bài giảng sức bền vật liệu, chương 16 ppsx

1
1
2
3
Chương 16: THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN
HỒI CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG
THẲNG
Để tính thế năng biến dạng đàn hồi của dầm chịu uốn ngang
ph
ẳng, ta dùng công thức tính thế năng riêng biến dạng đàn hồi của
một phân tố trong trạng thái ứng suất phức
t
ạp
:
u

1
2
E


2


2


2

2




1

2


2

3


3

1



2
J
x

Trong trường hợp dầm chịu uốn ngang phẳng, trạng thái ứng
su
ất của phân tố là trạng thái ứng suất phẳng, do đó công thức trên
s
ẽ có dạng:
u 
1



2
 
2


 



(a)
2E
1
3
2
1 3
Nh
ưn
g:
 



1
2
(
 /
2)
2



2

2
,

3

2




2





2

2


2
(b)
Cho
nên
u
 


2E 2
2(1 )
E
N
ếu kể
đến:
2(1 

)

1
E G
Thì:

2

2
u
 


(c)
2E 2G
ph
ẳn
g.
Công th
ức (c) cho ta thế năng riêng biến dạng đàn hồi trong
d

ầm chịu uốn ngang
Thay bi
ểu thức của ứng suất pháp  và ứng suất tiếp của
dầm chịu uốn ngang
M
2
Q
2
.

S
c

2
ph
ẳng vào đây, ta
đượ
c:
u

2
y
2


2EJ
2
y x
2


2

2
x
2G
J
x
 b
Th
ế năng biến dạng đàn hồi trong một đoạn thanh dz:
d U 

F
u
dz

dF
Thay trị số của u vào và chú ý dz là hằng số đối với biểu thức
tích phân, ta có:

M
2
Q
2

S
c

2



U  dz



x
y
2



y x

dF

2EJ
2
2Q J
2
(b
c
)


F

x

F
x



S
c

2
Nếu
đặt:
x
2

b
c
dF
 


2
3
y
x
y
M
dz
Q
2
EJ
y
Và chú ý rằng


y
2
F
dF
 J
x
Thì th
ế năng biến dạng đàn hồi trong một đoạn dz của thanh:
M
2
dz
dU

x



2EJ
x
Q
2
dz
2GF
V
ậy, thế năng biến dạng đàn hồi trong cả thanh với chiều dài l:
1
M
2
dz
U

1
Q
2
dz


0
2EJ
x


0


2GF
N
ếu dầm có độ cứng hay mô men uốn và lực cắt thay đổi
trong từng đoạn thì:
n
2
n
x
2
dz
U



li
i


1
x



li


1

1
2GF
Trong đó li là chiều dài của đoạn thứ i và n là số đoạn.
Đối
với mỗi dạng mặt cắt ngang, ta có hệ số  khác nhau. Hệ
số này được gọi là hệ số điều chỉnh sự phân bố không đều của ứng
suất tiếp.
Mặt cắt ngang hình chữ nhật : = 1,20
4
K
v
=
y
Mặt cắt ngang hình tròn:  = 1,11
M
ặt cắt ngang hình I: =
F
F
1

Trong đó: F - diện tích cũa chữ I ; F
1
- diện tích của lòng chữ
I.
C. CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN.
5.13. KHÁI NI
ỆM ĐƯỜNG ĐÀN HỒI.
Khi dầm bị uốn, trục của dầm bị uốn cong. Đường cong của
trục dầm sau khi bị
uốn gọi là đường đàn hồi, (hình 5.32).
Xét m
ột điểm K nào đó trên trục dầm trước khi biến dạng. Sau
khi d
ầm bị biến dạng,
điể
m K sẽ di chuyển đến vị trí mới K'.
Kho
ảng cách KK' được gọi là chuyển vị dài của điểm K. Ta
s
ẽ phân tích chuyển vị này làm hai thành phần:
- Thành ph
ần v vuông góc với trục dầm (song song với trục
y).
- Thành ph
ần u song song với trục dầm (song
song v
ới trục z). Trong điều kiện biến dạng của
dầm
là bé, ta có thể bỏ qua thành
ph

