skkn chứng minh bất đẳng thức

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 !"
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) *%% &%"+,'+
-.%)/% &#), *#.##
% &0
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=#"000A=B6CD#), *'D
.%)% &0
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)%% &%%
&F)IJ#.## >
6K > *?)%093=/
6G1H"D)2!B;! 6
$$%D=!8D)!"%=#
0
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B *67!8% &L!4 >M%D NO
. .!4% & P%D#.###)000000
6;%=#=!8Q$#6%?$$3#%
B=!8% &$#6( >? *
R
#.##$.% &

%0
S  ((mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ øng dông
cñabÊt ®¼ng thøc )) ;$#66;#.
##% & T! UB
@'"D *6#T/B
 (  *+.KV).
W
B giải quyết vấn đề
phần I: điều trathực trạng trớc khi nghiên cứu
X)!"B?#3#6;%=#% &B6
$$+%=#B >? 3%+
6E %
++(%=#! B

? B+CD#)?!I66;#.
##% &!8/% &+
CD6 ($#6D% &
+6%=#% &
Phần II: các phơng pháp nghiên cứu
P.##
Y.## ;
Y.##+
Phần III: nội dung của đề tài
i : Các kiến thức cần lu ý
1, Định nghĩa bất đẳng thức
Z@.%-+[%
Z?.%-+\%
Z@.3%Q%-+[%
Z?.3%Q%-+\%
2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức :

-]L\%[^\%[
H;_*6`(@`(`(%`(BD`(
abccdR]bR
e
%-fL\%%\^\\
-bL\%[^\Z\%Z
G+)L\%[^\O\%O
Z\%[^\\%O
!-gL\%\!^\Z\%Z!
\%[!^\O\%O!
J-dL\%\c^\\%!
\%[c^\[%!
h-RL\%\ci\!\c^\\%!
-WL\%\c^\

\%

\%[^\

\%

?j0
-eL\%i%\c^\
3, Một số bất đẳng thức thông dụngL
< &16L
A?f6;!.%L
ab
ba

+

2

k &K)BL^%
%< &<#KL
A?6;i%iKiBLlKZ%Bm
f


l
f
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f
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f
ZB
f
m
k &K)B[^\
y
b
x
a
=

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++
k &K)BL%

c
II : Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng
thức
1.Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa
n
OXDL`(o\<Ka+oO<po
O<\c0
OqTLo
f

≥
c?oi!rr^rrK)Bo^c0
OA-!8L
Bµi 1.1 :
A?6;LKBsQLK
f
ZB
f
Zs
f
Zb
≥
flKZBZsm
Gi¶i :
Ka+LG^K
f
ZB
f
Zs
f

ZbOflKZBZsm
^K
f
ZB
f
Zs
f
ZbOfKOfBOfs
^lK
f
OfKZ]mZlB
f
OfBZ]mZls
f
OfsZ]m
^lKO]m
f
ZlBO]m
f
ZlsO]m
f
klKO]m
f

≥
c?K
lBO]m
f

≥

c?B
lsO]m
f

≥
c?s
 ^\G
≥
c?KBs
GBK
f
ZB
f
Zs
f
Zb
≥
flKZBZsm?KBs0
k%QK)B[^\K^B^s^]0
Bµi 1.2L
1%!J6;L
1QL
f
Z%
f
Z
f
Z!
f
ZJ

f

≥
l%ZZ!ZJm
Gi¶i :
ta+LG^
f
Z%
f
Z
f
Z!
f
ZJ
f
Ol%ZZ!ZJm
^l
b
a
−
2
m
f
Zl
c
a
−
2
m
f

Zl
d
a
−
2
m
f
Zl
e
a
−
2
m
f
kl
b
a
−
2
m
f

≥
c?%
kl
c
a
−
2
m

f

≥
c?
kl
d
a
−
2
m
f

≥
c?!
kl
e
a
−
2
m
f
≥
c?J
^\G
≥
c?%!J
krr^rrK)B[^\%^^!^J^
2
a
Bµi 1.3 :1% &L

]c

2
22
22






+

+
baba
Giải :
ta+LG^
2
22
22






+

+
baba

^
4
)2()(2
2222
bababa
+++
^
0)(
4
1
)222(
4
1
22222
=+
baabbaba
0A?%0
krr^rrK)B^%0
2. Phơng pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tơng đơng .
OXDL<D N% &C. .?%
& $3% & P * $0
O96;% &F!4L
loZ<m
f
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f
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f
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f

