bài giảng sức bền vật liệu, chương 18 pot

1
Chương 18: ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG
C
ỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN
6.4.1. Quan sát biến dạng: Trước khi xoắn ta kẻ lên bề mặt của
thanh những đường thẳng song song với trục thanh biểu diễn các thớ
dọc và những đường tròn vuông góc với trục thanh biểu diễn các mặt
cắt ngang (hình 6.7a).
Tác d
ụng mô men xoắn vào đầu thanh, sau khi thanh bị biến
dạng ta thấy các đường thẳng song song với trục trở thành những
đường xoắn ốc, các đường tròn vẫn tròn và vuông góc trục thanh
(hình 6.7b).
M
ạng lưới chữ nhật gần như mạng lưới hình bình hành.
2
M
z
z z
x
x
y y
a) b)
Hình 6.7:Bi n d ng
khi xo n
6.4.2. Các giả thuyết.
Từ những điều quan sát trên, ta đưa ra các giả thuyết sau để
làm cơ sở tính toán cho một thanh tròn chịu xoắn:
a) Giả thuyết 1 (về mặt cắt ngang).
Tr
ước và sau biến dạng các mặc cắt ngang vẫn phẳng, vuông

góc với trục thanh và khoảng cách giữa chúng không thay đổi.
b) Giả thuyết 2 (về các bán kính).
Tr
ước và sau biến dạng các bán kính vẫn thẳng và có
chi
ều dài không đổi. c) Giả thuyết 3 (về các thớ dọc).
Trong quá trình biến dạng các thớ dọc không ép lên nhau hoặc
đẩy nhau.
Ngoài các giả thuyết trên ta luôn luôn xem rằng vật liệu
tuân theo định luật
HoooKe, nghĩa là tương quan giữa ứng suất và biến
dạng là bậc nhất.
6.4.3. Thiết lập công thức tính ứng suất.
Tưởng tượng tách một phân tố ABCDEFGH trên thanh tròn
ch
ịu xoắn thuần tuý giới hạn bởi:
* Hai mặt cắt 1-1, 2-2 cách nhau dz.
* Hai m
ặt trụ đồng trục có bán kính  và  + d.
* Hai m
ặt phẳng chứa trục thanh và hợp với nhau một góc d.
- Theo gi
ả thuyết a), c)  
x
=

y
=

z

= 0.
- Theo b)
 Không có thành phần ứng suất tiếp dọc theo
ph
ương bán kính.
- V
ậy chỉ có một thành phần ứng suất tiếp theo
phương tiếp tuyến 

. Nghĩa là phân tố trên ở trạng
thái trượt thuần tuý.
3
Sau khi thanh bị biến dạng, mặt cắt ngang 1-1 sẽ bị xoay đi
một góc  và mặt cắt
2-2 ở đầu mút phải có hoành độ z+dz sẽ bị xoay đi một góc +d
so với đầu cố định bên trái.Ta có thể giả thuyết 1-1 đứng yên, còn
2-2 xoay m
ột góc d; A, B, C, D lần lượt trượt đến A’, B’, C’, D’
(trên hình 6.8 ). Góc t
ạo giữa hai mặt phẳng A
’
D
’
HE và ADHE là


, đó là góc trượt tương đối giữa hai mặt cắt 1-1, 2-2 do 

gây ra.
Theo hình v

ẽ
có:
tg




AA'


E
A

d


dz
d

Vì biến dạng bé, nên tg 

 

,
suy ra




dz

1
(a)
Theo định luật HooKe về
trượt: 






G
(b)
4
d






d




Trong đó: G - mô dun đàn hồi trượt, hằng số đối với từng
lo
ại vật liệu; 

- ứng suất tiếp trên phân tố cách trục thanh một

đoạn
.
T
ừ (a) và (b) ,
1 2
suy ra


G
d





dz

A
Trong đó:
d
- hằng số đối
E
dz
H
với từng mặt cắt.
1
F
Thứ nguyên của G là:
l
ực/ (chiều dài )

2
.
Do
đó 


phân b
ố bậc nhất
G
theo .
Bây gi
ờ để xác định công
A
D

d
D
B
’
2
C

B
C
dz
thức tính ứng suất tiếp ta
còn ph
ải xem mối quan hệ
của nó với mô men xoắn nội
lực M

z
tại điểm A ta sẽ có



Hình 6.8: Bi n d ng c a phân t
tác dụng. 

phân bố trên diện tích dF quanh điểm A (cách tâm một
đoạn
) hình 6.9.
H
ợp lực 

và dF, gây ra một mô men xoắn đối với trục z:
dM
z
= 

dF
M
z
Hợp lực các mô men vi phân dM
z
, chính là mô men
dF
xoắn nội lực M
z
.


A
M 

dM




d

dF 

.G  d F
Z
F
z
F


F
dz
 G
d


dz

2
dF
 G

d

J
F
dz
P
 G
d


dz

M
z
J
p
Hình 6.9:
Xác
nh
ng su t ti p
Cuối cùng ta có công thức tính ứng suất tiếp tại một
điểm
cách  bằng:
M
z






J
p
5
m
ax

m
ax
Trong đó: 

- Ứng suất tiếp tại điểm đang xét;  - Khoảng
cách từ điểm tính ứng suất tiếp đến tâm O của mặt cắt ngang; M
z
-
Mô men xo
ắn nội lực của mặt cắt ngang đang xét; J
p
- Mô men
quán tính độc cực của mặt cắt ngang đang xét.
Trong công th
ức trên  và J
p
đều dương, nên chiều của 

cùng chiều quay của M
z
trên m
ặt cắt ngang đó.
6.5. BIỂU ĐỒ ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN MẶT CẮT NGANG.
- Qui luật phân bố của ứng suất tiếp đọc theo bán kính của mặt

cắt là bật 1.
- Nh
ững điểm nằm trên cùng một đường tròn thì có cùng ứng
su
ất tiếp.
- Khi  = 0, tại tâm mặt cắt ngang: 

