SKKN Chứng minh Bất đẳng thức.doc

/>
A . mở đầu
1) Lý do chọn đề tài .
Chúng ta đều biết rằng toán học là cơ sở của mọi ngành khoa học . Vì thế
môn toán đóng một vai trò quan trọng trong nhà trờng . Thông qua môn toán ,
học sinh nắm vững kiến thức toán học , từ đó dễ dàng học tập các môn học khác
để ứng dụng những kiến thức đã học vào các ngành khoa học kỹ thuật , ứng
dụng trong lao động , trong quản lý kinh tế , trong việc tự học , tự nghiên cứu
khoa học. Để giúp học sinh học tốt môn toán đòi hỏi ngời thầy giáo phải có sự
lao động nghệ thuật , sáng tạo , nghiêm túc .
Một vấn đề lớn trong chơng trình toán phổ thông đó là vấn đề bất đẳng
thức, vấn đề này đợc đa vào một cách xuyên suốt từ lớp 1 trở lên. Nhng ở các
lớp dới, bất đẳng thức cha đợc trình bày một cách cụ thể mà thờng đợc thể hiện
dới dạng ẩn ( cha có định nghĩa chính thức cụ thể ) .ở lớp 1 , lớp 2, lớp 3 ,thể
hiện dới dạng bài tập .
Ví dụ : Điền dấu thích hợp vào ô trống .
9 10 11 x 6 + 11 11 x 7
10 4 99 : 11 x 8 5 + 2 x 35
4 + 5 1 + 7 56 : 4 18 80 : 16
- ở lớp 4 , lớp 5 ngoài các dạng bài tập trên còn có thêm dạng .
+Tìm số tự nhiên x biết rằng : 32 < x <36 .
- ở lớp 6 bất đẳng thể hiện dới dạng :
+ So sánh hai số tự nhiên , so sánh phân số , so sánh luỹ thừa .
+ Chứng minh rằng :
b
a
>
d
c
ad > bc ;
b

a
<
d
c
ad < bc .
- ở lớp 7 bất đẳng thức thể hiện dới dạng :
+ So sánh hai số nguyên , so sánh hai số hữu tỷ .
+ Chứng minh rằng nếu :
b
a
<
d
c
( b>0 , d > 0) thì
b
a
<
bb
ca
+
+
<
d
c
.
+ Trong hình học thì có bất đẳng thức tam giác .
Đến lớp 8 sách giáo khoa mới chính thức dành riêng một mục trình bày
định nghĩa và một số tính chất của bất đẳng thức song cũng chỉ trình bày một
cách đơn giản . Cũng từ đây trở lên , lợng bài tập về bất đẳng thức và các dạng
bài tập ứng dụng bất đẳng thức cũng nhiều và khoa học hơn nh các dạng bài tập

chứng minh biểu thức luôn luôn dơng , luôn luôn âm , tìm giá trị lớn nhất , nhỏ
nhất của biểu thức , Do không nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức nên
khi giải bài tập học sinh thờng mắc sai lầm nh nhân hai vế của một bất đẳng
thức với cùng biểu thức khi cha xác định biểu thức đó là âm hay dơng ,
Phần lớn các bài tập trong sách giáo khoa cha thể hiện một cách rõ nét các ph-
ơng pháp chứng minh bất đẳng thức nên học sinh cha nắm đợc các phơng pháp
chứng minh bất đẳng thức .
Đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp thì bất đẳng thức là một
trong những nội dung hay đề cập đến và thờng là những bài tập khó , khả năng
phân tích , tổng hợp của học sinh còn hạn chế nên thờng lúng túng khi giải bài
tập về bất đẳng thức . Vì thế mà học sinh thờng sợ bất đẳng thức , cho bất đẳng
thức là bí hiểm , từ đó ảnh hởng đến kết quả học tập.
1
>
<
=
Để góp phần giải quyết những khó khăn về ngời học , đồng thời để công tác
bồi dỡng học sinh giỏi đạt kết quả tốt góp phần vào mục tiêu : Đào tạo và bồi d-
ỡng nhân tài . Tôi mạnh dạn chọn viết sáng kiến : Một số phơng pháp chứng
minh bất đẳng thức .
2) Mục đích nghiên cứu .
Đề tài này giúp ngời học hiểu một cách sâu sắc khái niệm về bất đẳng thức ,
nắm vững một số tính chất cơ bản về bất đẳng thức và một số bất đẳng thức quan
trọng đợc sử dụng trong chơng trình toán THCS . Qua đó học sinh biết vận dụng
các kiến thức để chứng minh bất đẳng thức . Nắm vững các phơng pháp chứng
minh bất đẳng thức và biết phối hợp các phơng pháp đó .
Thông qua việc giải các bài tập , học sinh đợc rèn luyện kỹ năng giải thành
thạo một số bài toán chứng minh bất đẳng thức . Bồi dỡng cho học sinh năng lực
phát hiện tìm tòi lời giải các bài toán , phát huy khả năng suy luận , óc phán đoán
của học sinh khi hớng dẫn học sinh phân tích bài toán để vận dụng những tính