ần chuyển
vị u và xem KK' là bằng v, nghĩa
là v
ị trí
O
của K sau biến dạng là nằm
trên đường
vuông góc v
ới trục thanh (hình
5.32). Chuy
ển vị v được gọi là
độ võng tại K của dầm và nó là
hàm s
ố đối với hoành độ z
c
ủa mặt cắt ngang. Vậy phương
trình c
ủa
y
đường đàn hồi có
thể viết :


z

K
P
đường đàn
’
u

h
ồi
z
t
= v(z) (a)
y(z
)
Hình 5.32:Đường đàn
h
ội c
ủ
a
Trong kỹ thuật, khi tính dầm chịu uốn, người ta thường khống
5
chế không cho độ võng lớn nhất của dầm vượt quá một giới hạn
nhất định, điều kiện đó được gọi là điều kiện cứng. Nếu gọi f là độ
võng lớn nhất của dầm:
f = v
max
(b
) Thì
điều kiện cứng thường chọn là:

f





l




1


100
1
100
0
(c)
Trong
đó: l- là chiều dài của nhịp dầm; tùy loại công trình mà
ng
ười ta quy định
c
ụ thể trị số f l .
Sau khi tr
ục dầm bị biến dạng, mặt cắt ngang ở K bị xoay đi
một góc , ta gọi góc xoay này là chuyển vị góc của mặt cắt
ngang ở điểm K (còn gọi là góc xoay). Dễ dàng thấy rằng góc
xoay
 chính bằng góc giữa đường tiếp tuyến ở điểm K của đường
đàn hồi và trục dầm khi chưa biến dạng (trục z).
Do
đó:
tg  

d
y

dz
V
ậy: đạo hàm của đường đàn hồi là góc xoay của mặt cắt khi
d
ầm bị biến dạng.
5.14. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI.
Trong chương 5 này ta đã thành lập được liên hệ giữa độ cong của
trục dầm sau khi biến dạng và mômen uốn như sau [xem công thức
(5-1)]:
6
3
3
1

M
x

EJ
x
(a)
M
ặc khác, vì đường đàn hồi được biểu diễn bằng hàm số
y(z), nên độ cong của
đường đàn hồi đượ
c tính theo công thức:
1


y




(b)


1

y

2

2
Từ (a) và (b), ta có được buểu
thức (c):
y




 
M
x
(c)
3
(1  y'
2
)
2
EJ
x

Đó là phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi. Ta
ph
ải chọn dấu sao cho hai vế của đẳng thức trên đều thỏa mãn.
Các m
ẫu số EJ
x
và (1 + y'
1
)
3/2
đều là những số dương, nên sự
liên hệ về dấu giữa vế phải và vế trái của phương trình (c) phụ
thuộc vào sự liên hệ về dấu giữa M
x
và y". Để xét sự liên hệ về
dấu, ta khảo sát một đoạn dầm bị uốn cong trong hai trường hợp
như trên h
ình 5.33.
a
A
)
M
x
M
x
M
x
>0
y
y’’<

0
x
b
A
)
y
x
M
x
M
x
M
x
<
0
y’’
>
0
Từ hìn
H
h
ì
v
n
ẽ
h
, ta
5
t
.

h
3
ấy
3:
giữ
X
a
á
M
c
x
đ
và
ị
n
y
h
"
lu
d
ô
ấ
n
u
lu
c
ôn
ủ
a
ngư

đ
ợ
ư
c
ờ
d
n
ấ
g
u,
d
ch
à
o
n
nê
h
n
ồi
phương trình vi
phân c
ủa đường đàn hồi sẽ có dạng:
y

 
M
x
(d)

1

 y

2

2
EJ
x
Trong th
ực tế , không cho phép các công trình hay chi tiết
máy có chuyển vị lớn, nên góc xoay cũng bé và ta có thể bỏ qua
y
’2
so v
ới 1.
Phương trình vi phân có dạng gần đúng như sau:
y

 
M
x
EJ
x
T
7
x
rong đó, tích EJ
x
là độ cứng của
dầm khi uốn.
(5-24)

5.15. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐÀN HỒI BẰNG TÍCH
PHÂN BẤT ĐỊNH.
Để có được phương trình của góc xoay và đường đàn hồi
ta phải tích phân phương
trình vi phân (5.24). V
ế phải của phương trình (5.24) chỉ là một
hàm số của biến số z, nên phương trình vi phân đó là một phương
trình vi phân th
ường.
L
ấy tích phân lần thứ nhất phương trình (5.24) ta được
ph
ương trình góc xoay:
M
x
  y' 