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f
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f
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f
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f
Zfo<Zfo1Zf<1
loZ<m
b
^o
b
Zbo
f
<Zbo<
f
Z<
b
loO<m
b
^o
b
Obo
f
<Zbo<

f
O<
b
0
A-!8L
Bài 2. 1L1%6;!.N%Q]01QL

3
4
1
1
1
1

+
+
+
ba
Giải:
k4#a#%D N. .i
blZ]Z%Z]m

glZ]ml%Z]m
n

gl%ZZ%Z]mlZ%^]m
n

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g%lZ%m
f


g%
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Bài 2. 2L1%6;!.)PLZ%Z^g
1QLlZ%ml%ZmlZm


b
%
b

b

Giải:
uLlZ%m
f


g%lZ%Zm
f
^
[ ]
cbacba )(4)(
2
+++
]]
^\]R

≥
glZ%m^\]RlZ%m
≥
glZ%m
f

≥
]R%
^\Z%
≥
%
.L%Z
≥
%
Z
≥
%
^\lZ%ml%ZmlZm
≥
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b
%
b

b

Bµi 2.3L1% &L

3
33

22






+
≥
+
baba
i \ci%\c
Gi¶i :
k4#a#%D N. .LA?\ci%\c^\Z%\c

3
33
22






+
≥
+
baba









+
≥+−






+
2
).(
2
22
ba
baba
ba
0
2
2

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




+
ba

f
O%Z%
f

≥

2
2






+
ba
g
f
Og%Zg%
f

≥

f
Zf%Z%
f


b
f
OR%Zb%
f

≥
bl
f
Of%Z%
f
m
≥
c
< &;4 $i6BL
3
33
22






+
≥
+
baba
Bµi 2.4:
1f6;%)PZ%^]019v

b
Z%
b
Z%
≥

2
1
Gi¶i :
L
b
Z%
b
Z%
≥

2
1
[^\
b
Z%
b
Z%O
2
1

≥
c
[^\lZ%ml
f

O%Z%
f
mZ%O
2
1

≥
c
[^\
f
Z%
f
O
2
1
≥
c0AZ%^]
[^\f
f
Zf%
f
O]
≥
c
[^\f
f
Zfl]Om
f
O]
≥

cl%^O]m
[^\g
f
OgZ]
≥
c
[^\lfO]m
f

≥
c
< &;4 $0A=B
b
Z%
b
Z%
≥

2
1
krr^rrK)B^%^
2
1
Bµi 2.5 :1% &L
3
33
22







+
≥
+
baba

]f
L\c%\c0
Giải :
A?\c%\c^\Z%\c
L
3
33
22






+

+
baba
[^\
( )
2
22

22
.
2






+






+
+






+
baba
baba
ba
[^\
2

22
2






+
+
ba
baba
[^\g
f
Og%Zg%
f



f
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f

[^\bl
f
Of%Z%
f
m

c

[^\blO%m
f


c0< &B $
^\
3
33
22






+

+
baba
krr^rrK)B^%0
Bài 2.6LA?\c%\c01% &L

a
b
a




a

b
b

Giải :
k4#a#%D N. .L

a
b
a




a
b
b

l
)() baabbbaa
++

c

[ ]
0)()()(
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++
baabba

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baabbababa

0)2)((
++
bababa

0))((
+
baba
< &; $i6BL
a
b
a




a
b
b


3. Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc .
OXDLk4% &JL16<#K
% &!>B+ ; (%D N
96;+)u% &LK
f
ZB
f

fKB
A?%\c
2
+
a
b
b
a
]b
1-!8L
Bµi 3.1Lw)67%6;!.QL

2>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a

Gi¶i
#!8<`1BL
Zl%Zm
)(2 cba

+≥

cba
a
cb
a
++
≥
+
2
. *L

cba
b
ac
b
++
≥
+
2

cba
c
ba
c
++
≥
+
2
k%Q/%<`( pFK)B L

^%Z%^Z^Z%Z%Z^cl?)D% 
6;!.m0
u 6BL
2>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
Bµi 3.2:
1KBf6;)PL

K
f
ZB
f
^
22
11 xyyx
−+−
 1QLbKZgB
≤
d
Gi¶i :
¸#!8% &<#KL

lK
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^l
22
11 xyyx
−+−
m
f
l
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x
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1
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m

