bài giảng sức bền vật liệu, chương 2 potx



Chương 2: Phương chính và ứng suất
chính.
Muốn xác định phương chính và ứng suất chính, thì theo
định nghĩa ta phải tìm mặt nghiêng nào có ứng suất tiếp bằng
không (tức là mặt cắt không có ứng suất tiếp).
Mặt cắt nghiêng () là mặt chính khi 
uv
= 0. (3-
6) G
ọi 
0
là góc nghiêng c
ủa phương chính với trục x, từ (3-
6) và (3-3), ta có:

uv


x
 

y
sin
2


2
0
 

xy
cos 2

0
 0
(3-7)
 tg2
0
 



2
xy
2

xy
x
 
y
 

Đặt
tg

 


x



y
 
0
 k
2 2
, k  z
Ha
y




01








2





02
2 2

nha
u
Như vậy từ (3-7) luôn luôn tìm được hai giá trị của 
0
là

01
và

02
chênh l
ệch
xy



 2 . Vậy luôn luôn có hai phương chính thẳng góc nhau. Lần lượt
thay

01
,

02
vào (3-2) ta s
ẽ được các ứng suất chính cần tìm.
Nh
ững ứng suất chính còn là những ứng suất cực trị, nghĩa là ứng
suất trên mặt chính sẽ có giá trị cực trị. Rõ ràng đạo hàm bậc nhất
của giá trị ứng suất pháp bằng 0 cũng đồng nghĩa với ứng suất tiếp
ở mặt đó triệt tiêu.

Th
ực
vậy
d
u
d




2

x


y
2
sin 2
  2
xy
cos 2

 
2
uv
d

u

uv

= 0 , c
ũng có nghĩa
là

0 d
Như vậy, khi
thay
cos 2

c1
,
cos 2

c
2
,
sin 2

c1
và
sin 2

c 2
, suy t
ừ (3-7)
v
ới sự
biến đổi cos 2
 
tg2

1  tg
2
2



và sin 2 

1
1
 tg
2
2



, ta có được hai giá trị
ứ
ng suất
chính ở hai mặt chính vuông góc với nhau và thường trong trạng
thái ứng suất phẳng, ta ký hiệu các ứng suất chính là 
max
,

min
.
Ta có
:

max/

min

x y

1
2 2
(

x
 
y
)
2

4
2
(3-8)
d
ấu + ứng với 
max
, d
ấu  ứng với 
min
.
3.2.3. Vòng tròn ứng suất (vòng Mohr)
Chúng ta để ý đến hai biểu thức (3-2) và (3-3) thì thấy rằng:

u
và


uv
đều là hàm của góc nghiêng . Do đó giữa chúng chắc
sẽ có một mối liên hệ nào đó.
Thật vậy từ (3-2) và (3-3) ta được:

x

u


 
y
2


x
 

y
cos 2

 

2
x
y
sin 2

 


x
 

y
sin 2

 


cos 2

uv
2
xy
2
2


Bình phương cả 2 vế của hai phương trình này, sau đó cộng các
vế lại ta sẽ được:


x


y



2



x
 
y




u





 
uv



2


co2  
xy
sin 2





2

2
Sau khi thu g
ọn ta
đượ
c:



x



2
 

y
sin 2

 

2
x
y
2


cos 2






x


y





2


x
 
y

2



u




2


uv

2



xy

(3-9)
Trong hình h
ọc giải tích ta đã biết phương trình chính tắc của
đường tròn bán kính
R: (x-a)
2
+ (y-b)
2
= R
2
; (a,b) t
ọa độ tâm vòng tròn đó.
Nếu lập hệ trục mà trục hoành là 
u
và tr
ục tung 
uv
thì (3-
9) chính là ph
ương trình của một vòng tròn trong đó: 
u

,

uv
-
T
ọa độ của những điểm trên vòng tròn.
2



x
 
y



,0

- Tọa độ của tâm vòng tròn.