E J
Trong đó C là hằng số tích
phân.
dz

C
(5-25)
8
B
l

r

c
Lấy tích phân lần thứ hai phương trình (5-25) ta được
ph
ương trình của đường
đàn
hồi:
26)

M
y


x

E
J
x


dz  C

dx

D



(5-
Trong đó D là hằng số tích phân.
N

hư vậy để có  và y ta phải lập được biểu thức của mô men
u
ốn M
x
và của độ
cứng EJ
x
. Các h
ằng số tích phân C và D được xác định theo các điều
kiện biên.
Ví dụ 6: Viết phương trình góc xoay và độ võng của một dầm
bị ngàm và chịu lực
tập trung ở đầu tự do. Dầm có độ cứng không đổi.
q
P
B
A
z
A
z
C
l
l
/
/
2
2
y
y
Hình 5.34:Tính độ

võng
Hình 5.35 Tính
độ võng
và
Bài giải: Phương trình mô men uốn tại mặt cắt ngang
ó
có hoành
độ z là:
M
x
= - P (l-z) (a)
Thay bi
ểu thức đó vào (5-24), ta có phương trình vi phân của
đường đàn hồi như sau:
y


P
E J
x
(l
 z)
Vì EJ
x
là hằng, nên lấy tích phân lần thứ nhất ta được phương
trình c
ủa góc xoay:
2
 = y


=
Pl
z
E J
x

P z
9


 C E J
x
2
(b)
Tích phân l
ần thứ hai ta được phương trình của đường đàn hồi:
y =
Pl
2E J
x

z
2

P
6EJ
x

z
3

 Cz 
D
(c)
V
ới dầm như đã cho, các điều kiện biên của dầm được xác định
như sau:
Khi z=0, thì độ võng và góc xoay bằng không y =0; y= 0.
V
ới điều kiện biên đó, ta tìm được C=0 và D=0. Như vậy phương
trình góc xoay và
độ võng có dạng:
  y


Pl

z


Pz
2
;
Plz
2
y




3 

z


EJ
x
2EJ
x
6EJ

l

Nhìn trên hình (hình 5.34), ta thấy ngay độ võng và góc xoay
có giá tr
ị lớn nhất là
ở đầu tự do của dầm
(tại z=1):
Pl
3
f


3EJ
x
;

max


Pl
2

2EJ
x
10
3
Các giá trị này đều dương, điều đó chứng tỏ rằng độ võng
h
ướng theo chiều dương của trục y (hướng xuống dưới) và mặt
cắt ngang tại đó có góc xoay thuận chiều kim đồng hồ.
Ví dụ 7: Một dầm chịu lực như hình 5-35.Biết độ cứng chống
uốn EJ không đổi. Tìm độ võng f
c
tại C và góc xoay  tại A, B ?.
Giải: Phương trình mô men uốn tại mặt cắt ngang có hoành
độ z là:
M

q

lz  z
2


x
2
(a)
Thay bi
ểu thức đó vào (5-24), ta có phương trình của đường
đàn hồi như sau:
y



q
2EJ
x

z
2
 lz


Vì EJ
x
là hằng số, nên lấy tích phân lần thứ nhất ta được
phương trình của góc
xoa
y:


y



q

z
3



lz

2




C
(b)
2
EJ
x

3
2


Tích phân lần thư 2 ta được phương trình của đường đàn hồi:
y

q

z
4



lz
3





Cz
 D
(c)
2
EJ
x

12
6


Với dầm như đã cho, các điều kiện biên của dầm được
xác định như sau: Khi z = 0, y = 0 (*) ; z=l ,
y = 0 (**)
Thay l
ần lượt (*) và (**) vào (b) và (c), ta
có: D=0 ; C


