bài giảng sức bền vật liệu, chương 13 potx

1
x
Chương 13: DẦM CHỊU UỐN NGANG
PH
ẲNG
Một dầm chịu uốn ngang phẳng là một dầm chịu lực sao cho
trên mọi mặt cắt ngang của nó có hai thành phần nội lực là lực
cắt và mô men uốn. Các thành phần nội
lực này nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm.
Ví d
ụ : Dầm có mặt cắt ngang là hình chữ nhật chịu lực như trên
hình v
ẽ (hình 5.16). Xét một mặt cắt 1-1 nào đó của dầm, thì
trên m
ặt cắt đó có hai thành phần nội lực
là l
ực cắt Q
y
và mô men uốn M
x
. Hai thành phần nội lực này đều
nằm trong mặt phẳng
đối xứ
ng của dầm là Oyz (hình 5.17).
5.6. ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT NGANG CỦA DẦM CHỊU
U
ỐN NGANG PHẲNG .
b
d
z
1 2

1
2
P
l
P
M
x
x
z
y
P
l
Hình 5.16: Dầm
ch
ị
u lực có mặt
c
ắt ngang
ữ nh
ậ
t
Hình 5.17: N
ội
l
ực trên mặt cắt
ngang c
ủa d
ầ
m
ch

ị
u uốn ngang
ph
ẳ
ng
Công thức tính ứng suất pháp 
z
(5-2)
được suy ra cho
tr
ường hợp M
x
= const.
N
ếu mô men uốn M
x
là m
ột hàm số theo z thì trên mặt cắt
ngang sẽ có lực cắt:
Q
y


dM
x
2
dz
3
Trong trường hợp này, trên mặt cắt ngang, ngoài ứng suất
pháp do mô men uốn M

x
gây ra, còn có ứng suất tiếp do lực cắt
Q
y
gây ra. Đối với trường hợp này, sau khi bị biến dạng mặt cắt
ngang không còn phẳng nữa. Mặt cắt ngang không những bị xoay
n
hư trong dầm chịu uốn thuần túy phẳng mà còn bị vênh đi một ít
do tác d
ụng của ứng suất tiếp, cho nên quá trình chứng minh ở mục
5-2 không còn phù hợp. Nhưng "Lý thuyết đàn hồi" đã chứng minh
r
ằng, công thức (5-2) có thể dùng được trong trường hợp uốn
ngang phẳng mà sai số mắc phải không lớn. Vì vậy, chúng ta thừa
nh
ận công thức (5-2) để tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
trong trường hợp uốn ngang phẳng:
M

z
=
x
y
J
x
(5-13)
5.7. ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM
CHỊU UỐN NGANG PHẲNG.
Để đơn giản bài toán, ta giả thiết dầm có mặt cắt ngang hình
ch

ữ nhật.
Nói chung, ứng suất tiếp 
z
ở một điểm bất kì trên mặt cắt
ngang có thể không cùng phương với lực cắt Q
y
.
Phân tích
ứng suất tiếp 
z
ra thành hai thành ph
ần 
zy
và

zx
(hình 5.18):

z
=
2 2

zy


zx
Trong đó:
zy
là thành ph
ần ứng suất tiếp

song song với lực cắt Q
y
(tức là song song với
Oy); 
zx
là thành ph
ần ứng suất tiếp vuông góc
với lực cắt Q
y
(tức là song song với O
x
).
Cách xác
định ứng suất tiếp 
z
ở một điểm
bất kì trên mặt cắt ngang là vấn khó khăn. Vả lại
n
ếu mặt cắt có dạng hình chữ
nhật hẹp thì thành phần ứng suất tiếp 
zx
r
ất
bé so với 
zy
. Nên trong th
ực tế, người ta
th
ường chỉ xác định thành phần ứng suất tiếp
song song với lực cắt 