2





x
 
y


2




2


 
xy
- Bán kính của vòng tròn.
Ta có th
ể kết luận: Sự liên hệ giữa ứng suất pháp và ứng suất
tiếp trên mặt cắt bất kỳ có thể biểu diễn bằng một vòng tròn là
vòng tròn
ứng suất (hay vòng Mohr).
Cách d
ựng vòng Mohr như sau:
Xét một phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng, trong đó phương
Oz là một phương chính không có ứng suất, còn hai phương Ox,
Oy là b
ất kỳ và giả sử đã biết các ứng suất 
x
,

y
,

xy
= -


yx
,
v
ới giả thiết 
x
>

y
> 0;

xy
> 0.
Ta l
ập hệ trục tọa độ (theo một tỉ lệ nhất định ,vị dụ 1cm ứng
v
ới 1KN/cm
2
).
* Tr
ục hoành song song với Ox, biểu diễn ứng suất pháp.
* Trục tung song song với Oy, biểu diễn ứng suất tiếp.
y
y

yx

x

xy


x

x
y

uv
D

xy
x

yx
O A
C B

u




y
Hình
3.8:Phân t
ố
ứng suất
ph
ẳ
ng
y


x

y
2

x
Hình 3.9:
V
ẽ
vòng tròn
Mohr
Xác định tâm C của vòng Mohr: Trên trục hoành lấy các đoạn
OA  
y
; OB
 
x
.
Điểm chính giữa C của AB chính là tâm vòng Mohr, vì:


xy
OC 
OA  OB


y
 
x

* Tìm bán kính vòng Mohr:
Ứng với điểm A ta lấy D có
tung
độ
2
AD


xy
2
nằm về phía dương của
trục tung
(vì gi
ả thuyết 
xy
> 0). CD chính là bán kính
c
ủa vòng Mohr, vì:
2
CD
2
 AC
2
 AD
2


x
=





 
y



2
2


Với tâm C và bán kính CD ta lập được vòng Mohr.
D (

y
,

xy
): G
ọi là điểm cực của của vòng Mohr có tâm C
và bán kính CD.Ta hoàn toàn có th
ể vẽ vòng tròn Mohr ứng suất
(hình 3.9).
Chúng ta chú ý đến điểm M
o
(
x
,


xy
), hình 3.11, t
ức là tọa
độ
của nó thể hiện ứng xuất pháp 
x
,
ứng suất tiếp 
xy
trên m
ặt
chuẩn có pháp tuyến x, nên điểm M
o
gọi là điểm gốc của vòng
tròn
ứng suất, MO cũng là bán kính của vòng Mohr.
Bây gi
ờ ta hãy chứng minh tính chất sau:
- N
ếu lấy một điểm M thuộc vòng Mohr và kí hiệu góc giữa
các bán kính CM và CM
o
là 2
, thì tọa độ điểm M đó sẽ là 
u
,

uv
trên m
ặt cắt có pháp tuyến u xiên góc  với trục x (xem hình 3.11).

y

xy


x

y

yx

u
u





uv

xy

xy

uv
D
M

M
O

2











xy
x
O
x

yx

y
O
A C T B

u

y
Hình 3.10:
Ứ
ng suất trên
m

ặt c
ắ
t xiên

x
Hình 3.11: Cách
d
ự
ng vòng tròn
ứng su
ấ
t
Theo hình ta tính
được:
OT  OC CT  OC CM cos(  2)
= OC  CM cos . cos 2  CM sin .sin
2



Vì CM cos  
CM
0
 


cos   CB 
x y
2
Và CM sin

  CM
0
sin   BM
0
 
xy
OT


x


y
2


x
 
y
2
cos 2
  
xy
sin 2

So sánh với (3-2)
=
>
T
ương tự

OT 

u
TM


uv
N
ối DM =>
MDM
0
=
 => DM // u
* Chú ý: a) Khi bi
ểu diễn các giá trị 
x
,

y
,

xy
trong h
ệ
trục (, ) cần lưu ý dấu. b)  > o, khi quay ngược
chi
ều kim đồng hồ kể từ trục x.
Ví dụ: Tính ứng suất trên mặt cắt có pháp tuyến u nghiêng
m
ột góc  = 30

0
so với trục x.
* Tính theo phương pháp đồ thị:
L
ập hệ trục  // x;  // y, chọn tỉ xích 5mm =1KN/cm
2
.

