bài giảng sức bền vật liệu, chương 7 potx

1
Chương 7: HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH - CÔNG
TH
ỨC XOAY TRỤC CỦA MÔ MEN QUÁN TÍNH.
4.5.1. Hệ trục quán tính chính. Đối với một hình phẳng có một
trục đối xứng thì khi đã biết trọng tâm, ta có ngay một hệ trục quán
tính chính trung tâm (h
ệ trục này có gốc ở trọng tâm, một trục là
tr
ục đối xứng và trục kia vuông góc với nó đi qua trọng tâm). Và
vi
ệc xác định mô men quán tính chính của nó là đơn giản. Thế
nhưng đối
với một hình không có trục đối xứng nào thì khi đã biết
trọng tâm của nó vẫn chưa thể xác định hệ trục quán tính chính
trung tâm và c
ũng chưa thể xác định được các mô men quán tính
chính đó được. Dưới đây ta hãy nghiên cứu vấn đề này, trước hết ta
nh
ắc lại một số định nghĩa:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng chứa mặt cắt ngang, xác định
m
ột hệ trục vuông góc Oxy sao cho J
xy
=0 và S
x
=S
y
=0, thì ta gọi
hệ trục đó là hệ trục quán tính chính trung tâm.
2

O
Lúc đó mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với các trục
quán tính chính trung tâm được gọi là “mô men quán tính chính
trung tâm
”. Khi giải các bài toán sức bền vật liệu, ta thường sử
dụng đến các hệ trục quán tính chính trung tâm và các mô men
quán tính chính trung tâm. Bây gi
ờ còn phải xác định vị trí của hệ
trục chính. Muốn vậy, nói chung ta cần xét sự biến thiên của các
mô men quán tính khi xoay tr
ục.
4.5.2. Công thức xoay trục của mô men quán tính.
Xét một mặt cắt ngang biểu diễn ở hình 4.18. Giả sử biết J
x
,
J
y
, J
xy
c
ủa mặt cắt ngang. Bây giờ chọn hệ trục toạ độ xoay
quanh O
m
ột góc , ta được hệ trục mới Ouv. Tìm
s
ự liên hệ
v
gi
ữa J
x

, J
y
, J
xy
với J
U
, J
V
, J
UV
.
Ta có công th
ức chuyển trục:
y
F
A
dF
u

u  x
cos





v  y
cos




y sin 
y
 x sin
v
u


Nên
:
J
u




y cos   x sin 

2
dF
x
x
 J
x
cos
2
  J sin
2
  2Jxy sin 2
Cuối cùng ta

có: J
x
 J
y
J
x
 J
y
J
u



cos 2  J
xy
sin 2


2 2
Hình 4.18: Sơ
đồ
xoay trục
để
tính
Chú ý: Dùng công
th
ức:
va
T
ương tự:

cos
2
 
1 
cos 2

2
sin
2
 
1 
cos 2

2
mô men quán
tính



J
U





J
x
J
x

 J
y
2
 J
y

J
x
J
x
3
xy
J
2
 J
y
2
 J
y
cos
2


J
xy
sin
2


J

V





cos
2


2 2
 J
xy
sin 2


(4-10)


J
x


UV
 J
y
2
sin 2
  J
xy

cos 2
Đó là công thức xoay trục của mô
men quán tính. Ta rút ra nh
ững nhận
xét :
* J
U
+ J
V
= J
x
+ J
v
* Các công th
ức trên giống công thức tính 
U
,

V
,

UV
*
Điều kiện để xác định hệ trục chính là: J
UV
= 0
Hoàn toàn gi
ống điều kiện xác định mặt chính trong trạng thái
ứng s
uất 

UV
= 0.
Vì v
ậy ở đây ta có thể sử dụng ngay các kết quả đã nghiên
c
ứu ở chương trước để
xác đị
nh hệ trục chính và mô men quán tính chính.
J
max/
min

J
x

J
y

1
2
2
(J
x
 J
y
)

4J
2
(4-11)

4
C

2

J
J
.
tg


1
/
2

J
xy
J
y
 J
max/
min
(4-12)
4.6. VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH.
Để xác định các trục chính, các ứng suất chính của một hình
ph
ẳng nào đó ta cũng có thể sử dụng phương pháp hoạ đồ như đối
với việc xác định phương chính, ứng suất chính đối với bài toán
tr
ạng thái ứng suất. Thật vậy đối chiếu các công thức tính mô men

quán tính chính, xác
định phương chính bằng giải tích như (4-10),
(4-11) và (4-12) v
ới các biểu thức xác định các ứng suất chính và
ph
ương chính ở chương 3 vừa rồi ta thấy về mặt toán học tương tự
nhau.
T
ừ (4-10) với lập luận và thực hiện các
phép bi
ến đổi như đối với việc xây
dựng vòng tròn Mohr ứng suất, ta
s
ẽ có vòng tròn Mohr quán tính.
J
uv

2
Ph
ương
tr
ục
chính có
J
min

1
Khi bi
ết J
x

, J
y
và J
xy
thì tâm
C c
ủa vòng
c
ực D
tròn quán tính có to
ạ
đô:

J
x


J
y
2


,0




J
min
J

y



O
C
J
max
u
J
x
và bán kính s
ẽ là:
R


(J
 
x





J
y
2
)
2




2

xy




Phương
tr
ục
chính có
J
max
Cu
ối cùng ta có thể dựng
vòng tròn
quán tính và cách xác
định các
tr
ục chính và giá trị các mô men
quán tính chính
như trên hình 4.19.
Hìmh 4.19: Vòng
tròn
5
Chú ý :Vòng tròn Mohr ứng suất có thể nằm cả 2 phía trục
tung hoặc cắt trục tung, nhưng vòng tròn Mohr quán tính chỉ có thể
nằm bên phải của trục trung mà thôi,vì giá trị mô men quán tính

luôn luôn d
ương
Từ hình vẽ vòng tròn Mohr quán tính (xem hình 4.19), ta có
th
ể tìm vị trí các trục có mô men quán tính chính theo biểu thức:
tg

1
 tg(180 

)  

J
J
xy
J
xy
max
 J
y

J
xy
J
y
 J
m
ax
(4-13)
6

tg

2


J
y
7
 J
min