chất và lựa chọn phơng pháp chứng minh cho phù hợp , phát triển t duy và khả
năng vận dụng sáng tạo trong quá trình giải các bài toán phức tạp hơn .
3) Phạm vi đề tài
Phát triển năng lực , t duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức đối
với học sinh lớp 8 và lớp 9 .
4) Đối tợng nghiên cứu và phơng pháp tiến hành .
- Đề tài áp dụng đối với học sinh lớp 8 , lớp 9 vào trong các giờ luyện tập , ôn
tập cuối kỳ , cuối năm , kỳ thi học sinh giỏi và thi tuyển vào THPT .
- Phơng pháp tiến hành :
Học sinh có kiến thức cơ bản , đa ra phơng pháp giải , bài tập áp dụng , sai
lầm hay gặp, bài tập tự giải ( học sinh về nhà làm bài tập ).
B. Nội dung
Chơng I: Những kiến thức cơ bản

1, Định nghĩa
Cho 2 số a và b ta nói :
a > b

a b > 0
a < b

a b < 0
2.1. a > b

b < a .
2.2. Nếu a >b, b > c thì a > c .
2.3. Nếu a > b , c > d => a + c > b + d .
2, Các tính chất của bất đẳng thức .
2.4. a > b => a + c > b + c , với mọi c .
2.5. a > b , c < d => a c > b d .

2.6. a > b , c > 0 => ac > bc .
a > b , c < 0 => ac < bc .
2.7. a > b 0 , c > d 0 => ac > bd .
2.8. a > b > 0 => a
n
> b
n
.
2
a > b a
n
> b
n
với n lẻ , n nguyên dơng .

a
>
b
a
n
> b
n
với n chẵn .
2.9. Nếu m > n > 0 thì :
a > 1 => a
m
> a
n
.
a = 1 => a

n
= a
n
, n nguyên dơng .
0 < a <1 => a
m
< a
n
.
2.10. a > b , ab > 0 =>
<
a
1
b
1
.
2.11. a
2
0 , - a
2
0 với mọi a , dấu = xảy ra a = 0 .
2.12.
a
0 dấu = xảy ra a = 0
2.13. -
a
a
a
dáu = xảy ra a = 0 .
2.14.

ba +

a
+
b
dấu = xảy ra ab 0 .

ba

a
-
b
dấu = xảy ra ab 0 và
a

b
.
2.15. a
2
+ b
2
2ab .
2.16. Bất đẳng thức Cô si :

2
ba +

ab
với a > 0 , b > 0.
2.17.

a
1
+
b
1

ba +
4
, với ab > 0.


