Hệ phương trình,giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (118.38 KB, 9 trang )
Ôn tập chơng 3
A.Lý thuyết
Phần 1: Yêu cầu kiến thức cần nắm đối với học sinh yếu ,kém.
- Nhận biết đợc và cho ví dụ cụ thể đợc về phơng trình bậc nhất hai ẩn.
- Biết cách viết tập nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn và vẽ minh hoạ đợc
bằng hình học.
- Nhận biết đợc và cho ví dụ cụ thể đợc về hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn.
- Hiểu và giải đợc thành thạo hệ phơng trình bằng hai phơng pháp cộng và thế đối
với các hệ phơng trình có hệ số bằng số đơn giản.
- Bớc đầu tiếp cận với các hệ phơng trình có tham số đơn giản, biết thay và giãi hệ
với tham số cụ thể.
- Bớc đầu làm quen với các bài toán giải bằng cách ứng dụng giải hệ phuơng trình
đơn giản nh xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B.
- Làm quen và giải các bài toán giải bằng các lập hệ phơng trình đơn giản theo trình
tự các bớc.
Phần 2: Yêu cầu kiến thức cần nắm đối với học sinh TB và khá.
- Nẵm vững và cho ví dụ cụ thể đợc về phơng trình bậc nhất hai ẩn.
- Biết cách viết tập nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn và vẽ minh hoạ đợc
bằng hình học.
- Nhận biết đợc và cho ví dụ cụ thể đợc về hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn.
- Hiểu và giãi đợc thành thạo hệ phơng trình bằng hai phơng pháp cộng và thế đối
với các hệ phơng trình có hệ số bằng số.
- Giải hệ bằng phơng pháp minh hoạ bằng đồ thị :
Cho hệ pt:
=+
=+
''.' cybxa
cbyax
+=
+=
)'(
'
'
'
'
)(
d
b
c
x
b
a
y
d
b
c
x
b
a
y
* Vẽ d và d' trên cùng một mặt phẳng toạ độ
* Xác định giao điểm chung :
+Nếu d cắt d' tại điểm A (x
0
; y
0
) Hệ có một nghiệm duy nhất (x
0
; y
0
)
+ d// d' Hệ vô nghiệm
+ d trùng với d' Hệ vô số nghiệm và nghiệm tổng quát là ( x R; y=
b
c
x
b
a
+
)
- Bớc đầu tiếp cận với các hệ phơng trình có tham số đơn giản, biết thay và giãi hệ
với tham số cụ thể ,giải biện luận hệ có tham số.
- Giải thành thạo các bài toán giải bằng cách ứng dụng giải hệ phuơng trình đơn
giản nh xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B và một
số bài toán khác.
- Nắm vửng các bớc giãi các bài toán giải bằng các lập hệ phơng trình và giải nhiều
bài cụ thể.
B. Bài tập:
Phần 1: B i t p c bn
Bài 1: Giải hệ pt bằng phơng pháp thế:
a )
=+
=+
732
3
yx
yx
b )
3 5
5 2 28
x y
x y
=
+ =
c )
3 5 1
2 8
x y
x y
+ =
=
Giãi
1
a )PP thế : Hớng dẫn HS chọn PT(1) y= 3 -x (1')
Thế vào PT (2) ta đợc :
2x + 3( 3 -x ) = 7 2x +9 - 3x = 7
-x = 7-9 =-2 x= 2
Thay x = 2 vào (1') y= 3 -2 = 1
Vậy hệ PT có nghiệm duy nhất ( x= 2 ; y =1)
b)
3 5 3 5 3 5 3 5 3
5 2 28 5 2(3 5) 23 5 6 10 23 11 33 4
x y y x y x y x x
x y x x x x x y
