bài giảng sức bền vật liệu, chương 8 pptx

Chương 8: BÁN KÍNH QUÁN TÍNH
Bán kính quán tính cũng là một đại lượng có ý nghĩa và
th
ường được sử dụng trong tính toán kết cấu, cũng như các đại
l
ượng cơ học khác nó được ký hiệu và định
ngh
ĩa theo biểu
thức:
J
x
r
x


F
J
y
và
r
y

F
Trong
đó: r
x
, r
y
là bán kính quán tính theo phương x và
ph
ương y. Tương tự đối

với trục chính, ta
c
ũng có:
r
ma
x


J
m
ax
F
vaì
r
min

J
mi
n
.
F
x
x
x
x
S
S
x
5a
2,5a

y
C
3/5a
a
4a
a
I
o
x
o
Ví dụ 4: Xác định mô men quán tính chính, trọng tâm của mặt
cắt như hình 4.20.
Bài giải: Trước tiên ta phân
tích m
ặt cắt thành 3 hình chữ nhật
và được đánh dấu I, II, III (xem
hình 4.20).
V
ới các trọng tâm từng hình
là O
1
, O
2
, O
3
và kính th
ước được
xác định.
1. Xác định trọng tâm C của
toàn hình: Chúng ta biết vì trục y

là tr
ục đối xứng nên trọng tâm cả
hình chắc phải nằm trên trục y. Vì
v
ậy trước tiên ta chọn trục x
o
qua
tr
ọng tâm của hình III, nó cùng với
trục y là hệ trục ban đầu. Gọi y
c
là tung
độ của trọng tâm C trong
h
ệ x
o
O
3
y thì nó
được xác định bởi:
y
2a
I
O
1
a
II
O
2
x

C
III
O
3
x
o
6a
y
c

Sx
o
F
Trong
đó: Sx
o
- Mô men tĩnh
toàn hình l
ấy đối với trục x
o
; F-
Di
ện tích toàn hình :
F = F
1
+ F
2
+ F
3
= 2a



a + a

4a + 6a

a = 12a
2
Hình 4.20: Xác
đị
nh mô men
quán tính chính
và S
o

S
I
o

S
II
o
 S
III
o
Trong
đó:
x
 F
1

II

0
1
0
3
 2a
2

5a  10a
3
3
S
 F
2

0
2
0
3
 a

4a

2,5a  10a
III
x
o
 F
3


0
3
0
3
 6a

a

0

0
V
ậy
:
S = 10a
3
+ 10a
3
+ 0 = 20a
3
o
Cu
ối
c
ù
n
g
:
S

x
y
c


J
o
3
y
3
4

 
20a
 
5
a
F
V
ậy trọng tâm C đã được
xác định.
12a
2
3
Chú ý : Trục x
o
ban đầu chọn ở đâu cũng được nhưng tất
nhiên chọn qua trọng tâm một hình nào đó thì đơn giản hơn.
2. Mô men quán tính chính trung tâm.
a) Tính J

y
: Vì y là tr
ục qua trọng tâm của mọi hình nên ta
s
ử dụng công thức tính mô men quán tính cho hình chữ nhật.
I II III
J
y
 J
y
 J
y
 J
y
mà
I
J
II

a(2a)
12
4a.a
3

2
a
4
3
a
4

y
III
 

12 3
a(6a)
3
J
y


12
18a
x
x
x
x
J

a
x
y
o
J
y
J
;
J
4
4


Vậy J
y
= 19a
4
b. Tính J
x
: Vì tr
ục x không đi qua trọng tâm của một hình
ch
ữ nhật nào nên phải dùng phép chuyển trục song song.
J
 J
I
3
 J
II



J
III
2

Mà J
I

2a

a

 (2a

a)

5a

5
a



403a
x
12
3

3

18
2
 
J
II

a(4a)
 (4a

a)

2,5a


5
a



146a
x
12
3

3

18
2
III
x

6a.a
1
2
 (6a

a)

5



3


4 4

309
a
4
18
4
4
V
ậ
y
J

403a
x
18

146a
1
8

309a
1
8

858a
1
8


143
a
4
3
Ví dụ 5: Xác định vị trí hệ trục quán tính chính trung tâm và
mô men quán tính chính trung tâm c
ủa một mặt cắt ngang ghép bởi
các thép định hình chữ số 22a và thép góc đều cạnh 100

100

10
nh
ư trên hình 4.21a.
Bài giải: Trước hết tra các số liệu cần thiết cho các thép định
hình
-
Đối với thép chữ 22a (đánh dấu là hình I):
h
1
=
22cm;
Z = 2,47cm; F
1
= 28,6cm
2
; J
(1)
 2320cm
4

;
J
( I )
 186cm
4
0
1
x
1
y
1
Vì h
ệ trục trung tâm (x
1
, y
1
) của thép chữ có trục đối
x
ứng, nên J
(1)
 0
1 1
-
Đối với thép góc đều cạnh 100

100

10
(đánh dấu là hình 2):
b

2
=
10cm ;
Z = 2,83cm ; F
2
= 19,20cm
2
2
( 2)
x
2
 J
(
2)
2

179cm
4
;
(
2
)
m
a
x

284cm
4
(
2

)
m
in
 74,1cm
4
x
y
1
J
y
1
J
J
x
y
x
y
Gọi C
2
là trọng tâm của thép góc đều cạnh và hệ trục (x
2
,
y
2
) là h
ệ trục trung tâm song song với các cạnh. Hệ trục này
không ph
ải là hệ trục chính trung tâm của thép góc
đều cạnh nên ta phải tính mô men quán
tính ly tâm J