2.18.
b
a
+
a
b
2 , với ab > 0 .
2.19.
ab4
1

)(
1
ba +
, dấu = xảy ra a = b .
2.20. ( a
2
+ b
2

) ( a + b )
2
, với mọi a, b .
2.21.
ba
ba
+
+

2
ba +
, ( a - b ).
2.22.
ab2
1

ba +
1

(
2
1
a
1
+
)
1
b

ba

ba
+
+
.
2.23. a
3
+ b
3
a
2
b + b
2
a.
2.24. Bất đẳng thức Bunhiacỗpki.
(a
1
b
1
+ a
2
b
2
)
2
( a
1
2
+ a
2
2

).( b
1
2
+ b
2
2
).
3

Chơng II: Một số phơng pháp
chứng minh bất đẳng thức .
1,Dùng định nghĩa .
+, Để chứng minh A > B ta xét hiệu A B và chứng minh A B > 0.
Ví dụ : Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều có : x
4
+ y
4
xy
3
+ x
3
y
Xét hiệu : x
4
+ y
4
( xy
3
+ x
3

y ) = ( x
4
xy
3
) + ( y
4
x
3
y ) =
= x( x
3
y
3
) + y( y
3
x
3
) = ( x y )( x
3
y
3
) =
= ( x y )
2
( x
2
+ xy + y
2
) = ( x y )
2

+






+
2
2
4
3
2
1
yyx
0
Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng . Dấu = xảy ra khi x = y .
2, Dùng các phép biến đổi tơng đơng .
+, Quá trình chuyển từ một bất đẳng thức sang một bất đẳng thức tơng đơng
gọi là một phép biến đổi tơng đơng .
+, Khi có hai bất đẳng thức tơng đơng , nếu một bất đẳng thức đúng thì bất
đẳng thức kia cũng đúng .

Ta có sơ đồ : A > B A
1
> B
1
A
2
> B
2
A
n
> B
n

Ví dụ : Cho các số dơng a , b thoả mãn điều kiện a + b = 1
Chứng minh rằng : ( 1 +
a
1
)( 1 +
b
1
) 9 (1)
CM :
Ta có ( a +
a
1
.)( b +
b
1
) 9 ab + a + b + 1 9 ab ( vì a,b > 0 )
a + b + 1 8 ab 2 8 ab ( vì a + b = 1 )

( a + b )
2
4 ab ( a b )
2
0 (2)
4
Bất đẳng thức (2) đúng các phép biến đổi là tơng đơng vậy bất đẳng thức (1)
đợc chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b .
3, Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức .
+Tính chất cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều .
+Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số ,cộng từng vế hai bất đẳng
thức cùng chiều , tính chất của luỹ thừa bậc chẵn , tính chất bắc cầu ,
Ví dụ : Cho a + b > 1. Chứng minh rằng : a
4
+ b
4
>
8
1
.

Lời giải :
Ta có a + b > 1 > 0 bình phơng hai vế ta đợc
(a+ b )
2
> 1 => a
2
+ 2 ab + b
2
> 1 (1)

Mặt khác có ( a - b )
2
0 => a
2
2 ab + b
2
0 (2)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta đợc : 2( a
2
+ b
2
) > 1 => a
2
+ b
2
>
2
1
(3)
Bình phơng hai vế của (3) ta đợc : a
4
+ 2a
2
b
2
+ b
4
>
4
1

(4)
Mặt khác : ( a
2
b
2
)
2
0 => a
4
2 a
2
b
2
+ b
4
0 (5)
Cộng từng vế của (4) và (5) ta đợc : 2 ( a
4
+ b
4
) >
4
1
=> a
4
+ b
4
>
8
1

4, Sử dụng một số bất đẳng thức quan trọng .
Ví dụ :
Cho a , b là 2 số dơng . Chứng minh rằng : a + b 4
ab
ab
+1

Lời giải :
Sử dụng bất đẳng thức Cô si ta đợc : a + b 2
1 + ab 2
Nhân các vế tơng ứng của các bất đẳng thức ta đợc :
( a + b )( 1 + ab ) 4
Do 1 + ab > 0 nên a + b
Dấu = xảy ra khi a = b = 1
5, Phơng pháp phản chứng .
Để chứng minh A > B ta giả sử điều ngợc lại A < B sau đó chỉ ra điều vô lý
với điều kiện bài toán .
Ví dụ : Cho a
3
+ b
3
= 2 . Chứng minh rằng : a + b 2 .
Lời giải
5
Giả sử a + b > 2 => a
3
+ b
3
+ 3 ab( a + b ) > 8
=> 2 + 3 ab( a + b ) >8 ( vì a

3
+ b
3
= 2 )
=> ab ( a + b ) > 2 => ab ( a + b ) > a
3
+ b
3
( vì a
3
+b
3
= 2 )
Chia 2 vế cho số dơng a + b ta đợc : ab > a
2
ab + b
2
=> 0 > ( a b )
2
. Vô
lý
Vậy a + b 2 .