= = = = =
+ = + = + = = =
c)
=
=
=
+=
=++
+=
=
=+
2
3
3913
82
1)82(53
82
82
153
y
x
x
xy
xx
xy
yx
yx
Bài 2: Giải hệ pt bằng phơng pháp cộng đại số:
a)
=+
=+
732
3
yx
yx
b )
2 1
2
x y
x y
+ =
=
c )
4 5
2 1
x y
x y
=
+ =
Giãi
a)PP cộng : Nhân 2 vế của PT(1) với 2 ta đợc hệ mới tơng đơng với hệ đã cho :
=+
=+
732
622
yx
yx
=+
=
3
1
yx
y
=
=
2
1
x
y
b)
2 1 2 1 1
2 2 2 4 4 0
x y x y y
x y x y x
+ = + = =
= = =
c)
4 5 8 2 10 1 1
2 1 2 1 2 1 1
x y x y x x
x y x y y x y
= = = =
+ = + = = =
Bài 3: Xác định các giá trị của a và b để hệ pt
3 6
5
x by
ax by
+ =
+ =
a) có nghiệm (-1;3)
b) Có nghiệm (
3;3)
HD giải:
a) Hệ pt có nghiệm (-1;3) ta thay x = -1; y = 3 vào hệ pt ta có
3.( 1) .3 6 3 3
.( 1) .3 5 3.3 5 4
b b b
a b a a
+ = = =
+ = + = =
b) Hệ pt có nghiệm (
3;3)
ta thay x = -3, y = 3 vào hệ pt ta đợc
5
3.( 3) .3 6 3 6 9
10
.( 3) .3 5 ( 3) 3 5
3
b
b b
a b a b
a
=
+ = = +
+ = + =
=
Bài 4: Cho hệ pt
=+
=+
1
12
mmymx
ymx
Giải hệ pt khi:
a) m = 3
b) m = 2
2
c) m = 0
HD giải: a) Khi m = 3 ta có hệ pt
=+
=+
233
123
yx
yx
gải hệ pt đợc nghiệm là
(x;y) = (-
3
1
; 1)
c) Khi m = 2 ta có hệ pt
=+
=+
122
122
yx
yx
hệ có vô số nghiệm.
Ta có công thức nghiệm tổng quát là
=
2
21 x
y
Rx
hoặc
=
2
21 y
x
Ry
Bài 5: Cho hệ pt
=+
=+
2.
1
yxa
ayx
(I)
a) Giải hệ pt khi a = 2
b) Với giá trị nào của a thì hệ pt có nghiệm duy nhất
HD giải:
a) Khi a = 2 hệ pt có nghiệm (x;y) = (1;0)
b)
=
=
=+
=
(*)2)1(
1
2)1(
1
)(
2
aya
ayx
yaya
ayx
I
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
pt (*) có nghiệm duy nhất 1 a
2
0 a 1
Bài 6: Cho hệ PT :
=+
=+
1
12
mmymx
ymx
a; Tìm m biết nghiệm của hệ là x= -1/3 ; y =1 ?
b; Giải hệ với m =0 ?
HD Giải :
a; Vì nghiệm của hệ là x= -1/3 ; y =1 Nên Ta thay vào hệ ta có :
3
3
3
11.)3/1(
11.2).3/1(
=
=
=
=+
=+
m
m
m
mmm
m
Vậy với m= 3 thì hệ trên có nghiệm là x= -1/3 ; y =1
b; Thay m = 0 vào hệ PT ta đợc :
=
=
=+
=+
10
12
1000
120 y
yx
yx
Hệ PT vô nghiệm
Bài 7: tìm a và b biết :
a; Để đờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1 ; 5 ), B ( -1 ; -1 )
b; Để đờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(- 5 ; 3 ), B (
)1;
2
3
Giải :
a; Vì đờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1 ; 5 ), B ( -1 ; -1 ), nên thay vào phơng
trình đờng thẳng ta có hệ:
+=
+=
ba
ba
1
5
3
Giải ra ta đợc : a=3; b = 2
b. Vì đờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(- 5 ; 3 ), B (
)1;
2
3
nên thay vào phơng
trình đờng thẳng ta có hệ:
+=
+=
ba
ba
2
3
1
53
Giải ra ta đợc : a=-
13
8
; b = -
13
1
Bài 8:
Bảy năm trớc tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4. Năm nay tuổi mẹ vừa đúng
gắp 3 lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi nguời bao nhiêu tuổi ?
