (sin x + 1) − (sin x + 1) = 0 ⇔ (sin x + 1) (2 cos x − 1) = 0
⇔
sin x = −1
cos x =
1
2
⇔
x = −
π
2
+ k2π
x = ±
π
3
+ k2π
.
Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x =
π
3
+ k2π (k ∈ Z).
e) Điều kiện: tan x = −
3
2
.
PT⇔ cos
3
x + 2sin
3
x = 2sin
2
x cos x + 3 sin xcos
2
x ⇔ 1 + 2tan
3
x = 2tan
2
x + 3 tan x
⇔
tan x = −1
tan x =
2±
√
2
2
⇔
x = −
π
4
+ kπ
x = arctan
2±
√
2
2
+ kπ
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
f) Điều kiện: sin 2x = 0, tan x = 1.
PT⇔ 1 − cos 2x + 2cos
2
2x − 1 − cos 2x = 0 ⇔
cos 2x = 0
cos 2x = 1
⇔
x =
π
4
+ k
π
2
x = kπ
Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x = −
π
4
+ kπ (k ∈ Z).
Bài tập 8.25. Giải các phương trình sau:
a) (A-06)
2
cos
6
x + sin
6
x
− sin x cos x
√
2 − 2 sin x
= 0.
b)
1 − cos 4x
2 sin 2x
=
sin 4x
1 + cos 4x
.
c)
3 (sin x + tan x)
tan x − sin x
− 2 cos x = 2.
d)
tan x + cot x
cot x − tan x
= 6 cos 2x + 4 sin 2x.
e)
1
cos x
+
1
sin 2x
=
2
sin 4x
. f) (B-03) cot x − tan x + 4 sin 2x =
2
sin 2x
.
Lời giải.
a) Điều kiện: sin x =
√
2
2
.
PT⇔ 2
1 −
3
4
sin
2
2x
−
1
2
sin 2x = 0 ⇔
sin 2x = 1
sin 2x = −
4
3
(vô nghiệm)
⇔ x =
π
4
+ kπ.
Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x =
5π
4
+ k2π (k ∈ Z).
b) Điều kiện: sin 2x = 0, cos 4x = −1.
PT⇔
2sin
2
2x
2 sin 2x
=
2 sin 2x cos 2x
2cos
2
2x
⇔ sin 2x =
sin 2x
cos 2x
⇔
sin 2x = 0
cos 2x = 1
(loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
c) Điều kiện: sin x = 0, cos x = 0.
PT⇔
3 sin x (cos x + 1)
sin x (1 − cos x)
− 2 cos x − 2 = 0 ⇔ 3 (cos x + 1) − 2 (cos x + 1) (1 − cos x) = 0
⇔
cos x = −1 (loại)
cos x = −
1
2
⇔ x = ±
2π
3
+ k2π (k ∈ Z) (thỏa mãn).
d) Điều kiện: sin x = 0, cos x = 0, tan x = ±1.
PT⇔
1
cos 2x
= 6 cos 2x + 4 sin 2x = 0 ⇔ 1 + tan
2
2x = 6 + 4 tan 2x
⇔
tan 2x = 5
tan 2x = −1
⇔
x = ±
1
2
arctan 5 + k
π
2
x = −
π
8
+ k
π
2
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
e) Điều kiện: sin 4x = 0.
PT⇔ 2 sin x cos 2x + cos 2x = 1 ⇔ 2 sin x
1 − 2sin
2
x
− 2sin
2
x = 0
⇔
sin x = 0 (loại)
sin x = −1 (loại)
sin x =
1
2
⇔
x =
π
6
+ k2π
x =
5π
6
+ k2π
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
f) Điều kiện: sin 2x = 0.
PT⇔ cos 2x + 2
1 − cos
2
2x
= 1 ⇔
cos 2x = 1 (loại)
cos 2x = −
1
2
⇔ x = ±
π
3
+ kπ (k ∈ Z) (thỏa mãn).
15
Nguyễn Minh Hiếu
Bài tập 8.26. Giải các phương trình sau:
a) (A-08)
1
sin x
+
1
sin
x −
3π
2
= 4 sin
7π
4
− x
.
b) (A-03) cot x − 1 =
cos 2x
1 + tan x
+ sin
2
x −
1
2
sin 2x.
c) (A-2011)
1 + sin 2x + cos 2x
1 + cot
2
x
=
√
2 sin x sin 2x.
d) (A-2010)
(1 + sin x + cos 2x) sin
x +
π
4
1 + tan x
=
1
√
2
cos x.
Lời giải.
a) Điều kiện: sin x = 0, cos x = 0.