6, Phơng pháp qui nạp .
Để chứng minh A B ta cần phải làm nh sau :

Cho bất đẳng thức đúng với n = 1
Thừa nhận bất đẳng thức đúng với n = k > 1
Chứng minh rằng bất đẳng thức đúng với n = k + 1
Ví dụ :

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n > 1 ta đều có :

1
1
+n
+
2
1
+n
+ +
n2
1

24
13
Lời giải : Ký hiệu vế trái của bất đẳng thức là S
n
Với n = 2 ta đợc
S
n
=
12
1
+
+
22
1
+
=
12

7

24
13
Giả sử bất đẳng thức đúng với 2 n k
ta chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1 . Thật vậy ta có :
S
n
=
1)1(
1
++k
+
2)1(
1
++k
+ +
)1(2
1
+k
=
2
1
+k
+
3
1
+k
+ +
12

1
+k
+
22
1
+k
Từ đó S
k+1
S
k
=
12
1
+k
+
22
1
+k
-
1
1
+k
=
)22)(1(2
1
++ kk
> 0 khi k > 1 .
Do vậy S
k+1
> S

k
>
24
13
.
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh với mọi n > 1

6
Chơng III: Những bài toán cụ thể
hớng dẫn học sinh thực hiện giải
Nh chúng ta đã biết khi gặp các bài toán về bất phơng trình , học sinh rất
sợ. Để làm đợc việc này giúp học sinh đỡ ngại , giáo viên phải thật sự làm rõ các
cách chứng minh bất đẳng thức dựa vào các cách đó các em có thể vận dụng linh
hoạt vào làm bài tập . Để bài tập có thể làm một vài cách dễ dàng, trớc hết giaó
viên phải có phơng pháp hớng dẫn học sinh phân tích nhận dạng thích hợp để làm
bài.
Các ví dụ cụ thể .
Bài tập 1: Cho a, b , c > 0 . Chứng minh rằng :
( a + b + c )(
a
1
+
b
1
+
c
1
) = 9 .
Trớc hết cho học sinh đọc kỹ đề bài
Với bài tập này ta sử dụng phơng pháp nào là thích hợp ?

Ta có thể sử dụng phơng pháp định nghĩa A B > 0. Ngoài ra còn sử dụng
định lý Cô si áp dụng với 3 số không âm .
Lời giải : Xét hiệu :
( a + b + c )(
a
1
+
b
1
+
c
1
) 9 = (
b
a
+
a
b
- 2 ) + (
c
a
+
a
c
- 2 ) + (
c
b
+
b
c

- 2 ) =
ab
ba )(
+
bc
cb )(
+
ca
ca )(
do a , b , c > 0 nên A 0
Theo định nghĩa bất đẳng thức suy ra ( a + b + c )(
a
1
+
b
1
+
c
1
) = 9.
Dấu = xảy ra a b = b c = a c a = b = c .
Bài tập 2. Chứng minh rằng :
Với hai số a , b tuỳ ý ta luôn có a
2
+ b
2
+ 1 ab + a + b
Hớng dẫn học sinh phơng pháp dùng định nghĩa A B > 0 để biến đổi mỗi
đẳng thức về bình phơng của tổng và hiệu .
Lời giải :