Như vậy, phương trình góc xoay và độ
võng có dạng:
ql
3
24EJ
x
 = y' =
q

z

3


lz
2






ql
3
2
EJ
x

3
2

24
EJ
x
11

y

q

z

4


lz





ql
3

z
(d)
2
EJ
x

12
4
6

24
EJ
x
3 3
f
c
 y


1






2

5
38
4

ql
EJ
x
 0 ; 
A

ql
24EJ
x
 0;
B

ql
 0
24EJ
x
 




Chú ý: f
c
>0 chứng tỏ độ võng đi xuống theo chiều dương
c
ủa y; 
A
>0 ch
ứng tỏ
góc xoay theo chiều thuận kim
y
đồng hồ; 
B
< 0 ch
ứng tỏ theo
>
>0
chiều ngược kim đông hồ. Sở dỉ
0
như vậy là hệ trục ozy đã chọn
khác với hệ trục toạ độ toán học
O z O z
mà ta thường gặp , hình 5.36.
y
5.16. XÁC ĐỊNH ĐỘ
VÕNG VÀ GÓC
XOAY
B

ẰNG
Hình 5.36: Thay đổi
h
ệ
toạ
độ
PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO (PHƯƠNG
PHÁP
ĐỒ TOÁN).
Ở trên ta đã thiết lập sự liên hệ vi phân giữa nội
lực và ngoại lự:
12
gt
dQ
 q;
dz
2
dM
 Q
dz
Rút ra
:
d M

q
(a)
dz
2
Còn
đối với đường đàn hồi ta có phương trình vi phân:

d
2
y
dz
2


M
(b
) EJ
Đối chiếu hai phương trình (a) và (b), chúng ta thấy có sự
tương tự nhau:
y M
dy

y' dz
2
dM
 Q
dz
2
d y


d
(y' )
 
M
d M



d
(Q)
 q
dz
2
dz EJ
dz
2
dz
Chúng ta nh
ận thấy muốn tính góc xoay y' và độ võng y thì
ph
ải lấy tích phân
liên ti
ếp 1 lần và 2 lần
hàm số
M
, c
ũng như muốn có lực cắt Q và mô
men u
ốn M thì
EJ
ph
ải lấy tích phân liên tiếp 1 lần và 2 lần hàm số tải trọng q (tức là
v
ẽ biểu đồ).
Vậy nếu đặt
thì chúng ta có sự tương
đương :

q
gt
 
M
E
J
(5-27)
d
2
y
dz
2
 
M
 q
EJ
gt
y
'

Q
y 
M
gt
Trong đó: q
gt
- T
ải trọng giả tạo.
Q
gt

- Lực cắt giả tạo.
13
M
gt
- Mô men uốn giả tạo.
Tóm l
ại, chúng ta thấy rằng muốn tính góc xoay y' và độ
võng y thì chỉ cần vẽ
biểu đồ lực cắt giả tạo Q
gt
và mô men u
ốn giả tạo M
gt
do tải trọng
phân bố giả tạo q
gt
tác dụng trên một dầm giả tạo nào đó gây ra.
Đ
iều kiện: y' = Q
gt
; y = M
gt
phải được thỏa mãn ở mọi
đ
iểm trong cả hai dầm thực đã cho và dầm giả tạo hay nói cách
khác, bi
ểu đồ độ võng và góc xoay trong dầm thực phải hoàn toàn
trùng v
ới biểu đồ mô men uốn giả tạo và lực cắt giả tạo trong
d

ầm giả tạo. Tức là:
-
Ở một mặt cắt ngang nào đó trong dầm thực, góc xoay và
độ võng (do tác dụng của tải trọng đã cho) phải bằng lực cắt giả
tạo và mô men uốn giả tạo ở mặt cắt ngang tương ứng của dầm
giả tạo (do tác dụng của tải trọng phân bố giả tạo).
Muốn các điều kiện trên được thỏa mãn thì bắt buộc phải có sự tương
đương giữa dầm thực và dầm giả tạo về điều kiện biên. Để làm sáng
t
ỏ vấn đề chọn dầm giả tạo, chúng ta xét một ví dụ sau.
B
’
Trên hình 5.36 biểu diễn một dầm thực AB, đầu mút A được tự
do và đầu mút B bị ngàm. Đối với dầm thực này, độ võng và góc
xoay
ở đầu mút A đều khác không, nhưng ở đầu mút B đều bằng
không (vì b
ị ngàm).
Do
đó, mô men uốn giả tạo M
gt
và l
ực cắt giả tạo Q
gt
ở
đầu
mút A tương ứng của
dầm giả tạo phải khác không
và
ở đầu mút B phải bằng

không. Tức là dầm giả tạo
phải là một dầm bị ngàm ở
đầu
mút A và tự do ở đầu
mút B.
A
y
0
y
’