Giải:
Gọi số tuổi năm nay của mẹ là x
Gọi số tuổi năm nay của con là y ( x,y N*)Vì bảy năm truớc tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi
con cộng thêm 4 nên ta có:
(x-7) = 5 (y-7) + 4 (1)
Năm nay mẹ gấp 3 lần tuổi con nên:
x = 3y (2)
Ta có hệ PT
=
+=
)2.(3
)1(4)7(57
yx
yx
Thay (2) vào (1) ta có:
3y-7=5y-35+4
2y = 24 y=12. TMBT
x =3.12=36 x=36. TMBT
vậy tuổi mẹ năm nay là 36 ; còn tuổi con là 12
Bài 9
Tìm một số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục bằng hai lần chữ số hàng đơn vị
cộng thêm 2 và tổng của hai chữ số là số nguyên tố nhỏ nhất có hai chữ số
Hớng dẫn giải :
Gọi số phải tìm là ab ( a;b N ; 1 a 9 ; 0 b 9 )
Theo bài ra ta có hệ phơng trình :
=+
+=
11
2.2
ba
ba
Giải hệ này ta tìm đợc : a = 8 ; b = 3
Vậy số phải tìm là : 83
Bài 10
Một khu vờn hình chữ nhật có tổng nữa chu vi và chiều dài bằng 66m ; có nửa tổng chu
vi và 2 lần chiều rộng là 48 m . Tính diện tích khu vờn ?
Giải:Gọi x ( m ) là chiều rộng hình chữ nhật ; Gọi y (m) là chiều dài hình chữ nhật
( ĐK: 0<x< y )
Chú ý : nữa chu vi là : x +y
Ta có hệ PT:
=+
=+
483
662
yx
yx
Giải hệ ra ta có : x = 6 ; y = 30
Vậy chiều rộng là 6 m ; chiều dài là 30 m
4
Diện tích Hình chữ nhật đó là : 6 . 30 = 180 m
2
Phần 2: B i t p nõng cao
Bài 1: Giải hệ pt bằng phơng pháp thế:
a)
=
=
=
=
=+
=
=+
=
=+
=
11
59
11
38
3811
53
281065
53
28)53(25
53
2825
53
y
x
x
xy
xx
xy
xx
xy
yx
yx
b)
=
=
=
+=
=++
+=
=
=+
2
3
3913
82
1)82(53
82
82
153
y
x
x
xy
xx
xy
yx
yx
c)
=
=
=
=
=
=
+=+
=
=
+
+
=
19
12
19
8
19
12
3
2
49
3
2
4
3
2
369324
3
2
4
9
4
8
32
y
x
y
y
x
y
y
y
x
yx
y
x
y
x
yx
TMĐKy-4)
Bài 2: Giải hệ pt bằng phơng pháp cộng đại số:
a)
7
7
5 2 1 5 2 1 9 7
9
9
2 3 4 2 6 2 3 13
3 2
9
x
x y x y x
x
x y x y x y
y x
y
=
= = =
=
+ = + = + =
=
=
b)
3 5 1 6 10 2 13 26 2
2 8 6 3 24 2 8 3
x y x y y y
x y x y x y x
+ = + = = =
= = = =
c)
2 0 3 6 0 2 2 1
3 4 2 6 4 2 0 2
x y x y y y
x y x y x y x
= = = =
+ = + = = =
Bài 3: Xác định các giá trị của a và b để hệ pt
=+
=+
5
73
byax
byx
d) có nghiệm (-1;3)
e) Có nghiệm (
)3;2
HD giải: a) Hệ pt có nghiệm (-1;3) ta thay x = -1; y = 3 vào hệ pt ta có
=
=
=+
=
=+
=+
5
3
1
3
5
3
10
.3
3
10
53.)1.(
73.)1.(3
a
b
a
b
ba
b
b) Hệ pt có nghiệm (
)3;2
ta thay x =
2
, y =
3
vào hệ pt ta đợc
=
=
=
=
=+
=
=+
=+
23
3
6337
2
223
3
237
52372
2373
532
7323
a
b
a
b
a
b
ba
b
Bài 4: Giải các pt sau
5
a)
=+
=+
=+
=+
3
133
10
11
5
3
12
1
4
3
4
3
10
11
5
3
yx
yx
yx
yx
(ĐK: x 0, y 0)