Xét hiệu : a
2
+ b
2
+ 1- ab a b =
2
1
( 2a
2
+ 2b
2
+ 2 2ab -2a 2b ) =

2
1
( ( a
2
2ab + b
2
) + ( a
2
2a + 1) + ( b
2
2b + 1 ) )
7
=
2
1
( ( a b )
2

+ ( a 1 )
2
+ ( b 1 )
2
) 0.
Bất đẳng thức đợc chứng minh dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 .
Qua các bài toán trên ta nhận thấy muốn giải bài toán bất phơng trình bằng
phơng pháp ding định nghĩa A B A B 0 ta có thể xét hiệu và chứng
minh hiệu đó lớn hơn hoặc bằng 0 bằng cách đa biểu thức về vế trái rồi biến đổi
thành bình phơng của một hiệu .
Bài tập 3 .
Cho các số dơng a và b thoả mãn : a + b = 1 .
Chứng minh rằng : ( 1 +
a
1
)( 1 +
b
1
) 9 (1).
H ớng dẫn học sinh giải : Xác định dạng nào
- Nên áp dụng điều kiện của bài toán
- Gợi ý học sinh làm bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng .

CM :
Ta có ( a +
a
1
.)( b +
b
1

) 9 ab + a + b + 1 9 ab ( vì a,b > 0 )
a + b + 1 8 ab 2 8 ab ( vì a + b = 1 )
( a + b )
2
4 ab ( a b )
2
0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng các phép biến đổi là tơng đơng vậy bất đẳng thức (1)
đợc chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b .
Bài tập 4. Chứng minh rằng với a , b > 0 thì
( a
5
+ b
5
)( a + b ) ( a
4
+ b
4
)( a
2
+ b
2
). (1)
Hớng hớng dẫn giải :
Nhận xét hai vế của bất đẳng thức ( số mũ của a và b ) xác định dạng . Dùng
phơng pháp biến đổi tơng đơng , luôn lu ý đến điều kiện của bàI toán đặt ra .
Lờigiải
(1) a
6
+a

5
b + ab
5
+ b
6
a
6
+ a
4
b
2
+ a
2
b
4
+ b
6

a
5
b a
4
b
2
a
2
b
4
+ ab
5

0
a
4
b ( a b ) - ab
4
( a b ) 0
( a b )( a
4
b - ab
4
) 0
ab( a b )( a
3
- b
3
) 0
ab( a b )
2
( a
2
+ ab + b
2
) 0 (2)
Ta có : ( a b )
2
0 , ab 0
( a
2
+ ab + b
2

= ( a +
2
b
)
2
+
4
3
b
2
0
Bất đẳng thức (2) đúng các phép biến đổi tơng đơng => bất đẳng thức (1)
đúng , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b .
8
Tóm lại : Muốn giải bài toán bất phơng trình theo cách biến đổi tơng đơng cần
lu ý cách biến đổi tơng đơng có điều kiện , chẳng hạn :
a
2
> b
2
a > b với a , b > 0.
a
m
> a
n
m > n ; m , n nguyên dơng , a > 1 cần chỉ rõ các điều kiện đó
khi biến đổi tơng đơng .
Bài tập 5.
Cho a 1 ; b 1 . Chứng minh rằng :
a

1b
+ b
1a
ab
Bài tập 6 .
Cho a , b , c là các số dơng và a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
( 1 +
a
1
) ( 1 +
b
1
) ( 1 +
c
1
) 64 .
Hớng dẫn :
Trớc hết ta phải xem điều kiện của bài toán đó là các số dơng , từ đó có suy
nghĩa là có thể áp dụng bất đẳng thức Cô si
Lời giải :
Bài tập 5 . Theo bất đẳng thức Cô si ta có :

1b
=
)1(1 b

2
11 + b
=
2

b


1a
=
)1(1 a

2
11 + a
=
2
a

Do đó = a
1b
+ b
1a

2
ab
+
2
ab
= ab .
Đẳng thức đợc chứng minh , dấu = xảy ra a = b = 2 .
Bài tập 6 .
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 4 số không âm . Ta có

a + 1 = a + b + c + a 4
4

2
bca
vì 1 = a + b + c
b + 1 = a + b + c + b 4
4
2
cab
vì 1 = a + b + c
c + 1 = a + b + c + c 4
4
2
abc
vì 1 = a + b + c
Nhân vế với vế của các bất đẳng thức trên ta đợc :
( 1 + a )( 1 + b )( 1 + c ) 64 abc . Do a , b , c > 0 nên a.b.c > 0 , chia cả 2 vế
của bất đẳng thức trên cho a.b.c ta đợc :
a
a+1
x
b
b+1
x
c
c+1
64
hay ( 1 +
a
1
) ( 1 +
b