0
M
gt
0
d
ầ
m
th
ự
c
a
)
y=
0
B
y
’
=
0

M
gt
=0
Mỗi dầm thực sẽ có một dầm
A
giả tạo tương ứng. Trong bảng 5.1 biểu
diễn các dầm thực và dầm giả
tạo tương
ứng.
Q
gt
0
P
Q
gt
=
0
* Nhận xét: Theo
(5.27) thì q
gt
luôn luôn ng
ược dấu với
mômen uốn
Hình 5.36: Dầm
th
ực và
d
ầm giả
t
ạ

o
M, như vậy nếu tung độ của biểu đồ mômen uốn nằm ở phía dưới
đường chuẩn thì tải trọng phân bố giả tạo q
gt
phải hướng xuống
dưới, và ngược lại. Hay nói cách khác, tải trọng phân bố giả tạo
luôn luôn hướng về phía các thớ căng của dầm thực (hay hướng
theo tung độ của biểu đồ mômen uốn M).
Dầm thực và dầm giả tạo
t
ương ứng
Bảng
5.1
Dầm thực
Dầm giả tạo
y=0 y=
0
M
gt
= 0
M
gt
=
y
’
0
y
’
0
Q

 0
y =
0
y
0
gt
M
g
t
=
0

M
gt


y
’
=
0
y
’

0
0
Q
=
0
Q





y

0
0
y= 0
y= 0
gt
0
M
g
t






M
gt
=
g
t
0
M
g
t
=

0
Q
gt

0
gt
Q


y
’
0 y
’
0
Q

0
0 0
gt
0
y

0
y
’
0
y=
0
y
’

0
y=
0
y
’

0
M
g
t


0
Q
g
t


0
M
g
t
=
0
Q
g
t


0

M
g
t
=
0
Q
g
t


0
M
gt


0
Q
gt


0
y
=
Bảng
5.2
0
y
’
=
Hình

f
z
c
y =
y
0
’
=
0
Đường
cong
ậ
c
2
M
gt
=
0
Q
gt
=
0
Diện tích
Z
c
111
M
gt
=
0

Q
gt
=
0
Đ
ườ
ng
cong
112
2
fl
3
1
2
2
fl
3
3
l
8
fl
n

1
1
n

2
Khi xác định lực cắt giả tạo và mô men uốn giả tạo, chúng ta
c

ần biết diện tích và
tr
ọng tâm của một số biểu đồ dạng đường cong bậc hai và bậc cao.
Trên b
ảng 5.2 có ghi diện tích và trọng tâm của một số biểu đồ
đó.
Ví dụ 8:
Tính độ võng và góc xoay ở đầu mút tự do của dầm chịu lực
như trên h
ình 5.37.
Bài giải:
Trên hình 5.37b biểu diễn biểu đồ
a)
A
mô men uốn M trong dầm thực.
l
Theo (5-27) và bảng 5.1, tải trọng
gi
ả tạo và dầm giả tạo được biểu diễn như
P
trên hình 5.37c.

Pl
Để tính góc xoay và độ võng ở đầu
b)
mút tự do A của dầm thực, chúng ta sẽ tính
Pl
lực cắt giả tạo Q
gt
và mô men uốn

giả tạo
EJ M
gt
ở ngàm A trong
d
ầm giả tạo:
c)
Bi
ể
u
đồ
M

A

Q
gt ( A )

1

Pl
 l 

2
EJ
Pl
2
2EJ
3
Hình 5.37: Xác

đị
nh
độ
võng và góc xoay
b
ằ
ng
ồ toán
y 
M

1

Pl
 l 
2
.l

Pl
A gt
( A )
2 EJ 3 3EJ
Ví dụ 9: Xác định độ võng và góc xoay ở đầu mút tự do A
113
2
2


của một trục chịu lực như hình 5.38.
Bài giải: Biểu đồ mô men uốn M trong dầm thực được biểu

diễn trên hình 5.38b. Dựa (5-27) và bảng 5.1 chúng ta sẽ tính
t
ải trọng phân bố giả tạo và chọn dầm giả tạo như hình 5.38c.
Để tính lực cắt giả tạo và mô men uốn giả tạo ở A, chúng ta
s
ẽ chia dầm giả tạo thành ba đoạn như trên hình 5.38d.
Ph
ản lực ở B và C của dầm giả tạo
giữa bằng:
V
gt(B)
=V
gt(C)