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f
Z]OK

f
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^\K
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ZB
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"LlbKZgBm
f

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f
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≤
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`&K)B








=
>>
=+
43
0,0
1
22
yx
yx
yx






=
=
5
4
5
3
y
x
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2
5
2
3
≤≤
x
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≥
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
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5,3111
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cba
Gi¶i
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( )
( )
( ) ( ) ( )






+++++++≤+++++

222
1111.1.1. accbbaaccbba
^\
( )
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2
=++≤+++++
acbaaccbba
^\
6
≤+++++
accbba
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krr^rrK)BL^%^^
3
1
%¸#!8% &16L

1
22
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2

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b
b
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1
2
1
+≤+
c
c
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
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2
111
=+
++
≤+++++
cba
cba
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A=BL
5,3111
<+++++
cba
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111

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0
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b
b
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cba
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111
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)
111
(
cba
++
0lZ%Zm
^
111
++++++++

b
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
^
≥++++++
)()()(3
c
a
a
c
b
c
c
b
a
b
b
a
bZfZfZf^n
^\
9

111
≥++
cba
krr^rrK)BL^%^^
3
1
Bµi 3.5
1KB\c01QL
yxyx
+
≥+
411


Gi¶i
¸#!8% &16L
xyyx 2
≥+

]d

yx
11
+



xy
2
^\lKZBml

yx
11
+
m

g
^\
yx
11
+



yx
+
4
4. Phơng pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức :
OXDLk4- P * (=!8)%
=#0
1-!8L
Bài 4.1 :1f6;KB)P +LKZB^f0
1QLK
g
ZB
g


f
Giải
J-%,CLlK

f
OB
f
m

cK
g
ZB
g


fK
f
B
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g
ZB
g
m

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f
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f

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f
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f


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flK
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f
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f
flK
f
ZB
f
m

gALKZB^f
K
f
ZB
f

flfm
ul]mlfmLK
g
ZB
g


f
krr^rrK)BK^B^]0
Bài 4.2:
1c[%![]01QL
l]Oml]O%ml]Oml]O!m\]OO%OO!0
Giải :
Ll]Oml]O%m^]OO%Z%
k%\c%\c^\l]Oml]O%m\]OO%0
k[]]O\c^\l]Oml]O%ml]Om\l]OO%ml]Om
l]Oml]O%ml]Om\]OO%OZZ%0
k%!\c]O!\ciZ%\ci!Z%!Z!\c
^\l]Oml]O%ml]Om\]OO%O
^\l]Oml]O%ml]Oml]O!m\l]OO%Oml]O!m
^\l]Oml]O%ml]Oml]O!m\]OO%OO!Z!Z%!Z!
^\l]Oml]O%ml]Oml]O!m\]OO%OO!0
]R
Bài 4.3 :1c[%[]01QL
f
b
Zf%
b
Zf
b

[bZ
f
%Z%
f
Z
f

Giải :
k%[]^\
b
[
f
[[]i%
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[%
f
[%[]iL
l]O
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ml]O%m\c^\]Z
f
%\
f
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^\]Z
f
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b

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b
Z%
b
[]Z
f
%0
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b
Z
b
[]Z%
f
i
b
Z
b
[]Z
f
0
^\f
b
Zf%
b
Zf
b
[bZ
f
%Z%
f

Z
f

5.phơng pháp 5 : Dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa các số tự
nhiên
Bài 5.1: 1\%\c19vL

1996 1996
1996 1996
a b
a b

+
\
1995 1995
1995 1995
a b
a b

+
w)L
`(% &% &
6D\%\c6;\
m m n n
m m n n
a b a b
a b a b

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+ +

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2 2
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m m n n
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a b a b
+ +
>
+ +


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2 2 2 2
1
m n m n
m m n n m m n n
b b b b
a b a b a b a b
> >
+ + + +
m n
m n
m n
m m n n
m m n n
m m n n
b b

b b
b b
a b a b
a b a b
b b b b
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+ +
+ +
1 1
1 1
m n
m n
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b b
<
+ +
1 1
m n
m n
a a
b b
+ > +
( ) ( )
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m n
m n
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b b b b
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1
a
b
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$
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m m n n
a b a b
a b a b

>
+ +
;\%\c\
^]nnR^]nnd% &#)x $
1996 1996
1996 1996
a b
a b

+
\
1995 1995
1995 1995
a b
a b

+

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