1
) ( 1 +
c
1
) 64. Ta có điều phải chứng minh .
9
Dấu = xảy ra a = b = c =
3
1


Chơng IV : thực nghiệm
Bài soạn : Sử dụng phơng pháp dùng bất đẳng thức Cô si .
Bài soạn này dùng để giảng một tiết ngoại khoá .
I) Yêu cầu trọng tâm :
Học sinh nắm chắc bất đẳng thức Cô si áp dụng cho 2 số , cho 3 số ,
_ Biết đợc đây là bất đẳng thức quan trọng trong chơng trình toán phổ thông
.
- Thấy đợc thêm một số cách sử dụng bất đẳng thức Cô si , qua đó thấy sự
cần thiết phải linh hoạt tuỳ vào những tình huống cụ thể .
II) Các hoạt động dạy trên lớp .
1, Kiểm tra bàI cũ kết hợp củng cố kiến thức cũ .
? Nêu bất đẳng thức Cô si cho 2 số .
Cho a , b > 0 ta có :
2
ba +

ab
, dấu = xảy ra a = b .
GV : Bất đẳng thức Cô si còn áp dụng cho n số không âm

Cho n số a
1
, a
2
, , a
n
ta có :
n
aaa
n
+++
21

n
n
aaa
21

Dấu = xảy ra a
1
= a
2
= = a
n
.
10
2, Bài tập áp dụng :
* Bài số 1 . Chứng minh x
2
+ y

2
2 xy
Lời giải :
Dễ dàng ta thấy đây là bất đẳng trhức Cô si áp dụng cho 2 số không âm x
2
và
y
2

Ta có : x
2
+ y
2

xy
x
2
+ y
2
2 xy . Dấu = xảy ra x = y .
* Bài số 2 . Cho 3 số a , b , c > 0 chứng minh rằng
( a + b + c )(
a
1
+
b
1
+
c
1

) = 9
Lời giải :
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số không âm ta có :
a + b + c 3
3
abc


cba
111
++
3
3
1
abc
Nhân từng vế 2 bất đẳng thức ta đợc :
( a + b + c )(
a
1
+
b
1
+
c
1
) 9
Dấu = xảy ra a = b = c .
Nhận xét : ở bài tập này còn có thể làm bằng nhiều cách khác nhau nh dùng
định nghĩa .
Bài số 3 . Cho a , b , c 0 . Chứng minh rằng :

a
4
+ b
4
+c
4
abc ( a + b + c )
Nhận xét :
- ở bài toán này nếu để ý ở vế phải khi thực hiện phép nhân sẽ có tổng các
số hạng sau a
2
bc , ab
2
c , abc
2
không âm . Từ đó ta nghĩ đến việc dùng bất
đẳng thức Cô si
- ở vế trái có các hạng tử mũ 4 và vế phải xuất hiện a a b c , a b b c , a b c c ,
ta có thể nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 4 số không âm nh
sau :
a
4
+ a
4
+ b
4
+ c
4
16
4

4444
256
cbaa
= a
2
bc
11
Tơng tự ta có : a
4
+ b
4
+ b
4
+ c
4
16
4
4444
256
cbaa
= ab
2
c
a
4
+ b
4
+ c
4
+ c

4
16
4
4444
256
cbaa
= abc
2
Cộng từng vế các bất đẳng thức ta đợc : a
4
+ b
4
+c
4
abc ( a + b + c ).
* Bài số 4 .Cho a
1
, a
2
, , a
n
> 0 và a
1
+ a
2
+ + a
n
= 1
Chứng minh rằng :
( 1 +

1
1
a
)( 1 +
2
1
a
)( 1 +
n
a
1
) ( n + 1 )
n
a
1
a
2
a
n
.
Lời giải: Bất đẳng thức đã cho tơng đơng với bất đẳng thức sau ( do a
i
> 0 với
mọi i ) .