zy
.
Để lập công thức tính thành phần ứng suất
tiếp song song
v
ới lực cắt, ta thừa nhận giả
thuyết sau:
Thành
ph
ần ứng suất
ti
ếp song song
và cùng chi
ều
v
ới lực cắt ở
một điểm bất
kì K trên m
ặt
c
ắt ngang là
phân t
ố đều
theo
đoạn
th
ẳng đi qua
điểm K và
vuông góc v
ới

l
ực cắt.
4
Q
y
O


xy

zx
Hình
5.18:
Ứ
ng
su
ất trên
m
ặt c
ắ
t
ngang c
ủ
a
d
ầm ch
ị
u
Tưởng tượng tách ra khỏi dầm một đoạn vô cùng bé dz bằng
hai m

ặt cắt 1-1 và 2-2 (xem hình 5.19 và hình 5.20).
Sau
đó, cắt đoạn dầm dz bởi mặt cắt thứ ba đi qua điểm đang
xét K và vuông góc với lực cắt Q
y
. Mặt cắt này cắt đoạn dầm làm
hai ph
ần, ta xét sự cân bằng của phần dưới ABCDEFGH (hình
5.20).
Vi
ết điều kiện cân bằng của phân tố này dưới dạng phương
trình hình chiếu của các lực lên phương của trục dầm (trục O
z
).
- Trên m
ặt ABCD: Kí hiệu ứng suất pháp trên mặt này là

z(1)
(hình 5.20), ta có:
5

=
y
z(1)

S
x
z
M
M

x
z(
1)
J
x
b
d
c
Q
y
x
Q
y
1
d
2
z
M
x
+d
M
x
O
A
B H

z
(

z

(
2)
x
Hình 5.19:
Phân
1)
D C
tố VCB
y
Hình 5.20: Xác
đị
nh
ứ
ng
su
ất ti
ế
p
Vậy hình chiếu của lực tác dụng lên mặt ABCD lên phương
Oz bằng:
N
1
=


dF 
M
x

ydF



M
x
c
x
(a)
Fc
J
x
Fc
J
x
Trong
đó: F
c
- Diện tích của mặt ABCD mà ta gọi là diện
tích cắt; S
c
- Mô men
t
ĩnh của phần diện tích bị cắt đối với trục trung hòa O
x
- Trên m
ặt EFGH: Ứng suất pháp trên mặt 2-2 này là 
z(2)
:
M 
dM


z(2)
=
x
x
y
J
x
Vậy hình chiếu của lực tác dụng lên mặt AFGH lên phương
O
Z
bằng:
M 
dM
M dM
N
2
=



dF

x
x
ydF 
x
x
S
c
(b)

6
J
J
z (
2)
J

J
x
Fc
x
Fc
x
- Trên m
ặt ABEF: Theo giả thuyết về các thớ dọc, trên mặt
này chỉ có ứng suất tiếp. Dựa vào định luật đối ứng, thành phần
ứ
ng suất tiếp 
yz
song song v
ới trục O
Z
bằng:

yz
=

zy
Vì chúng ta đã thừa nhận ứng suất tiếp 
zy

phân b
ố đều trên
đoạn AB (hình 5.20)
nên thành ph
ần ứng suất tiếp 
yz
c
ũng phân bố trên toàn mặt
ABEF. Do đó, hình chiếu của nội lực tác dụng lên mặt ABEF lên
p
hương O
Z
bằng:
T = 
yz

diện tích (ABEF) = 
zy
b
c
dz
Trong
đó b
c
là bề rộng của mặt cắt (tức chiều dài đoạn AB)
đi qua điểm đang xét
K và vuông góc v
ới lực cắt Q
y
.