( 2)
2 2
c
ủa nó.
Theo công thức (4-
10)
(1)
:
tg

(
2)
( 2)

x
2
y
2
J

2


J
2
max
V
ới vị trí của thép góc đều cạnh như trên
hình 4.19, thì


( 2)
  45
0
nên:
tg(
45
0
) 

(
2
)
x
2
y
2
179 
284
Rút
ra:
(
2)
x
2
y
2
  1

(179  284)  105cm
4

(
1)
Đặc bi
ệ
t đối với thép có góc
đề
u
c
ạ
nh, ta có
th
ể
tính
J một cách đơn
gi
ả
n.Vì
2 2
J
 J
2
2
, nên theo
vòng
Mohr quán tính ta
được :
J
x
y
J  J

(max)

max
min
2

284

74,1
2
 105cm
4
S
y
y
y
J
x
c
2
Sau khi đã có đủ số liệu, ta sẽ tiến hành tính toán theo trình tự sau:
1. Xác
định trọng tâm của mặt cắt ngang ghép (hình 4.18a)
cho h
ệ trục ban đầu là hệ trục trung tâm (x
1
, y
1
) của hình 1. Như
vậy mô men tĩnh của thép chữ đối với các

tr
ục này đều
bằng 0:
(
1
)
x
1
 0 ; S
(1)
 0
1
Do
đó mô men tĩnh của mặt cắt ngang đối với các trục x
1
và
y
1
chính b
ằng mô men tĩnh của thép góc đều cạnh cũng đối với các
trục đó:
( 2)

h
1



22


3
S
x

S
x
 F
2
. y
1
(c
2
)
 F
2



z
0, 2


19,2 



2,83


157cm

1 1

2
 
2



( 2)
   
3
S
 S
1 1
 F
2
. x
1
(c
2
)
 F
2
z
0,1

z
0, 2

19,2 .

2,47

2,83
 102cm
Di
ện tích của mặt cắt ngang:
F = F
1
+ F
2
= 28,6 + 19,2 = 47,8m
2
Tr
ọng tâm của mặt cắt ngang đối với hệ trục x
1
, y
1
được tính theo
công th
ức (4-3)
:
S
y
x (c)

1
1
F

102

47,
8
 2,13cm ;
S
x
y (c)

1

157
 3,28cm
1
F
47,8
2. Tính các mô men quán tính c
ủa mặt cắt ngang đối với hệ trục
trung tâm (x,y)
c
ủa nó (hình 4.18a) song song với hệ trục (x
1
, y
1
) và (x
2
, y
2
).
-
Đối với thép chữ :
x

c
1
 
2,13cm ;
y
c
1
  3,28cm
(1)
x
 J
(1)
1
 y
2
1
F
1
 2320 
(3,28)
y
1(c)
. 28,6  2628cm
4
J
(1)
 J
(1)
 x
2

F
 186  (2,13)
2
.28,6  316cm
4
y y
1
c
1
1
J
(1)
 J
(1)
 x
y
F  0  (2,13)(3,28).28,6  200cm
4
xy x
1
y
1
c
1
c
1
1
y
y
1

x
1(c)
z
0
2
J
m
in
y
2
J
uv
(cm
4
)
1
2
min

2
x
2
C
2
x
C

1
100
0


2
=78
0
0
x
1
J
y
C
1

1
=1
2
C
M
1
J
u
(c
m
4
)
z
01
J
m
ax
O

1000 2000
3000
J
min
=550cm
2
J
ma
x
=3400
cm
4
max
a)
b)
c
2
Hình 4.21: Xác định trọng tâm và mô men quán tính chính của
hình ghép
- Đối với thép góc đều cạnh (hình 4.22)
x
 z
01
 z
02
 x
1

C


 2,47  2,83  2,13  3,17cm
y
c
2

h
1
 z
2
0
2

y
1(
c)

22
 2,83  3,28  4,89cm
2
J
( 2)

J
( 2)
 y
2
F
 179  (4,89)
2
19,2  640cm

4
x x
22
c
2
2
J
( 2)

J
( 2)
 x
y
F  105  (3,17)  (4,89) 19,2  402,5cm
4
xy x
2
y
2
c
2
c
2
2
s
ẽ là
:
Như vậy mô men quán tính của mặt cắt ngang ghép đối với hệ
trục trung tâm (x,y)
J

 J
(1)
 J
( 2)
 2628  640  3268cm
4
x x x
J
 J
(1)
 J
( 2)
 316  371  687cm
4
y y y
J
 J
(1)
 J
( 2)
 200  402,5  602,5cm
4
y
xy xy xy
2
3. Xác
định vị trí của hệ trục quán
tính chính trung tâm:
- B
ằng vòng Mohr quán tính, ta

đo được (tỷ
lệ xích 2cm ứng với 1000cm
4
):
J
max
= 3.400cm
4
;
J
min
=550cm
4
;

1
= -12
0
;

2
=
78
0
- Bằng giải tích:
Theo công th
ức (4-10) và (4-11)
C
z
0

2
x
2

1
(2)
=-45
0
J
max
=
Hình 4.22: Xác
đị
nh v
ị
trí của
h
ệ
trục
quán
tính chính
trung tâm
3268  687

1
(3268
 687)
2
 4
 (602,5)

2
 3407,5cm
4
2 2
J
min
=
3268
 687

1
2 2
(3268  687)
2
 4  (602,5)
2
 547,5cm
4
tg

1
=
J
xy
J
y

J
mx


602,5
687

3407,5
 0,222

1
= -12
0
30' ;

2
= 90
0
-
12
0
30' = 77
0
30'