PT⇔
1
sin x
+
1
cos x
= −2
√
2 (sin x + cos x) ⇔ (sin x + cos x)
1 +
√
2 sin 2x
= 0
⇔
sin x + cos x = 0
1 +
√
2 sin 2x = 0
⇔
tan x = −1
sin 2x = −
1
√
2
⇔
x = −
π
4
+ kπ
x = −
π
8
+ kπ
x =
5π
8
+ kπ
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
b) Điều kiện: sin x = 0, cos x = 0, tan x = −1.
PT⇔
cos x − sin x
sin x
=
cos
2
x − sin
2
x
cos x+sin x
cos x
+ sin
2
x − sin x cos x
⇔ cos x − sin x = sin x cos x (cos x − sin x) + sin
2
x (sin x − cos x) = 0
⇔ (cos x − sin x)
1 −
1
2
sin 2x +
1−cos 2x
2
= 0
⇔
cos x − sin x = 0
sin 2x + cos 2x = 3 (vô nghiệm)
⇔ tan x = 1 ⇔ x =
π
4
+ kπ (k ∈ Z) (thỏa mãn).
c) Điều kiện: sin x = 0.
PT⇔ sin
2
x
sin 2x + 2cos
2
x
=
√
2 sin x sin 2x ⇔ sin x sin 2x
sin x + cos x −
√
2
= 0
⇔
sin x = 0 (loại)
sin 2x = 0
sin x + cos x =
√
2
⇔
sin 2x = 0
sin
x +
π
4
= 1
⇔
x = k
π
2
x =
π
4
+ k2π
Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm: x =
π
2
+ kπ, x =
π
4
+ k2π (k ∈ Z).
d) Điều kiện: cos x = 0, tan x = −1.
PT⇔ (1 + sin x + cos 2x) (sin x + cos x) =
sin x+cos x
cos x
cos x ⇔ sin x + cos 2x = 0
⇔ 2sin
2
x − sin x − 1 = 0 ⇔
sin x = 1 (loại)
sin x = −
1
2
⇔
x = −
π
6
+ k2π
x =
7π
6
+ k2π
(k ∈ Z) (thỏa mãn).
Bài tập 8.27. Giải các phương trình sau:
a) (A-09)
(1 − 2 sin x) cos x
(1 + 2 sin x) (1 −sin x)
=
√
3.
b)
cos x − 2 sin x cos x
2cos
2
x + sin x − 1
=
√
3.
c)
5 + cos 2x
3 + 2 tan x
= 2 cos x.
d) 4 cot x − 2 =
3 + cos 2x
sin x
.
Lời giải.
a) Điều kiện: sin x = 1, sin x = −
1
2
.
PT⇔ cos x − sin 2x =
√
3 (sin x + cos 2x) ⇔ cos x −
√
3 sin x =
√
3 cos 2x + sin 2x
⇔ sin
π
6
− x
= sin
π
3
+ 2x
⇔
x = −
π
18
− k
2π
3
x =
π
2
+ k2π (loại)
(k ∈ Z).
b) Điều kiện: sin x = 1, sin x = −
1
2
.
PT⇔ cos x − sin 2x =
√
3 (sin x + cos 2x) ⇔ cos x −
√
3 sin x =
√
3 cos 2x + sin 2x
⇔ sin
π
6
− x
= sin
π
3
+ 2x
⇔
x = −
π
18
− k
2π
3
x =
π
2
+ k2π (loại)
(k ∈ Z).
c) Điều kiện: cos x = 0, tan x = −
3
2
.
PT⇔ 5 + cos
2
x − sin
2
x = 6 cos x + 4 sin x ⇔ (cos x − 3)
2
= (sin x + 2)
2
⇔ −cos x + 3 = sin x + 2 ⇔ sin x + cos x = 1
⇔ sin
x +
π
4
=
1
√
2
⇔
x = k2π
x =
π
2
+ k2π (loại)
(k ∈ Z).
d) Điều kiện: cos x = 0.
PT⇔ 4 cos x − 2 sin x = 3 + cos
2
x − sin
2
x ⇔ (sin x − 1)
2
= (cos x − 2)
2
⇔ −sin x + 1 = −cos x + 2 ⇔ sin x − cos x = −1
⇔ sin
x −
π
4
= −
1
√
2
⇔
x = k2π (loại)
x =
3π
2
+ k2π
(k ∈ Z).
16
Chuyên đề 8. Phương Trình Lượng Giác
Bài tập 8.28. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng cho trước:
a) sin 2x = 0 trên [0; 2π].
b)
√
3 tan x − 3 = 0 trên (0; 3π).
c) cos
x −
π
4
= 1 trên [−π; 3π]. d) cot
2x +
π
6
= −1 trên (0; 5π).
e) sin
2
+ 6 sin x − 7 = 0 trên
π
2
; 4π
.
f) cot x + tan x = 2 trên (0; 3π).