V
ậy, điều kiện cân bằng dưới dạng phương trình tổng quát
hình chi
ếu của các lực
tác d
ụng lên phân tố ABCDEFGH lên phương O
Z
:
z = 0; N
1
- N
2
+ T = 0
hay
M
x
S
c

M
x

dM
x
S
c



b

c
dz  0
x x
zy
x
x
x
x
h
y
x
y
x
dM
S
c
x x
rút ra: 
zy
=
Vì
dM
x
dz
dz

Q
y
J b
c

nên

zy
=
Q
.S
c
J b
c
(5-14)
Trong
đó:
S
c
- Mô men tĩnh của phần điện tích bị cắt đối với trục
trung hòa; b
c
-
B
ề rộng của mặt cắt đi qua điểm đang xét và vuông góc với lực cắt.
Công thức (5-14) được gọi là công thức Durápski.
Dưới đây, ta lần lượt tính ứng suất tiếp đối với một số mặt cắt
ngang đơn
giản.
a) Mặt cắt ngang hình chữ nhật (hình 5.21).
Để xác định sự phân bố của thành phần ứng suất tiếp 
zy
trên
toàn b
ộ mặt cắt,

b
Q
y

m
ax
O
K
x
trước hết ta tính thành phần
ứ
ng suất
tiếp 
zy
ở điểm K
(hình 5.21).
B
ề rộng mặt cắt đi qua điểm
K bằng :
b
c
=
b.
Mô men t
ĩnh của phần điện
tích bị cắt (phần dưới) đối với
trục trung hòa Ox bằng:
c

h


h

1 bh
2


y
2


S
x
 b


y


y



c 2 2

1  4


8 h
2

  
 

y
Hình 5.2: Xác
đị
nh
ứ
ng
su
ất ti
ế
p
14) ta được:
Mô men quán tính của mặt cắt
đối với
bh
3
trục trung hòa Ox: J
x
=
12
Khi thay các giá trị trên vào
x
h
y
x
(5-

zy

=
3
Q
y



1

4
y
2




2
2 bh

h


Như vậy, quy luật phân bố của 
zy
là m
ột đường Parabol bậc hai.
Nh
ững điểm ở trên trục trung hòa Ox là những điểm có ứng suất
tiếp 
zy

l
ớn nhất (y=0):
3
Q
y

max
=
2
bh
(5-15)
b) Mặt cắt ngang hình chữ I (hình 5.22).
Ở đây, ta chỉ xét sự phân bố của ứng suất tiếp

zy
trong lòng ch
ữ I Tính ứng suất tiếp 
zy
ở
điểm
K nằm trong lòng chữ I.
Bề rộng của mặt cắt đi qua điểm K bằng: b
b
c
= d ;
2
S
c

S

 (yd)
y
 S
2
x
 d
y
2
Q
y
Thay chúng vào (5-14), ta
được:
96
x
O
K
d

max
y
R
y


d(


)
2


R


Q

S
 d
y

y

x
2



zy
=
  

J
x
d
V
ậy, luật phân bố của 
zy
d
ọc theo chiều cao của mặt cắt
ngang chữ I là một
đường Parabol bậc hai.

Ứng
suất tiếp 
zy
đạt tới giá trị lớn nhất ở trên trục trung
hòa (y=0) :

max
=
Q
y
.S
x
J
x
d
Trong
đó S
x
là mô men tĩnh của nửa hình chữ I lấy đối với
trục trung hoà O
x
, đại
lượng này được cho trong các sổ
tay kĩ thuật.
c) Mặt cắt ngang hình tròn
(hình 5.23)
R
4
Đối với trường hợp này :
b

c
=
2
R
2

y
2
; J
x
=
4
3
R
S
c



b



  d





2 R

 y
2
  d 
2
(R
2
 y
2
)
2
x
y y
3
Thay chúng vào (5-14) và chú ý di
ện tích mặt cắt hình tròn F
là
.R
2
:
4
Q
y


y
2



zy




3


1



F
R
2
 

Công thức này chứng tỏ

zy
bi
ến thiên dọc theo
đường kính của
mặt cắt ngang hình tròn là
đường cong bậc hai.
Ứng
suất tiếp 
zy
đạt
tới giá trị lớn nhất ở những
điểm nằm trên đường trung
hòa (y=0):