1

2

3Pa

a


Pa

a


Pa


4EJ
2EJ

EJ
114
Góc xoay và độ võng ở A trong dầm thực là lực cắt giả tạo và
mô men u
ốn giả tạo
ở A tr
ên dầm giả tạo:
 
Q
 V 
1

Pa

a
Pa
2
=
Pa
2


Pa
2


A gt(A)

gt
(B
)
2 EJ EJ
1 pa 2
2E
J
Pa
3
2E
J
Pa
3
2Pa
3
y
(A)
= M
gt(A)
=
-V
gt(B)
.a +
.
2
EJ
.a.
3
a
 


EJ
 =


3E
J
3EJ
P
M
0
=2P
a
3
EJ
4
M
0
=2P
P
a
A
D
E
B
C
E
a a a a a
P
a

P
a
)
a
P
a
 Pa
EJ
b
)
p
a
2E
J
P
a

Pa
EJ
3
Pa
4
EJ
Pa
EJ
V
g
t
B
c

)
P
a
2
E
J
3
pa
4
E
J
V
gt
P
a
C
E
J
B C
A D
C D
115
V
gt
3
P
a
3
P
a

V
gt
C
Kết quả góc xoay m
B
ang d
4
ấ
E
u
J
cộng, nghĩa là mặt cắt
4
n
E
g
J
ang ở A xoay thuận theo chiều kim đồng hồ và độ võng ở A
mang dấu tr
d
ừ
)
, tức là võng lên trên.
Hình 5.38: Xác
đị
nh độ
võng và
5.17. PHƯƠNG PHÁP
g
T

ó
H
c
Ô
x
N
o
G
ay
SỐ
bằ
B
n
A
g
N
p
Đ
h
Ầ
ư
U
ơ
.
ng pháp đồ toán
Phương pháp tích phân không định hạn để tìm độ võng từ
phương trình vi phân (5-
24) s
ẽ trở nên cồng kềnh, khó khăn khi phải lập biểu thức mômen
u

ốn cho nhiều đoạn. Bài toán sẽ được giải quyết dễ dàng hơn nếu
ta dùng phương pháp thông số ban đầu, một phương pháp được sử
dụng rộng rãi trong cơ học công trình.Trong điều kiện xuất hiện
các phép tính, thông qua sự phát triển của công nghệ thông tin, thì
ph
ương pháp này rất thuận lợi.
Xét d
ầm nằm ngang có n đoạn, gọi tên các đoạn bắt đầu từ 1
theo chi
ều trục z từ trái sang phải. Xét đoạn thứ nhất có gốc tọa độ
nằm ở mút bên trái (hình 5.39). Trong trường hợp tổng quát, ở mút
này có:
-
Độ võng y
0
.
116
y
’
y
i
(z)
2
3
4
5
- Góc xoay 
0
= y'
0

.
- Mô men t
ập trung M
0
v
ới chiều dương thuận chiều kim đồng
hồ.
- Lực tập trung P
0
với chiều dương hướng lên trên.
- L
ực ngang phân bố cường độ q
0
với chiều dương hướng lên
trên, các
đạo hàm
c
ủa cường độ lực phân bố là q
0
', q
0
"
P
Dấu dương của các lực phù hợp
với
0
dấu quy ước dấu trong các
quan h
ệ vi phân và
q

bước nhảy
đ
ã biết:
M
0
d
2
M
dz
2

dQ

q dz

0
=y
M  M
0
’
0
Q  P
0
z
Khai triển Mác-Laurin đối với hàm độ
võng y
1
tại z = 0:
y
1

= y(0) + y'(0)z +
y"(0)
Hình 5.39: Xác
đị
nh
độ võng và góc xoay
bàng ph
ương pháp
thông s
ố ban
đầ
u
z

y'"(0)
z
 y
IV
(0)
z
 y
V
(0)
z

2!
(5-
28)
3!
Thay

th
ế :
4!
y



M
;
EJ
5!
y"'
 