( 1 + a
1
)( 1 + a
2
)( 1 + a

n
) ( n + 1 )
n
a
1
a
2
a
n


Ta áp dụng bất đẳng thức Cô si cho n + 1 số
1 + a
1
= a
1
+ a
1
+ a
2
+ + a
n
( n + 1 )
1

+n
aaa

1 + a
2

= a
1
+ a
2
+ a
2
+ + a
n
( n + 1 )
1

+n
aaa


1 + a
n
= a
n
+ a
1
+ a
2
+ + a
n
( n + 1 )
1

+n
aaa

Nhân từng vế n bất đẳng thức trên ta đợc :
( 1 + a
1
)(1 + a
2
)( 1 + a
n
) ( n + 1 )
n
a
1
a
2
a
n
.
Vậy (1) đúng dấu = xảy ra a
1
= a
2
==a
n
=
n
1
.
3 , Củng cố và hớng dẫn về nhà
Củng cố : thuộc bất đẳng thức Cô sic ho 2 số , cho 3 số ,, n số . Thấy đợc

sự đa dạng và linh hoạt trong quá trình sử dụng bất đẳng thức Cô si .
H ớng dẫn :
Xem lại bài giảng , làm lại các ví dụ
Bài tập về nhà : Chứng minh rằng : 1, a + b
ab
ab
+1
4
.
2, a
3
+ b
3
+ c
3
a
2
bc
+ b
2
ca
+ c
2
ab
Kết quả kiểm tra :
Chọn trong khối 9 đợc 30 học sinh có lực học khá - giỏi do Thày Đặng Văn
Tân Khanh trực tiếp giảng dạy khi cho làm bài kiểm tra có kết quả nh sau :
- Số bài dới trung bình : 3
- Số bài trung bình : 12
- Số bài đạt khá , giỏi : !5

12
Đặc biệt trong kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện có 3 em đợc giải và nằm trong
đội tuyển của huyện tập trung ôn luyện chuẩn bị thi tỉnh .
C .Phần kết
Trong quá trình làm và triển khai áp dụng đề tài chúng tôi đã rút ra đợc nhiều
kiến thức khoa học . Đặc biệt là phơng pháp nghiên cứu khoa học . Đề tài đợc viết
xuất phát từ thực trạng học sinh nắm các kiến thức về bất đẳng thức còn hạn chế ,
qua đây nhằm bổ xung cho học sinh nắm chắc hơn các phơng pháp chứng minh
bất đẳng thức , có thể giúp cho học sinh và giáo viên giảng dạy khối 8 và khối 9
cũng nh để bồi dỡng học sinh giỏi .
Do năng lực và kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế , đề tài không tránh
khỏi những thiếu sót về trình bày , các phơng pháp có thể nêu cha đủ , cha đa
dạng về bài tập . Do đó có thể cha đáp ứng đợc hết các nhu cầu của ngời đọc
trong việc dạy và học. Rất mong nhận đợc sự góp ý , sửa chữa bổ xung của bạn
đọc để đề tài đợc hoàn chỉnh hơn .
Tôi xin trân trọng cám ơn !
.
Tân việt , ngày 12 tháng 04 năm 2005

Ngời viết

Phạm Tuấn Doanh
.
13
D . Tài liệu tham khảo
Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 8
Toán phát triển Đại số 8
Ôn luyện và kiểm tra toán 8
Các chuyên đề về bất đẳng thức ( 3 tập )
E . mục lục

Trang
A . Mở đầu 1
B . Nội dung 3
Chơng I 3
Chơng II 5
Chơng III 8
Chơng IV 12
C . Phần kết 15
D . Tài liệu tham khảo 16
E . Mục lục 17
14
15
16
17
18
19