Q
y
O
x
K
b(

b
)
c

ma
x
 
4

Q
y
max
3
C
a
F
(5-
17)
Hình 5.23: Xác
đị
nh
ứ
ng

ất ti
ế
p
5.8. ĐIỀU KIỆN BỀN CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG
Như trên đã nói, trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang
ph
ẳng ngoài ứng
su
ất
pháp 
z
do mô men u
ốn M
x
gây ra, còn có ứng suất tiếp 
zy
do l
ực
c
ắt Q
y
gây ra.
Trên hình 5.24 bi
ểu diễn biểu đồ ứng suất pháp 
z
và
ứng
su
ất tiếp 
zy

d
ọc theo
b
Q
y
A
B
M
x
O
x
9

7
m
a x

min
A
O
C
98
chiều cao mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng.
Dựa vào biểu đồ này, chúng ta thấy rằng trạng thái ứng suất
của các phân tố trên mặt cắt ngang sẽ khác nhau. Nói chung, chúng
ta có ba trường hợp sau :
a) Trạng thái ứng suất đơn:Vì ứng suất tiếp ở những điểm
mép trên cùng và d
ưới cùng bằng không, nên trạng thái ứng suất
của các phân tố ở những điểm này là trạng thái ứng suất đơn (tại

điểm
Avà D trên hình 5.24). Điều kiện bền của các phân tố :
-
Đối với dầm bằng vật liệu dẻo: max||  || (5-
18)
-
Đối với dầm bằng vật liệu giòn: 
max
[]
k
; 
min

[
]
n
(5-
19)
b) Trạng thái trượt thuần túy:Vì ứng suất pháp ở những
điểm trên trục trung hòa
b
ằng không, nên trạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm
này là trạng thái trượt thuần túy, ví dụ ở điểm O trên hình 5.24.
Ứng suất chính của phân tố có trị số:

1
= -

3
=


max
;

2
= 0 (xem
ở chương 3: Trạng
thái ứng suất trượt).
- Nếu dầm bằng vật liệu dẻo, ta có điều kiện
bền của phân tố:
[

]

max

2
[

]
(5-
20)
- Theo thuy
ết bền thế năng biến đổi hình
d
ạng: 
max


3

(5-21)
N
ếu dầm bằng vật liệu giòn, ta có thể dùng thuyết bền Mohr
để kiểm
tra.
c) Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt :
Vì ứng suất pháp và ứng suất tiếp nằm trong khoảng giữa trục
trung hòa và mép trên cùng hay mép d
ưới cùng đều khác không,
nên tr
ạng thái ứng suất của các phân tố ở những điểm này là trạng
thái ứng suất phẳng đặc biệt. Ví dụ ở điểm B, C trên hình 5.24.
Ứng suất chính của phân tố này là (xem chương 3: Trạng thái
ứ
ng suất):
2



1
 
2




 

99
2

2
 
2



3

2










2





2
;

2
= 0

 

Nếu dầm bằng vật liệu dẻo, điều kiện bền của phân tố trên là :
- Theo thuy
ết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

2
 4
2
 []
- Theo thuy
ết bền thế năng biến đổi hình dạng:

2
 3
2
 []
-
Đối với dầm bằng vật liệu giòn, có thể dùng thuyết bền
Mohr để
kiểm tra bền.
* Chú ý: Không phải kiểm tra bền cho cả ba loại phân tố ở
trên cùng một mặt cắt ngang. Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất
đơn, ta phải chọn
mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất. Đối với
phân tố ở trạng thái trượt thuần túy, phải chọn mặt cắt ngang có lực
c
ắt lớn nhất. Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt,
ph
ải chọn mặt cắt có mô men uốn và lực cắt cùng lớn (thường chỉ