Q
;
EJ
y
IV
 
q
;
EJ
y
V


q'
EJ
Ta
có:

y


0



M(0
)
EJ
 
M
0
;
EJ
y
 
 
Q(0)
P
0



EJ EJ
y
IV

0


 
q(0)
 
q
0
EJ EJ
y
V
(0)
 
q'(0)
 
q'
0
117


EJ EJ
N
ếu tải trọng phân bố là hàm bậc nhất thì q"= 0 và ta dừng lại
ở số hạng y
V
(0) v
ừa viết. Thay các giá trị này vào (5-28) ta có :
y
1
 y
0



0
z

1

M
0
z
2

P
0
z
3

q
0
z
4

q'
0
z
5









(5-29)
EJ

2! 3! 4! 5!


Biểu thức này cho phép tính độ võng tại tọa độ z của đoạn thứ
nhất qua các thông số ban đầu y
0
, 
0
, M
0
, P
0
. M
ột phần các
thông s
ố này là biết trước và một phần sẽ được xác định theo các
điều kiện biên còn lại của dầm.
Sau khi có bi
ểu thức độ võng trong đoạn thứ nhất, ta xét các
đoạn tiếp sau. Để lập được các biểu thức tổng quát, ta khảo sát hai
đoạn dầm liên tiếp thứ i và thứ i+1 tại tiết diện phân cách ở tọa độ z
= a có các ngoại lực M
a
, P
a

và lực phân bố với các gián đoạn:
(q
a
)
ph
- (q
a
)
tr
;
q'
a
= (q'
a
)
ph
- (q'
a
)
tr
(5-
30) (q
a
)
ph
, (q
a
)
tr
, (q'

a
)
ph
, (q'
a
)
tr
t
ương ứng là cường độ và
đạo hàm cường độ tải trọng ở
bên phải và ở bên trái tiết diện z = a. Khi biết tải trọng tác động trên
d
ầm, những đại lượng
này là xác định. Dấu dương của các đại lượng này quy ước chỉ định trên
hình 5.40.
118
i
i
q
i+1
(a
)
q
i
(a)
y
i
(a)
y
i

(a)

y
i
(a)










P
0
M
a
y
i
(z
)
a

i
(a
)

(

a
Kí hiệu y
i
và y
i+1
là biểu
thức độ võng của đoạn thứ i và
i+1; y
i
đúng với z  a, và
y
i+1
đúng với z  a.
N
ếu kéo dài y
i
với z a thì
s
ẽ mắc sai
s
ố: y
i
(z) = y
i+1
(z) - y
i
(z).
Độ võng trong đoạn y
i+1
sẽ

biết nếu
biết độ võng của đoạn bên trái
y
i
và gia s
ố
y
i
: y
i+1
(z) = y
i
(z) + y
i
(z)
(5-31)
i+1
)
Khai triển Mác-Laurin hàm
s
ố y
i
(z)
t
ại điểm z = a , ta có:
Hình 5.40 :
Nh
ữ
ng
thông s

ố tại
m
ặt c
ắ
t
gi
ữa hai đoạn i
và i
[ z 
a]
2
+
y'
i
(a)[z-a] + y"
i
(a) 

2!
[z

a]
3
[z

a]
4
y
i
(z) =

y
i
(a) [z
 a]
5
+
y"'
i
(a)
 y
IV
(a)
3!
 y
V
(a)
4!
 ,
5!
V
ới ý nghĩa : y
i
(a) = y
i+1
(a) - y
i
(a) =  y
a
.
y'

i
(a) = y'
i+1
(a) - y'
i
(a) =  y'
a
= 
a
.

M
i 1
(a) M
i
(a)



M
a
M
a
y''
i
(a) = y''
i+1
(a) - y''
i
(a)

=




EJ
 

EJ

EJ
  .
EJ

Q
i 1
(a) Q
i
(a)



Q
a
P
a
y'''
i
(a) = y'''
i+1

(a) - y'''
i
(a)
=




EJ
   

EJ

EJ EJ

q
i 1
(a) q
i
(a)



q
a
y
IV
i
(a) = y
IV

i+1
(a) -
y
IV
i
(a) =




EJ
  

EJ

EJ
119

y
V
(a)
= y
V
(a) - y
V
(a) = 

q'
i
1

(a)

q'
i
(a)