= 0.
 =  =R ; thì  = 
=
M
z



J
p
m
ax

M
z
R
J
p
6
J




Trong đó R: bán kính mặt cắt ngang tròn.
Có th
ể viết
lại:

ma
x

M
z

p
R

M
z
W
p
(6-4)
J
p
Trong đó w
p

R

J
p

ma

x
g
ọi là mô men chống xoắn của mặt cắt
ngang.
Th
ứ nguyên
W
P
=(chiều dài)
3

* Đối với mặt cắt
tròn đặc:
w
p
Trong đó: D - Đường
kính.

J
p


D
2
D
3
16

0,2D
3

(6-5)
*
Đối với mặt cắt vành khăn.
J
p
J
w
P
p
 

max
D 2
3

ma
x

p
M
z



M
z
max p


D


1  
4

 

16

0,2D
3
O O

1  
4


với d D  
d = 2r: đường
kính nh
ỏ
D = 2R: đường
kính
a) b)
Hình 6.10: Bi ung su t ti p
lớn.
Đồ
thị phân bố của 

theo bán kính của mặt cắt ngang
được biểu diễn như hình vẽ 6.10a,b.

Ví dụ 3 :Trên mặt cắt ngang của một thanh tròn đặc chịu
M
z
= 2.10
4
Nm. Tính
ứng suất tiếp 


t
ại điểm A ứng
với  = 0,03m và 
max
? Cho D = 0,1m.
7


D=0,
1m
M
z


=
A
M
z


J

p
ma
J
p
4

0,1D
4

10
5
m
4
O




2.10
10
5
2.10
4
. 0,03

6.10
7
8
N / m
2

2
Hình 6.11:
Tính
ng
su t
ti p

max



10
5
. 0,05

10
N / m
XOẮ
N.
6.6.BI
ẾN DẠNG CỦA
THANH TRÒN CHỊU
Khi thanh tròn chịu xoắn, biến dạng xoắn của thanh được thể
hiện bằng sự xoay tương đối giữa các mặt cắt ngang quanh trục của
nó. Góc xoay giữa hai mặt cắt được gọi là góc xoắn của đoạn
thanh giới hạn bởi các mặt cắt đó. Ta hãy thiết lập công thức tính
góc xo
ắn của một đoạn thanh nào đó có chiều dài là l.
8


Đã có
:
d



dz
M
z
GJ
p
 d


M
z
dz
GJ
p
l
M
 
z
dz
0
GJ
p
(6-6)
- Trên su
ốt chiều dài

l, n
ếu
M
z
GJ
p
 const

 
M
z
l
GJ
p
(6-7)
-
N
ếu
M
zi
GJ
pi
thay
đổi dọc theo chiều dài thanh thì ta chia thanh
ra nhi
ều đoạn l
i
M
n
M l

sao
cho:
zi
 const 



zi i
(6-8)
GJ
pi
n
l
i
i
1
G
i
J
pi
M
-T
ổng
hợp :
 


zi
dz
(6-9)

(
 có đơn vị
Radian ).
i
1
0
G
i
J
pi
t
ỉ
đối.
* Tỷ
số
d
gọi là góc xoắn trên một đơn vị chiều dài và
được gọi là góc xoắn dz
Ký hiêụ:  =
d



dz
M
z
G
J
p
(6-10)

Đơn vị của 
là:
Rad
;
m
Rad
;
cm
1
;
1 m
c
m
* Tích s
ố GJ
p
được gọi là độ cứng chống xoắn, ý nghĩa vật
lý của nó là: Khi độ
cứng GJ
p
t
ăng thì góc xoắn tỉ đối  giảm và ngược lại.
Ví dụ 4: Một trục bậc chịu tác dụng của mô
9
G
z
D
2
D
1


1
men phân bố có cường dộ m = 2
KNm/m và mô men t
ập trung M =
2,5KNm.
Tính :1. Góc xo
ắn tuyệt đối tại A
(

AE
).
2. Góc xo
ắn của đoạn
BD (
BD
).
Bi
ết D
1
= 2cm, D
2
= 3cm, G
= 8.10
3
KN
0,4
m
E
0,2

m
D
0,4
m
C
0,2
m
m
B
A
/cm
2
.
Bài giải:
Trước hết vẽ biểu đồ M
z
(xem
hình 6.12).
0,4KNm
1)

A


AE
20
mz
M
z
2

l
2
1,8KNm

AE


0
1
J
pl
dz



G
1
J
p
Hình 6.12:Bi u mô men
xo n

M
z 2
l
3
G
2
J
p 2


20
2
z
M

3
G
2
J
p 2
dz






0,4
10
2

40

0,4 
10
2

20


1,8

10
2
40

0

A


AE
8,10
3

0,12
4
 0,057
(Rad)
8
10
3

0,1 2
4


8
10
3

0,1

3
4


8 10
3

0,1  3
4
10
z
1
3
2
2) 
BD
M
z
l
2

2


G
1
J
p

2
M
l
3
G
2
J
p
2
 
0,4
10
40


0,4
10

20
 0,137

Rad


BD
8
10
3
 0,1 2
4

8
10
3
 0,1.3
4
11
Qua ví dụ trên, ta nhận thấy cần chú ý đến dấu của M
z
và J mô men quán tính c
ủa mặt cắt ngang trong đoạn cần tính.