Đặt
b
y
a
x
==
1
;
1
hệ có dạng
=+
=
=+
=+
3
1
)
5
3
10
1
(33
5
3
10
1
3
1
33
10
1
5
3
aa
ab
ba
ba
=
=
=
=
12
1
36
1
5
3
10
1
30
1
5
6
b
a
ab
a
)(
12
36
12
11
36
11
TM
y
x
y
x
=
=
=
=
vậy hệ pt có nghiệm (x;y)=(36;12)
b)
=
+
+
=
+
+
12
1
2
1
1
1
1
2
15
1
8
yx
yx
(ĐK: x 1, y -2)
Đặt
u
x
=
1
1
;
v
y
=
+ 2
1
hệ có dạng
=+
=
=+
=+
1)
12
1
(8
12
1
12
1
1158
vv
vu
vu
vu
=
=
=
=
28
1
21
1
3
1
7
12
1
u
v
v
vu
=
=
=+
=
=
+
=
19
29
212
281
21
1
2
1
28
1
1
1
y
x
y
x
y
x
(TMĐK)
Bài 5: Cho hệ pt
=+
=+
2.
1
yxa
ayx
(I)
c) Giải hệ pt khi a = 2
d) Với giá trị nào của a thì hệ pt có nghiệm duy nhất
HD giải:
c) Khi a = 2 hệ pt có nghiệm (x;y) = (1;0)
d)
=
=
=+
=
(*)2)1(
1
2)1(
1
)(
2
aya
ayx
yaya
ayx
I
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
pt (*) có nghiệm duy nhất 1 a
2
0 a 1
Bài 6: giải hệ pt
a)
=
=
=
=+
=+
=+
=
=+
2
5
3
7
21))((
7
21
7
22
y
x
yx
yx
yxyx
yx
yx
yx
b)Cho hệ pt
=
=
334
32
1
yx
ymx
tìm giá trị của m để hệ pt vô nghiệm
6
Giải:
=
=
=
=
=
=
2002)23(
1
2004)1(23
1
200423
1
xm
mxy
mxx
mxy
yx
mxy
(*)
Hệ pt vô nghiệm khi pt (*) vô nghiệm 3-2m = 0 m =
2
3
c)Cho hệ pt
=+
=+
1yx
mynx
Tìm m để hệ pt có nghiệm với mọi giá trị của n
Từ pt (2) ta có y = 1-x thế vào pt (1) ta đợc nx + 1 x = m (n 1)x = m 1(*)
+ Nếu n 1 x =
1
1
n
m
y = 1-
11
1
=
n
mn
n
m
hệ có nghiệm duy nhất (x;y) =
+ Nếu n = 1 thì pt (*) chỉ có nghiệm khi và chỉ khi m 1 = 0 m = 1
Vậy hệ pt có nghiệm với mọi giá trị của n khi và chỉ khi m = 1
Bài 7 tìm a và b biết :
a; Để đờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(- 5 ; 3 ), B (
)1;
2
3
;
b; Để đờng thẳng : ax- 8y = b, đi qua hai điểm M(9 ;-6) và giao điểm của hai đờng
thẳng(d
1
) : 2x +5y = 17 và (d
2
) : 4x - 10y = 14.
Giải :
a; Vì đờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(- 5 ; 3 ), B (
)1;
2
3
nên thay là phơng trình
đờng thẳng ta có hệ:
+=
+=
ba
ba
2
3
1
53
Giải ra ta đợc : a=-
13
8
; b = -
13
1
b; Hớng dẫn :
Trớc hết ta giải hệ
=
=+
14104
1752
yx
yx
tìm đợc giao điiểm của(d
1
) và (d
2
) là A(6;1). Muốn cho
đờng thẳng ax-8y=b đi qua hai điểm M và A thì a,b phải là nghiệm của hệ phơng trình
=
=+
ba
ba
86
489
Đáp số: a=-
120,
3
56
=b
Bài 8
Nếu hai đội công nhân cùng làm chung sẽ hoàn hành công việc trong 8 h ; nếu đội thứ
nhất chỉ làm trong 3 h rồi đội thứ hai cùng làm tiếp trong 4 h nữa thì chỉ xong đợc 0,8
công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì sau bao lâu hoàn thành công việc ?