2,7
2
x
Trên trục  lấy OA 

y
 4;
OB


x
 8 .
Trung
điểm C của AB là tâm vòng Mohr. Cực D (4,2), CD là
bán kính vòng Mohr
ứng với phân tố đã cho. Từ D kẻ đường thẳng
song song với u cắt vòng Mohr tại M. Đo tọa độ , ta nhận được:
2 2

u
= x
(M)

= 5,3 k/cm ;

uv
- y
(M)
==
2,7k/cm

KN


y

 


cm
2


4
M
0
u
2
30
0
D
30


8
O
M
2
A
4
C B
M
1

kN


 

uv
O
5,3
8

cm
2


Hình 3.12:
Xác
đị
nh
ứng su
ấ

t
t
ại mặt
xiên
* Tính theo phương pháp
gi
ải tích:
Hình 3.13: Cách
tìm
ứ
ng suất trên
m
ặt xiên b
ằ
ng
vòng Mohr

u

8 
4
2

8 
4
2
cos
60
0
 2 sin

60
0
 5,268
KN
cm
2

uv

8 
4
2
sin
60
0

2c0s60
0
 2,732
kN
cm
2
chín
h.
*
Ứng dụng chủ yếu của vòng Mohr là để xác định phương
chính và ứng suất
Ta biết rằng mặt chính là mặt không có ứng suất tiếp. Do đó
để
xác định phương

2
2
chính ta chỉ việc tìm trên vòng tròn Mohr những điểm có tung độ
bằng không. Đó là hai điểm M
1
, M
2
, các phương này hợp với
phương ngang những góc 
1
và

2
.
Ở đây ta qui ước chiều dương
của các góc  là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ. Giá
tr
ị của các ứng suất chính có thể đo trực tiếp trên các trục (, ).
Đó là các đoạn
OM
1
và OM
2
; OM
1


max
; OM
2

 
min
,
(xem hình 3.15)
Nh
ờ vòng Mohr ta có thể rút ra công thức tính ứng suất chính:

x


y


x


y

2

min
 OC 
M
2
C 




2


2



xy



x


y


x


y

2

max
 OC 
CM
1






2

2



xy





2
xy
2



Viết
gộp:

max/
min


x


y



2


x







y



2
2




(3-
10)
d
ấu + ứng với 
ma x
, d
ấu

ứng với 
min
.

1


2
y

y

y
x



x



D

x


y
M
2


1
M
1


y
x
x
x
y
x

y
x

y
O

2


A
C
B

1
Hình
3.14:Phân
t
ố ứng

su
ấ
t ph
ẳ
ng
2

x
 
y
2



x
1
Hình 3.15: Xác
đị
nh ứng suất
chính b
ằ
ng
vòng Mohr
Theo hình trên thì ta sắp xếp các ứng suất chính theo thứ tự :

1
=

max
,


2
=

min
,

3
= 0
G
ọi: 
1
- Góc gi
ữa phương chính có 
max
v
ới phương ngang.

2
- Góc gi
ữa phương chính có 
min
v
ới phương ngang.
thì từ vòng Mohr ta
rút ra:
tg

1
tg


2
  
AD
AM
1
  
A
D
 

xy

max
 
y


xy
2
2


xy

y
 
max
AM
2


y
 
min

xy
Vi
ết gộp: tg 
1/2
 (3-11)

y
 
max
/ min
Trên vòng tròn Mohr còn có hai
điểm đặc biệt M
3
và M
4
là
hai
điểm có tung độ lớn nhất và bé nhất. Dựa vào vòng Mohr, ta có:
  




x



y

2
max
CM
3




2




xy


x


y

2

min
 CM
4
 








xy
2



Viết gộp:

max/ min
 




x






2




y