Lời giải.
a) Ta có sin 2x = 0 ⇔ x = k
π
2
(k ∈ Z).
Phương trình có các nghiệm trên [0; 2π] là x ∈
0;
π
2
; π;
3π
2
; 2π
.
b) Ta có
√
3 tan x − 3 = 0 ⇔ tan x =
√
3 ⇔ x =
π
3
+ kπ (k ∈ Z).
Phương trình có các nghiệm trên (0; 3π) là x ∈
π
3
;
4π
3
;
7π
3
.
c) Ta có cos
x −
π
4
= 1 ⇔ x =
π
4
+ k2π (k ∈ Z).
Phương trình có các nghiệm trên [−π; 3π] là x ∈
π
4
;
9π
4
.
d) Ta có cot
2x +
π
6
= −1 ⇔ x = −
5π
24
+ k
π
2
(k ∈ Z).
Phương trình có các nghiệm trên (0; 5π) là x ∈
7π
24
;
19π
24
;
31π
24
;
43π
24
;
55π
24
;
77π
24
;
89π
24
;
101π
24
;
113π
24
.
e) Ta có sin
2
+ 6 sin x − 7 = 0 ⇔
sin x = 1
sin x = −7 (vô nghiệm)
⇔ x =
π
2
+ k2π (k ∈ Z).
Phương trình có các nghiệm trên
π
2
; 4π
là x ∈
5π
2
.
f) Ta có cot x + tan x = 2 ⇔ tan x = 1 ⇔ x =
π
4
+ kπ (k ∈ Z).
Phương trình có các nghiệm trên (0; 3π) là x ∈
π
4
;
5π
4
;
9π
4
.
Bài tập 8.29. (D-02) Tìm nghiệm thuộc [0; 14] của phương trình cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0.
Lời giải. PT⇔ 4cos
3
x − 3 cos x − 4
2cos
2
x − 1
+ 3 cos x − 4 = 0
⇔
cos x = 0
cos x = 2 (vô nghiệm)
⇔ x =
π
2
+ kπ (k ∈ Z).
Phương trình có các nghiệm trên [0; 14] là x ∈
π
2
;
3π
2
;
5π
2
;
7π
2
.
Bài tập 8.30. Tìm nghiệm thuộc
π
2
; 3π
của phương trình sin
2x +
5π
2
− 3 cos
x −
7π
2
= 1 + 2 sin x.
Lời giải. PT⇔ cos 2x + 3 sin x = 1 + 2 sin x ⇔
sin x = 0
sin x =
1
2
⇔
x = kπ
x =
π
6
+ k2π
x =
5π
6
+ k2π
(k ∈ Z).
Phương trình có các nghiệm trên
π
2
; 3π
là x ∈
π; 2π;
13π
6
;
5π
6
;
17π
6
.
Bài tập 8.31. Tìm nghiệm thuộc
0;
3π
2
của phương trình 3 sin 2x − 4sin
3
2x + 2
√
3cos
2
3x = 2 +
√
3.
Lời giải. PT⇔ sin 6x +
√
3 (1 + cos 6x) = 2 +
√
3 ⇔ sin
6x +
π
3
= 1 ⇔ x =
π
36
+ k
π
3
(k ∈ Z).
Phương trình có các nghiệm trên
0;
3π
2
là x ∈
π
36
;
13π
36
;
25π
36
;
37π
36
;
49π
36
.
Bài tập 8.32. (A-02) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình 5
sin x +
cos 3x + sin 3x
1 + 2 sin 2x
=
cos 2x + 3.
Lời giải. Điều kiện: sin 2x = −
1
2
.
PT⇔ 5
sin x +
4cos
3
x − 3 cos x + 3 sin x − 4sin
3
x
1 + 2 sin 2x
= cos 2x + 3
⇔ 5
sin x +
4 (cos x − sin x) (1 + sin x cos x) − 3 (cos x − sin x)
1 + 2 sin 2x
= cos 2x + 3
⇔ 5
sin x +
(cos x − sin x) (1 + 4 sin x cos x)
1 + 2 sin 2x
= cos 2x + 3
⇔ 5 (sin x + cos x − sin x) = 2cos
2
x − 1 + 3
⇔
cos x = 2 (vô nghiệm)
cos x =
1
2
⇔ x = ±
π
3
+ k2π (k ∈ Z).
Phương trình có các nghiệm trên
0;
3π
2
là x ∈
π
36
;
13π
36
;
25π
36
;
37π
36
;
49π
36
.
17