kiểm tra ở điểm tiếp giáp giữa đế và lòng của mặt cắt ngang hình
ch
ữ I) , cũng có khí ba mặt cắt đó trùng nhau trở thành 2 hay 1 vị
trí.
*
Ví dụ 3: Kiểm tra bền dầm có mặt cắt ngang hình chữ I số
hiệu 36 chịu lực như
hình vẽ (hình 5.25a). Chiều dài của dầm là l=2m, cường độ tải
trọng phân bố đều là
10
0
h
t
q=10
4
N/m , lực tập trung P=2010
4
N, đặt cách gối tựa một
khoảng cách a= 0,2m. Ứng suất cho phép là []=150MN/m
2
.
a P P
a q
d
a
)
)
A
C D B
d

l
x
20,8
.1
b
0
4
N
)
c
)
4,18.10
4
4,5.1
0
4
21.
10
4
N
21.
10
4
N
b
d
4
b
Hình 5.25: Ki
ể

m tra b
ề
n
Bài giải :Biểu đồ lực cắt Q
y
và mô men uốn M
x
được biểu
diễn trên hình 5.25b, c. Chúng ta nhận thấy:
- Mặt cắt ngang ở giữa dầm có mô men uốn lớn nhất: M
max
= 4,5.10
4
Nm
- M
ặt cắt ngang ở A và B có lực cắt lớn nhất: Q
max
=
21.10
4
N
- M
ặt cắt ngang ở C, D có mô men uốn M
x
và
l
ực cắt Q
y
đều lớn: Q
y

=
20,8.10
4
N; M
x
= 4,2.10
4
Nm
S
ố liệu và kích thước của mặt cắt ngang chữ I số 36 (cho
theo b
ảng) như sau: J
x
= 13380cm
4
; W
x
= 743cm
3
;
S
x
= 423cm
3
, d = 0,75cm; h = 36cm
a) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn:
Phân tố này được chọn ở trên mặt cắt ngang có mô men uốn
lớn nhất và ở biên trên hay biên dưới của mặt cắt ngang này. Ứng
suất pháp lớn nhất bằng:
4


max
=
M
max
W
y

4,5.10
743.10
6
 60,57MN
/ m
2
 150MN /
m
2

[

]
10
1
So sánh với ứng suất cho phép, ta thấy nhỏ hơn. Vậy điều
kiện bền đối với phân tố này được thỏa mãn.
b) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái trượt thuần
túy:
Phân tố này được chọn ở trên mặt cắt ngang có lực cắt lớn
nhất và ở ngay trên trục trung hòa của mặt cắt ngang
này. Ứng suất tiếp lớn nhất bằng:

Q .S
21.10
4
.423.10
6

max
=

max x



88,5
MN / m
2
J
x
d
13380.10
8
.0,75.10
2
Tr
ị số ứng suất tiếp cho phép có thể tính theo thuyết bền thế
năng
biến đổi hình
d
ạng : [] =
[


]


3
15
0
1,73
2
 86,6MN / m
2
phé
p.
So sánh

max
v
ới [], ta thấy 
max
l
ớn hơn một ít khoảng
2%. Điều đó có thể cho
k
Q
S
x
k
y
x
x

c) Kiểm tra bền đối với phân tố ở trạng thái ứng suất
phẳng đặc biệt:
Phân tố này được chọn ở điểm tiếp giáp giữa đế và lòng của
chữ I trên mặt cắt ngang có mômen uốn và lực cắt cùng lớn sát
mép trái C hay sát mép ph
ải D. Gọi K là điểm tiếp giữa lòng và đế
của chữ I.
 =
M
x
y
J
x
4,2.1
0
4


13380.1
0
8
(0,18
 0,0123)  52,6MN / m
2
c

k
=



20,8.1
0
4

317,5.10
6

65,8
MN /
m
2
J
x
d
13380.10
8

0,75.10
2
Trong đó: S
c
 S

y
x
d
y
k
2


423

16,77

0,75

16,77

317,5cm
3
2
Sử dụng thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất, ta
xác
đinh ứng suất tương đương là:

td
=

2

3
2


52,6
2
 3(65,8)
2
 125MN / m
2

 150MN
/ m
2
 []
k k
Ứng suất nhỏ hơn ứng suất cho phép, vậy dầm đủ bền .