 

q'
a
i i+1 i

EJ
EJ

EJ
a
B
b
) )

a
0
y
a


0
Khi viết các biểu th
H

ứ
ì
c
n
t
h
rên
5
,
.
ta
41
đã
:
sử
Cá
d
c
ụng
li
li
ên
hệ vi
phân và liên h
ệ bước nhảy giữa ứng lực và các tải trọng
ế
n
t
ga
đ

n
ặ
g
trê
b
n
i
th
ệ
a
t
nh. Các bước nhảy của độ võng và góc xoay
y
a
, 
a
s
ẽ bằng không trong trường hợp dầm cấu tạo liên tục và
không có nh
ững liên kết
đặc
biệt tại tọa độ z=a. Trong trường hợp dầm có những liên kết đặc
bi
ệt thì hai đại lượng
này có th
ể khác không, chẳng hạn tại z=a dầm có khớp nối thì đại
l
ượng y'
a
 0 (hình

5.41b). M, P
a
là t
ải trọng tập trung tại z=a; q
a
, q'
a
là bước
nh
ảy của cường độ và đạo hàm cường độ tải trọng phân bố tại tiết
diện z=a.
Thay thế các đại lượng  vào (5-31) ta nhận được:
120


y
i+1
= y
i
+ y
a
+ 
a
[z-a]
 
1


M
A

[z

a]
2


Q
a
[z

a]
3


q
a
[z
 a]
4


q'
a
[z
 a]
5







EJ

2! 3! 4! 5!


Khi tải trọng phân bố là hàm bậc nhất theo z thì ta dừng biểu
thức ở số hạng q'. Khi tải trọng phân bố là hàm bậc cao hơn
thì phải lấy thêm các đạo hàm tiếp theo. Các đại lượng còn lại
y
a
, 
a
,
M
a
= M
a
, Q
a
= P
a
hoặc đã biết, hoặc được
xác
định theo điều kiện liên kết của dầm.
Bi
ết y
1

(z) theo biểu thức (5-29), ta sẽ xác định được y
2
(z)
và l
ần lượt xác định được độ võng của tất cả các đoạn. Khi độ
cứng chống uốn của tiết diện EJ không phải là hằng số trong từng
đoạn,
thì với cách lập luận tương tự, ta cũng có thể lập được biểu
thức tính độ võng của dầm cho từng đoạn. Bạn đọc có thể tự tìm
hi
ểu và tự xây dựng như ở trên.
S
ử dụng phương pháp thông số ban đầu, ta có thể giải trực
tiếp được một số bài tóan siêu tĩnh của dầm chịu uốn. Các ví dụ
sau sẽ minh họa cho việc sử dụng phương pháp này.
* Ví dụ 10: Tìm độ võng tại khớp B của dầm cho trên hình
5.42 có
độ cứng chống uốn EI bằng hằng số.
Bài giải: Chọn trục z nằm
ngang, hướng sang phải và có
g
ốc ở mút trái A. Dầm được
chia thành hai
đoạn AB và
BC.
Điểm phân cách có tọa độ
z = l. Biểu thức độ võng sẽ là
y
1
và y

2
.
q
A
B
C
z
R
A
l
3
Tách dầm AB ra và dễ dàng xác
y
l
điịn
h
R

ql
, ta l
ập bảng thông
s
ố ban
A
2
Hình 5.42: Xác
đị
nh
độ
võng và góc xoay

b
ằ
ng
đầu, trong đó ghi rõ các giá trị
y,  ,
M, q, q' tại điểm ranh
gi
ới của các
đoạn .
phương pháp ban
đầ
u
ql
Tại z = 0, ta có: y = y
0
= 0;  = 
0
 0;  M = 0; Q =
R =
2
q = (-q) - 0= -q; q' = 0
T
ại z = 1, ta có: y = y
1
= 0;  = 
1
 0; M = Q = q =
121
q' = 0
K

ết quả được ghi lại trong bảng 5.3 :
Bảng 5.3
z
y y' M

Q
q q'
0 0

0
0 ql/2 -q 0
1 0

1
0 0 0 0
Theo phương trình (5-29) ; (5-32) ,ta viết được:


ql



1


2

q



y
1
= 
o
z
-



EI

12





z
3


z
4

, với (0  z  l)
24