Giải:
GV hớng dẫn HS làm nh sau :
Gọi thời gian đội 1 làm 1 mình xong việc là x giờ
Thời gian đội 2 làm một mình xong việc là y giờ ( x;y > 8 )
Mỗi giờ đội 1 làm đợc
x
1
( công việc )
7
Mỗi giờ đội 2 làm đợc
y
1
( công việc )
Mổi giờ cả hai đội làm đợc
8
1
(công vịêc)
Ta có PT:
8,0
8
1
4
1
3 =+
x
Mặt khác nếu đội 1 làm trong 3 h ; đội 2cùng làm tiếp 4 h thì chỉ xong 0,8 công việc nên
ta có PT:
8,0
8
1
4
1
3 =+
x
Ta có hệ PT:
=+
=+
8,0
2
11
.3
8
111
x
yx
Ta đặt:
b
y
a
x
==
1
;
1
Ta có hệ mới :
=+
=+
8,0
2
1
3
8
1
a
ba
Giải ra ta có : a =
10
1
; b =
40
1
Suy ra : x = 10 ; y = 40 ( thoã mãn bài toán)
Vậy nếu đội 1 làm 1 mình thì sau 10 h mới xong công việc
Vậy nếu đội 2 làm 1 mình thì sau 40 h mới xong công việc
Bài 9 Hai phân xởng của 1 nhà máy theo kế hoạch phải là 540 dụng cụ.Nhng do cải tiến
kĩ thuật phân xởng 1 vợt mức 15% kế hoạch, phân xởng 2 vợt mức 12% kế hoạch của
mình, do đó cả 2 tổ đã làm đợc 612 dụng cụ.Tính số dụng cụ mà mỗi phân xởng đã làm
HD giải: Gọi số dụng cụ phân xởng 1 phải sx theo kế hoạch là x (dụng cụ);Gọi số dụng
cụ phân xởng 2 sx theo kế hoạch là y (dụng cụ);ĐK: x,y nguyên dơng, x, y <540
Theo kế hoạch cả 2 phân xởng sx 540 dụng cụ nên ta có pt x + y = 540(1)
Dựa vào số dụng cụ cả 2 phân xởng đã sx ta có pt
612
100
112
100
115
=+
yx
Giải hệ pt ta đợc x = 240, y = 300 phân xởng 1 đã sx 276 dụng cụ
Phân xởng 2 đã sx 336 dụng cụ
Bài 10
Một ngời đi xe máy từ Chu Lai đến phố cổ Hội An . Nếu đi với V= 45 km /h thì đên nơi
sớm hơn dự định 13phút 20 giây . Nêú đi với V= 35km/h thì đến nơi chậm hơn so với dự
định là 2/7 h . Tính quảng đờng Chu Lai - Hội An và vận tốc dự định ?
Giải:
GV: Thông thờng các bài toán giải bằng cách lập hệ PT có hai điều kiện ; mổi đkiện
giúp ta lập đợc một PT. Trong các bài toán về chuyển động cần nhớ công thức liên hệ
giữa quảng đờng ; vận tốc và thời gian : S = vt ; chú ý đến đơn vị của mỗi đại lợng .
Các em có thể dựa vào bảng tóm tắt sau để lập hệ phơng trình
Điều kiện Quảng đờng Vận tốc Thời gian Quan hệ
Dự định y y/x x x- y/45=2/9
y/35- x =2/7
Điều kiện 1 y 45 y/45
Điều kiện 2 y 35 y/35
Ta có hệ PT :
8
=
=
7
2
35
9
2
45
x
y
y
x
Giải hệ ra ta đợc : x = 2 ; y = 80 (thoã mãn bài toán)
Vậy quảng đờng ChuLai - Hội An là 80 km ; và thời gian dự định là 2 giờ
9
